第三章 图形的相似 基础过关自测卷-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

第三章 图形的相似基础过关自测卷 （考试时间：60分钟 试卷满分：100分） 1． 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知、、、为成比例线段，其中，，，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据四条线段成比例的顺序列出比例式，代入已知线段长度计算即可得到结果． 【详解】解：∵、、、为成比例线段，根据定义可得， ∴将，，代入得， 解得． 2．若 ，则 的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对已知比例式变形，推导得到与的关系，即可求出 的值． 【详解】解：， 根据比例的基本性质交叉相乘得：， 展开得， 移项化简得， 等式两边同时除以得， ． 3．如图，已知．下列图形中与相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用三边对应成比例的两个三角形相似，即可得出结果. 【详解】解：的顶角度数未知，故C,D选项中的三角形不一定与相似； ∵， 故A选项中的三角形与不相似； ∵， 故B选项中的三角形与相似. 4．如图所示，在中，，若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，再证明，由相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．如图是一张横格数学作业纸，纸中的横线都平行，且相邻两条横线间的距离都相等．直线和作业纸的横格交于点、、．若线段，则线段的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵纸中的横线都平行，且相邻两条横线间的距离都相等， ∴， ∵线段， ∴． 6．小孔成像是利用光的直线传播实现实物投影的一种方法．如图，蜡烛（竖直放置）燃烧的火焰经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．若，小孔O到的距离为，小孔O到像的距离为，则火焰的高为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴，即， 解得：． 7．黄金分割是汉字结构基本的规律．借助如图所示的正方形习字格书写的汉字“彩”端庄稳重、舒展美观．已知点为习字格边框的黄金分割点（），则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由黄金分割的定义列式后，逐项验证即可． 【详解】解：由题意可知，则四个选项中只有正确． 8．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（     ） A． B．点C、点O、点三点在同一直线上 C． D． 【答案】C 【详解】解：A、以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到， 则，本选项说法正确，不符合题意； B、与是位似图形， 三点在同一直线上，本选项说法正确，不符合题意； C、，相似比为， ， ，本选项说法错误，符合题意； D、与是位似图形， ，本选项说法正确，不符合题意． 9．如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形是以原点O为位似中心的位似图形．若点的对应点为，则点的对应点B的坐标为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵点的对应点为， ∴，， ∵点B的对应点为， ∴，， ∴点B的坐标为． 10．如图，在纸片中，，裁出了两个边长分别为3和2的正方形M和N，则边的长为（    ） A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 【答案】A 【分析】利用正方形性质得平行线，构建相似三角形求解即可． 【详解】解：由正方形性质可得，，，，， ， ， ， ， ， 解得， ， ， ， ， ， ． 二．填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．如图，四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应，则的度数为________． 【答案】 【分析】由相似多边形的性质得出，，再由四边形内角和为求解即可． 【详解】解：∵四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应， ∴，， ∴． 12．如图，已知，直线分别交1、2、3于、、，直线分别交1、2、3于、、，，，，那么_________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得． 13．如图，在平面直角坐标系中，，，以原点O为位似中心画一个三角形，使它与位似，位似比为，则点B的对应点的坐标是________． 【答案】或 【分析】根据平面直角坐标系中位似变换的性质，若位似中心为原点，位似比为k， 则对应点坐标为原坐标乘以k或者． 【详解】解：位似中心为原点O， 位似比为 位似变换的比值为或， ∵， ∴当时，则，即， 当时，则，即． 综上：则点B的对应点的坐标是或． 14．如图，在矩形中，，，点是的中点，连接，平分交于点，连接，则的长为______． 【答案】 【分析】延长，交延长线于点，由矩形性质可得，，，，则，所以，通过勾股定理求得，然后由角平分线定义和平行线的性质得，所以，故，然后代入求得，最后通过勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，延长，交延长线于点， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，即的长为． 三．解答题（本题共7小题，第15-第20题每小题8分，第21题10分，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由． (1)，，；，，． (2)，． 【答案】(1)，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴； (2)与不一定相似，理由如下： ∵，， ∴， ∵两组边的夹角与的大小关系不确定， ∴与不一定相似． 【详解】（1）略 （2）略 16．如图，在六边形中，是边的中点．以点为位似中心，画出与六边形的位似比为的一个位似六边形． 【答案】如图：六边形即为所求(答案不唯一) 【分析】连接、、、，再分别取、、、、、的中点，然后依次连接各中点即可． 【详解】解：六边形上的点、、、、、和六边形上的点、、、、、分别对应，并且它们的连线、、、、、都经过同一点，且， 故六边形与六边形是位似图形，位似比为． 17．如图，在平面直角坐标系中，给出了格点(顶点均在正方形网格的格点上)，已知点的坐标为． (1)画出关于轴对称的． (2)以点为位似中心，在给定的网格中画，使与位似，且点的坐标为． (3)与的相似比是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据关于轴对称点的坐标特点，分别求出点，，的坐标，顺次连接即可； （2）根据关于原点位似的坐标特点，分别求出点，，的坐标，顺次连接即可； （3）根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 由图可知，，，，则关于轴的对称点，，，顺次连接即是； （2）解：如图，即为所求； 根据题意，，，，顺次连接即是； （3）解： 与位似，点 ，点 ， ，， ， 则与的相似比是． 18．如图，陆涛为了测一铁塔的高度，他在自己与铁塔间的地面上平放一面镜子，并在镜子上做一个标记O，然后他看着镜子来回移动，直至看到铁塔顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合，这时，他测得，又知他身高，请你帮他算出铁塔的高度． 【答案】 【分析】证明，利用相似三角形的对应边相等解答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即铁塔的高度为． 19．如图，在中，D为上一点，E为上一点，且，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1) 证明：， ， ，， ， ， ； (2) 【分析】对于本题重点，掌握相似三角形的判定定理1，以及相似三角形的对应边成比例的性质． （1）根据两角对应相等，两三角形相似证明即可； （2）根据得到，然后求出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：在（1）中已证明， ， ，，， ， ． 20．如图，在中，，于点D，M在边上，与交于点E，作交于点N． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又由（1）可知：， ∴． 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键： （1）根据同角的余角相等即可得证； （2）根据同角的余角相等，得到，结合（1）中的结论，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 21．在正方形中，点在的延长线上，点在边上，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若，求的值； (3)如图2，交于点，若，求的值． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，证明出，即可得到； （2）首先得到是等腰直角三角形，求出，，然后结合求出，证明出，进而求解即可； （3）延长，交于点H，设，则，证明，得到，然后证明，得到． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，延长，交于点H， 设，则， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，即 ∴， ∴， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 图形的相似基础过关自测卷 （考试时间：60分钟 试卷满分：100分） 1． 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知、、、为成比例线段，其中，，，则为（     ） A． B． C． D． 2．若 ，则 的值是（     ） A． B． C． D． 3．如图，已知．下列图形中与相似的是（     ） A． B． C． D． 4．如图所示，在中，，若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．如图是一张横格数学作业纸，纸中的横线都平行，且相邻两条横线间的距离都相等．直线和作业纸的横格交于点、、．若线段，则线段的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．小孔成像是利用光的直线传播实现实物投影的一种方法．如图，蜡烛（竖直放置）燃烧的火焰经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．若，小孔O到的距离为，小孔O到像的距离为，则火焰的高为（     ） A． B． C． D． 7．黄金分割是汉字结构基本的规律．借助如图所示的正方形习字格书写的汉字“彩”端庄稳重、舒展美观．已知点为习字格边框的黄金分割点（），则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 8．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（     ） A． B．点C、点O、点三点在同一直线上 C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形是以原点O为位似中心的位似图形．若点的对应点为，则点的对应点B的坐标为（       ） A． B． C． D． 10．如图，在纸片中，，裁出了两个边长分别为3和2的正方形M和N，则边的长为（    ） A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 二．填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．如图，四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应，则的度数为________． 12．如图，已知，直线分别交1、2、3于、、，直线分别交1、2、3于、、，，，，那么_________． 13．如图，在平面直角坐标系中，，，以原点O为位似中心画一个三角形，使它与位似，位似比为，则点B的对应点的坐标是________． 14．如图，在矩形中，，，点是的中点，连接，平分交于点，连接，则的长为______． 三．解答题（本题共7小题，第15-第20题每小题8分，第21题10分，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由． (1)，，；，，． (2)，． 16．如图，在六边形中，是边的中点．以点为位似中心，画出与六边形的位似比为的一个位似六边形． 17．如图，在平面直角坐标系中，给出了格点(顶点均在正方形网格的格点上)，已知点的坐标为． (1)画出关于轴对称的． (2)以点为位似中心，在给定的网格中画，使与位似，且点的坐标为． (3)与的相似比是 ． 18．如图，陆涛为了测一铁塔的高度，他在自己与铁塔间的地面上平放一面镜子，并在镜子上做一个标记O，然后他看着镜子来回移动，直至看到铁塔顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合，这时，他测得，又知他身高，请你帮他算出铁塔的高度． 19．如图，在中，D为上一点，E为上一点，且，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 20．如图，在中，，于点D，M在边上，与交于点E，作交于点N． (1)求证：； (2)求证：． 21．在正方形中，点在的延长线上，点在边上，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若，求的值； (3)如图2，交于点，若，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $