专题08图形的位似知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题08图形的位似知题通关讲义 知识点01：位似图形相关基础概念 1. 位似图形定义 如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于同一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这两个图形叫做位似图形。 这个公共交点叫做位似中心； 两个位似图形的相似比也叫做位似比。 2. 两个必备条件（缺一不可） （1）图形必须相似； （2）所有对应顶点连线交于一点，对应边平行 / 共线。 3. 位似与相似的关系 位似图形一定是相似图形； 相似图形不一定是位似图形（缺少 “对应顶点共点、对应边平行” 条件）； 位似是一种特殊的相似，是具备位置关系的相似。 4. 位似中心的 4 种位置分类 位似中心在两个图形外部； 位似中心在两个图形内部； 位似中心在图形的一条边上； 位似中心在图形的某个顶点上。 知识点02:位似图形的性质 1.位似是特殊的相似：位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形。 2.位似中心的位置：可以在图形内部、外部、边上或顶点上。 3.线段比例：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比（即相似比）。 4.图形变换：位似变换是一种特殊的相似变换，不改变图形的形状，只改变图形的大小和位置。 5.周长与面积： 周长比 = 位似比； 面积比 = 位似比的平方。 知识点03:位似图形的判定方法 1.定义法： 两个图形相似； 对应顶点的连线相交于一点； 对应边互相平行（或共线）。同时满足以上三个条件，即可判定为位似图形。 2.直观识别： 找到对应顶点，连线后看是否交于同一点； 观察对应边是否平行。 知识点04:位似图形的作图步骤 1. 一般作图（无坐标系） 以将图形放大 / 缩小 k 倍为例： (1)确定位似中心 O； (2)连接原图形的每个顶点与 O，并延长（或反向延长）； (3)在这些线上按位似比 k 截取对应点，使对应点到位似中心的距离之比等于 k； (4)顺次连接各对应点，得到放大 / 缩小后的位似图形。 以将△ABC放大（位似中心在两图形之间）为例，步骤如下： 1.确定位似中心：在平面内任选一点 O 作为位似中心。 2.连接并反向延长：分别连接原三角形的顶点 A、B、C 与位似中心 O，并反向延长 OA、OB、OC。 3.按位似比截取对应点：在反向延长线上，按位似比 k（k>1）截取对应点 A′′、B′′、C′′，使 4.顺次连接成图：顺次连接 A′′、B′′、C′′，得到放大后的△A′′B′′C′′，即为△ABC 的位似图形。 2. 坐标系中的作图 以原点为位似中心，位似比为 k 为例： 若原图形顶点坐标为 (x,y)，则： (1)同向位似（即位似中心在对应点连线的延长线上）：对应点坐标为 (kx,ky)； (2)反向位似（即位似中心在对应点之间）：对应点坐标为 (−kx,−ky)。 若位似中心不是原点，可先平移图形，使位似中心移至原点，完成位似变换后再平移回去。 知识点05：平面直角坐标系中的位似（高频考点） 位似中心为坐标原点的坐标变化规律 设原图形任意一点坐标为(x,y)，以原点为位似中心，位似比为k： 注：同向位似指新图形与原图形在位似中心同侧，反向位似指新图形与原图形在位似中心两侧。 1.判定位似图形仅依据相似，忽略位似的附加条件 提醒：位似图形一定是相似图形，但相似图形未必是位似图形。判定位似需要同时满足两个条件：图形相似；各组对应顶点连线交于同一点，对应边互相平行（或共线），不能只检验相似。 2. 确定位似中心时连接非对应顶点 提醒：寻找位似中心，应当连接各组对应顶点求直线交点；连接非对应顶点无法得到位似中心，所有对应顶点连线必须交于同一个点。 3. 主观限定位似中心的位置范围 提醒：位似中心位置具有多种可能性，可以在图形外部、图形内部、图形边上、图形顶点处，做题不可默认位似中心只能在图形外侧。 4. 位似比前后顺序审题颠倒 提醒：位似比定义为新图形与原图形的对应边长之比。读题仔细区分题干给出的顺序：是原图形∶新图形，还是新图形∶原图形；顺序颠倒会直接改变放大、缩小的运算结果。 5. 原点位似变换遗漏坐标的负号情况 提醒：以坐标原点为位似中心，位似比为k，原图形上点(x,y)变换后的坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky)；负号代表新图形与原图形分居位似中心两侧，不可只保留(kx,ky)一组结果。 6. 坐标系位似题默认位似中心为坐标原点 提醒：平面直角坐标系中的位似题目，位似中心不一定是原点。坐标缩放公式只适用于位似中心是原点的情形；题干没有说明时，不能直接套用该公式计算坐标。 7. 位似图形面积比等同于位似比 提醒：位似属于特殊的相似变换，周长比等于位似比；面积比等于位似比的平方，进行面积计算时，一定要将位似比平方，不可直接代入位似比。 8. 绘制位似图形遗漏另一侧的图形解 提醒：给定同一个位似中心和同一个位似比作图，一般存在两种结果：新图形与原图形在位似中心的同侧或者两侧；解题、作图时不能只画出其中一种，防止出现漏解。 题型 考察方向 难度 题型一 位似图形相关概念辨析 ★ 题型二 位似图形的识别 ★ 题型三 判断位似中心 ★★ 题型四 求两个位似图形的相似比 ★★ 题型五 画已知图形放大或缩小 n 倍后的位似图形 ★★ 题型六 求位似图形的对应坐标 ★★ 题型七 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 ★★★ 题型八 在坐标系中画位似图形 ★★ 题型九 在坐标系中画位似中心 ★★★ 拔高题 4题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 位似图形相关概念辨析 1．如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为（     ） A．6 B．9 C．10 D．25 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质，位似图形的对应线段的比等于位似比，据此列出比例式计算即可 【详解】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，位似比为， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若，的面积是1，则的面积是______． 【答案】 【分析】根据位似变换的概念得到，，从而得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵的面积等于1， ∴的面积为． 3．如图，与是位似图形，点O是位似中心，若，的面积为3，则的面积为（    ） A．1 B．6 C．9 D．27 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念，根据位似图形的概念得到，证明，根据相似三角形的性质得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：与是位似图形， ，， ， ， ， 的面积为3， 的面积为27， 故选：D． 题型二 位似图形的识别 4．下列相似图形不是位似图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】识别位似图形需注意以下几点：①两个图形必须是相似图形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行（或共线），据此逐项判断即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用． 【详解】解：根据位似图形的定义，选项A，B，C是位似图形，位似中心是交点，不符合题意； 选项D中，对应边、不平行，故不是位似图形，符合题意． 5．如图，以O为位似中心且与ABC位似的图形编号是______． 【答案】② 【分析】本题考查的是位似图形的概念，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 连接，根据位似图形的概念判断即可． 【详解】解：根据图形位似的性质，如图，分别连接， 则图形②的三个顶点与的对应三个顶点的连线交于点O，从而图形②与位似． 故答案为：②． 6．下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线所在的直线相交于一点，对应边互相平行（或共线），像这样的两个图形叫做位似图形． 【详解】解：根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形， 图3中、不平行，故与不成位似图形， ∴与成位似图形有3个． 题型三 判断位似中心 7．如图，点是等边三角形的中心，、、分别是、、的中点，则与是位似三角形，此时与的位似比、位似中心分别是（    ） A．2、点 B．、点 C．2、点 D．、点 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似中心的定义、相似三角形的性质是解题的关键． 根据三角形中位线定理得到，根据位似三角形的定义、位似中心的定义解答． 【详解】解：点是等边三角形的中心，、、分别是、、的中点， 各对应点的连线交于点，， 位似中心是点， ∵与是位似三角形，位似中心到两个对应点的距离之比叫做位似比， ∴与位似比是． 故选：D． 8．如图，在网格中，若和位似，则位似中心应为点______． 【答案】 【分析】本题主要考查了找位似图形的位似中心，利用位似图形的性质得出位似中心即可，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质，对应点连线的交点为位似中心． 【详解】解：如图，和位似，则位似中心应为点， ， 故答案为：． 9．如图，已知与位似，点A，E，B，D在同一直线上，则其位似中心在（     ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质，位似中心是对应顶点连线的交点. 观察图形可知两个三角形位于直线异侧，属于反向位似，确定对应点后即可判断位似中心的位置． 【详解】解：∵与 位似， ∴对应顶点的连线相交于一点，该点即为位似中心， 由图可知，与分别位于直线的两侧，属于反向位似， ∴点与点是对应点，点与点是对应点，点与点是对应点， ∵反向位似图形的位似中心位于对应点之间， ∴位似中心在线段上，且在线段上， ∵点在同一直线上，且顺序为， ∴位似中心在线段上． 题型四 求两个位似图形的相似比 10．如图，正六边形经过位似变换得到正六边形．若，则正六边形和正六边形的面积比是____． 【答案】 【分析】根据正六边形的定义可得，再根据位似图形的面积之比等于位似比的平方即可得到答案． 【详解】解：∵六边形都是正六边形， ∴， ∵正六边形经过位似变换得到正六边形， ∴． 11．如图，与是以点O为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到，，即可得到，再由相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵与是以点为位似中心的位似图形 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴与的面积比为． 12．古书《墨子·天志》中记载：“执规矩以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为4的正方形对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则两点之间的距离为______________． 【答案】 【分析】位似图形一定是相似图形，可以得出四边形是正方形，利用相似比得出正方形的边长，利用正方形的性质和勾股定理即可进行求解． 【详解】解：连接， ∵正方形的面积为4， ∴正方形的边长为2， 即， ∵四边形与正方形是位似图形，， ∴四边形是正方形，， ，， ． 13．如图，与是以点为位似中心的位似图形．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据位似图形的对应线段成比例列式计算可得的长，再根据平行四边形的性质即可得解． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形，，， ，即， ， ，解得， ， 四边形是平行四边形， ． 题型五 画已知图形放大或缩小 n 倍后的位似图形 14．如图，在正方形网格中，以点为位似中心，作的位似图形，若点是点的对应点，则点的对应点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，掌握位似图形的对应点连线相交于一点以及位似图形的性质是解题的关键．连接并延长，根据位似变换的性质判断即可． 【详解】解：如图所示，连接，，连接并延长， 以点为位似中心，作的位似图形，若点是点的对应点， 位似比为， 点的对应点是． 故选：D ． 15．将某个图形上各点的横、纵坐标都乘，所得图形与原图形相比（    ） A．完全没有变化 B．对应线段的长度扩大为原来的 2 倍 C．对应线段的长度缩小为原来的 D．关于纵轴成轴对称 【答案】C 【分析】本题考查平面直角坐标系中图形的缩放变换，根据横纵坐标同乘正数的变换性质判断图形变化即可，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵将图形上各点的横、纵坐标都乘，是对原图形进行以原点为位似中心，位似比为的位似变换， ∴所得图形与原图形相似，且对应线段的长度缩小为原来的， 故选：C． 16．如图，矩形与矩形位似，点O是位似中心，已知，，则的值为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】先由可得，再由矩形与矩形位似可得，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵矩形与矩形位似， ∴ ∵， ∴． 故选C． 【点睛】本题主要考查了位似的性质，根据题意得到是解答本题的关键． 题型六 求位似图形的对应坐标 17．如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形是以原点O为位似中心的位似图形．若点的对应点为，则点的对应点B的坐标为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵点的对应点为， ∴，， ∵点B的对应点为， ∴，， ∴点B的坐标为． 18．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，若在线段上存在一点D，使得与是位似图形，则点D的横坐标为______． 【答案】 【分析】由题可知，，，，再根据与是位似图形，此时，则，求出可得答案． 【详解】解：由题可知，，， ∴． ∵与是位似图形，只有一种情况， 此时， ∴， ∴， 即， ∴， 所以点D的横坐标为． 19．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心是原点O，若，点B的坐标为，则对应点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据位似三角形的性质求点的坐标． 【详解】解：∵与是位似图形，， ∴与的位似比为，且B的坐标为， ∴点D的坐标为，即． 题型七 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 20．如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的面积比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据位似图形的性质可得，相似比为，根据相似图形的面积比等于相似比的平方即可得出答案． 【详解】解：∵四边形和是以点为位似中心的位似图形，， ∴，相似比为， ∴四边形与四边形的面积比为． 21．如图，与是位似图形，点O为位似中心．若，的面积为20，则的面积为______． 【答案】5 【分析】先说明可得，即相似比为，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵与是位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴，相似比为， ∴，即，解得：． ∴的面积为5． 22．如图，以点为位似中心，作的位似图形，若点B的横坐标是，点B的对应点的横坐标是3，则与的周长之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对应点到位似中心的距离之比等于位似比，位似图形的周长比等于位似比，即可得出结果． 【详解】解：∵点为位似中心，点的横坐标是，点的对应点的横坐标是3， ∴点到位似中心点的水平距离为，点到位似中心点的水平距离为， ∴与的位似比为， ∴与的周长之比为． 题型八 在坐标系中画位似图形 23．平面直角坐标系中位似图形的作法： 位似图形与位似中心有两种情况∶①位似图形在位似中心 侧；②位似图形在位似中心 侧．若题中未指明位置关系，应该分两种情况讨论，防止漏解． 【答案】两；同 【详解】平面直角坐标系中位似图形的作法：位似图形与位似中心有两种情况∶①位似图形在位似中心两侧；②位似图形在位似中心同侧． 24．已知：如图三个顶点的坐标分别为、、，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点C为位似中心，在网格中画出，使与位似，且与的位似比为2：1，此时点的坐标为_____．    【答案】 【分析】先画出图形，再根据图形可得的坐标． 【详解】解：如图，为所作；点的坐标为．    故答案为． 【点睛】本题考查的是位似变换的作图，坐标与图形，熟练的利用位似的性质进行作图是解本题的关键． 25．如图，网格中每个小正方形的边长都是1，的三个顶点均在格点上，与位似，点为位似中心，且位似比为1：2．若在网格中建立坐标系，点的坐标为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据位似变换的概念和性质、结合图形解答． 【详解】解：如图， 由图可知，点C的坐标为(-2，3)， 以点A为位似中心，在网格中画，使与△ABC位似，且位似比为1：2， 则点的坐标为(-5，0)或(-1，4)， 故选：D． 【点睛】本题考查位似变换的应用，熟练掌握位似变换的概念和性质是解题关键． 题型九 在坐标系中画位似中心 26．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，则它们位似中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，交于点G，确定位似中心，然后求出坐标即可． 【详解】解：如图，连接，交于点G， ∴点G为它们的位似中心，坐标为． 27．如图，在坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似形，则位似中心的坐标为______ 【答案】或/或 【分析】本题考查了位似图形，以及求位似中心，连接对应点，存在两种情况，第一：位似中心在两个图形的中间，第二：位似中心在第二象限，根据位似图形的性质，相似比等于对应点到位似中心的距离比，即可作答． 【详解】解：如图：位似中心在两个图形的中间，连接对应点，相交于点H，轴， ∵两个正方形是位似形， ∴， ∵轴，轴， ∴， 则， ∴， 故， ∴， 即， 则， 此时位似中心为； 如图：位似中心在两个图形的中间，连接对应点，相交于点H， ∵两个正方形是位似形， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， 故， 由于点H在轴的负半轴上， 此时位似中心为； 综上：位似中心为或， 故答案为：或． 28．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，它们顶点的横坐标、纵坐标都是整数，则位似中心的坐标为__________． 【答案】 【分析】连接交于，根据坐标系求出点的坐标，再根据位似中心的概念解答即可． 【详解】解：连接交于，则点为位似中心， 设的解析式为：，将，， 代入可得：，解得：， ∴的解析式为：， 当时， ∴点的坐标为， 则位似中心的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是位似变换，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．还考查了待定系数法求一次函数解析式． 解答题 1．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均在格点上（网格线的交点）． (1)画出先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到的； (2)以原点为位似中心，在轴的上方画出，使与位似，且位似比为； (3)和关于点位似，直接写出点的坐标为______________． 【答案】(1) 解：如图，即为所求； (2) 解：如图，即为所求； (3) 【分析】（1）利用平移的性质即可解答； （2）利用位似三角形的概念即可解答； （3）连接，，交于点即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，点即为所求． 可得． 2．如图，的顶点都在网格点上，点B的坐标． (1)以点O为位似中心，把按放大在y轴的左侧，画出放大后的； (2)点A的对应点D的坐标是 ； 【答案】(1) 解：如图，即为所求； (2) 【分析】本题主要考查作图-位似变换，掌握位似的定义和性质是解题的关键． （1）位似中心为点O，根据位似比，连接，，并反向延长一倍，在y轴的左侧，即可求解； （2）根据题意求出点A的坐标，再根据位似比，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵点A的坐标为， ∴点A的对应点D的坐标是， 故答案为：． 3．如图，四边形和四边形是位似图形，位似中心是点O，位似比；四边形和四边形是位似图形，位似中心是点O，位似比．四边形和四边形是位似图形吗？如果是，那么位似比是多少？如果不是，请说明理由． 【答案】是，位似比为2 【分析】根据位似图形的定义和性质，进行判断即可. 【详解】解：∵四边形和四边形是位似图形，位似中心是点O， 四边形和四边形是位似图形，位似中心是点O， ∴四边形四边形，四边形四边形，且对应点连线均过点， ∴四边形四边形，且对应点连线均过点， ∴四边形和四边形是位似图形， ∵四边形和四边形的位似比，四边形和四边形的位似比， ∴四边形和四边形的位似比为2. 4．如图，反比例函数的图象经过正方形的顶点B，以原点O为位似中心，将正方形扩大得到正方形，使其面积比为．交反比例函数的图象于点G，已知． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合、根据正方形的性质求线段长，位似图形的性质，解题的关键是求出函数解析式； （1）得点B坐标为代入解析式即可； （2）由题意得正方形的面积为2，故其边长为，根据点G在反比例函数上，令，解得即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得点B坐标为， 将其代入反比例函数解析式，， 反比例函数解析式为； （2）解：由题意得正方形的面积为2，故其边长为，点G在反比例函数上， 令，解得， ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08图形的位似知题通关讲义 知识点01：位似图形相关基础概念 1. 位似图形定义 如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于同一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这两个图形叫做位似图形。 这个公共交点叫做位似中心； 两个位似图形的相似比也叫做位似比。 2. 两个必备条件（缺一不可） （1）图形必须相似； （2）所有对应顶点连线交于一点，对应边平行 / 共线。 3. 位似与相似的关系 位似图形一定是相似图形； 相似图形不一定是位似图形（缺少 “对应顶点共点、对应边平行” 条件）； 位似是一种特殊的相似，是具备位置关系的相似。 4. 位似中心的 4 种位置分类 位似中心在两个图形外部； 位似中心在两个图形内部； 位似中心在图形的一条边上； 位似中心在图形的某个顶点上。 知识点02:位似图形的性质 1.位似是特殊的相似：位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形。 2.位似中心的位置：可以在图形内部、外部、边上或顶点上。 3.线段比例：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比（即相似比）。 4.图形变换：位似变换是一种特殊的相似变换，不改变图形的形状，只改变图形的大小和位置。 5.周长与面积： 周长比 = 位似比； 面积比 = 位似比的平方。 知识点03:位似图形的判定方法 1.定义法： 两个图形相似； 对应顶点的连线相交于一点； 对应边互相平行（或共线）。同时满足以上三个条件，即可判定为位似图形。 2.直观识别： 找到对应顶点，连线后看是否交于同一点； 观察对应边是否平行。 知识点04:位似图形的作图步骤 1. 一般作图（无坐标系） 以将图形放大 / 缩小 k 倍为例： (1)确定位似中心 O； (2)连接原图形的每个顶点与 O，并延长（或反向延长）； (3)在这些线上按位似比 k 截取对应点，使对应点到位似中心的距离之比等于 k； (4)顺次连接各对应点，得到放大 / 缩小后的位似图形。 以将△ABC放大（位似中心在两图形之间）为例，步骤如下： 1.确定位似中心：在平面内任选一点 O 作为位似中心。 2.连接并反向延长：分别连接原三角形的顶点 A、B、C 与位似中心 O，并反向延长 OA、OB、OC。 3.按位似比截取对应点：在反向延长线上，按位似比 k（k>1）截取对应点 A′′、B′′、C′′，使 4.顺次连接成图：顺次连接 A′′、B′′、C′′，得到放大后的△A′′B′′C′′，即为△ABC 的位似图形。 2. 坐标系中的作图 以原点为位似中心，位似比为 k 为例： 若原图形顶点坐标为 (x,y)，则： (1)同向位似（即位似中心在对应点连线的延长线上）：对应点坐标为 (kx,ky)； (2)反向位似（即位似中心在对应点之间）：对应点坐标为 (−kx,−ky)。 若位似中心不是原点，可先平移图形，使位似中心移至原点，完成位似变换后再平移回去。 知识点05：平面直角坐标系中的位似（高频考点） 位似中心为坐标原点的坐标变化规律 设原图形任意一点坐标为(x,y)，以原点为位似中心，位似比为k： 注：同向位似指新图形与原图形在位似中心同侧，反向位似指新图形与原图形在位似中心两侧。 1.判定位似图形仅依据相似，忽略位似的附加条件 提醒：位似图形一定是相似图形，但相似图形未必是位似图形。判定位似需要同时满足两个条件：图形相似；各组对应顶点连线交于同一点，对应边互相平行（或共线），不能只检验相似。 2. 确定位似中心时连接非对应顶点 提醒：寻找位似中心，应当连接各组对应顶点求直线交点；连接非对应顶点无法得到位似中心，所有对应顶点连线必须交于同一个点。 3. 主观限定位似中心的位置范围 提醒：位似中心位置具有多种可能性，可以在图形外部、图形内部、图形边上、图形顶点处，做题不可默认位似中心只能在图形外侧。 4. 位似比前后顺序审题颠倒 提醒：位似比定义为新图形与原图形的对应边长之比。读题仔细区分题干给出的顺序：是原图形∶新图形，还是新图形∶原图形；顺序颠倒会直接改变放大、缩小的运算结果。 5. 原点位似变换遗漏坐标的负号情况 提醒：以坐标原点为位似中心，位似比为k，原图形上点(x,y)变换后的坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky)；负号代表新图形与原图形分居位似中心两侧，不可只保留(kx,ky)一组结果。 6. 坐标系位似题默认位似中心为坐标原点 提醒：平面直角坐标系中的位似题目，位似中心不一定是原点。坐标缩放公式只适用于位似中心是原点的情形；题干没有说明时，不能直接套用该公式计算坐标。 7. 位似图形面积比等同于位似比 提醒：位似属于特殊的相似变换，周长比等于位似比；面积比等于位似比的平方，进行面积计算时，一定要将位似比平方，不可直接代入位似比。 8. 绘制位似图形遗漏另一侧的图形解 提醒：给定同一个位似中心和同一个位似比作图，一般存在两种结果：新图形与原图形在位似中心的同侧或者两侧；解题、作图时不能只画出其中一种，防止出现漏解。 题型 考察方向 难度 题型一 位似图形相关概念辨析 ★ 题型二 位似图形的识别 ★ 题型三 判断位似中心 ★★ 题型四 求两个位似图形的相似比 ★★ 题型五 画已知图形放大或缩小 n 倍后的位似图形 ★★ 题型六 求位似图形的对应坐标 ★★ 题型七 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 ★★★ 题型八 在坐标系中画位似图形 ★★ 题型九 在坐标系中画位似中心 ★★★ 拔高题 4题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 位似图形相关概念辨析 1．如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为（     ） A．6 B．9 C．10 D．25 2．如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若，的面积是1，则的面积是______． 3．如图，与是位似图形，点O是位似中心，若，的面积为3，则的面积为（    ） A．1 B．6 C．9 D．27 题型二 位似图形的识别 4．下列相似图形不是位似图形的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，以O为位似中心且与ABC位似的图形编号是______． 6．下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型三 判断位似中心 7．如图，点是等边三角形的中心，、、分别是、、的中点，则与是位似三角形，此时与的位似比、位似中心分别是（    ） A．2、点 B．、点 C．2、点 D．、点 8．如图，在网格中，若和位似，则位似中心应为点______． 9．如图，已知与位似，点A，E，B，D在同一直线上，则其位似中心在（     ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 题型四 求两个位似图形的相似比 10．如图，正六边形经过位似变换得到正六边形．若，则正六边形和正六边形的面积比是____． 11．如图，与是以点O为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（     ） A． B． C． D． 12．古书《墨子·天志》中记载：“执规矩以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为4的正方形对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则两点之间的距离为______________． 13．如图，与是以点为位似中心的位似图形．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 题型五 画已知图形放大或缩小 n 倍后的位似图形 14．如图，在正方形网格中，以点为位似中心，作的位似图形，若点是点的对应点，则点的对应点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 15．将某个图形上各点的横、纵坐标都乘，所得图形与原图形相比（    ） A．完全没有变化 B．对应线段的长度扩大为原来的 2 倍 C．对应线段的长度缩小为原来的 D．关于纵轴成轴对称 16．如图，矩形与矩形位似，点O是位似中心，已知，，则的值为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 题型六 求位似图形的对应坐标 17．如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形是以原点O为位似中心的位似图形．若点的对应点为，则点的对应点B的坐标为（       ） A． B． C． D． 18．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，若在线段上存在一点D，使得与是位似图形，则点D的横坐标为______． 19．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心是原点O，若，点B的坐标为，则对应点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 题型七 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 20．如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的面积比为（     ） A． B． C． D． 21．如图，与是位似图形，点O为位似中心．若，的面积为20，则的面积为______． 22．如图，以点为位似中心，作的位似图形，若点B的横坐标是，点B的对应点的横坐标是3，则与的周长之比为（     ） A． B． C． D． 题型八 在坐标系中画位似图形 23．平面直角坐标系中位似图形的作法： 位似图形与位似中心有两种情况∶①位似图形在位似中心 侧；②位似图形在位似中心 侧．若题中未指明位置关系，应该分两种情况讨论，防止漏解． 24．已知：如图三个顶点的坐标分别为、、，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点C为位似中心，在网格中画出，使与位似，且与的位似比为2：1，此时点的坐标为_____．    25．如图，网格中每个小正方形的边长都是1，的三个顶点均在格点上，与位似，点为位似中心，且位似比为1：2．若在网格中建立坐标系，点的坐标为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 题型九 在坐标系中画位似中心 26．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，则它们位似中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 27．如图，在坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似形，则位似中心的坐标为______ 28．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，它们顶点的横坐标、纵坐标都是整数，则位似中心的坐标为__________． 解答题 1．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均在格点上（网格线的交点）． (1)画出先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到的； (2)以原点为位似中心，在轴的上方画出，使与位似，且位似比为； (3)和关于点位似，直接写出点的坐标为______________． 2．如图，的顶点都在网格点上，点B的坐标． (1)以点O为位似中心，把按放大在y轴的左侧，画出放大后的； (2)点A的对应点D的坐标是 ； 3．如图，四边形和四边形是位似图形，位似中心是点O，位似比；四边形和四边形是位似图形，位似中心是点O，位似比．四边形和四边形是位似图形吗？如果是，那么位似比是多少？如果不是，请说明理由． 4．如图，反比例函数的图象经过正方形的顶点B，以原点O为位似中心，将正方形扩大得到正方形，使其面积比为．交反比例函数的图象于点G，已知． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $