3.4 相似三角形的性质（暑假预科讲义）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 w 3.4相似三角形的性质知识归纳与题型总结 思 图 定理1 (高，角平分线，中线) 一相似三角形对应高的此，对应角平分线的比，对应中线的比都等于相似比 相似三角形的性质 定理2 (周长和面积) 相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 对应量及比值关系一4点 考点01相似三角形的性质 考点梳理 1.定理1：相似三角形对应高的比，对应角平分线的比，对应中线的比都等于相似比 2.定理2：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 对应量 比值关系 对应角 相等 对应边、高、中线、角平分线、内外接圆半径 等于相似比k 周长 等于相似比k 面积、内外接圆面积 等于相似比的平方k2 典例引领 考向01证明三角形的对应线段成比例 【例1】如图，平行四边形ABCD中，AB=9,AD=6,点E,F分别在AD,AB上，若 1/40 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 DE=3,△BCF∽aDCE,则BF=() D A.1 B.2 C.4 D.5 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形中的性质，相似三角形的对应边成比例.先根据平行四边形 的性质得到BC=AD=6,CD=AB=9,然后根据相似三角形的对应边成比例解答即可. 【详解】解：，四边形ABCD是平行四边形， :BC=AD=6,CD=AB=9, ,'△BCFADCE, BFBC BF6 ·DEDC,即39， 解得BF=2, 故答案为：B。 考向02利用相似三角形的性质求解 【例2】如图，△ABC△DEF,且∠A=83°，则∠D的度数是() B A.37 B.83° C.120° D.60° 【答案】B 【分析】根据相似三角形的对应角相等求解即可. 【详解】解：，△ABC∽△DEF, ∠D=∠A=83° 2/40 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 考向03相似三角形的判定与性质综合 【例3】完成以下问题 B 图① 图② (1)如图①，△ABC中，∠A=50°，∠B=45°，点D、E分别在AB、AC上，且 AD·AB=AE·AC,则△ABC与△ADE的关系为_： (2)如图②，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,M为AD中点，连接CM 交BD于点N,且ON=1,求BD的长. 【答案】(1)△ABCP△ADE (2)6 【分析】(1)利用三角形相似的判断推导即可： (2)证明△OMNABCN,设OB=OD=x,则BD=2x,列出比例式进行求解即可. 【详解】(1)解：AD·AB=AE·AC, .ADAE AC AB' ∠DAE=∠CAB. △ABC∽△ADE: (2)解：M为AD中点， :.DM=IAD :四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,AD=BC, ○B=OD=2B0 ，∠MDN=∠CBN' .DMBC .'∠DNM=∠BNC ∴.△DMN∽△BCN. 3/40 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 DM DN 1 BCBN-2· 设OB=OD=x,则BD=2x, ON=1. .BW=x+1,DN=x-1. -11 x+12,解得x=3, .BD=6 考向04利用相似求坐标 【例4】如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、点B,直线CD 与x轴、y轴分别交于点C、点D,AB与CD相交于点E,线段OA、OC的长是一元二次 方程-18x+72=0的两根(o1>0C),B5=5,08-01 3 (1)求点A、C的坐标： (2)求直线CD的解析式： (3)在x轴上是否存在点P,使以点C、E、P为顶点的三角形与△DCO相似？若存在，请求 出点P的坐标：如不存在，请说明理由 12,0 【答案】(1)A的坐标是 ,C的坐标是60) 4 2y=3x+8 (19,0)(3,0) 3)存在，P的坐标是 和 4/40 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 【分析】(1)首先解方程x2-18x+72=0求得方程的根，则A和C的坐标即可求得： (2)根据三角函数求得B的坐标，作EF⊥x轴于点R,根据△AEF∽△ABO,利用相似 三角形的性质求得EF和OF的长，即可求得E的坐标，利用待定系数法确定函数关系式： (3)根据慰意可判断点P在轴正半轴，设P的坐标是，0)，则PC=P+6.分成 △COD∽△CEP和△COD∽△CPE两种情况进行讨论即可求解， 【详解】1)解：1)解方程-18x+72=0,即x-12)(c-6)=0 即x-12=0或x-6=0, x1=12,x2=6 解得： 又：0A>0C, .0A=12,0C=6, ·A的坐标 2,0）.C的坐标是-60) 4 (2)解：OB=OA 3 ∴.0B=16 则B的坐标是 0,16) .AB=VOA2+0B2=V122+162=20 BE=5, ∴.AE=AB-BE=15 过点E作EF⊥x轴于点F 则△AEF∽△ABO, .AF=EF AE OA OB AB 、AFEF15 1216-20: .AF=9,EF=12 则OF=12-9=3,则点E的坐标是 3,12) 5/40 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 设直线CD的解析式是 =kc+b(k≠0) C(-6,0),E(3,12) k=4 「-6k+b=0解得： 3k+b=12 b=8 4 则直线CD的解析式是y= x+8 3 (3)解：当x=0时，y=8 即OD=8. CD=V0C2+0D2=V62+82=10 OF=3,OC=6, ∴CF=OC+OF=9 EF=12, CE=VCF2+EF2=V92+122=15 根据题意可知点P在x轴正半轴，设P的坐标是D,O)）,则PC=p+6 ,则 CD OC ①当△COD∽ACEP时，CPCE, 106 即p+615, 解得：p=19, 6/40 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 (19,0) 则点P的坐标是 OC CD ②当△COD∽△CPE时， CP CE' 610 则p+615 解得：p=3, 3,0) 则点P的坐标是 综上可知，点P的坐标是 9,0和3,0 考向05在网格中画与已知三角形相似的三角形 【例5】图①、图②、图③均是5×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个 小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上.在图②、图③中，只用无刻度的直 尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法. B 0 C 图① 图② 图③ BE (1)如图①， CE-· (2)如图②，在BC上找一点F,使BF=2. (3)如图③，在AC上找一点M,连结BM、DM,使△ABM∽aCDM, 1 【答案】(1)2 7/40 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 (2 图② (3- C 图③ 【分析】(1)证明△ABE△DCE,进而求解： (2)由勾股定理求出BC的长，根据构造相似比为2：3的两个相似三角形求解： (3)根据相似三角形的判定和性质作图即可· 【详解】(1)解：由图可知，ABCD, .△ABE∽△DCE, BE AB 1 CE DC2: (2)解：如图， BC=V32+42=5 图② .DBICE. .△OBFOAECF,且相似比为DB:EC=2:3, :.BF=2+3BC 2BC=二×5=2： (3)解：如图， 8/40 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 C 图③ .AN II CD ,△NAM∽aDCM,且相似比为NA:DC=2:3, .AM:CM=2:3 AB:CD=2:3,∠BAM=∠C=90°， ∴.△ABM∽ACDM 考向06相似三角形一 动点问题 【例6】如图，在△ABC中，BC=4cm,AC=3cm,D是BC的中点，动点E从点A出发， 在AC边上以lcm/s的速度向点C运动，运动到C点停止.若以C,D,E为顶点的三角 形与△ABC相似，则点E的运动时间为秒. 31 【答案】2或3 【分析】此题考查了相似三角形的性质，分两种情况利用相似三角形的性质进行解答即可. 【详解】解：设点E的运动时间为t秒， CE=AC-AE=(3-t)cm 由题意可得， :D是BC的中点， .'CD=BD=BC=2cm 当△CDEACBA时， CD CE 1 BC CA 2' 9/40 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 3-t1 3 ·3=2,解得1=2， 当△CEDACBA时， CD CE AC CB' 23-t ·3=4,解得= 3 31 综上可知，点E的运动时间为2或3， 31 故答案为：2或3 考向07相似三角形实际应用 【例7】如图所示，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继 续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯 A的高度AB等于() B A.4.5米 B.6米 C.7.5米 D.8米 【答案】B 【分析】如图，证明△CDG∽aBDA,△HEF∽△ABF,列出比例式进行求解即可. 【详解】解：如图，由题意，得：CD=1,CE=3,EF=2,HE=CG=1.5,HE∥CG∥AB, G H 不 B CD E .△CDG△BDA,△HEF∽△ABF, 10/40 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 CD CG EF HE CG ·BDAB'BF ABAB' CD EF BD BF, 1 2 ·1+BC2+3+BC? .BC=3. ∴.BD=4, CD CG .BD AB 11.5 .4 AB' .AB=6: 即：路灯A的高度AB等于6米. 考向08相似三角形的综合问题 【例8】如图，D、E分别AB、AC上的点 (1)如果DEBC,那么△ADE和△ABC是位似图形吗？为什么？ (2)如果△ADE和△ABC是位似图形，那么DEBC吗？为什么？ B 【答案】(1)是位似图形，见解析：(2)平行，见解析 AD AE 【分析】(1)根据DEBC,可得△ADE-AABC,则有AB=AC,根据点A是△ADE和 △ABC的公共点，点D和点B是对应点，点E和点C是对应点，直线BD与CE交于点A,可 得△ADE和△ABC是位似图形： (2)根据△ADE和△ABC是位似图形，可得△ADE~△ABC,则有∠ADE=∠B,可得DEI/BC」 【详解】解：(1)△ADE和△ABC是位似图形. 11/40 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 理由是：DE//BC, ,∠ADE=∠B,∠AED=∠C, .△ADE~△ABC, ADAE ·ABAC 又：点A是△ADE和△ABC的公共点，点D和点B是对应点，点E和点C是对应点，直线 BD与CE交于点A, ,△ADE和△ABC是位似图形. (2)DE//BC 理由是：△ADE和△ABC是位似图形， ∴.△ADE-△ABC ∴.∠ADE=∠B .DE //BC 对点提升 【对点1】如图，在△ABC中，点D在边BC上，AEIIBC,BE与AD,AC分别相交于点 F,G,AF2=FGFE」 D C (1)求证：ACADACBG: (2)若AC=6,BC=7,G为AC的中点，求CD的长. 【答案】(1) 证明：，AElIBC, ∴.∠E=∠CBG, .AF2=FG.FE, AF FE FG AF 12/40 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 ∠GFA=∠AFE, .△GFA△AFE ∠GAF=∠E,即∠CAD=∠E, ∴.∠CAD=∠CBG, ∠C=∠C, .'ACADACBG 18 (2)7 【分析】此题重点考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，推导出 ∠CAD=∠CBG,进而证明△CAD∽aCBG是解题的关键， (1)由AElBC,得∠E=∠CBG,由AF2=FG·FE,∠GFA=∠AFE,所以 △GFAP△AFE,则∠CAD=∠E,所以∠CAD=∠CBG,而∠C=∠C,即可根据“两角分 别相等的两个三角形相似”得到结论： (②由4C-6:G为AC的中点，得CG=4G-专4C=3,面BC-7:由相似三角形的性 CD AC 6 质得CG=BC=7,求出CD长即可. 【详解】(1)略 (2)解：：AC=6,BC=7,G为AC的中点， CG=AG=AC-7X6=3 ,△CADACBG, CD AC 6 CG AB 7' :CD=cG=6x3-18 6 7 7 7 18 CD的长是7· 【对点2】己知△ABCAA'B'C,AD和AD是对应的角平分线，若AD:AD'=4:3, △ABC △A'B'C 的周长为16，则 的周长是 13/40 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 【答案】12 【分析】相似三角形对应角平分线的比等于相似比，相似三角形周长之比等于相似比，据 此列出比例式计算即可 【详解】解：△ABCAAB'C',AD、A'D是对应角平分线， ∴相似比=AD:A'D'=4:3, 又：相似三角形周长之比等于相似比， C。fBc3 164 己知△ABC周长为16，代入得：Cc3 解得：CMc=16x2=12 4 【对点3】如图，在△ABC中，DE∥BC,BD=2AD,DE=4,则BC的长是() B A.6 B.8 C.10 D.12 【答案】D DE AD1 【分析】根据DE川BC可得△ADE一△ABC,可得BC=AB3,即可求解. 【详解】解：，BD=2AD, AD AD 1 ABAD+2AD 3' ·DE BC .△ADE-△ABC, DE-AD-14=1 六BC=AB3,即BC3, 解得BC=12 14/40 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 【对点4】如图1，△ABC的三个顶点都在格点上，请在图2的网格内画出一个△4B,G,使 △AB,C△ABC 2:1 相似比为，且各顶点都在格点上. B 图1 图2 【答案】如图所示，△4B,G即为所求： B 【分析】根据相似三角形的性质和相似比，即可画出△4BC. 【详解】解：根据网格得： AB=V22+42=25AC=V22+42=25BC=4 若要△ABC一△ABC,且相似比为2：1， 4B=4W54C=45B,C=8 如图2，△4B,C即为所画三角形. 15/40 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 【对点5】如图，△ABC中，AB=8cm,AC=16cm,点P从A出发，以每秒1厘米的速 度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动.其中一个动点到达终点 时，另一个也相应停止运动.那么，当以A,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时 间是 2 【答案】4或5 【分析】设运动时间是t秒，根据题意得AP=t,C0=21,A0=16-2t,根据相似三角 AP AO AP AO 形的性质可得AC=AB或ABAC,进而求解即可。 【详解】解：设运动时间是t秒， :点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速 度向A运动. .AP=t,C0=2t,AQ=16-2t, :∠BAC=∠PAQ,且以A,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似， AP AO AP AO ACAB或ABAC, t_16-2tt16-2t .8=16或168 32 1=4或5， 32 即当以A,P,Q为顶点的三角形与。ABC相似时，运动时间是4或5， 【对点6】某数学课外小组运用数学知识测量直立在操场上旗杆EF的高度，并制作了如下 实践报告： 16/40 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 实践主题 测量旗杆的高度 示意图 BOD 位同学站在操场的点B处，另一位同学在点D处放置了一 根标杆CD,在B和D之间找到一个合适的位置O,并在O 测量过程 处平放一面小镜子，点B处的同学恰好看到在镜子里点C和 点E重合（图中各点在同一平面）· DF=15m BD=5.4m,CD=2m,点B处同学的眼睛离地 测量数据 面的高度AB=1.6m.AB,CD,EF均与水平地面垂直. 请你根据以上实践报告，求出旗杆EF的高度. 【答案】旗杆EF的高度为12米. 【分析】先证明△ABO∽aCDO,由此求得OD,进而求得OF;再证明△CDO∽aEFO,即 可求解。 【详解】解：：AB⊥BD,CD⊥BD, .∠AB0=∠CD0=90°， ,∠AOB=∠COD, ∴.△ABOACDO. AB OB ∴.CDOD 1.6_5.4-0D .20D .OD=3, ..OF =OD+DF=18. .CD⊥OF,EF⊥OF, .CD∥EF, ∴.△CDO∽△EFO. 17/40 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 CD OD EF OF' 23 .EF18, .EF=12, 答：旗杆EF的高度为12米. 题 能力提升 一、选择题 1.如图，己知菱形AECF的顶点E,F在菱形ABCD内部，且∠EAF=∠B,若AB=2AE=5, 则菱形ABCD的面积为() A 8V5 B.20 c.10w5 D.24 【答案】B 【分析】连接AC,BD,交于点O,连接EF,易得B,E,F,D四点共线，证明 A0 1 △AOE∽aBOA得到OB2,设OA=x'在Rt△AOB中，勾股定理求出AO,OB的长，再 根据菱形的面积公式进行求解即可 【详解】解：连接AC,BD,交于点O,连接EF, ,菱形AECF和菱形ABCD ∴Er垂直平分4C,BD垂直平分AC,∠CE=BAF,∠ABD-ARC, 18/40 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 BD=20B,AC=20A B,E,F,D四点共线， :∠EAF=∠ABC, .∠CAE=∠ABD, 又：∠AOE=∠AOB」 .△AOEP△BOA, AO AE :OB AB' ,AB=2AE=5, A0 1 0B2 设OA=x,则OB=2x, 在Ra4OB中，由勾股定理，得4B=VOA+OB=V5x=5 :5 ÷01=5.0B=25 :4C=25,BD=4W5 菱形CD的面积为行x25x45-20 2.如图，△ABC中，∠ABC=90°，直尺的一边与BC重合，另一边与AB,AC分别交于 D,E B,C,D,E 20,17,0,1 两点， 处的读数分别为 (单位：m).若直尺的宽为 cm,则 AB的长度是() 19/40 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 D E mmxummmm 2 3 d 81 LI 山 B C A.2.2cm B.2.4cm C.2.7cm D.2.8cm 【答案】C 【分析】根据DE平行BC判定两个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例的性质，求 出线段AB的长度. 【详解】解：由题意可知：DE=1,BC=3,BD=1.8,DE∥BC, .△ADE∽AABC. AD DE AB-1.81 ABBC,即AB3: 解得：AB=2.7 3.如图，四边形ABCD是平行四边形，∠ABC的平分线交AD于点E,交CD的延长线于 点F.若AB=3,BC=5,则△DEF和△ABE的面积比是() 2 4 A.3 B. 9 D. 25 【答案】B 【分析】先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合角平分线与平行线得到等腰三角 形，求出线段DE的长度：再根据DFHAB判定△DEF与△AEB相似，最后利用相似三角形 面积比等于相似比的平方，求出两个三角形的面积比. 【详解】解：，四边形ABCD是平行四边形， .CDll AB,ADI BC,AD=BC=5. .∠AEB=∠CBE, 20/40 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 :∠ABC的平分线交AD于点E,交CD的延长线于点F, .∠ABE=∠CBE, ∠AEB=∠CBE, ,∠ABE=∠AEB, .AE=AB=3. .DE=AD-AE=5-3=2, .DF I AB ∴.△DEFn△AEB, SDE=(白 4 S.DEE=4 SAEB AE 3 9,即SBs9 4.如图，在菱形1BCD中，E是4B边上一点，若ME:D=1:3,则 SABEr:SACDF为 () D E A.1:16 B.1:9 C.1:6 D.1:3 【答案】B 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可. 【详解】解：，菱形ABCD, ∴.AD=CD,AB‖CD .△AEF∽△CDF, AE:AD=1:3, .AE:CD=1:3, r:SAco=(AE:CD)=(1:3)=1:9 5.如图，BD,CE分别是△ABC的中线，BD与CE相交于点O,点M,N分别在 BO,CO上，四边形EMND是平行四边形.若BD=6,则BM的长度为() 21/40 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 E D O M B A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【分折1根报三角形中位线定理得出DE∥BC,DE=8C,根松平行四边形伯性质得出 MN=DE,MO=D0:MN∥DE,进而得出MN=)BC, ，MN∥BC,证明 OM 1 △OMN∽△OBC可得出OB-2,即可求解. 【详解】解：，BD,CE分别是边AC,AB上的中线， ∴.DE是△ABC的中位线， DE∥BC, DE-RC. ,四边形EMND是平行四边形 .MN=DE,MO=DO,MN∥DE, .MN -RC.MN 8C. ,△OMN∽△OBC, OM MN 1 .OB BC 2, ∴.BM=OM=D0, :BM=IBD=2 6.如图所示，在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的平分线，且交AB于E,DB与CE OB 相交于O,已知AB=6?BC=4:则DB等于() 22/40 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 A.3 B.5 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义，证得△CBE为等腰三角形，从而求出 OB BE的长：再利用DOCPABOE得出对应边成比例，进而求得DB的值. 【详解】解：：四边形ABCD是平行四边形， .ABl/DC,DC=AB=6. .∠DCE=∠BEC, :CE平分∠DCB, .∠DCE=∠BCE, .∠BEC=∠BCE, .BE=BC=4, .DCll AB .△DOC≈aBOE, OB BE 4 2 .0DDC63? OBOB 22 DB0B+OD2+35· S△ADE 7.如图，△ABC∽△ADE,且BC=2DE,则S四边形BBDC的值为() 23/40 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 1 A B.3 D.4 【答案】B 【分析】根据BC=2DE得出相似比，进而求出△ADE与△ABC的面积比，利用面积差求出 四边形BEDC的面积，最后计算比值即可： 【详解】解：△ABCAADE,且BC=2DE, .DE 1 BC-2 S= S.ABC ∴.SABc=4SADE 9 S四边形BEDc=SABc-SADE S四边形BEDc=4S.ADE-SADE=3S,ADE SADE -1 S四边形BEDC 3S&ADE 3 8.如图，在△ABC中，D、E为边AB的三等分点，EF川DG‖AC,H为AF与DG的交点 若AC=6,则DH=() D H E B G A.1 B.2 C.1.5 D.3 【答案】A 【分析】证明△BEF∽aBAC,求出EF的长，再证明△ADHP△AEF,求出DH的长即可 【详解】解：D、E为边AB的三等分点， BE 1 AD 1 .AB3'AE 2 24/40 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 :EF∥DG∥AC, .△BEFABAC,△ADH∽△AEF, EF BE 1 DH AD 1 AC-AB3'EF AE2 ,AC=6, .EF=2, ∴.DH=1. 9.知图。在矩形48CD中，8=LD=2.P是DC上一点，且DP=5-1.甲、乙内 人通过折叠，在AD上找到一点M,得到以PB为斜边的Rt△PBM,方法如下： 甲：折叠矩形使点B落在点P处，折痕MN与AD交于点M,与BC交于点N,并算得 AD DM 乙：先折出∠ABC的平分线BE,交AD于点E,再折出∠ABE的平分线BM,交AD于点 AD M,并算得DM 3.则下列说法正确的是（） D P 0 甲 A.甲、乙的折叠方法均不正确 B.只有甲的折叠方法及计算结果正确 C.只有乙的折叠方法及计算结果正确 D.甲、乙的折叠方法及计算结果均正确 【答案】B 【分析】根据折叠后点B与点P重合，可得折痕MN是线段PB的垂直平分线，可得 MP=MB,结合PB为斜边的直角三角形判定条件，用勾股定理列方程求DM长度，验证 A DM是否符合甲的计算结果：再根据BE是∠ABC的平分线，∠ABC=90°，先求得 25/40 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 ∠ABE=45°，再由BM是∠ABE的平分线，可得∠ABM=22.5°，利用相似三角形求出 AD AM长度，进而得到DM长度，验证DM是否符合乙的计算结果. 【详解】 AB=DC=1 AD=BC=2 DP=2-1 PC=DC-DP=2-2 设M=x,则 M=DA-AM=√2-x 甲的方法：，点B与点P关于MN对称， ∴MN垂直平分BP, :MP=MB, 在RtAPDM中，MP2=DP2+MD2, 在Rt△ABM中，MB2=AB2+AM2, .DP+MD=4B+Av,-1)+(-)=P+x 解得V2-1 即4M=V2-1.DM=1 :DM=AB,DP=AM :∠A=∠D=90°， .△ABM≌△DMP, ∴.∠DMP=∠ABM: 在Rt△ABM中，∠MBA+∠AMB=90°， ∴.∠DMP+∠AMB=90° ∴.∠BMP=180°-90°=90°， AD= :△BMP为等腰直角三角形，且DM ∴.甲的折叠方法及计算结果正确： 乙的方法：如解图，连接PE, 26/40 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 :5E平分∠BC,∠ABE=∠EBC-ABC=45, :AD∥BC,∴∠AEB=∠EBC=∠ABE=45°， :.AE=AB=1 :DE AD-AE=2-1=DP BE=2 .BE BC PE=2-2.PE PC=2-2 :PB是公共边， △PBE≌△PBC, .∠PBE=∠PBC=22.5° :BM平分∠ABE, :∠ABM=∠EBM=∠ABE=22.50, 2 .∠ABM=∠PBC=22.5° :∠A=∠C=90°， .△ABM∽△CBP, :AM AB 1 CP-CB AM=CP==2-1 √2 ∴.甲、乙两人确定的点M是相同位置的点， AD :△BMP为等腰直角三角形，且DM ∴，乙的折叠方法正确，计算结果不正确 D D A B 解图 10.如图，在△ABC中，BC=6,∠ABC的平分线交AC于点F,点D,E分别是边AB,AC 27/40 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 AD AE EF 1 上的点，若ABAC=EC3,则BD+DE的值为() D A B A.5 B.6 C.7 D.4.5 【答案】C 【分析】延长DE,BF交于点G,可证△ADE一△ABC,得DE∥BC,得出BD=DG, 可证NEFGACER,求出EG=)BC,则BD+DE的值可求 2 【详解】解：如图，延长DE,BF交于点G, G R AD AE 1 AB=AC-3 ZDAE=ZBAC' .△ADE-△ABC, AD DE 1 ·∠ADE=∠ABC,ABBC3, ÷DE∥BC,E 36c=2 .∠CBG=∠DGB, :∠ABC的平分线BF交AC于点F, ∴.∠DBG=∠CBG, .∠DBG=∠DGB, .'BD=DG, .EGI BC ∴，△EFGACFB, 28/40 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 EG EF BC CF EF 1 EC3' EG-18C-3 2 BD+DE=DG+DE=2+3+2=7 二、填空题 11.△ABC 中，B,F分别是4CMB的中点，连接EF,则3 E 【答案】4 【分析】由中位线的性质得EF=)BC,EF∥BC,再证AM4EFnA4BC,很据相似三角形 2 的面积比等于相似比的平方，即可求解， 【详解】解：△ABC中，E,F分别是AC,AB的中点， ∴，EF是△ABC的中位线， EF-TBC. 2 FI∥BC: .∠AEF=∠ABC,∠AFE=∠ACB. .△AEFP△ABC S4EE .S。ABC 12.如图，在△ABC中，点D,E分别是BC,AC的中点，AD与BE相交于点F.若BF=6, 则EF的长是 29/40 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 E B 【答案】3 【分析】根据三角形中位线定理可得DE‖AB且DE-2B,进而证得DEF∽aABP,利 用相似比求解即可. 【详解】解：点D,E分别是BC,AC的中点， .DE是△ABC的中位线， DE∥AB.DE=专AB ,△DEFP△ABF, EF DE 1 BFAB2· BF=6, .EF=3 13.如图，∠AED=∠B,EC=1,AD=2,AE=3,则DB的长为 D E 【答案】4 【分析】根据图形发现AC=AE+EC,代入已知条件得AC的值，再根据条件∠AED=∠B, ∠A仁∠A,结合三角形相似判定定理可证明△AEDn△ABC,根据相似三角形的性质求出 AB的长，再根据BD=AB-AD,代入数据计算即可求出BD的长 【详解】解：：EC=l,AD=2,AE=3, .AC=AE+EC=3+1=4, .∠AED=∠B,∠A=∠A, .△AEDP△ABC, 30/40 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 AD AE AC AB' :4B=4C4E=43-6 AD 2 ,BD=AB-AD=6-2=4, .DB的长为4. 14.如图，铁路道口的栏杆短臂长1.2m,长臂长3.8m.当短臂端点下降0.6m时，长臂端 点上升（杆的宽度忽略不计）的高度是 3.8m 0.6m 777777元 77777777777777777777 【答案】 1.9m 【分析】先判断栏杆长短臂在升降过程中将形成两个相似三角形，再列方程求解即可. 【详解】解：设长臂端点升高x米， 由题意可知，栏杆长短臂在升降过程中将形成两个相似三角形， 0.6_1.2 则x3.8 解得19， 即长臂端点上升（杆的宽度忽略不计）的高度是1.9m, 15.己知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D为AB的中点，P为CD上一点， PC:PD=1:2,E在AC上、F在AB上，∠EPF=135°，且若PE=2,则PF=_ DE 4V2 【答案】 31/40 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 -PC 【分析】过P作PG⊥AC于G, PGs 2 ,从而得出PD=2PC,利用两个角相等 PE PG 证明aPGE∽aPDF,得PF=PD,代入即可解决问题。 【详解】解：过P作PG⊥AC于G, 为的中点， B AC=BC,D AB .CD⊥AB,∠PDF=90°， 又：∠ACB=90°， AD=BD=CD」 ∠ACD=45°=∠A, :PG⊥AC, PG-PC 2 PC 1 PD2 :PD=2PC, 在四边形AFPE中，∠A+∠AFP+∠EPF+∠AEP=360°， ∴.45°+∠AFP+135°+∠AEP=360°， .∠AFP+∠AEP=180° :∠GEP+∠AEP=180°， .∠GEP=∠AFP, ∠PGE=∠PDB=90° △PGEAPDF .PE PG PF PD 32/40 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 PE pC 2 PF 2PC 4 .PE=2, .PF=42 三、解答题 16.【综合与实践】主题：X型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB,CD相交 于点O,经测量，得到AB=CD=136cm,OA=OC=51cm,OE=OF=34cm,现将晒衣架完 全稳固张开，横杆链EF成一条线段，测得EF=32cm, E 图1 图2 (1)晒衣架完全稳固张开时，连接AC,证明：AC‖EF； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计)总长度小于多少时，连衣裙才 不会拖在地面上？ 【答案】(1)证明：，0A=0C=51cm,OE=OF=34cm, OA OC .OE OF ,∠AOC=∠EOF .△AOC∽△EOF, .∠A=∠OEF, .ACI‖EF (2)连衣裙总长度小于120cm时，连衣裙才不会拖在地面上 OA OC 【分析】(1)根据0A=OC=51cm'OE=OF=34cm得出OEOF,根据∠A0C=∠E0F 33/40 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 可得△AOC∽△EOF,根据相似三角形的性质得出LA=LOEF,即可证明AC‖EF: (2)过点O作ON⊥EF于N,过点A作AM⊥BD于M,根据等腰三角形“三线合一” OE OF 的性质及勾股定理求出ON=30cm,根据OBOD,∠EOF=∠BOD证明AOEF∽aOBD, 得出∠OEF=∠OBD,即可证明△OEN∽△ABM,根据相似三角形的性质求出AM=12Ocm, 即可得出答案。 【详解】(1)证明：略 (2)解：如图，过点O作ON⊥EF于N,过点A作AM⊥BD于M, N B MD OE=OF =34cm,ON L EF,EF=32cm. EN-FN-EF-1cem ON=VOE:-EN2 -34-16-30cm AB=CD=136cm,O4=OC=51cm, ..AB-OA CD-OC,OB=OD=136-51=85cm, OE OF :OB OD ,·∠EOF=∠BOD, ∴.△OEF∽aOBD, ∴.∠OEF=∠OBD .∠ONE=∠AMB=90°， .△DENAABM, OE ON 3430 .AB=AM,即136AM: 解得：AM=120cm, :.连衣裙总长度小于l20cm时，连衣裙才不会拖在地面上. 34/40 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 17.已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG‖BC,交AB于点G,在 GD的延长线上取点E,使DE=DC,连接AE、BD G D E (1)求证：△AGE≌△DAB (2)延长BD交AE于点M,求证：BG=ME·AE, 【答案】(1)证明：：△ABC是等边三角形 AB=AC,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60° ·DGllBC ∠AGD=∠ABC=60°，∠ADG=∠ACB=60° ,△ADG为等边三角形， .AD=DG=AG .DE DC .∴AD+DC=DE+DG ∴.AC=GE .AB=GE △AGE≌△DAB(SAS) (2)证明：如图， M G 35/40 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 △AGE≌ADAB .AE=BD,∠E=∠ABD AD-4G.AB=AC ∴.BG=CD .DE=DC ∴.BG=DE .'∠BDG=∠EDM △BDG∽△EDM BG BD ME ED BG AE ·MEBG' BG2=ME·AE 【分析】(1)先证明△ADG为等边三角形，再证明AC=GE,然后利用SAS即可证明： (2)证明△BDG∽△EDM,再等量代换求证即可. 【详解】(1)略 (2)略 18.如图，将矩形纸片ABCD(AD>AB)折叠，使点C刚好落在线段AD上，记作点 G,点D经折叠后的点记作点H,且折痕分别与边BC、边AD交于点E、点F,连结FC, H G B E (1)猜想四边形GECF的形状是一，并加以证明； EF 2)若AB=AG=6:BC=18,求EC的值. 【答案】(1)菱形 36/40 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 证明：（方法不唯一，合理即可） :将矩形纸片ABCD沿着EF折叠，点C对应点G H G 即 ADBC GF∥EC ∴.∠3=∠2 .∠1=∠3 ∴.GE=GF 由折叠的性质得GE=EC, ∴GF=EC “,四边形GECF是平行四边形 又GE=EC(或者写GE=GF) ∴.平行四边形GECF是菱形 25 (2)5 【分析】(1)根据折叠的性质和平行四边形的性质即可解答： (2)连接CG交EF于点M,根据菱形和矩形的性质，证△GMF∽aGDC,再依据相似三 角形的性质求解即可. 【详解】(1)略 (2)解：连接CG交EF于点M, H G -,D 平行四边形 是菱形 B GECF ∴.GC⊥EF,∠GMF=90°，EF=2MF :四边形ABCD是矩形 ∴∠ADC=90°，AD=BC,CD=AB 37/40 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 :'∠MGF=∠DGC .∴△GMF∽△GDC GM MF GD CD CD MF GD GM .AB=AG=6.BC=18, CD 1 ...GD=AD-AG=12 GD 2 :CG=vCD2+GD=V6+12=65 H G A M CD MF 6 B CG GF 655 EF 2MF 25 EC GF 5. 19.如图，BD是矩形ABCD的对角线，请解答以下问题： D B (1)尺规作图：将△BCD绕点D旋转后，点C的对应点E落在线段BD上，点B的对应点是 F,EF与AD交于点P,作出旋转后的图形（保留作图痕迹，不写作法）： (2)若AB=3,BC=6,求PF的长度. 【答案】(1)解：如图，△DEF即为所求： 38/40 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 F P E B 22 【分析】(1)以D为圆心，CD为半径画弧，交BD于E,分别以D,E为圆心，BD, BC为半径画弧，两弧相交于F,连接EFDF,则△DEF即为所求： (2)设AD与EF交于点P,由作图可知EF=BC=6,DE=CD=3,∠DEP=∠C,证 EP DE EP 3 明△DEP∽△BCD,所以CD=BC,即3=6，求出PE的长度，然后通过线段的和与 差即可求解. 【详解】(1)略： (2)解：设AD与EF交于点P, 由作图可知EF=BC=6,DE=CD=3,∠DEP=∠C, :四边形ABCD为矩形， .ADIl BC .∠EDP=∠CBD .△DEP∽△BCD. EP DE ·CDBC EP_3 即36' :EP=3 2, .PF=EF-EP=9 2… 20.如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且 ∠ADB+∠EDC=120° 39/40 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 (1)求证：△ABDADCE: (2)若BD=4,CE=3,求AB的长度. 【答案】(1)证明：：△ABC为等边三角形， .∠B=∠C=60°. .∠BAD+∠ADB=180-∠B=120°， ,∠ADB+∠EDC=120°， ∴.∠BAD=∠EDC, .△ABDADCE: (2)16 【分析】(1)由等边三角形的性质可得∠B=∠C=60°，再证明出∠BAD=∠EDC,即可 得证： (2)由等边三角形的性质可得AB=BC,由(1)可得△ABD∽aDCE,再由相似三角形的 性质计算即可得出结果。 【详解】(1)略： (2)解：：△ABC为等边三角形， ∴.AB=BC, 由(1)可得△ABD∽△DCE. BD AB CE CD' AB=BC=BD+CD=4+CD. 44+CD ∴.3=CD .CD=12, .AB=BC=4+CD=16 40/40暑季研思・九年级上册数学暑期培优专项讲义 3.4相似三角形的性质 知识归纳与题型总结 考点01 相似三角形的性质 1. 定理1：相似三角形对应高的比，对应角平分线的比，对应中线的比都等于相似比． 2. 定理2：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 对应量 比值关系 对应角 相等 对应边、高、中线、角平分线、内外接圆半径 等于相似比 k 周长 等于相似比 k 面积、内外接圆面积 等于相似比的平方 k2 考向01 证明三角形的对应线段成比例 【例1】如图，平行四边形中，，，点E，F分别在，上，若，，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．5 考向02 利用相似三角形的性质求解 【例2】如图，，且，则的度数是（     ） A． B． C． D． 考向03 相似三角形的判定与性质综合 【例3】完成以下问题 (1)如图①，中，，，点D、E分别在、上，且，则与的关系为 ； (2)如图②，在平行四边形中，对角线、交于点O，M为中点，连接交于点N，且，求的长． 考向04 利用相似求坐标 【例4】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线与x轴、y轴分别交于点C、点D，与相交于点E，线段、的长是一元二次方程的两根（），，． (1)求点A、C的坐标； (2)求直线的解析式； (3)在x轴上是否存在点P，使以点C、E、P为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点P的坐标；如不存在，请说明理由． 考向05 在网格中画与已知三角形相似的三角形 【例5】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)如图①， ． (2)如图②，在上找一点F，使． (3)如图③，在上找一点M，连结、，使． 考向06 相似三角形——动点问题 【例6】如图，在中，，，是的中点，动点从点出发，在边上以的速度向点运动，运动到点停止．若以，，为顶点的三角形与相似，则点的运动时间为______秒． 考向07 相似三角形实际应用 【例7】如图所示，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度等于（    ） A．4.5米 B．6米 C．7.5米 D．8米 考向08 相似三角形的综合问题 【例8】如图，D、E分别AB、AC上的点 （1）如果DE∥BC，那么ADE和ABC是位似图形吗？为什么？ （2）如果ADE和ABC是位似图形，那么DE∥BC吗？为什么？ 【对点1】如图，在中，点D在边上，，与，分别相交于点F，G，． (1)求证：； (2)若，，G为的中点，求的长． 【对点2】已知，和是对应的角平分线，若，的周长为16，则的周长是____________． 【对点3】如图，在中，，，，则的长是（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【对点4】如图，的三个顶点都在格点上，请在图的网格内画出一个，使，相似比为，且各顶点都在格点上． 【对点5】如图，中，，，点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动．其中一个动点到达终点时，另一个也相应停止运动．那么，当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是_____． 【对点6】某数学课外小组运用数学知识测量直立在操场上旗杆的高度，并制作了如下实践报告： 实践主题 测量旗杆的高度 示意图 测量过程 一位同学站在操场的点B处，另一位同学在点D处放置了一根标杆，在B和D之间找到一个合适的位置O，并在O处平放一面小镜子，点B处的同学恰好看到在镜子里点C和点E重合（图中各点在同一平面）． 测量数据 ，，，点B处同学的眼睛离地面的高度．，，均与水平地面垂直． 请你根据以上实践报告，求出旗杆的高度． 一、选择题 1．如图，已知菱形的顶点在菱形内部，且，若，则菱形的面积为（     ） A． B．20 C． D．24 2．如图，中，，直尺的一边与重合，另一边与分别交于两点，处的读数分别为（单位：）．若直尺的宽为，则的长度是（     ） A． B． C． D． 3．如图，四边形是平行四边形，的平分线交于点，交的延长线于点．若，则和的面积比是（     ） A． B． C． D． 4．如图，在菱形中，是边上一点，若，则为（     ） A． B． C． D． 5．如图，，分别是的中线，与相交于点O，点M，N分别在上，四边形是平行四边形．若，则的长度为（） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图所示，在平行四边形中，是的平分线，且交于E，与相交于O，已知，，则等于（     ） A． B． C． D． 7．如图，，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在中，D、E为边的三等分点，，H为与的交点．若，则（     ） A．1 B．2 C．1.5 D．3 9．如图，在矩形中，是上一点，且．甲、乙两人通过折叠，在上找到一点，得到以为斜边的，方法如下： 甲：折叠矩形使点落在点处，折痕与交于点，与交于点，并算得． 乙：先折出的平分线，交于点，再折出的平分线，交于点，并算得．则下列说法正确的是（     ） A．甲、乙的折叠方法均不正确 B．只有甲的折叠方法及计算结果正确 C．只有乙的折叠方法及计算结果正确 D．甲、乙的折叠方法及计算结果均正确 10．如图，在中，的平分线交于点，点分别是边上的点，若，则的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D． 二、填空题 11．中，E，F分别是的中点，连接，则______． 12．如图，在中，点D，E分别是的中点，与相交于点F．若，则的长是______． 13．如图，，，，，则的长为_______． 14．如图，铁路道口的栏杆短臂长，长臂长．当短臂端点下降时，长臂端点上升（杆的宽度忽略不计）的高度是________ ． 15．已知中，，，为的中点，为上一点，，在上、在上，，且若，则______． 三、解答题 16．【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 17．已知，如图，是等边三角形，过边上的点D作，交于点G，在的延长线上取点E，使，连接． (1)求证： (2)延长交于点M，求证：． 18．如图，将矩形纸片（）折叠，使点C刚好落在线段上，记作点G，点D经折叠后的点记作点H，且折痕分别与边、边交于点E、点F，连结． (1)猜想四边形的形状是 ，并加以证明； (2)若，，求的值． 19．如图，是矩形的对角线，请解答以下问题： (1)尺规作图：将绕点旋转后，点的对应点落在线段上，点的对应点是，与交于点，作出旋转后的图形（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的长度． 20．如图，在等边中，为边上一点，为边上一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $