第二章、第三章综合测试卷【培优卷】- 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

第二章、第三章综合测试卷【培优卷】 考试时间：100分钟　　满分：120分 测试范围：北师大版九上第二章 一元二次方程 第二章 图形的相似 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026九年级上·全国·专题练习）如果关于x的一元二次方程有一个解是，那么m的值是（     ） A．3 B． C． D．0或 【答案】B 【分析】把代入方程，求m的可能值，结合一元二次方程的定义解答即可 解：∵关于x的一元二次方程有一个解是， ∴ ， 解得； ∵ 该方程是一元二次方程， ∴ ，即， ∴ ． 2．（25-26九年级上·山西晋中·期末）已知，则（   ） A．8 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质．利用设法进行计算，即可解答． 解：设，则，，， ∴， 故选：B． 3．（2026·安徽合肥·一模）已知实数m、n满足 ，若，则s的值最大为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由已知求出，再代入，利用非负数的性质即可求解． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴s的值最大为3． 4．（25-26九年级上·河南开封·阶段检测）如图，在正方形网格中，下列正方形网格中的阴影图形与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形相似的判定，掌握相似三角形的判定定理，抓住三角形三边的比值相同来判断相似是解题关键． 利用相似三角形对应边成比例，先求出的三边长，求出三边的比为，再分别求出各选项中三角形的三边长从小到大排序，求出三边的比值，判断即可． 解：的三条边长度为，三边的比例为； 选项A：三角形的三边长为，三边的比例为，与不相似，不符合题意要求； 选项B：三角形的三边长为，三边的比例为，与不相似，不符合题意要求； 选项C：三角形的三边长为，三边的比例为，与相似，符合题意要求； 选项D：三角形的三边长为，三边的比例为，与不相似，不符合题意要求； 故选C． 5．（25-26九年级下·山东烟台·期末）若关于x的一元二次方程的两根互为倒数，则k的值为（     ） A． B．2 C．2或 D．1 【答案】A 【分析】先根据两根互为倒数得到两根乘积为1，求出k的可能值，再利用判别式验证方程存在实根，舍去不符合的解得到结果． 解：设方程的两根为． ∵ 方程两根互为倒数， ∴ ． 又∵由根与系数的关系得． ∴ ，解得或． ∵ 一元二次方程有两个实数根， ∴． ∴． ∵ ，不符合要求舍去， ∴ ． 6．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知线段，求作线段，使，下列作图中均作出一组平行线，其中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知等式变形为比例式，根据平行线分线段成比例定理，分析各选项中线段的比例关系即可． 解：∵， ∴， A．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项错误； B．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项错误；   C．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项错误；   D．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项正确． 7．（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，是的边上一点，连接，下列条件中，能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知两个三角形有一组公共角，若要使两个三角形相似，只需夹这组公共角的两边对应成比例即可． 解：∵， ∴要证明需要满足， ∴，故C符合题意； A、B、D中的条件结合现有条件无法证明． 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）某电池厂2026年月份的电池产量如图所示．设从2月份到4月份，该厂电池产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：从2月份到4月份，该厂家电池产量的月平均增长率为，从折线统计图获取2月份的产量是180万节，4月份的产量是461万节， 依题意得：． 9．（25-26八年级下·山东威海·期末）在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，若以原点O为位似中心，画的位似图形，使与的相似比为，则点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】位似图形可位于位似中心的同侧或异侧，需分两种情况计算．以原点为位似中心时，若新位似图形与原图形的相似比为，原图形上点对应点坐标为或． 解：∵以原点为位似中心，与的相似比为，点坐标为，位似图形有两种位置情况， ∴ 当与在原点同侧时，点的坐标为； 当与在原点异侧时，点的坐标为． ∴点的坐标为或． 10．（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，平行四边形中，点为边中点，连接、交于点，若的面积为关于的一元二次方程的解，则的面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据题意，由因式分解法解一元二次方程得到，再由平行四边形的性质，结合三角形相似的判定与性质得到，代值求解即可得到答案． 解：由可知，解得或， 的面积为关于的一元二次方程的解， ， 在平行四边形中，点为边中点，，， ，则， ， 故选：B． 【点拨】本题考查解一元二次方程、平行四边形的性质、中点定义、三角形相似的判定与性质等知识，熟记一元二次方程的解法及三角形相似的判定与性质是解决问题的关键． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（26-27九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）已知，则的值为________． 【答案】 【分析】将看作整体，利用换元法结合平方差公式化简方程，根据平方的非负性舍去不符合条件的根即可得到结果． 解：设， ∵任何数的平方都是非负数， ∴， 将代入原方程得：， 根据平方差公式展开得：，整理得：， 解得或， ∵， ∴舍去，因此． 12．（25-26八年级下·山东泰安·期末）2026年国际数学日的主题为“数学与希望”．某校学生运用所学AI技术围绕该主题设计了一张黄金矩形（宽与长的比为黄金比）海报．若该海报的长为，则它的宽为___________． 【答案】 【分析】根据黄金矩形的定义，宽与长的比为黄金比，将已知的长代入比例式，化简计算即可求解． 解：设海报的宽为，已知长为，由黄金矩形的定义可得 ， 解得， 即宽为． 13．（25-26八年级下·江西南昌·期末）若p，q是方程的两个实数根，则代数式的值为_______． 【答案】8 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到的值，然后根据方程根的定义表示出，最后代入代数式即可求解． 解：∵p，q是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴． 14．（2024·河南周口·二模）在纸片中，， ，是边的中点，是边上的动点，将沿 折叠，点 落在点处，当 恰好与的边垂直时，若，则________ 【答案】1或 【分析】本题考查了折叠问题，相似三角形的性质与判定；分两种情况：当DE⊥AC时，进而即可求解；当ED⊥AB时，根据题意画出图形，进而根据相似三角形的性质列出比例式，即可求解． 解：分两种情况：①当时，如图．， ， ， 是 的中点， ， ②当时，如图，点与点重合． 是的中点， ， ， 由勾股定理，得 综上，或 故答案为：或 ． 15．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段检测）已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，若k为正整数，且该方程的根都是整数，此时方程的根为_________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，由判别式可得k的取值范围，再由k是正整数可得k的值，再把k的值代入原方程求出对应的x的值即可得到答案． 解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∵k为正整数， ∴k为1或2， 当时，原方程为，解得或，此时不符合题意； 当时，原方程为，解得或，此时符合题意； ∴原方程的根为或， 故答案为：或． 16．（26-27九年级上·浙江金华·开学考试）如图，在正方形中，点分别在边上，，是的中点．与相交于点．则的值为___________． 【答案】 【分析】延长交于点，根据正方形得到，进而证明，结合相似三角形的性质可得；设，则，进而可得；证明，利用相似三角形的性质即可获得答案． 解：延长交于点，如下图， ∵四边形是正方形，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 17．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）已知是关于的方程的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两条边长，则三角形的周长为______． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，解一元二次方程，等腰三角形的定义，把代入方程求出的值，进而得到方程为，再解方程求出另一个根，最后根据等腰三角形的定义解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 解：∵是关于的方程的一个根， ∴， ∴， ∴方程为， 解得，， ∴方程的另一个根为， ∵这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两条边长， ∴三角形的周长为或， 故答案为：或． 18．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，，点以每秒3个单位长度的速度从点沿方向向点匀速运动，点以每秒2个单位长度的速度从点沿方向向点匀速运动．作，设运动时间为，单位：s）． （1）运动过程中，的长为___________（用含的代数式表示） （2）连接，若，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，构建相似三角形是解题的关键． （1）根据题意，先得到，进而可求； （2）过点作于点，进而可证，再根据相似比列方程求解即可． 解：（1）， ． 根据题意可知， ； （2）， 四边形是平行四边形， 当时，过点作于点， 则． ． ， ，即，解得． 故答案为：；． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（本题6分）（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）用指定的方法解下列方程： （1）（公式法）； （2）（因式分解法）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）根据公式法代入求解即可得出答案； （2）根据平方差公式分解因式，再令两项都为零，分别求解即可得出答案． 解：（1），， ， （2） 解得， 【点拨】本题考查解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． 20．（本题6分）（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，直线、、分别交两条直线于点A，B，C，D，E，F，且， ，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：过点D作，交于点N，交的延长线于点M， ，即， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， 设， ：：3， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ； （2）10 【分析】此题重点考查平行线分线段成比例定理、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． （1）过点D作，交于点N，交的延长线于点M，则四边形是平行四边形，所以，由，，得，由，得，由，推导出，则，所以，则，可证明四边形是平行四边形，进而证明 （2）可证明，则，由，，，，得，求得，则，所以，则 解：（1）略 （2）解：，，， ， ， ，，，， ， ， ， ， ， 的长为 21．（本题6分）（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）已知关于x的一元二次方程 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根为，，且，求k的值． 【答案】（1）证明：在方程中， ，，， ∵ ，即， ∴ 方程总有两个实数根； （2） 【分析】（1）用根的判别式进行判别即可； （2）用根与系数的关系进行计算即可． 解：（1）略 （2）解：在方程中， ，， ， ， 解得：． 【点拨】任何实数的平方都是非负数． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 22．（本题8分）（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，在中，，点P是BC边的一点，，且，连接DP并延长，交AC于E，交BA的延长线于F． （1）若，，求的长； （2）求证：． 【答案】（1）；（2）证明：连接， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据可证，，根据比例的性质可得，再证，可得，由此即可求解； （2）连接，由已知可证四边形为平行四边形，根据平行线分线段成比例定理可知 ，，则，则题目可证． （1）解：， 设，，则， ， ， ， ， 则，且， ， ， ， ，， ， ， 的长为． （2）略 【点拨】本题主要考查相似三角形的判定和性质，比例的性质，平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质和判定，掌握相关知识是解题的关键． 23．（本题8分）（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． （1）求出的面积； （2）请以点为位似中心作一个与位似的，使得的面积为12．（作出一个符合题意的图形即可） 【答案】（1）3；（2）如图：即为所求（画出其中一个即可）． 【分析】（1）直接利用三角形的面积公式计算即可； （2）先利用与的面积比得到相似比，然后利用以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点A、B、C的横纵坐标都乘以2或得到点，再顺次连接即可． （1）解：由图可得：． （2）解：， ∴与的相似比为：， ∵点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为 ∴点的坐标为或，点的坐标为或，点的坐标为或， 如图，为所求． 24．（本题8分）（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，四边形为平行四边形，为边上一点，连接，，它们相交于点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由四边形为平行四边形，则，所以，得，然后证明，再根据相似三角形性质得即可； （）由（）得，求出，，证明，则，即，求出解得，又，则，然后代入即可求解． 解：（1）略 （2）解：由（）得， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∵， ∴，即， ∴． 五、解答题（三）（本大题共2小题，共24分） 25．（本题11分）（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）某超市以每个30元的价格购进A种商品，销售数据表明：当每个A种商品售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． （1）若售价下降5元，每月能售出 个A种商品，若售价下降元（），每月能售出 个A种商品； （2）若本月最多购进有1210个A种商品，经销商决定降价促销，预计月获利恰好为8400元，求每个A种商品的售价； （3）经销商月获利能否达到9600元？说明理由． 【答案】（1）1600；；（2）每个A商品的售价为37元；（3）解：月获利不能达到9600元，理由： 设每个A商品的售价为x元， 由题意得：， 整理得：， ∵， ∴方程无实数根，即月获利不能达到9600元． 【分析】（1）根据售价每下降1元，其月销售量就增加200个，分别计算即可； （2）设每个A商品的售价为x元，根据每个A商品的利润×销售数量＝总利润列出方程并解答； （3）根据题意列出方程，求出根的判别式，可得方程无实数根，即月获利不能达到9600元． （1）解：∵售价每下降1元，其月销售量就增加200个， ∴若售价下降5元，每月能售出（个）A商品， 若售价下降x元（），每月能售出个A商品； （2）解：设每个A商品的售价为x元，由题意，得 ， 解得， 当时，（舍去）， 当时，（符合题意）， 答：每个A商品的售价为37元； （3）略 26．（本题13分）（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）如图，平行四边形在平面直角坐标系中，，若、的长是关于x的一元二次方程的两个根，且． （1）求的值． （2）若E为x轴上的点，且，求点E的坐标，并判断与是否相似？ （3）平面内是否存在点M，使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形？如果有请直接写出点M的坐标． 【答案】（1）；（2）点E的坐标为或；；（3）存在，点M的坐标为或或 【分析】（1）解一元二次方程求出、的长度，再根据正弦定义求解即可； （2）根据求出和长，即可求解； （3）分三种情况：①、为邻边，、为对角线时，即，②、为邻边，、为对角线时，即，、为邻边，、为对角线时，即，然后根据平移的坐标变换规律求解即可． （1）解： ， ， ，或， ∵， ，， ∴， ∴． （2）解：， ， 当点E在x正半轴上时， ， 当点E在x负半轴上时， ， ∴点E的坐标为或； 此时； 理由如下： ，， ， 又， ； （3）解：①、为邻边，、为对角线时，即， 此时点M与点D重合， ∴； ②、为邻边，、为对角线时，即， 则， ∴将点A向左平移6个单位得到点M， ∴， ③、为邻边，、为对角线时，即， 则，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴向右平移3个单位，向下平移4个单位，与重合， ∴； 综上，存在，点M的坐标为或或． 【点拨】本题考查了一元二次方程的解法、平行四边形的性质、三角形面积的计算、相似三角形的判定、平移和坐标变换；本题难度较大，综合性强，特别注意分类讨论，以免漏解． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章、第三章综合测试卷【培优卷】 考试时间：100分钟　　满分：120分 测试范围：北师大版九上第二章 一元二次方程 第二章 图形的相似 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026九年级上·全国·专题练习）如果关于x的一元二次方程有一个解是，那么m的值是（     ） A．3 B． C． D．0或 2．（25-26九年级上·山西晋中·期末）已知，则（   ） A．8 B．2 C． D． 3．（2026·安徽合肥·一模）已知实数m、n满足 ，若，则s的值最大为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26九年级上·河南开封·阶段检测）如图，在正方形网格中，下列正方形网格中的阴影图形与相似的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级下·山东烟台·期末）若关于x的一元二次方程的两根互为倒数，则k的值为（     ） A． B．2 C．2或 D．1 6．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知线段，求作线段，使，下列作图中均作出一组平行线，其中正确的是（    ）． A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，是的边上一点，连接，下列条件中，能使的是（     ） A． B． C． D． 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）某电池厂2026年月份的电池产量如图所示．设从2月份到4月份，该厂电池产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程为（     ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·山东威海·期末）在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，若以原点O为位似中心，画的位似图形，使与的相似比为，则点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 10．（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，平行四边形中，点为边中点，连接、交于点，若的面积为关于的一元二次方程的解，则的面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2、 填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（26-27九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）已知，则的值为________． 12．（25-26八年级下·山东泰安·期末）2026年国际数学日的主题为“数学与希望”．某校学生运用所学AI技术围绕该主题设计了一张黄金矩形（宽与长的比为黄金比）海报．若该海报的长为，则它的宽为___________． 13．（25-26八年级下·江西南昌·期末）若p，q是方程的两个实数根，则代数式的值为_______． 14．（2024·河南周口·二模）在纸片中，， ，是边的中点，是边上的动点，将沿 折叠，点 落在点处，当 恰好与的边垂直时，若，则________ 15．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段检测）已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，若k为正整数，且该方程的根都是整数，此时方程的根为_________． 16．（26-27九年级上·浙江金华·开学考试）如图，在正方形中，点分别在边上，，是的中点．与相交于点．则的值为___________． 17．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）已知是关于的方程的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两条边长，则三角形的周长为______． 18．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，，点以每秒3个单位长度的速度从点沿方向向点匀速运动，点以每秒2个单位长度的速度从点沿方向向点匀速运动．作，设运动时间为，单位：s）． （1）运动过程中，的长为___________（用含的代数式表示） （2）连接，若，则的值为___________． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（本题6分）（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）用指定的方法解下列方程： （1）（公式法）； （2）（因式分解法）． 20．（本题6分）（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，直线、、分别交两条直线于点A，B，C，D，E，F，且， ，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21．（本题6分）（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）已知关于x的一元二次方程 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根为，，且，求k的值． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 22．（本题8分）（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，在中，，点P是BC边的一点，，且，连接DP并延长，交AC于E，交BA的延长线于F． （1）若，，求的长； （2）求证：． 23．（本题8分）（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． （1）求出的面积； （2）请以点为位似中心作一个与位似的，使得的面积为12．（作出一个符合题意的图形即可） 24．（本题8分）（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，四边形为平行四边形，为边上一点，连接，，它们相交于点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 五、解答题（三）（本大题共2小题，共24分） 25．（本题11分）（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）某超市以每个30元的价格购进A种商品，销售数据表明：当每个A种商品售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． （1）若售价下降5元，每月能售出 个A种商品，若售价下降元（），每月能售出 个A种商品； （2）若本月最多购进有1210个A种商品，经销商决定降价促销，预计月获利恰好为8400元，求每个A种商品的售价； （3）经销商月获利能否达到9600元？说明理由． 26．（本题13分）（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）如图，平行四边形在平面直角坐标系中，，若、的长是关于x的一元二次方程的两个根，且． （1）求的值． （2）若E为x轴上的点，且，求点E的坐标，并判断与是否相似？ （3）平面内是否存在点M，使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形？如果有请直接写出点M的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $