第一章 特殊平行四边形能力提升自测卷 《知识解读·题型专练》 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学特殊平行四边形单元复习卷，聚焦矩形、菱形、正方形性质与判定，通过基础题与探究题梯度设计，提升几何直观、推理能力与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|矩形对角线计算、菱形判定、正方形坐标|结合活动课情境（第4题判断菱形方案），考查空间观念| |填空|4/12|正方形中点连线、矩形对角线中点性质|融入几何直观（第13题中点连线计算），强化抽象能力| |解答题|7/58|菱形证明、矩形面积计算、垂美四边形探究|设计新定义探究（第20题垂美四边形），培养推理与创新意识|

第一章 特殊平行四边形能力提升自测卷 （考试时间：60分钟 试卷满分：100分） 1． 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如图，在矩形中，对角线、交于点，若，，则的长为（     ） A．4 B． C．3 D．5 2．如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直平分线段，垂足为点，，则（     ） A． B． C． D． 3．小虹同学按如下步骤作四边形：①画，②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点B，D，③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C，④连接，，．若，则的大小是（     ） A． B． C． D． 4．活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是菱形，以下测量方案正确的是（     ） A．测量两组对边是否分别相等 B．测量两条对角线是否相等 C．测量两条对角线是否互相垂直 D．测量四条边是否相等 5．在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 7．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，若，，则的长为（     ） A． B． C．8 D．10 8．如图，在中，点E、D、F分别在边、、上，且，，下列四个判断中，正确的个数有（   ） ①如果点E，F分别是，的中点，那么四边形是菱形 ②如果，那么四边形是矩形 ③如果平分，那么四边形是菱形 ④如果，且，那么四边形是正方形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 9．如图，在正方形中，，点E、F是正方形内的两点，且，则的长为（     ） A． B．1 C． D． 10．如图，在正方形中，E是边上的一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于G，连接、，现在有如下四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．如图，延长正方形的边至，使，则_____． 12．如图，是矩形的对角线的中点，是的中点，若，，则四边形的周长为_____． 13．如图，在边长为4的正方形中，点E，F分别是边的中点，连接，点G，H分别是的中点，连接，则的长度为______． 14．如图，正方形的对角线交点为O，点E、F分别在边上，且．若，则图中阴影四边形的面积为________ 三．解答题（本题共7小题，第15-第20题每小题8分，第21题10分，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．如图，在菱形中，分别是边、上的点，，连接，交于点．求证：． 16．如图，在矩形中，两条对角线相交于点，，，求： (1)求的度数； (2)求矩形的面积． 17．如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长度； 18．如图，的对角线相交于点． (1)求证：； (2)若，连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 19．如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，交直线于点E，垂足为F，连接、． (1)求证：． (2)若D是中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？请说明你的理由． 20．如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)概念理解：如图2，在四边形中，，，小明和他小组的同学思考四边形是否为垂美四边形，请你助力： ，， ∴点A、C都在线段的________（填空），再利用下列选项中的________（选择序号）就能够得到：，即得四边形是垂美四边形； ①两点之间，线段最短；②两点确定一条直线；③垂线段最短． (2)性质探究：如图1，四边形的对角线、交于点O，． 小明和他小组的同学思考得到：，并写出了证明： ∴在、、、中，分别有： ，，， ， 请你用简洁的语言概括垂美四边形的性质：________； (3)应用性质，解决问题：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、交于点N，交于点M，连接．已知，，求的长． 21．【课本再现】如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，四边形为两个正方形的重叠部分，正方形可绕点转动． 【问题发现】 (1)①线段之间的数量关系是_______________； ②在①的基础上，连接，则线段之间的数量关系是____________． 【拓展应用】 (2)如图2，若矩形顶点是矩形对角线的中点，相交于点，延长，，连接．矩形可绕点转动，猜想，，之间的数量关系，并进行证明． 【类比迁移】 (3)如图3，在中，，，，，点在边的中点处，它的两条边和分别与边，相交于点．可绕点转动，当时，请直接写出的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 特殊平行四边形能力提升自测卷 （考试时间：60分钟 试卷满分：100分） 1． 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如图，在矩形中，对角线、交于点，若，，则的长为（     ） A．4 B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】利用矩形的性质易证是等边三角形，即可得解． 【详解】解：在矩形中，， ， ， ， 是等边三角形， ． 2．如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直平分线段，垂足为点，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形对角线互相平分且相等求出，的长，利用线段垂直平分线的性质得出即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，对角线与相交于点， ∴, ∵垂直平分线段， ∴． 3．小虹同学按如下步骤作四边形：①画，②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点B，D，③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C，④连接，，．若，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据作图得出，证明四边形为菱形，根据菱形的性质得出，平分，根据平行线的性质得出，最后得出答案即可． 【详解】解：根据作图可得：， ∴四边形为菱形， ∴，平分， ∴， ∴． 4．活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是菱形，以下测量方案正确的是（     ） A．测量两组对边是否分别相等 B．测量两条对角线是否相等 C．测量两条对角线是否互相垂直 D．测量四条边是否相等 【答案】D 【分析】根据菱形的判定定理，四条边相等的四边形是菱形，据此判断即可． 【详解】解：∵四条边都相等的四边形是菱形， ∴现要判断这个四边形是否为菱形，可以测量四条边是否相等． 5．在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作轴于点，证明，根据全等的性质得到边的关系，从而求出点的坐标． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， ∴，， 过点作轴于点， ， ∴， 四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 6．如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为（     ） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 【答案】C 【分析】先证明四边形是菱形，再根据含的直角三角形的性质和勾股定理求出长，最后得到四边形的周长． 【详解】解：过点A分别作、， 由题意知，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴四边形的周长为， 在中，， ∴， ∴， 即， 根据勾股定理得，， 即， 整理得：， 解得：，（舍）， ∴四边形的周长为． 7．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，若，，则的长为（     ） A． B． C．8 D．10 【答案】B 【分析】连接、，令交于点，由矩形的性质可得，，，证明，得出，结合线段垂直平分线的性质可得，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、，令交于点， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵对角线的垂直平分线分别交，于点E，F， ∴，， ∴， ∴，， ∴． 8．如图，在中，点E、D、F分别在边、、上，且，，下列四个判断中，正确的个数有（   ） ①如果点E，F分别是，的中点，那么四边形是菱形 ②如果，那么四边形是矩形 ③如果平分，那么四边形是菱形 ④如果，且，那么四边形是正方形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据，可得四边形是平行四边形，再结合矩形、菱形、正方形的判定定理对各个条件进行逐一判断． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形． 对于①，若，分别是，的中点，则，，无法得出，故错误； 对于②，，四边形是平行四边形， 四边形是矩形，故②正确； 对于③，平分， ， 又， ， ， ， 四边形是菱形，故③正确； 对于④，，， 平分， 由③知四边形是菱形，但无法得出，故④错误． 综上所述，正确的有2个． 故选：B． 9．如图，在正方形中，，点E、F是正方形内的两点，且，则的长为（     ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】延长交于，由勾股定理的逆定理可得和是直角三角形，进而可证明，得到，，，利用正方形的性质可证明，得到，，，据此可得，，，利用勾股定理即可求解. 【详解】解：延长交于，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， 同理可得是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， 同理可得， ∴， 又∵， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴. 10．如图，在正方形中，E是边上的一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于G，连接、，现在有如下四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用折叠的性质证明，从而得出，并利用勾股定理求出的长度，进而逐一判断各个结论的真假． 【详解】解：如图，连接． ∵正方形，，， ∴，． 由折叠得：，，，， ∴， ∵，， ， ，， ，故①正确； 设，则，， 在中，由勾股定理， 即， ，解得， ∴，，， 若，则是等边三角形，， ∴， ∴，不符合题意， ∴， 即不是等边三角形，，故②错误； ， ， ， ，， ， ，故③正确， 在中，，， ∴， ∵和的顶点C相同，底边和在同一条直线上， ∴它们的高相等，面积之比等于底边之比， ∴， ∵，故④错误， 综上所述，正确的结论是①和③，共2个． 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．如图，延长正方形的边至，使，则_____． 【答案】 【分析】先根据正方形的性质推导出，再根据等腰三角形的性质得到，然后利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴． 12．如图，是矩形的对角线的中点，是的中点，若，，则四边形的周长为_____． 【答案】20 【分析】先由矩形的性质和勾股定理求得，，再根据直角三角形斜边上的中线性质和三角形的中位线性质求得，，进而可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴， ∵O为的中点，是的中点， ∴，，， ∴四边形的周长． 13．如图，在边长为4的正方形中，点E，F分别是边的中点，连接，点G，H分别是的中点，连接，则的长度为______． 【答案】 【分析】连接并延长交于，连接，根据正方形的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论. 【详解】解：连接并延长交于点，连接， 四边形是正方形， ，，， ，分别是边，的中点， ，， ， ， 点是的中点， ， ， ， ，， ， 在中，， 点是的中点， . 14．如图，正方形的对角线交点为O，点E、F分别在边上，且．若，则图中阴影四边形的面积为________ 【答案】 【分析】先根据正方形的性质，得出，，，从而可利用证明，得出，求得结果； 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ， ∴， ∴， ， 在与中， ， ， ∵四边形是正方形，， ， ∵， ∴ ． 三．解答题（本题共7小题，第15-第20题每小题8分，第21题10分，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．如图，在菱形中，分别是边、上的点，，连接，交于点．求证：． 【答案】 证明：四边形是菱形， ， 在和中， ， ， ． 【分析】由菱形的性质得到，利用“”即可证明，进而得到． 【详解】略 16．如图，在矩形中，两条对角线相交于点，，，求： (1)求的度数； (2)求矩形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据矩形的性质得到，再根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理求出角度即可； （2）借助角所对直角边是斜边的一半得到，再根据勾股定理求出的长度，进而求出面积． 【详解】（1）解：因为四边形是矩形，根据矩形性质， 对角线，且对角线互相平分， 即， ， 在中，， ， ． （2）在中，， 根据直角三角形中，斜边是角对边的2倍， ， 根据勾股定理可得， 故矩形面积为． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，含角的直角三角形性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 17．如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长度； 【答案】(1) 证明：过点作于点，于点， 四边形是正方形，是对角线， ． 又 ，， ，四边形是正方形， ， ， 在和中， ， ． ； (2)2 【分析】（1）过点作于点，于点，利用正方形对角线平分对角的性质，得出，结合垂直关系证明两个直角三角形全等，从而得到； （2）由（1）的结论，且四边形为矩形，可知矩形是正方形．利用正方形的性质，通过证明与全等，将转化为已知长度的线段，从而求得的长度． 【详解】（1）略 （2）四边形是正方形， ， ． ， ， 四边形是矩形，， 矩形是正方形， ， ， ， ， ， ， 又 ， 在和中， ， ． ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形性质、勾股定理，余角的性质，角平分线的性质，通过辅助线构造全等三角形是解题的关键． 18．如图，的对角线相交于点． (1)求证：； (2)若，连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵, ∴，即． 在和中， ， ∴． (2)解：四边形是矩形．理由： 由（1）知． ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴平行四边形是矩形． 【分析】（1）利用平行四边形的对角线互相平分，证明，再借助证明即可； （2）根据对角线相等的平行四边形是矩形判定即可． 【详解】（1）略； （2）略． 19．如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，交直线于点E，垂足为F，连接、． (1)求证：． (2)若D是中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？请说明你的理由． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ， ，即， ∴四边形是平行四边形， ． (2)解：当时，四边形是正方形，理由如下： ∵D为中点， ． ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ，D为中点， ， ，四边形是菱形， 当时，， ， ∴四边形是正方形． 【分析】（1）证明，然后结合证明四边形是平行四边形，即可得到； （2）首先证明四边形是平行四边形，然后得到，证明四边形是菱形，当时，求出，即可证明四边形是正方形． 【详解】（1）略 （2）略 20．如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)概念理解：如图2，在四边形中，，，小明和他小组的同学思考四边形是否为垂美四边形，请你助力： ，， ∴点A、C都在线段的________（填空），再利用下列选项中的________（选择序号）就能够得到：，即得四边形是垂美四边形； ①两点之间，线段最短；②两点确定一条直线；③垂线段最短． (2)性质探究：如图1，四边形的对角线、交于点O，． 小明和他小组的同学思考得到：，并写出了证明： ∴在、、、中，分别有： ，，， ， 请你用简洁的语言概括垂美四边形的性质：________； (3)应用性质，解决问题：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、交于点N，交于点M，连接．已知，，求的长． 【答案】(1)垂直平分线上；② (2)垂美四边形的两组对边的平方和相等 (3) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的判定定理和两点确定一条直线可得答案； （2）根据题中定义和勾股定理推导出的结论可得答案； （3）连接、，先证明得到，利用三角形的内角和定理可证明，则，根据题中定义可得四边形是垂美四边形，由（2）中结论可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：连接、， ∵四边形和四边形都是正方形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是垂美四边形， ∴， 由题意，， ∴在、、中，分别有： ， ， ， ∴，解得． 21．【课本再现】如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，四边形为两个正方形的重叠部分，正方形可绕点转动． 【问题发现】 (1)①线段之间的数量关系是_______________； ②在①的基础上，连接，则线段之间的数量关系是____________． 【拓展应用】 (2)如图2，若矩形顶点是矩形对角线的中点，相交于点，延长，，连接．矩形可绕点转动，猜想，，之间的数量关系，并进行证明． 【类比迁移】 (3)如图3，在中，，，，，点在边的中点处，它的两条边和分别与边，相交于点．可绕点转动，当时，请直接写出的面积． 【答案】(1)①；②； (2)解：；理由如下： 连接， ∵是矩形对角线的中点， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴， ∴垂直平分， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． (3) 【分析】（1）连接，利用正方形的性质证明可得，进而得到，再利用勾股定理即可得到线段之间的数量关系； （2）连接，利用矩形的性质证明可得，易得垂直平分，即，再利用勾股定理即可得到线段，，之间的数量关系； （3）构造矩形，延长交于G，连接，利用（2）的方法可得，利用勾股定理可得，设，，构建方程可求得，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：连接， ∵正方形的对角线相交于点， ∴，，， ∴， 又∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 在中，由勾股定理得：， ∴． （2）略 （3）解：∵，， ∴． 如图：构造矩形，延长交于G，连接， ∵D是矩形对角线的中点， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 设，， ∴，解得：， 即， ∴的面积为． 1 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