第三章 图形的相似能力提升自测卷-《知识解读·题型专练》2026-2027学年北师大版九年级数学上册

第三章 图形的相似能力提升自测卷 （考试时间：60分钟 试卷满分：100分） 1． 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列的四组线段中，不是成比例线段的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比为（     ）． A． B． C． D． 3．如图，四边形为平行四边形，则图中相似的三角形共有（     ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 4．在小孔成像问题中，根据如图所示，蜡烛长，若到的距离是，到的距离是，则像的长是（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中，D、E分别为边上的点，，与相交于点F，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 6．天天同学计划测量一个细口瓶的内径，如图所示，他找来一个铁钳放进细口瓶内，张到最大的角度．若，且测量得的长为，则该细口瓶内径的长为（     ） A． B． C． D． 7．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍，得到．以下说法中错误的是（     ） A．点A，O，在同一直线上 B． C．点O到与的距离之比是 D． 8．如图，在中，，，点D，点E分别是边上两点（D在E的右侧），，连接，F为中点，若，则的长为（     ） A．12 B．6 C．12 D．15 9．我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为．如图，在中，，，平分交于点，若，则的长为（     ）                                          A． B． C． D． 10．如图，在矩形中，，，点E在边上，以为边作正方形，点F在边的延长线上，连接，，且，则的长为（   ） A．1 B． C． D． 二．填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．如图，直线，另两条直线分别交于点A、B、C及点D、E、F，且，则__________________ ． 12．如图在长为8，宽为6的矩形中，截去一个小矩形（图中阴影部分），如果剩下的矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是______． 13．如图的提琴模型中，点P是的黄金分割点，即满足，若，则的长为_______． 14．如图，平行四边形中，分别在边上，相交于点．若，，那么的值是______． 三．解答题（本题共7小题，第15-第20题每小题8分，第21题10分，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．如图，在中，、分别是上的点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 16．如图，，． (1)与相似吗？为什么？ (2)如果，，那么的长为多少？ 17．如图，点在内，点在外，且．求证： (1)； (2)． 18．如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 19．【问题背景】公元前4世纪，古希腊数学家发现了“黄金长方形”，即长方形的长和宽之比为最佳比例（看起来赏心悦目），这个美妙的比例实质上是将一条单位长的线段分成两段，使小段：大段=大段：全段，这就是众所周知的“黄金分割比”．比如：是线段的“黄金分割点”， 如图： 则有 【问题解决】设全段为1，大线段为，则小线段长为，于是有解得． (1)如图，上海东方明珠塔的塔身高度为，塔身上装置了下球体，中球体和上球体（太空舱）．分别位于塔身的，，之间，若要使得塔身显得非常协调美观，请直接写出塔身的一个黄金分割点位于______________球体内． (2)若要作线段的黄金分割点，小军认为他可以这样实现．步骤如下： ①作于点，且使得． ②连接，以为圆心，的长为半径作弧，交于点． ③以为圆心，长为半径作弧交于点． ④点即为的一个黄金分割点． 请你判断他的作图是否正确，并说明理由． (3)已知，求的值． 20．如图，在中，，点P从点A出发，沿以的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿以的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为． (1)当时，求证：； (2)在运动过程中，点组成的三角形与能否相似？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 21．按要求解答下列问题： (1)【操作发现】如图（1），在和中，，，，连接，交于点． ①与之间的数量关系为 ； ②的度数为 ； (2)【类比探究】如图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点．请计算的值及的度数； (3)【实际应用】如图（3），是一个由两个都含有角的大小不同的直角三角板、组成的图形，其中，且、、在同一直线上，，，求点、之间的距离． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 图形的相似能力提升自测卷 （考试时间：60分钟 试卷满分：100分） 1． 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列的四组线段中，不是成比例线段的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据成比例线段的定义，先将线段长度从小到大排序后得到，，，，再计算与是否相等来依次判断各选项是否为成比例线段． 【详解】解：A选项：从小到大排序后为，计算，是成比例线段； B选项：从小到大排序后为，计算，是成比例线段； C选项：从小到大排序后为，计算，不是成比例线段； D选项：从小到大排序后为，计算，是成比例线段； 故选：C． 2．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似的性质得到，得出，利用相似三角形的性质可得，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得． 【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形， ， ， ， ． 3．如图，四边形为平行四边形，则图中相似的三角形共有（     ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】由题意得出，进而得出相似三角形即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴图中相似的三角形共有3对． 4．在小孔成像问题中，根据如图所示，蜡烛长，若到的距离是，到的距离是，则像的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两相似三角形高之比等于相似比求解即可． 【详解】解：如图， 由小孔成像原理可得, ∴，， 即　， ∵到的距离是，到的距离是， ∴，，且，， ∴，即， 解得． 5．如图，在中，D、E分别为边上的点，，与相交于点F，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据，可得平行线分线段对应成比例，，再利用相似三角形对应边成比例即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，，故B、C选项正确； ∵， ∴， ∴，故A选项正确，D选项不正确． 6．天天同学计划测量一个细口瓶的内径，如图所示，他找来一个铁钳放进细口瓶内，张到最大的角度．若，且测量得的长为，则该细口瓶内径的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先证明，再利用相似三角形的性质，列式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 7．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍，得到．以下说法中错误的是（     ） A．点A，O，在同一直线上 B． C．点O到与的距离之比是 D． 【答案】C 【分析】根据位似图形的对应边平行，位似图形相似，对应顶点到位似中心的距离之比等于位似比，对应顶点所在的直线经过位似中心，来判断． 【详解】解：点为位似中心，把放大到原来的倍，得到， ∴点A，O，在同一直线上，，，， ∴点O到与的距离之比是， 故选项C错误. 8．如图，在中，，，点D，点E分别是边上两点（D在E的右侧），，连接，F为中点，若，则的长为（     ） A．12 B．6 C．12 D．15 【答案】B 【分析】作于K，先证是的中位线，得，，再证是等腰直角三角形，求出后，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：作于K， ∵，即， ∴， ∴， ∵F为中点， ∴K为中点， ∴是的中位线， ∴，， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为．如图，在中，，，平分交于点，若，则的长为（     ）                                          A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出和的度数，结合角平分线定义求出的度数，进而证得是顶角为的等腰三角形，利用题目给出的“黄金三角形”底与腰的比值关系即可求解． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， ， 是顶角为的等腰三角形，即“黄金三角形”， ， ， ． 10．如图，在矩形中，，，点E在边上，以为边作正方形，点F在边的延长线上，连接，，且，则的长为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】设正方形的边长为x，则、，通过证明，则，据此列出方程，求出的值，从而求出长． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 设，则，， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ． 二．填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．如图，直线，另两条直线分别交于点A、B、C及点D、E、F，且，则__________________ ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．如图在长为8，宽为6的矩形中，截去一个小矩形（图中阴影部分），如果剩下的矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是______． 【答案】27 【分析】根据相似多边形的性质得到，设，进一步求出，根据矩形的面积公式即可求出答案． 【详解】解：如图，依题意，在矩形中截去矩形，矩形矩形，则． 设，则， 解得， 经检验，是方程的解且符合题意， 则剩下矩形的面积是． 13．如图的提琴模型中，点P是的黄金分割点，即满足，若，则的长为_______． 【答案】 【分析】根据黄金分割点的定义及给出的比例式，可知为线段的较长部分，利用黄金比进行计算即可． 【详解】解：点是的黄金分割点，且满足， 为较长线段，即， ， ． 14．如图，平行四边形中，分别在边上，相交于点．若，，那么的值是______． 【答案】 【分析】延长、交于点，由平行四边形的性质得，，可证明，得，则，所以，由，得，再证明，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：延长、交于点， ∵是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 三．解答题（本题共7小题，第15-第20题每小题8分，第21题10分，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．如图，在中，、分别是上的点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． （1）根据已知以及得到，再由，则得到； （2）根据相似三角形的性质直接列式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴ ∴ ∴ 16．如图，，． (1)与相似吗？为什么？ (2)如果，，那么的长为多少？ 【答案】(1) 解：与相似， 理由：， ， ， 在和中， ， ； (2)8 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出是解题的关键． （1）根据得出，进而得出； （2）由，得到比例式，代入数值即可求得结果． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ∵，， ， ． 17．如图，点在内，点在外，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明：∵且， ∴， ∴， ∴， 即； (2)证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据两边对应成比例及其夹角相等判定，再利用相似三角形的性质即可证明； （2）由得到，则有，再根据两边对应成比例及其夹角相等即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 18．如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键： （1）等边对等角，得到，三角形的外角的性质结合角的和差关系求出，即可得证； （2）根据相似三角形的性质，列出比例式，进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知：， ∴， ∴，即， ∴． 19．【问题背景】公元前4世纪，古希腊数学家发现了“黄金长方形”，即长方形的长和宽之比为最佳比例（看起来赏心悦目），这个美妙的比例实质上是将一条单位长的线段分成两段，使小段：大段=大段：全段，这就是众所周知的“黄金分割比”．比如：是线段的“黄金分割点”， 如图： 则有 【问题解决】设全段为1，大线段为，则小线段长为，于是有解得． (1)如图，上海东方明珠塔的塔身高度为，塔身上装置了下球体，中球体和上球体（太空舱）．分别位于塔身的，，之间，若要使得塔身显得非常协调美观，请直接写出塔身的一个黄金分割点位于______________球体内． (2)若要作线段的黄金分割点，小军认为他可以这样实现．步骤如下： ①作于点，且使得． ②连接，以为圆心，的长为半径作弧，交于点． ③以为圆心，长为半径作弧交于点． ④点即为的一个黄金分割点． 请你判断他的作图是否正确，并说明理由． (3)已知，求的值． 【答案】(1)中 (2)证明：作图正确，理由如下： 设，则， 设，即，， 为直角三角形， ． 即， 化简得， ，（舍去）， 即 ， 点为线段的黄金分割点． (3) 【分析】（1）根据黄金分割的定义，先计算塔身高度的黄金分割点对应的长度，再判断该长度所在的区间，从而确定位置． （2）设，，设，即，，由勾股定理得，即，然后解方程，再根据黄金分割的定义即可求解． （3）由，可得，进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵ 黄金分割比值约为，塔身高度为， ∴ 黄金分割点对应的长度为． ∵ ，此区间对应中球体的位置， ∴ 塔身的黄金分割点位于中球体． （2）略 （3）解：∵， ∴， ∴即， ∴. 20．如图，在中，，点P从点A出发，沿以的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿以的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为． (1)当时，求证：； (2)在运动过程中，点组成的三角形与能否相似？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)证明：由题意，，， ∴， ， ， ． ， (2)能，或 【分析】（1）利用两边对应成比例夹角相等的两个三角形相似即可得证； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：能． 由题意，，， ∴， ∵， ∴， ①当时，，即， 解得（舍去）或， ； ②当时，有，即， 解得或（舍去）， ． 综上所述，当的长为或时，点组成的三角形与相似． 21．按要求解答下列问题： (1)【操作发现】如图（1），在和中，，，，连接，交于点． ①与之间的数量关系为 ； ②的度数为 ； (2)【类比探究】如图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点．请计算的值及的度数； (3)【实际应用】如图（3），是一个由两个都含有角的大小不同的直角三角板、组成的图形，其中，且、、在同一直线上，，，求点、之间的距离． 【答案】(1)①；② (2)， (3)或 【分析】（1）证明，即可得结论； （2）证明，即可得结论； （3）分两种情形解直角三角形求出，再利用相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：如图，设交于， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴， ． （2）解：如图，设交于， 在和中， ，， ，，， ∴， ， ∴， ， ∴，， ， ∴， ． （3）如图中，作于，连接，则， 在中， ∵，， ， ， ， ， ∵， ， ， 在中，， ， ∵， ∴，，， ∴，， ， ∴， ． 如图，连接，作于， 同理可得，， ， ， ∴， ． 综上所述，点、之间的距离是或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $