第2讲 常用逻辑用语专项训练-2027届高三数学一轮复习

常用逻辑用语 集合与逻辑 · 专题篇 充分条件与必要条件的判断 一、四种条件的定义 由 能推出 ，则 是 的充分条件， 是 的必要条件。 两个方向都能推，则 是 的充要条件。 两个方向都不能推，则 是 的既不充分也不必要条件。 二、集合语言的翻译 记 的解集为 、 的解集为 ：由 推出 等价于 。 于是： 是 的真子集时对应充分不必要； 是 的真子集时对应必要不充分； 对应充要。 三、一句话判据 范围小的推范围大的：小范围是充分条件，大范围是必要条件。 例1（单选·★☆☆☆☆） “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 变式1-1（单选·★☆☆☆☆） 中，“为锐角”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 例2（单选·★☆☆☆☆） “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 变式2-1（单选·★☆☆☆☆） 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 变式2-2（单选·★☆☆☆☆） 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 例3（单选·★☆☆☆☆） 设，则“”是“”成立的 A. 充要不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充要也不必要条件 变式3-1（单选·★☆☆☆☆） “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 命题真假的判断 一、判真的做法 要说明一个命题为真，必须给出理由；要说明它为假，举出一个反例即可。 二、常用反例 取特殊值：、、区间的端点、使某个因式为零的值。 三、集合运算结果的真假 判断 、、 的结果是否正确，先把参与运算的集合都化成最简形式。 例4（单选·★☆☆☆☆） 设集合，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 例5（单选·★★☆☆☆） 已知全集为，集合，集合，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 变式5-1（多选·★★★☆☆） 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 例6（单选·★★★☆☆） 已知命题：，，则下列结论正确的是（ ） A. 为真命题，且命题的否定为：， B. 为真命题，且命题的否定为：， C. 为假命题，且命题的否定为：， D. 为假命题，且命题的否定为：， 全称量词与存在量词的否定 一、两条否定规则 「对一切 ， 成立」的否定是「存在 ，使 不成立」。 「存在 ，使 成立」的否定是「对一切 ， 都不成立」。 二、改哪两处 量词与结论各改一处；量词后面的范围不动。 三、常见的取反 大于的反面是小于等于，小于的反面是大于等于，等于的反面是不等于，属于的反面是不属于。 例7（单选·★☆☆☆☆） 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 变式7-1（单选·★☆☆☆☆） 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 变式7-2（单选·★☆☆☆☆） 已知命题，总有，则命题的否定为（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，总有 D. ，总有 变式7-3（填空·★★☆☆☆） 全称量词命题，它的否定：______ 例8（单选·★☆☆☆☆） 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 变式8-1（单选·★☆☆☆☆） 命题“，能被整除”的否定是（ ） A. ，不能被整除 B. ，能被整除 C. ，不能被整除 D. ，不能被整除 变式8-2（填空·★★☆☆☆） 命题“”的否定是______． 例9（单选·★☆☆☆☆） 已知命题p：菱形不是矩形，该命题的否定是（ ） A. 菱形是矩形 B. 存在一个菱形，它是矩形 C. 存在菱形不是矩形 D. 存在是菱形的矩形 全称命题与存在命题的真假与求参 一、二次不等式恒成立 对一切实数成立等价于 且 。 对一切实数成立等价于 且 。 对一切实数成立等价于 且 。 二、存在命题为假 「存在 使 」为假，等价于「对一切 都有 」为真。 三、二次项系数可能为零 时不等式退化为一次，需要单独讨论。 例10（单选·★☆☆☆☆） 已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 变式10-1（填空·★★☆☆☆） 若命题“，”是假命题，则a的取值范围为__________． 例11（单选·★☆☆☆☆） 若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式11-1（填空·★★☆☆☆） 已知命题：“,”为假命题，则的取值范围是____________． 例12（单选·★★☆☆☆） 已知，若“，”为假命题，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 由充分必要关系求参数范围 一、翻译成包含 是 的充分条件等价于 。 是 的必要条件等价于 。 是 的充分不必要条件等价于 是 的真子集。 是 的必要不充分条件等价于 是 的真子集。 二、区间包含的代数判据 等价于 且 。 端点取等与否由两个区间各自的开闭决定。 例13（填空·★★☆☆☆） 已知，，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围为___________. 变式13-1（多选·★★★☆☆） 已知命题，命题，且命题是的必要不充分条件，则（ ）。 A. 是的充分不必要条件 B. 是的充分不必要条件 C. 命题可以是“” D. 命题可以是“” 例14（单选·★★★☆☆） 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 例15（填空·★★★☆☆） 设；。若是的充分条件，则实数的取值范围是__________. 变式15-1（单选·★★☆☆☆） 使命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 充要条件在具体情境中的应用 一、通用流程 把两个条件各自的解集求出来，再比包含关系。 二、单调函数的充要转化 若 单调递增，则 等价于 。 若 单调递减，则 等价于 。 三、结构识别 两端可整理成同一个函数的取值形式时，先化成同一函数，再比较两个函数值。 等价于两个复数对应的向量同向。 例16（单选·★☆☆☆☆） 已知，则“”是“为偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 变式16-1（单选·★★☆☆☆） 已知，则“”是“为奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 变式16-2（单选·★☆☆☆☆） 设关于x的方程有实数解，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 变式16-3（单选·★★☆☆☆） 在中，“”是“为直角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 例17（单选·★★☆☆☆） 已知集合，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 例18（单选·★★☆☆☆） 已知复数，（，i为虚数单位），则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 变式18-1（单选·★☆☆☆☆） 已知复数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 变式18-2（单选·★★☆☆☆） 设是非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 变式18-3（单选·★☆☆☆☆） 设，“曲线为椭圆”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 变式18-4（单选·★★☆☆☆） 已知为空间中两条直线，为平面，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件 变式18-5（单选·★☆☆☆☆） “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 学科网（北京）股份有限公司 $ 常用逻辑用语 集合与逻辑 · 专题篇 充分条件与必要条件的判断 一、四种条件的定义 由 能推出 ，则 是 的充分条件， 是 的必要条件。 两个方向都能推，则 是 的充要条件。 两个方向都不能推，则 是 的既不充分也不必要条件。 二、集合语言的翻译 记 的解集为 、 的解集为 ：由 推出 等价于 。 于是： 是 的真子集时对应充分不必要； 是 的真子集时对应必要不充分； 对应充要。 三、一句话判据 范围小的推范围大的：小范围是充分条件，大范围是必要条件。 例1（单选·★☆☆☆☆） “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【切入点】两个条件都含对数。真数要为正，所以 、 的符号由条件本身就能带出来，先把这一层用上。 【关键】 在 上单调递增，所以 与 完全等价：由不等式本身就能读出 、，反过来也成立。两个方向都通，是充要条件。 【易错】只验证一个方向就下结论。判断充要必须两个方向都看：这里若忽略定义域，会误以为它与「」是一回事，而「」并不要求两边为正，方向就判错了。 故选 A。 【答案】A 变式1-1（单选·★☆☆☆☆） 中，“为锐角”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【切入点】条件落在三角形的内角上。内角天然被限制在 与 之间，这一点决定了 的符号。 【关键】 为锐角时 ，正弦为正，充分性成立。反过来， 时 恒成立， 可以是钝角，所以由 推不出 为锐角。 【易错】把 与「 在第一或第二象限」混为一谈。在三角形里 只能取 ，此时 恒正，这个条件其实没提供新信息。 故选 A。 【答案】A 例2（单选·★☆☆☆☆） “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【切入点】两个条件的解集都能写出来，把它们化成区间，看谁的包含谁。 【关键】 即 ，解集是 ； 的解集是 。前者整个落在后者里面，所以由第一个能推出第二个，反过来不行，是充分不必要条件。 【易错】把包含方向看反。判据是「小范围推大范围」：解集小的那个是充分条件，解集大的那个是必要条件。记口诀可以，但推的时候仍要老实比较两个区间。 故选 A。 【答案】A 变式2-1（单选·★☆☆☆☆） 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【切入点】一边是绝对值与不等式，一边是平方后比较大小，先看能不能从左边推出右边。 【关键】 说明 比 的绝对值还大，于是 是正数，两边平方得 ，充分性成立。反过来不行：取 、， 成立，但 不成立。 【易错】把 当成与 等价。平方后比较大小丢掉了符号信息，只有在两边都非负时才与原不等式同向。 故选 A。 【答案】A 变式2-2（单选·★☆☆☆☆） 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【切入点】两个条件都带着「、」的前提，一个是不等式、一个是等式。先看等式能不能推出不等式。 【关键】由 及基本不等式 得 ，即 ，必要性成立。反过来，取 、，此时 ，但 不等于 ，充分性不成立。 【易错】把「」看成比「」更强的条件。这里恰好相反：给定 后 被限制在一个范围内，而 覆盖了远多于此的情形。 故选 B。 【答案】B 例3（单选·★☆☆☆☆） 设，则“”是“”成立的 A. 充要不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充要也不必要条件 【切入点】两个条件都只含 、 的大小，没有别的背景。这类题去看 的单调性最省事。 【关键】 在整个实数范围内单调递增： 时它是 ， 时它是 ，两段都递增且在 处接得上。单调函数满足「」与「」等价，所以两个条件互为充要。 【易错】分正负讨论时漏掉同号的一支。若只讨论同为正的情形，会以为结论只在 时成立；把一正一负、同为负的情形一并验证，才能确认等价。 故选 C。 【答案】C 变式3-1（单选·★☆☆☆☆） “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【切入点】一个条件是指数式、一个是幂式，先把它们各自化成 与 的关系。 【关键】由 得 ；由 两边立方得 ，也就是 。两个结论既不同向也不能互推：取 、 时绝对值的大小关系成立而 不成立；取 、 时恰好相反。所以两个方向都不通。 【易错】把 直接当成 。指数为偶次的分数时底数可以取负，比较的其实是绝对值。这类题举一组反例最快。 故选 D。 【答案】D 命题真假的判断 一、判真的做法 要说明一个命题为真，必须给出理由；要说明它为假，举出一个反例即可。 二、常用反例 取特殊值：、、区间的端点、使某个因式为零的值。 三、集合运算结果的真假 判断 、、 的结果是否正确，先把参与运算的集合都化成最简形式。 例4（单选·★☆☆☆☆） 设集合，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【切入点】集合 已经列举出来， 用描述法给出且带整数条件，把它也列举出来最省事。 【关键】 且 为整数，得 。取交集时两边都有的元素是 ；取并集时把元素合起来，得 。 【易错】把 写进交集。 属于 但不属于 （右端点是开的），只能出现在并集里。另外 两边的端点都取到，属于交集。 故选 A。 【答案】A 例5（单选·★★☆☆☆） 已知全集为，集合，集合，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【切入点】四个选项都在比包含关系，所以先把能求的集合都求出来，再逐个比对。 【关键】由 得 或 ，即 ，它的补集是 。而 落在 里面，所以 。 【易错】把 与 直接比。 的两端是无界的、 是有界区间，两者互不包含；判断包含关系时要看清比较对象是 还是它的补集。 故选 D。 【答案】D 变式5-1（多选·★★★☆☆） 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【切入点】四小题都在考不等式性质，逐个验证即可；要判断「不成立」，举反例是最快的办法。 【关键】A 项： 时两边都等于零，不等号不成立，错误。 B 项：由 得 ，再由同向不等式相加得 ，正确。 C 项：立方根函数在整个实数范围内单调递增，由 直接得 ，正确。 D 项：取 、，则 而 ，不等号方向反了，错误。 【易错】D 项容易只看形式就判对。平方之后与 的符号无关，取倒数则要注意正负，这里举一组异号的数就能否定。 故选 BC。 【答案】BC 例6（单选·★★★☆☆） 已知命题：，，则下列结论正确的是（ ） A. 为真命题，且命题的否定为：， B. 为真命题，且命题的否定为：， C. 为假命题，且命题的否定为：， D. 为假命题，且命题的否定为：， 【切入点】这类题要一次完成两件事：判断 的真假，再写出它的否定。两者都对才算正确选项。 【关键】利用 ，把右边化成 ，与左边完全相同，所以对一切 都成立， 是真命题。否定时要把全称量词换成存在量词，并把等号改成不等号。 【易错】只改量词不改结论，或者只改结论不改量词。全称命题的否定必须两处同时改，缺一处就不是原命题的否定。 故选 B。 【答案】B 全称量词与存在量词的否定 一、两条否定规则 「对一切 ， 成立」的否定是「存在 ，使 不成立」。 「存在 ，使 成立」的否定是「对一切 ， 都不成立」。 二、改哪两处 量词与结论各改一处；量词后面的范围不动。 三、常见的取反 大于的反面是小于等于，小于的反面是大于等于，等于的反面是不等于，属于的反面是不属于。 例7（单选·★☆☆☆☆） 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【切入点】否定一个全称命题要改两处：量词换成存在量词，结论取反；而 这个范围属于量词的一部分，原样保留。 【关键】原命题说的是「对一切大于 的 ， 都为正」，否定它就是把「都在」改成「有一个不在」：存在大于 的 ，使 。 【易错】把范围也一起改掉。选项里 就是掉进这个坑：量词换了、结论反了，可讨论的对象被换掉了。 故选 D。 【答案】D 变式7-1（单选·★☆☆☆☆） 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【切入点】与标准型同理：量词换、结论反、范围留。这里 是范围的限定，不是被断定的结论。 【关键】原命题是「对满足 的一切 ，都有 」。否定为「存在满足 的 ，使 」。 【易错】把范围也取反写成 。范围跟着量词走，属于限定条件，只有结论那部分才取反。 故选 D。 【答案】D 变式7-2（单选·★☆☆☆☆） 已知命题，总有，则命题的否定为（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，总有 D. ，总有 【切入点】题面用「总有」表达全称，换成符号就是 。否定时把它改成存在量词， 保持不变。 【关键】原命题是「对一切 ，」，否定为「存在 ，使 」。 【易错】把「总有」直接删掉、只改结论。少了存在量词，命题的性质就变了 —— 全称命题的否定一定是存在命题。 故选 A。 【答案】A 变式7-3（填空·★★☆☆☆） 全称量词命题，它的否定：______ 【切入点】题目已经把原命题写成标准形式，照「量词换、结论反、范围留」三步走即可。 【关键】原命题是「对一切 ，」，否定为「存在 ，使 」。 【易错】一是把 写成 ，范围被改掉了；二是把「小于零」的否定写成「大于零」，漏掉等号 —— 小于的否定是大于或等于。 ，。 【答案】 例8（单选·★☆☆☆☆） 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【切入点】原命题用的是存在量词，否定时把它换成全称量词，同时把结论取反。 【关键】原命题说「存在实数 使 」，否定为「对一切实数 ，都有 」。 【易错】一是量词没换、仍写成 ；二是取反时把 写成 ，漏掉等号。顺带可以验一下： 恒大于等于零，所以原命题为真、它的否定为假，两边正好相反。 故选 B。 【答案】B 变式8-1（单选·★☆☆☆☆） 命题“，能被整除”的否定是（ ） A. ，不能被整除 B. ，能被整除 C. ，不能被整除 D. ，不能被整除 【切入点】这次量词的范围是一个有限集 ，而不是整个实数集。否定时量词的范围仍然不动。 【关键】原命题是「在 中存在一个数，它的平方能被 整除」，否定为「对 中的每一个数，它的平方都不能被 整除」。 【易错】把范围也改成「不属于 」。这样讨论对象就换掉了。正确做法只改两处： 换成 ，「能被」改成「不能被」。 故选 C。 【答案】C 变式8-2（填空·★★☆☆☆） 命题“”的否定是______． 【切入点】填空题要自己把整句话写出来，按「量词 + 条件 + 结论的否定」组织。 【关键】原命题是「对一切有理数 ， 都是有理数」。否定为「存在有理数 ，使 不是有理数」。 【易错】取反时只改结论、忘了换量词，或者把 这个范围一起改掉。范围是量词的一部分，不动。 ，。 【答案】 例9（单选·★☆☆☆☆） 已知命题p：菱形不是矩形，该命题的否定是（ ） A. 菱形是矩形 B. 存在一个菱形，它是矩形 C. 存在菱形不是矩形 D. 存在是菱形的矩形 【切入点】题干里没有出现「所有」「任意」这样的字眼，但「菱形不是矩形」说的是「每一个菱形都不是矩形」，量词藏在名词的泛指里。 【关键】把隐含的量词补出来：原命题等价于「对一切菱形，它都不是矩形」。否定就是「存在一个菱形，它是矩形」。 【易错】只把句子改成「菱形是矩形」。这仍然是泛指，等于把原话换了个说法，并没有否定它。否定必须把「所有」改成「存在」。 故选 B。 【答案】B 全称命题与存在命题的真假与求参 一、二次不等式恒成立 对一切实数成立等价于 且 。 对一切实数成立等价于 且 。 对一切实数成立等价于 且 。 二、存在命题为假 「存在 使 」为假，等价于「对一切 都有 」为真。 三、二次项系数可能为零 时不等式退化为一次，需要单独讨论。 例10（单选·★☆☆☆☆） 已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【切入点】「存在……小于等于」是假命题，就把它直接翻过来：否定之后为真命题。存在命题的否定是全称命题。 【关键】否定后得「对一切实数 ，都有 」。这是二次函数恒正的问题：开口已经向上，只要判别式小于零即可。，解得 。 【易错】把「大于零」写成「大于等于零」。原命题里是小于等于零，取反后是严格大于零，等号要翻掉；写成大于等于零就会把判别式的等号也带进来，答案两端会多出等号。 故选 A。 【答案】A 变式10-1（填空·★★☆☆☆） 若命题“，”是假命题，则a的取值范围为__________． 【切入点】取否定后二次三项式恒非负。这次二次项系数已经是正数，不必再讨论。 【关键】否定后得「对一切实数 ，」。开口向上，要让图像不落到 轴下方，只需判别式小于等于零：，解得 。 【易错】把判别式的条件写成严格小于零。这里要求的是恒大于等于零，图像与 轴相切（判别式为零）时函数值能取到零，仍然满足，所以等号要带。 所以 的取值范围是 。 【答案】 例11（单选·★☆☆☆☆） 若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】同样先取否定：存在命题变全称命题，同时把大于等于翻成小于。 【关键】否定后得「对一切实数 ，」。这里要分 是否为零。 时左边是常数 ，恒小于零，可以； 时开口向下，只要判别式小于零即可，由 解得 ； 时开口向上，总会取到正值，不行。合起来 。 【易错】漏掉 。它不是二次不等式，但确实满足要求，要单独补回来。另外 时判别式为零，函数会取到零，不满足严格小于，端点取不到。 故选 B。 【答案】B 变式11-1（填空·★★☆☆☆） 已知命题：“,”为假命题，则的取值范围是____________． 【切入点】先写否定：全称命题为真，再按二次项系数是否为零分类。 【关键】否定后得「对一切实数 ，」。 时左边恒为 ，成立； 时图像要整个落在 轴下方，即 且 ，解得 。两段合起来是 。 【易错】把 那一段漏掉，只写 。另外判断恒负要同时满足「开口向下」与「判别式小于零」两条，缺一不可。 所以 的取值范围是 。 【答案】 例12（单选·★★☆☆☆） 已知，若“，”为假命题，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】这道题的存在命题里没有自变量与参数的不等式，而是「 等于某个函数值」。把它看成「 是否落在 的值域里」。 【关键】 取遍所有正数，所以 的值域是 ，这个范围里的每个数都能被某个 取到。既然「存在 使 」是假的，说明 不在这个范围里，即 。 【易错】把边界 归到「能取到」那一边。 恒为正、永远取不到 ，所以 时不存在满足条件的 ，属于假命题的取值，端点是闭的。 故选 C。 【答案】C 由充分必要关系求参数范围 一、翻译成包含 是 的充分条件等价于 。 是 的必要条件等价于 。 是 的充分不必要条件等价于 是 的真子集。 是 的必要不充分条件等价于 是 的真子集。 二、区间包含的代数判据 等价于 且 。 端点取等与否由两个区间各自的开闭决定。 例13（填空·★★☆☆☆） 已知，，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围为___________. 【切入点】先各自解出 、 的解集，再把「 是 的必要不充分条件」翻译成两个解集的包含关系。 【关键】由 得 ，即 ； 给出的是 。「 是 的必要不充分条件」说的是 能推出 、而 推不出 ，也就是 的解集是 解集的真子集。于是 且 ，解得 ；题目另有 ，取交集得 。 【易错】一处是把方向看反： 是 的必要条件，意味着由 推出 ，所以是 的解集更小。另一处是只写包含、忘了「不充分」这一半。 所以 的取值范围是 。 【答案】 变式13-1（多选·★★★☆☆） 已知命题，命题，且命题是的必要不充分条件，则（ ）。 A. 是的充分不必要条件 B. 是的充分不必要条件 C. 命题可以是“” D. 命题可以是“” 【切入点】三个命题之间的推出关系是本题的核心。先把 的解集写出来，再把「 是 的必要不充分条件」翻译成方向。 【关键】 的解集是 或 ，而 比它小。 A 项：由 能推出 ，由 推不出 ，所以 是 的充分不必要条件，正确。 B 项： 是 的必要条件，意味着由 推出 ；由「 推出 」得「 推出 」，而 推不出 ，所以 是 的充分不必要条件，正确。 D 项： 的每一个解都不为零，但 满足 而不满足 ，所以 可以充当 ，正确。 【易错】C 项： 与 的解集完全一样，那是充要条件，不是必要不充分。 故选 ABD。 【答案】ABD 例14（单选·★★★☆☆） 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】把两个条件都化成集合： 对应 ，另一个先解不等式求出区间，再把「必要不充分」翻译成包含关系。 【关键】由 得 ，即 。「」是它的必要条件，意味着由后者能推出前者，即 要落在 里，故 。「不充分」要求前者推不出后者，这在 时自然成立。 【易错】把 写成 。 时 少了右端点 ，而 在原条件的解集里，包含关系不成立。 故选 B。 【答案】B 例15（填空·★★★☆☆） 设；。若是的充分条件，则实数的取值范围是__________. 【切入点】 是一个现成的区间， 是含参不等式。「 是 的充分条件」就是说 的解集要落在 的解集里。 【关键】由 得 。 的左边分解为 ，两根是 与 （ 时）。要让 落在解集内，右端点 不能小于 ，即 ，得 。当 时不等式退化为 ，解集是 ，同样包含 。 【易错】漏掉 这一支。二次项系数为零时不等式退化成一次，不能再套两根比较的结论。 所以 的取值范围是 。 【答案】 变式15-1（单选·★★☆☆☆） 使命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【切入点】先由「 为假」求出 的确切范围，再问哪个选项是它的必要不充分条件。 【关键】 为假意味着 为真，即对一切 都有 ，故 至少达到 的上界 ，得 。「」要能推出所选项，而所选项推不出它。A 项 恰好满足：范围更大，方向反过来推不动。 【易错】把「必要不充分」与「充分不必要」弄反。判据仍是「小范围推大范围」：结论 范围更小，所以必要条件应当取范围更大的那个。 故选 A。 【答案】A 充要条件在具体情境中的应用 一、通用流程 把两个条件各自的解集求出来，再比包含关系。 二、单调函数的充要转化 若 单调递增，则 等价于 。 若 单调递减，则 等价于 。 三、结构识别 两端可整理成同一个函数的取值形式时，先化成同一函数，再比较两个函数值。 等价于两个复数对应的向量同向。 例16（单选·★☆☆☆☆） 已知，则“”是“为偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【切入点】先看充分性：把 代进去，看函数是不是偶函数。再看必要性：解出偶函数时 的全部取值。 【关键】 时 ，它是偶函数，充分性成立。反过来， 为偶函数时 可取 （ 为整数），并不限于 ，必要性不成立。 【易错】只验证 就下结论。判断必要性的关键是「解出全部取值」，找到一个不等于可以。 故选 A。 【答案】A 变式16-1（单选·★★☆☆☆） 已知，则“”是“为奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【切入点】先看充分性：由 得 ，两个值都代进去看是不是奇函数。再看必要性：由奇函数反求 。 【关键】 时 ，这是偶函数不是奇函数，所以充分性不成立。反过来，若 为奇函数，则 等于 对一切 成立，整理得 ，故 ，它满足 ，必要性成立。 【易错】只代 或只代 试一下。 给出两个值，必须两个都验，只要有一个不成立，充分性就不成立。 故选 B。 【答案】B 变式16-2（单选·★☆☆☆☆） 设关于x的方程有实数解，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【切入点】 说的是「方程有实数解」，它等价于参数 落在左边那个式子的值域里。先用辅助角公式把左边合成一个正弦。 【关键】，取值范围是 ，所以方程有实数解等价于 ，这就是 。 给出的 整个落在 里，由 能推出 ，反过来不行，是充分不必要条件。 【易错】把 错当成 。方程有实数解只要求 落在值域内，负值同样可以；漏掉负的那一半，包含方向就会判错。 故选 A。 【答案】A 变式16-3（单选·★★☆☆☆） 在中，“”是“为直角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【切入点】条件里全是余弦的平方，用 换成正弦更顺，因为正弦与边长之间有正弦定理可用。 【关键】把三个平方都换掉并整理，得 。由正弦定理换成边，即 ，于是 是直角、三角形是直角三角形，充分性成立。反过来，若三角形是直角三角形而直角在 处，则 ，左边变成 ，一般不等于 ，必要性不成立。 【易错】把「直角三角形」默认成「 是直角」。题目条件把直角锁定在 上，反推时必须考虑直角在别处的可能。 故选 A。 【答案】A 例17（单选·★★☆☆☆） 已知集合，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【切入点】两个集合都是「某类整数」的集合，先看清它们分别装了哪些数。 【关键】 是全体偶数， 是全体 的倍数。 的倍数都是偶数，所以 是 的真子集：由 能推出 ，反过来不行（如 ）。所以「」是「」的必要不充分条件。 【易错】把方向看反。判据仍是「小范围推大范围」： 的范围小，「」在充分那一侧，「」在必要那一侧。 故选 B。 【答案】B 例18（单选·★★☆☆☆） 已知复数，（，i为虚数单位），则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【切入点】条件 是三角不等式取等号的情形，此时两个复数对应向量的方向必须一致。 【关键】。取等号当且仅当 、 对应的向量同向，即实部与虚部成比例：，解得 。两个方向都能推，是充要条件。 【易错】把取等号理解成「模相等」。三角不等式 恒成立，取等号的几何含义是两向量同向。 故选 C。 【答案】C 变式18-1（单选·★☆☆☆☆） 已知复数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【切入点】复数带参数，先算它的模，把「」化成关于 的不等式。商的模等于模的商，这样可以少算很多。 【关键】。要它小于 ，两边平方得 ，即 ，也就是 或 。把这个范围与 对照：由 能推出前者，反过来不行，所以是必要不充分条件。 【易错】解 时只保留 、丢掉 。少了这一支，会误以为两个范围相等。 故选 C。 【答案】C 变式18-2（单选·★★☆☆☆） 设是非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【切入点】条件里出现两个向量的和与差的模，这类式子两边平方后会冒出内积，正好与垂直挂钩。 【关键】两边平方得 ，展开为 ，化简得 。非零向量的内积为零恰好等价于互相垂直，所以两个方向都能推。 【易错】把「模相等」直接理解成「向量相等」。模是数量，两个模相等只说明长度一样、方向可以完全不同；这里真正起作用的是平方后内积为零。 故选 C。 【答案】C 变式18-3（单选·★☆☆☆☆） 设，“曲线为椭圆”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【切入点】先看充分性：把曲线化成标准方程，看「是椭圆」能推出什么。再看必要性：由 出发举一个反例。 【关键】若 为椭圆，两边除以 得 ，要成为椭圆需两个分母都为正，于是 成立，充分性成立。反过来取 ，此时 满足，但方程是圆而不是椭圆，必要性不成立。 【易错】只检查 就认定曲线是椭圆。椭圆还要求两个分母不相等，相等时就退化成圆；举 的例子即可否定必要性。 故选 A。 【答案】A 变式18-4（单选·★★☆☆☆） 已知为空间中两条直线，为平面，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件 【切入点】这是把充要条件放在立体几何里考的题。判断的关键是线面垂直的判定定理用了几条直线。 【关键】题设只给出 这一条平面内的直线。 仅说明 垂直于平面内的一条直线，而判定定理要求垂直于平面内两条相交直线，所以充分性不成立。反过来，若 ，则 垂直于平面内的每一条直线，自然包括 ，必要性成立。所以是必要不充分条件。 【易错】把「垂直于平面内一条直线」当作「垂直于平面」。平面内过一点的直线有很多条、方向各不相同，一条不够。 故选 B。 【答案】B 变式18-5（单选·★☆☆☆☆） “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【切入点】两个条件一个带正数限制、一个不带。先看带限制的能否推出不带限制的。 【关键】 是增函数，由 即得 ，所以由 能推出结论，充分性成立。反过来， 只说明 ，并没有要求 为正。取 、，指数的大小关系成立，但 ，必要性不成立。 【易错】把「增函数」当成「等价条件」。由函数值的大小关系反推自变量大小，还需要自变量满足题目附加的限制。 故选 A。 【答案】A 学科网（北京）股份有限公司 $