3.4 相似三角形的性质 讲义 -2026-2027学年北师大版九年级数学上册

3.4 相似三角形的性质（知识解读） 【新教材北师大版】 题型归纳 【题型 1··证明三角形的对应线段成比例】 2 【题型 2·利用相似三角形的性质求解】 4 【题型 3·相似三角形的判定与性质综合】 7 【题型 4·在网格中画与己知三角形相似的三角形】 10 【题型 5·相似三角形--动点问题】 16 【题型 6·相似三角形实际应用】 19 【题型 7·相似三角形的综合问题】 24 知识点1 相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一： ∽，则 由比例性质可得： 图一 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，∽，则分别作出与的高和，则 图二 注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 知识点2 射影定理 射影定理：如图，Rt△ABC，∠C＝90º，CD⊥AB 则，1．CD2＝AD·BD 2．BC2＝BD·AB AC2＝AD·AB 很容易推出：．AC·BC＝AB·CD．BC2＋AC2＝AB2．． AC＋BC＜AB＋CD． 用图中小写字母a、b、c、p、q、h（常称为勾股六线段）表达以上关系： ① h2＝pq ；② a2＝pc ；③ b2＝qc ；④ ；⑤ ab＝ch ； ⑥ a2＋b2＝c2 ；⑦ ；⑧ a＋b＜c＋h；⑨ c＝p＋q． 利用上述关系式， “知二可求四” ，即在a、b、c、p、q、h这六个量中，已知两个量就可求出其余四个量来。同学们自己可任意设出两个量，练习求另外四个量（在设的时候，要注意构成直角三角形的基本条件：斜边大于直角边 【题型 1··证明三角形的对应线段成比例】 【例1】如图，平行四边形中，，，点E，F分别在，上，若，，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．5 【变式1-1】若两个相似三角形的对应中线之比为，则它们的对应高之比为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，已知D、E分别在的、边上，，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，，，那么与的相似比为_______．    【题型 2·利用相似三角形的性质求解】 【例2】如图，，，分别是的高和中线，，分别是的高和中线，且，，，则的长为_______． 【变式2-1】若两个相似三角形的相似比为，则这两个相似三角形周长的比为____________，面积的比为____________． 【变式2-3】如图，等边三角形的边长为，为边上的一点，，为边上的一点，连接，，若，则的长为______． 【变式2-3】如图，中，D为的中点，点E在上，且，要使以A、D、E为顶点的三角形与相似，则_____． 【题型 3·相似三角形的判定与性质综合】 【例3】如图，在中，，点D在边上，且．若，，求线段的长． 【变式3-1】如图，在中，点D是上一点，且， (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式3-2】如图，在中，，，求的面积． 【变式3-3】如图所示，在矩形中，E是上一点，于点F． (1)求证：． (2)若，点E是边的中点，求的长． 【题型 4·在网格中画与己知三角形相似的三角形】 【例4】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)如图①， ． (2)如图②，在上找一点F，使． (3)如图③，在上找一点M，连结、，使． 【变式4-1】如图1，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，是格点三角形（顶点在方格顶点处）． (1)在图2中画出一个格点，使，周长之比为，并直接写出的面积_________________； (2)在图3中画出一个格点，使，面积之比为，并直接写出的周长_______________． 【变式4-2】图1，图2是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，为格点三角形（三角形的顶点均在格点上）．请按下列要求画出图形． (1)在图1中画出格点，使得，相似比为； (2)在图2中画出格点，使得，面积比为． 【变式4-3】如图是由边长为1的小正方形组成的 的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成两个画图任务． (1)在图 1 中，画，使点E在格点上，且与相似，且相似比为2；（只需画出一个即可） (2)在图 2 中，线段上找一点P，使（保留作图痕迹）． 【题型 5·相似三角形--动点问题】 【例5】如图，，，，．点P从点C出发，以的速度沿向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止． (1)求经过几秒，的面积等于面积的？ (2)求经过几秒，与相似？ 【变式5-1】如图，．点在上移动，当以，为顶点的三角形与相似时，则的长为_____． 【变式5-2】如图，已知中，，，，点由点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从出发沿方向以的速度向点运动．连接，设运动的时间为（单位：）（其中）．当为何值时，与相似（     ） A． B． C．或 D．或 【变式5-3】如图，在直角梯形中，，，，，．能否在上找到一点P，使图中阴影部分的两个三角形相似？如果能，请找出这样的点P；如果不能，请说明理由． 【题型 6·相似三角形实际应用】 【例6】法门寺位于炎帝故里、青铜器之乡——宝鸡市扶风县，始建于东汉末年桓灵年间，距今约有多年历史，法门寺被誉为“关中塔庙始祖”，其中的“真身宝塔”是全国重点保护文物、某数学兴趣小组开展了“测量真身宝塔高度”的实践活动，在点处垂直于地面竖立一根高度为米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上，测得米，将标杆向右平移到点处，这时地面上的点，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上（点，点，点，点与塔底处的点在同一直线上），这时测得米，米． (1)请计算标杆与“真身宝塔”的距离的值？ (2)“真身宝塔”的高度是多少？ 【变式6-1】小军想用镜子测量一棵古松树的高度，但因树旁有一条小河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他利用镜子进行两次测量，如图，第一次他把镜子放在点处，他在点处正好在镜中看到树尖的像；第二次他把镜子放在点处，他在点处正好在镜中看到树尖的像．已知，，，小军的眼睛距地面（即），量得，求这棵古松树的高度．（镜子大小忽略不计） 【变式6-2】如图是一个照相机成像的示意图，像高，景物高为，为水平视线，根据物体成像原理可知：． (1)当焦距是时，能拍摄外（物距）高为多少的景物? (2)若要完整地拍摄高为的景物，物距为，像高不变，则照相机的焦距应调整为多少毫米? 【变式6-3】【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 【题型 7·相似三角形的综合问题】 【例7】如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E，点F分别在线段AB，AD上，且∠EFD＝∠BDF． （1）求证：△AFE∽△ADC． （2）若，，且∠AFE＝∠C，探索BE和DF之间的数量关系． 【变式7-1】如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【变式7-2】如图，在中，，D，E分别为，边上的点，连接，，，过点A作交于点F． (1)求证：； (2)若D是的中点，，，求的长． 【变式7-3】如图，等边三角形的边长为3，是边上的一点且，现将折叠，使得点与点重合，折痕为，点、分别在和上． (1)求证：； (2)求线段的长． 随堂检测c 1．已知，且，则与的周长比是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，点D、E分别是、的中点，则下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，矩形的边上有一点，连接并延长交的延长线于点．已知的面积为，且的面积与的面积比为，则矩形的面积为（     ） A．27 B．36 C．24 D．38 4．如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，且落点恰好在离网的位置上．已知网高为，击球点到网的水平距离为，若球的运动路线为直线的一部分，则球拍击球的高度为（     ） A． B． C． D． 5．如图，在同一时刻，身高的小丽在阳光下的影长为，一棵大树的影长为，则这棵大树的高度为（   ） A． B． C． D． 6．如图，中，，，点为的中点，连接，将沿翻折，使点落在同一平面内的点处，连接、，则的面积为（     ） A． B． C． D． 7．如图，将矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的点处．已知，，则为（     ） A． B． C． D． 8．如图，将沿方向平移得到，与重叠部分（图中阴影部分）的面积是的面积的．已知，则平移的距离为______． 9．如图，在中，，，，那么的值为______． 10．如图，在中，F在的延长线上，，那么________________． 11．如图，已知，，与分别是与的中线，与分别是与的角平分线，，，求，的长． 12．如图，已知，直线与相交于点O，点C、D分别在线段、上，且，，． (1)求的长； (2)若，，求的长． 13．如图，点在上，，且． (1)求证：； (2)连接，若，，则的长为___________． 14．如图，在平行四边形中，为边上的点（不与点，重合），连接并延长，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，且的面积为1，求四边形的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.4 相似三角形的性质（知识解读） 【新教材北师大版】 题型归纳 【题型 1··证明三角形的对应线段成比例】 2 【题型 2·利用相似三角形的性质求解】 4 【题型 3·相似三角形的判定与性质综合】 7 【题型 4·在网格中画与己知三角形相似的三角形】 10 【题型 5·相似三角形--动点问题】 16 【题型 6·相似三角形实际应用】 19 【题型 7·相似三角形的综合问题】 24 知识点1 相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一： ∽，则 由比例性质可得： 图一 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，∽，则分别作出与的高和，则 图二 注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 知识点2 射影定理 射影定理：如图，Rt△ABC，∠C＝90º，CD⊥AB 则，1．CD2＝AD·BD 2．BC2＝BD·AB AC2＝AD·AB 很容易推出：．AC·BC＝AB·CD．BC2＋AC2＝AB2．． AC＋BC＜AB＋CD． 用图中小写字母a、b、c、p、q、h（常称为勾股六线段）表达以上关系： ① h2＝pq ；② a2＝pc ；③ b2＝qc ；④ ；⑤ ab＝ch ； ⑥ a2＋b2＝c2 ；⑦ ；⑧ a＋b＜c＋h；⑨ c＝p＋q． 利用上述关系式， “知二可求四” ，即在a、b、c、p、q、h这六个量中，已知两个量就可求出其余四个量来。同学们自己可任意设出两个量，练习求另外四个量（在设的时候，要注意构成直角三角形的基本条件：斜边大于直角边 【题型 1··证明三角形的对应线段成比例】 【例1】如图，平行四边形中，，，点E，F分别在，上，若，，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形中的性质，相似三角形的对应边成比例．先根据平行四边形的性质得到，，然后根据相似三角形的对应边成比例解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， 解得， 故答案为：B． 【变式1-1】若两个相似三角形的对应中线之比为，则它们的对应高之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的对应边成比例，对应边包括角平分线、中线、高以及边长和周长等，据此作答即可． 【详解】解：依题意，因为两个相似三角形的对应中线之比为， 所以它们的对应高之比为， 故选：A． 【变式1-2】如图，已知D、E分别在的、边上，，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例．根据相似三角形的对应边成比例列式解答即可． 【详解】解：， ， ， A、C、D不符合题意，B符合题意， 故选：B． 【变式1-3】如图，，，那么与的相似比为_______．    【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明，结合已知求出，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴为相似比， ∵， ∴，即相似比为， 故答案为：． 【题型 2·利用相似三角形的性质求解】 【例2】如图，，，分别是的高和中线，，分别是的高和中线，且，，，则的长为_______． 【答案】4.5 【详解】解：∵，，分别是的高和中线，，分别是的高和中线， ∴，即， ∴． 【变式2-1】若两个相似三角形的相似比为，则这两个相似三角形周长的比为____________，面积的比为____________． 【答案】 【分析】利用相似三角形的性质：周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，结合已知相似比计算即可． 【详解】解：相似三角形的周长比等于相似比，两个相似三角形的相似比为， 这两个相似三角形周长的比为； 相似三角形的面积比等于相似比的平方， 面积比为． 【变式2-3】如图，等边三角形的边长为，为边上的一点，，为边上的一点，连接，，若，则的长为______． 【答案】 【分析】由等边三角形性质得出及三角形的边长，结合利用外角性质证明，从而证得，利用对应边成比例求解． 【详解】解： ∵为等边三角形， ∴， ，， ∴， ， ∵是的外角， ∴ ， 又∵，且 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 在和中， ， ∴ ， ∴ ； 即 ， ∴． 【变式2-3】如图，中，D为的中点，点E在上，且，要使以A、D、E为顶点的三角形与相似，则_____． 【答案】 或 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质. 根据题意可知为公共角，要使以、、为顶点的三角形与相似，需分两种情况进行讨论：一是，二是. 利用线段中点的定义求出的长，再根据相似三角形对应边成比例列出方程求解即可． 【详解】解：点为的中点，， ， ， 要使以、、为顶点的三角形与相似， 分两种情况讨论： 当时， ， 即， 解得； 当时， ， 即， 解得， 综上所述，的长为或 ． 【题型 3·相似三角形的判定与性质综合】 【例3】如图，在中，，点D在边上，且．若，，求线段的长． 【答案】 【分析】证明，可得，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴ 解得． 【变式3-1】如图，在中，点D是上一点，且， (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】（1）可证明，结合，即可证明； （2）根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∴， ∵， ∴． 【变式3-2】如图，在中，，，求的面积． 【答案】的面积为18 【分析】利用平行四边形的性质结合相似三角形的判定与性质得出，进而求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ，， ． ， ， ． ， ． 【变式3-3】如图所示，在矩形中，E是上一点，于点F． (1)求证：． (2)若，点E是边的中点，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）根据矩形的性质、直角三角形的性质求出，，根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得解； （2）由矩形的性质得，，根据勾股定理求出，再根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形，，点E是边的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 【题型 4·在网格中画与己知三角形相似的三角形】 【例4】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)如图①， ． (2)如图②，在上找一点F，使． (3)如图③，在上找一点M，连结、，使． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）证明，进而求解； （2）由勾股定理求出的长，根据构造相似比为的两个相似三角形求解； （3）根据相似三角形的判定和性质作图即可． 【详解】（1）解：由图可知，， ∴， ∴； （2）解：如图，， ∵， ∴，且相似比为， ∴； （3）解：如图， ∵， ∴，且相似比为， ∴， ∵，， ∴． 【变式4-1】如图1，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，是格点三角形（顶点在方格顶点处）． (1)在图2中画出一个格点，使，周长之比为，并直接写出的面积_________________； (2)在图3中画出一个格点，使，面积之比为，并直接写出的周长_______________． 【答案】(1)如图，即为所求作，； (2)如图，即为所求作，． 【分析】（1）根据相似三角形的性质，把的边长扩大2倍即可得，进而计算的面积， （2）根据相似三角形的性质，把的边长扩大倍即可得，进而计算的周长． 【详解】（1）解：作略， 的面积为； （2）解：作略， ∵，面积之比为， ∴和的相似比为， ∵，，， ∴，，， ∴的周长． 【变式4-2】图1，图2是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，为格点三角形（三角形的顶点均在格点上）．请按下列要求画出图形． (1)在图1中画出格点，使得，相似比为； (2)在图2中画出格点，使得，面积比为． 【答案】(1) 解：如图所示，即为所求， (2) 解：如图所示，即为所求， 【分析】（1）本题考查了相似三角形的性质． （1）根据相似三角形对应边成比例的性质，将原三角形各边扩大到原来的2倍来画出相似三角形； （2）先根据相似三角形面积比等于相似比的平方求出相似比，再据此画出相似三角形． 【详解】（1）略 （2）略 【变式4-3】如图是由边长为1的小正方形组成的 的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成两个画图任务． (1)在图 1 中，画，使点E在格点上，且与相似，且相似比为2；（只需画出一个即可） (2)在图 2 中，线段上找一点P，使（保留作图痕迹）． 【答案】(1) 作图如图，点即为所求作的点， (2) 作图如图，点P即为所求作的点， 【分析】本题主要考查了作图-相似变换，相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． (1)根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，进行画图即可； (2)取格点，，连接，，令的交点为F，连接与的交点即为P，即可解答． 【详解】（1）解：，， ，且相似比为2． （2）由图可知，四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴ ∴， 即． 【题型 5·相似三角形--动点问题】 【例5】如图，，，，．点P从点C出发，以的速度沿向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止． (1)求经过几秒，的面积等于面积的？ (2)求经过几秒，与相似？ 【答案】(1)2； (2)或 【分析】（1）设经过x秒，的面积等于面积的，根据题意列出关于x的一元二次方程即可求解； （2）设经过t秒，与相似，分①当 ，②当 ，分别列出比例式即可求解 【详解】（1）解：设经过x秒，的面积等于面积的， 由题意得：， 解得：， 答：经过2秒，的面积等于面积的， （2）解：设经过t秒，与相似， ①当 ，则， ∴，解得：； ②当 ，则， ∴，解得：； 综上所述，经过或秒，与相似． 【变式5-1】如图，．点在上移动，当以，为顶点的三角形与相似时，则的长为_____． 【答案】或或 【分析】根据题意，分两种情况：和，然后分别利用相似三角形的性质，对应线段成比例列出方程求解即可得出答案． 【详解】解：若， ∴， 设， ， ， 解得； 若， ∴， 设， ， ， 解得； 综上所述，的长度为或2或12. 【变式5-2】如图，已知中，，，，点由点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从出发沿方向以的速度向点运动．连接，设运动的时间为（单位：）（其中）．当为何值时，与相似（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题有公共角，先用含的代数式表示线段与的长度，再分两种相似对应情况进行分类讨论，根据相似三角形对应边成比例列方程求出的值． 【详解】解：，，， ． ， 分两种情况讨论． 当时， ，即， 解得， 当时， ，即， 解得， 综上所述，当为或时，与相似． 【变式5-3】如图，在直角梯形中，，，，，．能否在上找到一点P，使图中阴影部分的两个三角形相似？如果能，请找出这样的点P；如果不能，请说明理由． 【答案】存在，当时，阴影部分的两个三角形相似． 【分析】首先设，，根据题意分成两种情况，或，根据相似三角形对应边成比例列出方程，求解之后经过检验均满足符合题意． 【详解】解：能找到满足条件的点P，设，，由题意可知，可分为以下两种情况： 若， 则， 代入得， 解得， 若， 则， 代入得， 解得或， 综上所述：均满足符合题意，故上存在3个符合要求的点P，当时，阴影部分的两个三角形相似． 【题型 6·相似三角形实际应用】 【例6】法门寺位于炎帝故里、青铜器之乡——宝鸡市扶风县，始建于东汉末年桓灵年间，距今约有多年历史，法门寺被誉为“关中塔庙始祖”，其中的“真身宝塔”是全国重点保护文物、某数学兴趣小组开展了“测量真身宝塔高度”的实践活动，在点处垂直于地面竖立一根高度为米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上，测得米，将标杆向右平移到点处，这时地面上的点，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上（点，点，点，点与塔底处的点在同一直线上），这时测得米，米． (1)请计算标杆与“真身宝塔”的距离的值？ (2)“真身宝塔”的高度是多少？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）证明，，再根据相似三角形的性质定理建立等式求解即可； （2）根据可推出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点处垂直于地面竖立一根高度为米的标杆，将标杆向右平移到点处， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ∴标杆与“真身宝塔”的距离的值为米； （2）解：由（1）知：，， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴“真身宝塔”的高度是米． 【变式6-1】小军想用镜子测量一棵古松树的高度，但因树旁有一条小河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他利用镜子进行两次测量，如图，第一次他把镜子放在点处，他在点处正好在镜中看到树尖的像；第二次他把镜子放在点处，他在点处正好在镜中看到树尖的像．已知，，，小军的眼睛距地面（即），量得，求这棵古松树的高度．（镜子大小忽略不计） 【答案】 【分析】先证明，得出，再证明，得出，由，得出，继而求出的长度，代入即可求出的长度，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 解得：， 答：这棵古松树的高度为． 【变式6-2】如图是一个照相机成像的示意图，像高，景物高为，为水平视线，根据物体成像原理可知：． (1)当焦距是时，能拍摄外（物距）高为多少的景物? (2)若要完整地拍摄高为的景物，物距为，像高不变，则照相机的焦距应调整为多少毫米? 【答案】(1)能拍摄外高为的景物 (2)相机的焦距应调整为 【分析】（1）先证明，可得，将相关数据代入求解即可； （2）由（1）的关系式，将相关数据代入求解即可． 【详解】（1）解：， ． 又， ， ． ∵像高，焦距是，物距为， 解得， ∴能拍摄外高为的景物； （2）解：∵拍摄高为的景物，物距为，像高不变， ∴由（1）可得， 解得， ∴相机的焦距应调整为． 【变式6-3】【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (2)连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上 【分析】（1）根据，得出，根据可得，根据相似三角形的性质得出，即可证明； （2）过点作于，过点作于，根据等腰三角形“三线合一”的性质及勾股定理求出，根据，证明，得出，即可证明，根据相似三角形的性质求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：略 （2）解：如图，过点作于，过点作于， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上． 【题型 7·相似三角形的综合问题】 【例7】如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E，点F分别在线段AB，AD上，且∠EFD＝∠BDF． （1）求证：△AFE∽△ADC． （2）若，，且∠AFE＝∠C，探索BE和DF之间的数量关系． 【答案】 （1）证明：∵AD为∠BAC的平分线， ∴∠BAD=∠DAC， ∵∠EFD=∠BDF， ∴180°-∠EFD=180°-∠BDF， ∴∠AFE=∠ADC， 又∵∠BAD=∠DAC， ∴△AFE∽△ADC； （2）EB=2FD． 【分析】（1）由角平分线的性质得出∠BAD=∠DAC，再根据∠EFD=∠BDF得出∠AFE=∠ADC，进而根据两角分别相等的三角形相似可证； （2）由（1）中的相似及∠AFE=∠C得出∠AEF=∠AFE，进而根据等角对等边得出AE=AF，再根据及△AFE∽△ADC得出，再由，得出，即可得到结果． 【详解】解：（1）略 （2）由（1）得，△AFE∽△ADC， ∴∠AEF=∠C， ∵∠AFE=∠C， ∴∠AEF=∠AFE， ∴AE=AF， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴EB=2FD． 【点睛】本题考查相似三角形的性质及判定．第（1）问能根据角的等量代换得出角相等及熟练掌握相似三角形的判定是解题关键；第（2）问根据相似得出比例式及根据比例式得出线段的关系是解的关键． 【变式7-1】如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由平分，可得，由，可得，即可证得结论； （2）由，可得，则，再由三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【变式7-2】如图，在中，，D，E分别为，边上的点，连接，，，过点A作交于点F． (1)求证：； (2)若D是的中点，，，求的长． 【答案】(1)证明：， ， ∴． ， ， ∵． ， ． (2) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，因此，根据同角的余角相等得到，根据相似三角形的判定定理即可证明； （2）由得到，因此，即可求得．根据勾股定理求出，根据得到，即可求得，再根据直角三角形斜边上中线的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：是的中点， ∴ ∵， ∴， ∴，即， ∴． ∵在中，，， ∴． ， ，即， ． 是斜边的中点， ． 【变式7-3】如图，等边三角形的边长为3，是边上的一点且，现将折叠，使得点与点重合，折痕为，点、分别在和上． (1)求证：； (2)求线段的长． 【答案】(1)证明：是等边三角形， ，， 根据折叠可知， ， ， ， ， ， ． (2) 【分析】（1）根据等边三角形的性质可知，由折叠可知，从而说明，即可得证； （2）设，则，即，根据相似三角形相似比相等，分别表示，的长，再由列方程即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设，则， 根据折叠可知，， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 解得， 经检验，是所列方程的根， 即的长为． 随堂检测c 1．已知，且，则与的周长比是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的性质确定相似比，再利用两个相似三角形的周长比等于相似比，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴与的周长比等于对应边的比， ∴与的周长比为． 2．如图，在中，点D、E分别是、的中点，则下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的中位线定理得出是的中位线，再由中位线的性质得出，进而可得出结论： 【详解】∵在△ABC中，点D、E分别是边、的中点， ∴，，故选项A正确，但不符合题意； ∴，故选项B正确，但不符合题意； ∴，即，故选项C正确，但不符合题意； ∴，故选项D错误，不符合题意． 3．如图，矩形的边上有一点，连接并延长交的延长线于点．已知的面积为，且的面积与的面积比为，则矩形的面积为（     ） A．27 B．36 C．24 D．38 【答案】B 【分析】先证明，由面积比得到相似比，推出线段比例，再求出的面积，减去面积得到四边形面积，最后加上面积得到矩形面积． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ，， ， ∴． ，， ，相似比 ，， ∴， ∴， 与，高的比，底的比， ， ． ． ． 4．如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，且落点恰好在离网的位置上．已知网高为，击球点到网的水平距离为，若球的运动路线为直线的一部分，则球拍击球的高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，可得，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如下图， 根据题意，可得，且， ∴， ∴，即， ∴，解得， 即球拍击球的高度为． 5．如图，在同一时刻，身高的小丽在阳光下的影长为，一棵大树的影长为，则这棵大树的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设这棵树的高度为，根据“同一时刻，影长之比等于对应物体高度之比”可得，求解即可获得答案． 【详解】解：设这棵树的高度为，根据题意可得： ， 解得， 即这棵树的高度是． 6．如图，中，，，点为的中点，连接，将沿翻折，使点落在同一平面内的点处，连接、，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交于F，过E作于G，证明，求出，则，分别在和中，根据双勾股定理得出，求出，则，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：延长交于F，过E作于G， ∵，点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵沿翻折，使落在同一平面内的点处， ∴，，， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵，即， 又， ∴， ∴到的距离为，即为， ∴． 7．如图，将矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的点处．已知，，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由折叠的性质得，由勾股定理求得，再证明，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：由折叠知， 在矩形，， ， ． ∵， ，， ． 又， ， ∴， ． 8．如图，将沿方向平移得到，与重叠部分（图中阴影部分）的面积是的面积的．已知，则平移的距离为______． 【答案】2 【分析】由平移的性质得，进而得到，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出的长，即可求出平移的距离． 【详解】解：设与相交于点， 沿方向平移得到， ， ， ， ， 解得， ． 9．如图，在中，，，，那么的值为______． 【答案】 【分析】根据平行得到四边形是平行四边形，，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， ∵，即， ∴， ∴． 10．如图，在中，F在的延长线上，，那么________________． 【答案】 【分析】过点作的平行线，交于点，证明，得到；证明，得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点作的平行线，交于点， ∵与平行， ∴， ∴； ∵，在中，对角线交于点， ∴； ∵与平行， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．如图，已知，，与分别是与的中线，与分别是与的角平分线，，，求，的长． 【答案】， 【分析】由相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴与的相似比为， ∵与分别是与的中线，与分别是与的角平分线， ∴，， ∵，， ∴，． 12．如图，已知，直线与相交于点O，点C、D分别在线段、上，且，，． (1)求的长； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理列式求解即可； （2）设，分别证明和得方程组，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 设，则， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴； （2）解：设， ∵，． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由，解得：． 13．如图，点在上，，且． (1)求证：； (2)连接，若，，则的长为___________． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】（1）先证明，再由即可证明； （2）由相似三角形的性质得到，即，则可证明，得到，据此结合已知条件可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示， 由（1）得， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 14．如图，在平行四边形中，为边上的点（不与点，重合），连接并延长，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，且的面积为1，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形， ，， ， ∴． (2) 【分析】（1）利用平行四边形的性质得，得．由，得，从而可得结论； （2）利用平行四边形的性质证明，利用相似三角形的性质可得，由 ， ，得 ， ，由的面积为1，得，即得． 【详解】（1） 略． （2）解： ∵平行四边形中，， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为1， ∴， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $