专题3.1 相似多边形 讲义 -2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题3.1 相似多边形（专题训练） 【新教材北师大版】 题型归纳 【题型 1·成比例线段】 1 【题型 2·相似多边形的判断】 1 【题型 3·根据相似多边形的性质求角度】 2 【题型 4·根据相似多边形的性质求线段/弦线段比】 3 【题型 5·黄金分割比】 5 【题型 1·成比例线段】 1．下列各组线段是成比例线段的是（     ） A．1，1，2，3 B．1，2，3，4 C．2，3，4，5 D．2，6，3，9 2．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（     ） A．1，2，4，6 B．2，3，5，8 C．2，3，6，9 D．1，，， 3．四条线段、、、可组成比例线段，其中、、，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．已知、、、依次成比例线段，其中，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【题型 2·相似多边形的判断】 5．下列图形一定相似的是（    ） A．两个矩形 B．两个等腰直角三角形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．两个菱形 6．下列各组图形中不一定是相似图形的是（     ） A．两个等腰直角三角形 B．两个等边三角形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 7．在研究相似问题时，两位同学的观点如下： 甲：将矩形按图1的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 乙：将菱形按图2的方式向外扩张，得到新的菱形，它们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似． 对以上两人的观点，下列判断正确的是（     ） A．甲错 B．乙错 C．都错 D．都对 8．如图，下列三个矩形相似的是（     ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙 【题型 3·根据相似多边形的性质求角度】 9．五边形∽五边形，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．如图，四边形四边形，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 11．如图，四边形四边形，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 12．如图，已知四边形四边形，且，． (1)的度数为_______． (2)边BC的长为_______． 【题型 4·根据相似多边形的性质求线段/弦线段比】 13．如图，一张矩形纸片的长，宽．将纸片对折，折痕为，所得矩形与矩形相似，则（    ） A． B． C． D． 14．如图所示的甲、乙两个平行四边形相似，则的值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 15．如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点O，且，则四边形与四边形周长之比是（　　） A．1 B．2 C． D． 16．如图，王老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形的数学检测卷等比例缩小，其中缩小后的长为，则缩小后的面积为（   ） A．160 B．80 C．40 D．20 17．如图，四边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，，若四边形的面积为8，则四边形的面积为（   ） A．12 B．18 C．24 D．27 18．如图，四边形是一张矩形纸片．折叠该矩形纸片，使边落在边上，点的对应点为点，折痕为，展平后连接；继续折叠该纸片，使落在上，点的对应点为点，折痕为，展平后连接．若矩形矩形，，则的长为（　　） A．1 B． C． D． 19．如图，已知菱形的周长为12，，对角线上有两点E和F（点E在F的左侧），且四边形与菱形相似，则的长为（   ） A． B．2 C． D．1 【题型 5·黄金分割比】 20．黄金分割在生活中处处可见，即使是一片银杏叶，也蕴含着“黄金分割”．成都人民公园的银杏大道上，一片飘落的银杏叶主脉可看作线段．是的黄金分割点．若这片银杏叶主脉的长度为，则的长为（     ）． A． B． C． D． 21．一个底与腰的长度比为黄金分割比（黄金分割比为）的等腰三角形称为黄金三角形．若一个黄金三角形的底边长度为，则其腰的长度为（     ） A． B． C． D． 22．如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点，则点之间的距离为（     ） A．（ B． C． D． 23．如图，点是线段的黄金分割点，即，若以为边的正方形的面积为100，则长为，宽为的矩形的面积为____． 24．《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关．如图所示的哪吒造型中，点为的黄金分割点，即，若，则_____． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 相似多边形（专题训练） 【新教材北师大版】 题型归纳 【题型 1·成比例线段】 1 【题型 2·相似多边形的判断】 2 【题型 3·根据相似多边形的性质求角度】 5 【题型 4·根据相似多边形的性质求线段/弦线段比】 7 【题型 5·黄金分割比】 12 【题型 1·成比例线段】 1．下列各组线段是成比例线段的是（     ） A．1，1，2，3 B．1，2，3，4 C．2，3，4，5 D．2，6，3，9 【答案】D 【详解】解：A．，四条线段不是成比例线段； B． ，四条线段不是成比例线段； C． ，四条线段不是成比例线段； D．，四条线段是成比例线段． 2．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（     ） A．1，2，4，6 B．2，3，5，8 C．2，3，6，9 D．1，，， 【答案】C 【分析】计算前两条线段之比与后两条线段之比，若二者相等，则这组线段是成比例线段，否则不是． 【详解】解：A、∵， ∴这组线段不是成比例线段，不符合题意； B、∵， ∴这组线段不是成比例线段，不符合题意； C、∵， ∴这组线段是成比例线段，符合题意； D、∵， ∴这组线段不是成比例线段，不符合题意． 3．四条线段、、、可组成比例线段，其中、、，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四条线段、、、是成比例线段， ∴需分情况讨论两线段乘积相等的情况： 若，代入，，，得，解得， 若，代入得，解得， 若，代入得，解得， ∴结合选项仅符合要求． 4．已知、、、依次成比例线段，其中，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据成比例线段的定义列出比例式，计算即可． 【详解】解：∵、、、依次成比例线段，，，， ∴， ∴． 【题型 2·相似多边形的判断】 5．下列图形一定相似的是（    ） A．两个矩形 B．两个等腰直角三角形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．两个菱形 【答案】B 【分析】相似图形需同时满足对应角相等、对应边成比例，结合各选项图形的性质判断. 【详解】解：选项A：两个矩形对应角相等，但对应边不一定成比例， ∴两个矩形不一定相似，A不符合要求； 选项B：∵等腰直角三角形的三个内角固定为，对应角一定相等，且对应边一定成比例， ∴两个等腰直角三角形一定相似，B符合要求； 选项C：∵的角，可能是等腰三角形的顶角（此时底角为），也可能是底角（此时顶角为），两个三角形对应角不一定相等， ∴两个三角形不一定相似，C不符合要求； 选项D： ∵两个菱形的对应边成比例，但对应角不一定相等， ∴两个菱形不一定相似，D不符合要求. 6．下列各组图形中不一定是相似图形的是（     ） A．两个等腰直角三角形 B．两个等边三角形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 【答案】D 【分析】相似图形需同时满足对应角相等、对应边成比例，据此判断各选项是否一定相似． 【详解】解：A．两个等腰直角三角形的内角均为、、，对应角相等，对应边成比例，一定相似，故A不符合题意； B．两个等边三角形的内角均为，对应角相等，对应边成比例，一定相似，故B不符合题意； C．两个正方形的内角均为，对应角相等，对应边成比例，一定相似，故C不符合题意； D．两个等腰梯形的底角不一定相等，各边比例也不一定相同，不一定满足相似条件，故不一定相似，故D符合题意． 7．在研究相似问题时，两位同学的观点如下： 甲：将矩形按图1的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 乙：将菱形按图2的方式向外扩张，得到新的菱形，它们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似． 对以上两人的观点，下列判断正确的是（     ） A．甲错 B．乙错 C．都错 D．都对 【答案】A 【分析】根据边数相同的两个多边形，如果对应角相等，且对应边成比例，那么这两个多边形相似即可判断． 【详解】解：如图所示， 甲：设原矩形边长为，， 向外扩张一个单位后边长变为，， 则， ∴新矩形与原矩形不相似，甲说法不正确； 乙：将边长为的菱形按图2的方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边平行， 因此各角与原菱形角对应相等，扩张后四条边依然相等，即新菱形与原菱形相似， 故乙正确． 8．如图，下列三个矩形相似的是（     ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙 【答案】B 【分析】根据相似图形对应边成比例即可解答． 【详解】解：∵， ∴甲和乙不相似； ∵，且甲和丙都是矩形，四个角都相等， ∴甲和丙相似； ∵， ∴乙和丙不相似； 故选：B． 【题型 3·根据相似多边形的性质求角度】 9．五边形∽五边形，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多边形内角和，相似多边形的性质． 根据相似五边形的对应角相等，且五边形内角和为，通过计算未知角即可得解． 【详解】解：∵五边形∽五边形， ∴． ∵五边形内角和为，， ∴， ∴． 故选：B． 10．如图，四边形四边形，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是相似多边形的性质、多边形内角和定理，根据相似多边形的性质求出，根据四边形内角和等于计算，得到答案． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 11．如图，四边形四边形，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质，四边形的内角和定理的应用，解题的关键是了解相似多边形的对应角相等，难度不大．根据相似多边形的对应角相等求解，进一步可得答案． 【详解】解：∵四边形四边形，， ∴， ∵，， ∴， 故选：D 12．如图，已知四边形四边形，且，． (1)的度数为_______． (2)边BC的长为_______． 【答案】 12 【分析】本题考查相似多边形的性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是掌握相似多边形的性质，灵活运用所学知识解决问题. （1）根据相似多边形的对应角相等以及四边形内角和解决问题即可. （2）利用相似多边形对应边成比例，解决问题即可. 【详解】（1）解：． 故答案为：83． （2）解：由题意，得，即， 解得． 故答案为：12． 【题型 4·根据相似多边形的性质求线段/弦线段比】 13．如图，一张矩形纸片的长，宽．将纸片对折，折痕为，所得矩形与矩形相似，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠性质得到，再根据相似多边形的性质得到，即，然后利用比例的性质计算即可． 【详解】解：∵矩形纸片对折，折痕为， ∴， ∵矩形与矩形相似， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴． 14．如图所示的甲、乙两个平行四边形相似，则的值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据“相似多边形的对应边成比例”即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得． 15．如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点O，且，则四边形与四边形周长之比是（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】熟记相似多边形的周长比等于相似比是解题的关键．根据图形位似的性质可得，则可得，同理可得两个四边形其余三条对应边的比值，即可解题． 【详解】解：∵四边形与四边形位似， ∴四边形四边形，， ∴， ∴， ∴四边形与四边形的周长之比为． 16．如图，王老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形的数学检测卷等比例缩小，其中缩小后的长为，则缩小后的面积为（   ） A．160 B．80 C．40 D．20 【答案】C 【分析】根据相似多边形的对应边成比例，即可求解． 【详解】解：设缩小后的宽是， ∵缩小前后的两个矩形相似， ∴， 解得， ∴缩小后的宽是， ∴缩小后的矩形的面积为． 17．如图，四边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，，若四边形的面积为8，则四边形的面积为（   ） A．12 B．18 C．24 D．27 【答案】B 【分析】本题考查位似图形的性质、相似图形的性质，先根据位似图形的性质求得相似比，再根据相似图形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵点A，的坐标分别为，， ∴，， ∵四边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形， ∴四边形，是相似图形，相似比为， ∴四边形，的面积比为， ∵四边形的面积为8， ∴四边形的面积为， 故选：B． 18．如图，四边形是一张矩形纸片．折叠该矩形纸片，使边落在边上，点的对应点为点，折痕为，展平后连接；继续折叠该纸片，使落在上，点的对应点为点，折痕为，展平后连接．若矩形矩形，，则的长为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是矩形的性质、翻折的性质及相似多边形性质，熟练应用矩形和相似多边形性质是解题关键，设，则，根据两矩形相似求出即可． 【详解】解：在矩形中，设， 则，， 由翻折得， 四边形是正方形， 同理，四边形是正方形， ， ， 矩形矩形， ，即， 解得：（负值舍去）， 经检验，是原方程的解， ． 故选：C． 19．如图，已知菱形的周长为12，，对角线上有两点E和F（点E在F的左侧），且四边形与菱形相似，则的长为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质、相似多边形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 如图连接交于．解直角三角形求出即可解决问题． 【详解】解：如图，连接交于． ∵四边形是菱形，周长为 12 ， ， ， ， ， ∵四边形与菱形相似， ，四边形是菱形， ， ， ， 故选：C． 【题型 5·黄金分割比】 20．黄金分割在生活中处处可见，即使是一片银杏叶，也蕴含着“黄金分割”．成都人民公园的银杏大道上，一片飘落的银杏叶主脉可看作线段．是的黄金分割点．若这片银杏叶主脉的长度为，则的长为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是的黄金分割点， ∴，即， ∴． 21．一个底与腰的长度比为黄金分割比（黄金分割比为）的等腰三角形称为黄金三角形．若一个黄金三角形的底边长度为，则其腰的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设该黄金三角形的腰长为，再结合黄金三角形的定义计算即可得出结果． 【详解】解：设该黄金三角形的腰长为， ∵底与腰的长度比为，底边长为， ∴， ∴， ∴， ∴。 ∴． 22．如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点，则点之间的距离为（     ） A．（ B． C． D． 【答案】B 【分析】根据黄金分割的概念和黄金比值求出，进而得出答案． 【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点， ∴， ∴． 23．如图，点是线段的黄金分割点，即，若以为边的正方形的面积为100，则长为，宽为的矩形的面积为____． 【答案】 【分析】本题考查比例线段，黄金分割，正方形和矩形的面积公式，熟练掌握相关知识是关键． 由可得，，因此正方形的面积和矩形的面积相等． 【详解】解：∵， ∴， ∵正方形的面积为100， ∴， ∴， ∴长为，宽为的矩形的面积． 故答案为：． 24．《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关．如图所示的哪吒造型中，点为的黄金分割点，即，若，则_____． 【答案】 【分析】本题考查黄金分割，根据，求出的长，再根据线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $