第三章 图形的相似 单元基础自测卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

第三章 图形的相似【单元基础自测卷】 考试时间：120分钟　　满分：120分 适用：北师大版新教材九年级单元基础测试 1、 选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分。请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1．（26-27九年级上·全国·单元测试）下列四条线段是成比例线段的是（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】根据成比例线段的定义，若最短线段与最长线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则这四条线段是成比例线段，据此逐项判断即可． 解：、，不是成比例线段，故选项不符合题意； B、，不是成比例线段，故选项不符合题意； C、，不是成比例线段，故选项不符合题意． D、，是成比例线段，故选项符合题意． 2．（25-26九年级上·山东青岛·期末）下列每个选项中的两个图形一定相似的是（   ） A．两个等腰三角形 B．两个正方形 C．两个矩形 D．两个平行四边形 【答案】B 【分析】本题考查相似图形的判定，需依据相似图形“对应角相等、对应边成比例”的定义逐项分析判断． 解： ∵相似图形的定义为对应角相等且对应边成比例． A选项：两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例， ∴不一定相似． B选项：两个正方形的每个内角均为，对应角相等，且各边都相等，对应边的比为定值， ∴一定相似． C选项：两个矩形的对应角相等，但对应边不一定成比例， ∴不一定相似． D选项：两个平行四边形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例， ∴不一定相似． 故选：B． 3．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，点，分别在，上，且，以下结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 根据平行线间线段成比例，相似三角形的判定与性质，逐项分析判断即可． 解：∵， ∴，，故C正确， ∴，，故A，B，D错误． 故选C． 4．（25-26九年级上·河南许昌·期末）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用相似三角形的判定定理，逐项进行判断即可． 解：A．阴影三角形的外角为，根据三角形外角定理，阴影三角形的一个内角等于．角与原三角形的相等，且阴影三角形与原三角形共享．根据两角对应相等，阴影三角形与相似． B．阴影三角形的外角为，其内角为，与原三角形的相等，且共享．根据两角对应相等，阴影三角形与相似． C．阴影三角形与原三角形共享，夹的两边为上的和上的．原三角形夹的两边比为，阴影三角形夹的两边比为．两组边的比例相同，但所夹的角不相等，不满足两边对应成比例且夹角相等的相似判定．图中无额外等角信息，无法用两角对应相等判定相似．所以，阴影三角形与不相似． D．阴影三角形与原三角形共享，夹的两边为上的（，截取了）和上的（，截取后剩余）得阴影三角形两边比：（或逆序）．原三角形两边比：；若按对应阴影边、对应阴影边，比例为，满足两边对应成比例及其夹角相等，两三角形相似，所以，阴影三角形与相似． 5．（25-26九年级上·上海虹口·阶段检测）透过一个倍放大镜看，放大后（   ） A．的大小是原来的倍 B．的值不变 C．周长不变 D．面积是原来的倍 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键，相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比．根据相似三角形的性质逐项判断即可． 解： 放大镜倍放大相当于相似变换，放大比例为， 不变，故A错误； 和均放大倍， 的值不变，故B正确； 各边均放大倍， 周长变为原来的倍，故C错误； 面积比等于相似比的平方， 面积变为原来的倍，故D错误． 故选： B． 6．（2026·山西阳泉·三模）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，在原点O的另一侧按的相似比将缩小得到，点E，F的对应点分别为，．若，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据位似图形的性质，结合已知点的坐标以及位似比，求出点的坐标即可． 解：∵以原点为位似中心，将按的相似比缩小得到， ∴点的坐标是，即． 7．（25-26九年级下·重庆·期中）如图，线段上的一点C把分割为两条线段，当满足时，则称点C是线段的黄金分割点．某校园有一条笔直的林荫道全长110米，园艺队计划在林荫道旁安装一款景观灯，景观灯的位置为线段上的点C，设米，且该景观灯恰好是林荫道的黄金分割点，则x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 解：设米，则米， 又， ， 整理得：． 8．（25-26九年级上·广东深圳·期末）活动课上，创新小组根据“伐木工十字法”设计了如下测高方法： ①将两根小木棍，垂直摆放； ②将水平木棍的端点D放在眼睛H的正下方，移动位置，直到树根F与点B重合，树冠E与点A重合； ③测量此时树与人之间的水平距离． 若测得两根小木棍与的长度比为，的长度为，则树的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 利用相似三角形原理测高，根据木棍长度比和水平距离，直接计算树高即可． 解：， ， ， ， 故选：B． 9．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图所示，在中，，点P在边上（点P不与B，C重合，且，将沿翻折变为，交于点M，交于点N．则下列结论中，不一定正确的是（    ）    A．平分 B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据翻折的性质可得，，，再根据三角形外角的性质得，即可得，判断A；然后根据两个角相等的两个三角形相似判断B；根据三角形内角和定理判断C；最后根据和的关系判断D即可． 解：根据翻折的性质可得，，． ∵是的外角，是的外角， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴平分． 可知A正确； ∵， ∴． ∵， ∴∽. 则B正确； ∵，，且，， ∴． 可知C正确； 无法确定和的关系， ∴无法确定和的关系． 可知D不正确． 故选：D． 【点拨】本题主要考查了翻折的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，相似三角形的判定，三角形内角和等，理解翻折的性质是解题的关键． 10．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）在四边形中，对角线与交于，过点作的平行线，交、于、．若，与的面积比为，则的长是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行得到△PDC∽△PAB，可得，以及CD=1，再证明△AMP∽△ADC，△BPN∽△BDC，得到，，可得MP和NP，从而得到MN． 解：∵DC∥AB， ∴△PDC∽△PAB， ∵， ∴，又AB=2， ∴CD=1， ∵MN∥AB， ∴MN∥CD， ∴△AMP∽△ADC，△BPN∽△BDC， ∴，， ∴，， ∴MP=，NP=， ∴MN=MP+NP=， 故选C． 【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据平行线找出符合题意的相似三角形，得到线段之间的关系． 2、 填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11．（24-25九年级上·上海宝山·阶段检测）如果，是a、c的比例中项，那么__________． 【答案】 【分析】本题考查比例中项，掌握定义是解题关键．根据比例中项的概念，得，再利用比例的基本性质计算得到所求． 解：是a、c的比例中项， , ． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，在和中，，请添加一个条件：______，使． 【答案】（或或） 【点拨】本题考查了相似三角形的判定，根据已知可得，根据相似三角形的判定定理，添加条件，即可求解． 解：∵， ∴，即， 添加条件，则； 添加条件，则； 添加条件，则； 故答案为：（或或）． 13．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在竖格线上．若线段，则线段的长为__________． 【答案】/厘米 【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果． 解：如图： 由题意可得， ∵相邻两条竖格线间的距离都相等， ∴， ∵， ∴． 14．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，的三个顶点均在网格的格点上，请选三个格点组成一个格点三角形，它与有一条公共边且相似（不全等），则这个格点三角形是_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定，由，，判定． 解：这个格点三角形可以是（答案不唯一），理由如下： 由勾股定理得：， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 15．（25-26八年级下·山东泰安·期末）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点与成位似关系，则位似中心的坐标为__________． 【答案】 【分析】对应顶点连线的交点即为位似中心，由此可解． 解：如图，与的交点D即为位似中心，坐标为， 16．（2026·江苏南通·中考真题）如图，在正方形中，是的中点，点在上，，垂足为．若，则正方形的边长为________． 【答案】 【分析】设正方形的边长为，先利用正方形的性质和勾股定理求得，则，证明得到，进而求得即可解答． 解：设正方形的边长为，则，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴正方形的边长为． 三、解答题（本大题有7小题，第17题6分，第18~19题每题8分，第20~21题每题10分，第22~23题每题12分，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 17．（6分）（25-26九年级上·湖南张家界·期中）如图，，直线这与三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．已知求的长． 【答案】8 【分析】根据平行线分线段成比例列式计算即可． 解：∵， ∴， ∵ ∴， 解得： 即的长为8． 【点拨】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 18．（8分）（25-26九年级下·安徽安庆·阶段检测）詹记桃酥是合肥知名传统糕点，其历史可追溯至1896年清代光绪年间徽州府婺源县詹氏家族开设的手作传统糕点店，享有“宫廷桃酥”之美誉，品尝过詹记桃酥的游客纷纷赞道：“每一片桃酥都藏有惊喜，每一处詹记桃酥店都蕴含着‘皖’式魅力”．据报道，近期某詹记桃酥店推出了圆形和三角形两款桃酥，如图，将一块三角形桃酥放在平面直角坐标系中，其顶点坐标分别为，，． （1）以点为位似中心，把按放大，在轴右侧得，请画出； （2）画出关于轴对称的． 【答案】（1）如图所示． （2）如图所示． 【分析】（1）根据位似图形的作图方法作图即可． （2）根据轴对称的作图方法作图即可． 解：（1）略 （2）略 19．（8分）（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，，垂足为D． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴； （2） 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意得，进而问题可求证； （2）根据（1）中相似，然后结合相似三角形的性质可进行求解． 解：（1）略 （2）∵， ∴ ∵，， ∴， ∴． 20．（10分）（24-25九年级上·河南新乡·期中）如图，经过的顶点A，，，交于D，交于E，连结． （1）求证：； （2）如果 ，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴，， ∴， ∴， 同理：． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， （2） 【分析】（1）先利用平行线的性质以及相似三角形的判定及性质证明，从而有，进而利用相似三角形的判定即可得证； （2）由（1）的结论，结合相似三角形的性质得到，可求得及，即可得解． 本题主要考查平行线的性质、相似三角形的性质和判定以及比例线段的性质，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 解：（1）略 （2）解：∵，，． ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∴， ∴． 21．（10分）（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，于点D，M在边上，与交于点E，作交于点N． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又由（1）可知：， ∴． 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键： （1）根据同角的余角相等即可得证； （2）根据同角的余角相等，得到，结合（1）中的结论，即可得证． 解：（1）略 （2）略 22．（12分）（25-26九年级上·湖南永州·期中）如图，在中，，，，点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为秒． （1）求的长； （2）当为何值时，与相似？ （3）连接，当为何值时，？ 【答案】（1）10；（2）或；（3） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理： （1）直接利用勾股定理解答即可； （2）分两种情况，结合相似三角形的性质解答即可； （3）根据当时，可得，即可求解． （1）解：在中，∵，，， ∴． （2）解：由题意得，，， 因此， 与相似有两种情况， ①当时，， 即， 解得； ②当时，， 即， 解得； 综上所述，当为或时，与相似； （3）解：当时，， 由（2）可知，． 所以当为时，． 23．（12分）（25-26九年级上·河南周口·期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形． （1）如图 1，在 中， 直线 l 经过点A，BD⊥直线 l，CE⊥直线l，垂足分别为 D、E．求证： （2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢? 如图2，将（1）中的条件做以下修改：在 中， D、A、E 三点都在直线l 上，并且有 ，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗? 若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）解：（1）证明：∵直线l，直线l， ∴． ∵，∴． 又∵，∴． 在和中，， ∴，∴． （2）成立． 证明：∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】（1）根据题意证明即可求解； （2）同理证明即可求解． 此题主要考查考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据两角相等得到三角形相似． 解：（1）略 （2）略 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 图形的相似【单元基础自测卷】 考试时间：120分钟　　满分：120分 适用：北师大版新教材九年级单元基础测试 1、 选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分。请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1．（26-27九年级上·全国·单元测试）下列四条线段是成比例线段的是（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．（25-26九年级上·山东青岛·期末）下列每个选项中的两个图形一定相似的是（   ） A．两个等腰三角形 B．两个正方形 C．两个矩形 D．两个平行四边形 3．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，点，分别在，上，且，以下结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河南许昌·期末）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·上海虹口·阶段检测）透过一个倍放大镜看，放大后（   ） A．的大小是原来的倍 B．的值不变 C．周长不变 D．面积是原来的倍 6．（2026·山西阳泉·三模）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，在原点O的另一侧按的相似比将缩小得到，点E，F的对应点分别为，．若，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级下·重庆·期中）如图，线段上的一点C把分割为两条线段，当满足时，则称点C是线段的黄金分割点．某校园有一条笔直的林荫道全长110米，园艺队计划在林荫道旁安装一款景观灯，景观灯的位置为线段上的点C，设米，且该景观灯恰好是林荫道的黄金分割点，则x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·广东深圳·期末）活动课上，创新小组根据“伐木工十字法”设计了如下测高方法： ①将两根小木棍，垂直摆放； ②将水平木棍的端点D放在眼睛H的正下方，移动位置，直到树根F与点B重合，树冠E与点A重合； ③测量此时树与人之间的水平距离． 若测得两根小木棍与的长度比为，的长度为，则树的高度为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图所示，在中，，点P在边上（点P不与B，C重合，且，将沿翻折变为，交于点M，交于点N．则下列结论中，不一定正确的是（    ）    A．平分 B． C． D． 10．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）在四边形中，对角线与交于，过点作的平行线，交、于、．若，与的面积比为，则的长是（  ） A． B． C． D． 2、 填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11．（24-25九年级上·上海宝山·阶段检测）如果，是a、c的比例中项，那么__________． 12．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，在和中，，请添加一个条件：______，使． 13．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在竖格线上．若线段，则线段的长为__________． 14．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，的三个顶点均在网格的格点上，请选三个格点组成一个格点三角形，它与有一条公共边且相似（不全等），则这个格点三角形是_______． 15．（25-26八年级下·山东泰安·期末）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点与成位似关系，则位似中心的坐标为__________． 16．（2026·江苏南通·中考真题）如图，在正方形中，是的中点，点在上，，垂足为．若，则正方形的边长为________． 三、解答题（本大题有7小题，第17题6分，第18~19题每题8分，第20~21题每题10分，第22~23题每题12分，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 17．（6分）（25-26九年级上·湖南张家界·期中）如图，，直线这与三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．已知求的长． 18．（8分）（25-26九年级下·安徽安庆·阶段检测）詹记桃酥是合肥知名传统糕点，其历史可追溯至1896年清代光绪年间徽州府婺源县詹氏家族开设的手作传统糕点店，享有“宫廷桃酥”之美誉，品尝过詹记桃酥的游客纷纷赞道：“每一片桃酥都藏有惊喜，每一处詹记桃酥店都蕴含着‘皖’式魅力”．据报道，近期某詹记桃酥店推出了圆形和三角形两款桃酥，如图，将一块三角形桃酥放在平面直角坐标系中，其顶点坐标分别为，，． （1）以点为位似中心，把按放大，在轴右侧得，请画出； （2）画出关于轴对称的． 19．（8分）（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，，垂足为D． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20．（10分）（24-25九年级上·河南新乡·期中）如图，经过的顶点A，，，交于D，交于E，连结． （1）求证：； （2）如果 ，求的长． 21．（10分）（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，于点D，M在边上，与交于点E，作交于点N． （1）求证：； （2）求证：． 22．（12分）（25-26九年级上·湖南永州·期中）如图，在中，，，，点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为秒． （1）求的长； （2）当为何值时，与相似？ （3）连接，当为何值时，？ 23．（12分）（25-26九年级上·河南周口·期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形． （1）如图 1，在 中， 直线 l 经过点A，BD⊥直线 l，CE⊥直线l，垂足分别为 D、E．求证： （2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢? 如图2，将（1）中的条件做以下修改：在 中， D、A、E 三点都在直线l 上，并且有 ，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗? 若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $