第1讲 概率综合应用专项训练-2027届高三数学一轮复习

概率综合应用 概率与统计 · 专题篇 赛制与胜负：等效转换、尾局枚举与对称性 比赛中带概率的这种题，难处从来不在概率公式，而在先把规则读懂。题目用一段话告诉你怎么打、打到什么时候停、谁算赢，要做的是把这段话翻译成一句关于「局」的数学命题；这一步错了，后面的分布列再漂亮也是白算。 翻译的核心是一个等价改写。凡是「先胜若干局者获胜」的赛制，都可以改写成「把比赛假想成打满规定的局数，赢够了规定局数就算赢」。两种说法的胜者完全一致：先赢够了，剩下的局补打也改变不了结果；打满后赢够了，也说明他确实先赢到了那个数。改写之后各局互不影响，问题立刻变成熟悉的计数。 改写之后要立刻分清两件事，它们对应的随机变量完全不同。一件是「谁赢了」，只需数够不够；另一件是「一共打了多少局」，就要先想清楚比赛在第几局结束。求局数时，「最后一局一定由胜者赢下」是必须用上的条件：前面若干局双方都还没赢够，最后一局才把差额补齐。漏掉这一条，等于把提前结束的比赛当成打满，答案必然偏差。 枚举尾局是求局数最稳的办法：把结局写成一段由两种符号组成的短序列，每个符号代表某一局由谁赢，再换成对应一方获胜的概率相乘即可。这类题的序列通常很短，穷举比套公式更不容易漏项。 还有一种情形要靠对称性省力。当双方每一局获胜的概率相等时，任何一方的胜率都是二分之一。更一般地，若若干名选手两两交手时胜负概率相同，他们夺冠的概率也相等，可用「总概率为一」反推其中一个的夺冠概率，省掉整棵赛程树的展开。 最后提三个反复出现的坑。第一，「打满局数」与「先胜局数」这两种赛制不能混用。第二，求条件概率前要先把条件事件的范围划清楚。第三，算完分布列后用「各概率之和为一」自查一遍。 例1（解答·★★★★★） 在概率中，等效转换是计算复杂比赛概率的重要思想。例如：两位选手进行3局2胜制比赛，每局选手获胜的概率为选手获胜的概率为，且每局比赛相互独立。那么选手在“3局2胜制”的赛制中获胜的概率，可等效为：选手在3场比赛中至少赢2场。设3场比赛中选手获胜的场数为，那么服从二项分布，从而可以利用二项分布的分布列求出选手获胜的概率。（1）若，求选手在“5局3胜”的赛制中获胜的概率；（2）记选手在“局胜”的赛制中获胜的概率为；在“局胜”的赛制中，选手第一场比赛获胜的条件下，最终获胜的概率为，证明：（3）网球大满贯赛事有两个签表，上半区有名种子选手，下半区有名种子选手（且）。每次抽签都等可能地随机选择一个签表，并抽出一名种子选手进入正赛，抽中后种子选手保留在签表内（不重复抽取）。记上半区的所有种子选手先被抽完的概率为，证明：。 【切入点】题干自己把方法说了出来：「先胜制」可以等效成「打满若干场，赢够规定场数就赢」。抓住这句，第一问变成二项分布的尾部概率，第二问只需比较两个相邻赛制的胜率，第三问是把胜率写成二项系数之和。 【关键】（1） 局 胜等价于打满 场至少赢 场。设 为 场中赢的场数，，则 。 （2） 局 胜的胜率 ，其中 。在 局 胜中已知第一场胜，剩下 场里要再赢 场，按第二场的胜负分成两支：第二场败时后 场至少赢 场，第二场胜时后 场至少赢 场。于是 ，两式相减得 。 （3）上半区比下半区多两名选手，「上半区先抽完」等价于在总共 次抽取中上半区被抽中至少 次。设 ，则 。由对称性 ，故 。要证的不等式化成 。把左边平方，并把每个 与紧随其后的 配对，由 得平方小于 ，开方即得所需不等式。 【易错】第一，第（1）问必须打满 5 场再数，不能按「打完 3 场就停」去枚举，否则会漏掉 、 这两类。第二，第（2）问的分支依据是第二场而非第一场，因为第一场胜已经是已知条件；把分支依据写错，得到的就不是 。第三，第（3）问的连乘不等式要从 小于 出发，这是把「平方」与「配对」两件事同时用上的关键一步。 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析 变式1-1（解答·★★★★★） 某社区举行乒乓球比赛，现有甲、乙等名选手参加。规则如下，将所有选手随机编号为，第一轮1号与2号对战，3号与4号对战，以此类推，共决出名胜者进入第二轮；第二轮1号与2号的胜者和3号与4号的胜者对战，以此类推，决出名胜者进入第三轮；最终有2名胜者进入第轮对战，第轮对战的胜者即为整场比赛的冠军。已知甲选手与其他选手对战时，甲获胜的概率为；其余选手两两对战时，双方获胜的概率均为0.5；比赛没有平局，且每场比赛结果相互独立。（1）若，求乙获得冠军的概率；（2）记为甲和乙恰在第轮比赛中对战的概率，求；（3）记为甲和乙对战过且乙获得冠军的概率，求。 【切入点】淘汰赛的赛程是一棵二叉树，但本题只关心两名指定选手，不必把整棵树展开。关键是把「某某夺冠」翻译成「他连赢若干场」，再把「两人遇到」翻译成「编号落在同一个分支里」。 【关键】（1）四人时甲夺冠须连胜两场，概率为 ；又因为抽签是随机的，除甲以外的三名选手处境完全对称，夺冠概率两两相等。由「三人概率之和为 」得 。 （2）设甲编号为 、乙编号为 。两人在第 轮遇到，等价于 落在 到 之间，这样的编号有 个，而 在余下 个编号中等可能，故「编号落在同一分支」的概率为 。两支都还没被淘汰，要求甲与乙各自连胜 场，概率分别为 与 。两者相乘， 恰好约掉，得 。对 求和即得所需等比数列之和。 （3）在「第 轮相遇」的基础上，还要求乙赢下这一轮以及此后每一轮。乙赢甲的概率是 ；此后还有 轮，乙的对手都不是甲，每轮取胜的概率都是 。故 ，对 求和并用等比数列求和公式即得结果。 【易错】第一，第（1）问若不用对称性，就要把「乙与丙丁的胜负」分开枚举，容易漏掉「乙与甲同处一个半区」这一支。第二，第（2）问的 来自编号区间，不能想当然写成 或 。第三，第（3）问求和后的分母含 ，说明 时要用取极限的说法，不能直接代值。 【答案】（1）；（2）；（3） 变式1-2（解答·★★★★★） 某科研团队研发的两款AI围棋机器人（Alpha星，Beta翼）进行对抗赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部完成后，获胜局数多的机器人胜出。假设每局比赛中，Alpha星获胜的概率都是，各局比赛的结果相互独立，且无平局。（1）当时，两款机器人共进行5局比赛，设两款机器人所赢局数之差的绝对值为，求的分布列和数学期望；（2）当时，若两款机器人共进行局比赛，记事件表示“在前局比赛中Alpha星赢了局”。事件表示“Alpha星最终获胜”。求值；（3）若两款机器人共进行了局比赛，Alpha星获胜的概率记为；若两款机器人共进行了局比赛，Alpha星获胜的概率记为；若两款机器人共进行了局比赛，Alpha星获胜的概率记为。证明：当时，。 【切入点】本题是「固定局数全部比完」，不是先胜制 —— 比赛一定要打满，所以第（2）问里「前 局赢了几局」与「最后两局」是相互独立的两段。把随机变量定成「所赢局数之差的绝对值」，就要先看出差值的奇偶性与取值上限。 【关键】（1）共 局，差值的绝对值必为奇数，只可能取 、、。差 即 或 ，；差 即 或 ，；差 即 或 ，。求期望得 。 （2）前 局赢 局，要让总胜局达到 ，最后两局需要再赢 局。当 时这个数超过 ，做不到，概率为 ；当 时需连赢两局，概率 ；当 时只需赢一局，概率 ；当 时胜局已经够，概率为 。 （3）关键在于把相邻两个赛制的胜率之差写成一项。用全概率公式，按「前 局赢 局」与「赢 局」两支展开，把已经算出的 代入，得 。当 时这一项为正，说明胜率随局数递增。接着算相邻两个差值之比：把 与 相除，组合数之比为 ，于是比值等于 。它小于 ，而由均值不等式 不超过 ，所以比值小于 ，即增量递减，从而 。 【易错】第一，第（1）问是固定局数比完，不能用先胜制的尾局枚举法，否则 的取值范围会算错。第二，第（2）问是分四种情形讨论，两端的 与 也要写出来，不能只写中间两个。第三，第（3）问由「增量递减」推出结论这一步，必须建立在增量已为正的前提上 ——所以要先说清 ，再谈比值小于 。 【答案】（1），，，；（2），，，；（3）证明见解析 例2（解答·★★★★☆） 甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为，输的概率为，每局比赛的结果是独立的。（1）当时，求甲最终获胜的概率；（2）为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案。方案一：最终获胜者得3分，失败者得分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大。 【切入点】三局两胜的结局只有两种记法： 与 。把它们各自写成一段短序列，用「每一局谁赢」的概率相乘即可。第（2）问是比较两个方案的积分期望，而两个方案的差别只在「赢了记几分、输了记几分」，所以只要先求得胜率，期望就是胜率的一次函数。 【关键】（1）甲以 获胜的序列是「胜胜」，概率 ；以 获胜的序列有「胜败胜」与「败胜胜」两种，概率各为 。所以甲获胜的概率 ，代入 得 。 （2）方案一中甲的积分 只取 与 两个值，取 的概率就是 ，取 的概率是 ，故 。方案二中 取 与 ，故 。两者相减 ，因式分解得 。因为 恒成立，所以差的符号完全由 决定。 【易错】第一，第（1）问常见的漏项是只写「胜胜」与「胜败胜」，忘记「败胜胜」 —— 三局两胜里输掉的那一局可以出现在前两局中的任意一局。第二，方案一的失败得分是负数，计算期望时不要习惯性地把失败项省掉。第三，作判断前要先把差式因式分解，否则容易把「 的符号」与「 的符号」混为一谈。 【答案】（1）；（2） 时两方案一样； 时选方案二； 时选方案一 变式2-1（解答·★★★★★） 甲、乙、丙、丁四人进行一场乒乓球比赛，具体赛制为：首先四人抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局并获得第四名；紧接着“败区”的胜者和“胜区”的“败者”对阵，胜者晋级到决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名。已知甲对阵乙、丙、丁时甲获胜的概率均为，乙对阵丙、丁时乙获胜的概率均为，丙与丁对阵时，相互之间获胜的可能性相同，且不同对阵结果相互独立。经过抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁。（1）求丙获得第四名的概率；（2）求甲获得冠军的概率；（3）求乙参与对阵的比赛场数的分布列。 【切入点】四人双败赛制的赛程是固定的树状结构，一共六场对决。这类题不宜套公式，正确做法是把六场比赛的胜负逐个分支枚举，每支的概率是对应若干场胜率的乘积。先把规则翻译成一句话：第一轮两场，胜者进胜区、败者进败区；败区首场的负者即第四名。 【关键】（1）某人拿第四名，必须第一轮就输，并且进入败区首场后又输。第一轮该人与对手的胜负只有一支，进入败区后对手是第一轮另一场的负者，要分「对手是谁」两种情况讨论，把这支赛程的概率沿路径相乘，即得 。 （2）某人夺冠的路径恰好三条：三场全胜；输掉胜区首场后从败区连胜两场；第一轮就输、此后连胜三场。三条路径互斥，各自的概率沿路径相乘，相加得 。 （3）随机变量是某人在整场比赛中的出场次数，取值只能是 、、。出场两次意味着首战失利且败区首场也失利；出场四次意味着打进决赛；出场三次包含几种不同的路径，需要逐条列出再相加。最后用「概率之和为一」求出出场四次的概率。 【易错】第一，双败赛制的第三、四名怎么定极易看错：第四名由败区首场决出，而第三名由败区次场的负者获得，两者不是一场比赛。第二，第（2）问的「输掉胜区首场」这条路径里，对手未必是甲，而是胜区另一场的胜负者，所以对手身份要跟着分支走。第三，第（3）问里某人在败区首次出场的对手是谁，取决于第一轮另一场的胜负，必须把这一层分支带上，否则概率会算错。 【答案】（1）；（2）；（3），， 例3（解答·★★★★★） 在第十五届全国运动会乒乓球女子团体金牌赛中，山东队拼尽全力、不屈不挠，最终战胜河北队，夺得冠军。为了弘扬国球精神，提升竞技水平，某学校举行“校园杯”趣味乒乓球比赛，甲乙两名同学进行“单打对决”，规则如下：比赛采用五局三胜制，为增加比赛悬念，每局比赛不设固定分数上限，实行“净胜两分制”，即从0比0开局，率先净胜对手2分的一方赢得该局。经赛前技术分析，在每一个回合(即从发球开始到一方得分结束的完整对抗过程)中，甲得分的概率为，乙得分的概率为。假设各回合结果相互独立，无无效回合，且各局胜负互不影响。（1）在某一局比赛中，求经过2回合结果为平局的概率和经过4回合结果为平局的概率；（2）在某一局比赛中，记“经过个回合甲获胜”为事件，分别求及在该局比赛中甲获胜的概率；（3）比赛结束时，双方共进行了局比赛，求的分布列。(附:当时，). 【切入点】本题有两层规则叠在一起：里层是「每局净胜两分才算赢」，外层是「五局三胜」。先把里层的胜率求出来，外层就退化成普通的三局两胜型问题。题干还附了一个无穷等比求和公式，是给里层收尾用的。 【关键】（1）前两回合打成平局，只能是两回合各得一分，即「甲乙」或「乙甲」，故 。四回合仍是平局，则前两回合平、后两回合也平，。 （2）净胜两分必须是偶数个回合，故 。 即甲连得两分，。 即前两回合平、后两回合甲连得两分，。一般地， 是「 个回合里甲恰好比乙多得 分」且最后两分归甲，由前面可知每个「两回合平」贡献因子 ，故 。于是甲赢得一局的概率 。 （3）一局中甲胜的概率为 ，各局互不影响，且 是「分出胜负所需的局数」，只可能取 、、。 即一方连赢三局：。 即前三局胜者已赢两局、负者赢一局，第四局胜者再下一城：。 即前四局打成 ，第五局必打：。 【易错】第一，净胜两分制下奇数回合不可能分出胜负，把 或 写成非零是最典型的错。第二，求一局的胜率时，要把「 个回合打成平分」与「最后两分归甲」两件事分开算，漏掉前者就会把胜率算成 。第三，第三问求 时要注意「第四局胜者赢下最后一局」这一条，不能只写前三局的分局情况。 【答案】（1），；（2），，，，甲赢得一局的概率为 ；（3）分布列：，， 变式3-1（解答·★★★★☆） 甲，乙两位同学进行羽毛球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛无平局且各局比赛的结果互不影响。（1）若两人比赛三局，求甲至少胜两局的概率；（2）若比赛采用五局三胜制（即先胜三局的一方获胜，比赛随即结束），设比赛结束时共进行了局，求的分布列与数学期望。 【切入点】第（1）问是无关紧要的三局全打，第（2）问才进入先胜制。两者要分开读：前者「打三局」是固定的，后者「打到分出胜负」是可变的，随机变量 的取值范围因此只能是 、、。 【关键】（1）三局中甲至少胜两局，。 （2） 是一方连赢三局，。 是前三局里胜者已拿两局，第四局胜者再赢一局；胜者可能是甲也可能是乙，两支都要算，。 等价于前四局打成 ，。三个概率之和为一，可作核对。于是 。 【易错】第一， 时胜者有两种身份，只算「甲赢」会漏掉一半。第二， 不是「打完五局」，而是「前四局打成 因而必须打第五局」，末一局谁赢都已包含在 这个条件里。第三，算完务必备份一次「概率和为一」的验算。 【答案】（1）；（2）分布列：，，， 终止与次数：停止条件与路径分类 有一类题，过程会一直进行下去，直到某个条件被满足才停。题目问的往往是「停下来时已经进行了多少次」。这类问题的随机变量是次数而不是某一次的结果，所以先要弄清楚这个次数能取哪些值。 取值范围的确定，靠的是把「停止条件」逐字读一遍。停止条件通常有两层：一层是「成功一次就停」，另一层是「试到规定的上限还没成功也停」。上限这一层常被忽略，而它恰恰决定了次数能不能取到最大值。当上限存在时，取到上限的那一次结果其实已经无关紧要，因为无论如何都要停 —— 这是这类题最容易被算错的地方。 求概率时，把「恰好第若干次停下」翻译成两句话：前面那些次都没有触发停止条件，而这一次触发了。这两件事是独立的，概率相乘即可。「前面都没有触发」通常意味着前面若干次的结果完全相同（全都没成功、全都没出现某种模式），于是这一段概率往往写成某个数的幂。 当停止条件不是「成功一次」那么单薄，而是「连续若干次满足某种模式」时，就必须按上一次的结果分类 —— 因为这一次是否停下取决于上一次是什么。这时要把状态写清楚：上一次属于哪种情形、各有多大概率，再分别讨论这一次的走向。 还有一类过程，每一步都会消耗掉一个有限的资源（奖品、卡牌、球），资源耗尽时过程自动结束。这时停止条件不再是一个固定的次数，而是与已进行的次数联动。处理办法是按「还剩多少资源」分段，每一段内部仍然用「前面不触发、这一次触发」的想法。 最后提三个高频错误。第一，把终止型过程当成各次独立的重复试验，忘记后面的试验能不能进行取决于前面的结果。第二，求条件概率时把「已经停止」与「尚未停止」的范围弄混。第三，涉及无限次的过程要用等比数列求和收尾。 例4（解答·★★★★★） 为备战校园篮球赛，某校高三年级开展“三分球挑战”测试，测试规则如下：每位选手最多有次投篮机会，在投篮过程中，一旦投中，立即结束测试，并公布投篮次数。现有某位选手，单次投中的概率为。（1）若，求该选手恰好投篮次的概率；（2）设该选手结束测试时的投篮次数为，求的数学期望。 【切入点】「一旦投中立即结束」是最干净的停止条件。只需注意上限：最多投 次，所以第 次无论中不中都结束，这使得次数 的概率与前面的写法不同。 【关键】（1）恰好投 次，即前三次都不中、第四次投中，。 （2）当 时，「恰好投 次」要求前 次都不中、第 次投中，。当 时，只要前 次都不中就一定在第 次结束，第 次的结果不影响，。于是 。记 ，用错位相减：把 与 相减，左边得 ，右边剩一个等比段减去末项，化简得 。代回并合并同类项，即得 。 【易错】第一，最末一项的概率不能照抄中间那些项的写法 ——中间项带一个「第 次投中」的因子，末项没有，这是本题唯一的机关。第二，错位相减时要注意等比段的项数是 项而不是 项。第三，最后结果的常数项为 ，可以用「 很大时期望趋于投中所需平均次数」这一常识作量级核对。 【答案】（1）；（2） 变式4-1（解答·★★★★★） 某同学进行连续投篮练习，累计投中次后结束练习。设该同学每次投中的概率均为，记结束练习时投篮的总次数为。（1）求；（2）已知。①若，求当为何值时，最大；②若为常数，记函数，求的极大值点。 【切入点】这里停止的条件不是「成功一次」，而是「累计成功若干次」。所以次数的最小值是成功的总次数，而写概率时，最后一次必须是成功的那一次。 【关键】（1）总共投篮 次且刚好累计三次命中，说明第四次命中，前三次中有两次命中，。 （2）一般地，。比较相邻两项的大小，比值 。①把 代入，比值等于 。令它等于 解得 ；令它大于 解得 ，小于 解得 。所以概率先增后减，且在 与 处取到相同的最大值。 ②把概率看成 的函数，，组合数是常数，只需考察 。对 求导并提取公因式，得 。在 上，导数只由 决定符号： 时为正、 时为负，所以极大值点就是 。 【易错】第一，写 时最后一位必须是命中，漏掉这个因子会把组合数写成 。第二，比较相邻项时得到的比值是有理式，要同时讨论它大于、等于、小于 三种情形，只看等于 会丢掉「并列最大」的另一个 。第三，求极值点时要说明 落在 与 之间，否则极大值点可能在区间外，导数的正负号讨论就不成立。 【答案】（1）；（2）① 或 ；②极大值点为 例5（解答·★★★★★） 设整数。某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮次。当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习。设该同学每次投中的概率为，各次投中与否相互独立。记为停止练习时该同学的投篮次数。（1）当，时，求的分布列；（2）设，均为自然数。（i）当时，求；（ii）当时，证明：。 【切入点】停止条件有两层：投中一次就停，或者投满规定次数仍未中也要停。两者合起来使次数只取有限个值。第二问的结论是「已经投了若干次仍未停下」这件事对将来没有影响，本质上是几何分布的无记忆性，证明只需按条件概率的定义展开。 【关键】（1） 时 可取 。；；；（兜底：前三次都不中，第四次无论中不中都要停）。四个概率之和为一，可作核对。 （2）（i）在 时，「」即前 次都没有投中，所以 。 （ii）按条件概率的定义， （这里用到了「 一定蕴含 」）。把（i）的结果代入，分子分母都是同一底数的幂，相除得 ，恰好等于 ，证毕。 【易错】第一， 取到最大值时的概率不含「最后一次投中」的因子，写成 是最常见的错。第二，使用（i）的前提是 ；若 取到上限， 是不可能事件，概率为零，不能代入公式。第三，证明（ii）时要把「 蕴含 」这一步交代清楚，否则交集写成两个概率之积就说不通了。 【答案】（1），，，；（2），且 证明见解析 变式5-1（解答·★★★★★） 甲、乙两人比赛，每局甲胜概率为，乙胜概率为，且。比赛进行到有1人连胜两局时结束。记为比赛的局数，表示比赛进行局结束的概率。（1）若，求，；（2）求，（结果用，表示）；（3）表示的期望。（i）求（结果用，表示）；（ii）证明：。（参考公式：无穷等比数列，公比为，若，则：，） 【切入点】停止条件是「有人连胜两局」，它与上一次的结果直接相关，所以必须按「最后一局是谁赢的」分类。把比赛结局写成一列胜者符号，「连胜两局」就是这列符号里第一次出现相邻两个相同。 【关键】（1） 是前两局同一人获胜，由 代 得 。 是第三局才出现连胜，此时前两局必定一胜一负、第三局与第二局同人，序列只有两种（一胜一负一胜、一负一胜一胜），由 得 。 （2） 意味着第 局与第 局同人获胜，而此前从未出现连胜。「此前从未出现连胜」等价于前 局的胜者严格交替，把相邻两局配成一对，每对的概率是 ，前 局共 对，再乘上第 局与第 局相反的那一份，合起来是 ，末两局同人取胜的概率是 。 同理，只是末两局同人的那一位可以是任意一方，概率恰好归并为 。 （3）（i）把两类的贡献分别求和，。用题给的无穷级数公式把两个和算出来，再利用 把 换成 ，化简得 。 （ii）把结果写成 （其中 ），分离出常数得 ，它在 增大时递增。由均值不等式， 的最大值为 ，代入得最大值 ，故 。 【易错】第一， 与 的末两局含义不同，前者要求第 、 局同人获胜且第 、 局不同人，后者只要求第 、 局同人，混淆两者是本题最典型的错。第二，用无穷级数公式时要注意下标从 开始，而 的指数正好对应 ，错位一位结果就变。第三，证明上界时要先把结果化成关于 的单调形式，直接说「显然不超过 」是说不通的。 【答案】（1），；（2），；（3），且 证明见解析 变式5-2（解答·★★★★★） 在某生成式人工智能模型中，有一种简化的“词元生成器”，该模型只有两种词元，，且生成词元总数不超过。若生成，则过程立即结束；否则继续生成，直至总数达到。每个词元生成需要先预测，再审核。假设每次预测为，的概率均为0.5，且各次预测相互独立。审核规则如下：①若预测中第一次出现词元，则审核后生成，的概率均为0.5；②若预测中第二次出现词元，则审核后必生成；③若预测中出现词元，则审核后必生成。设表示过程结束时生成词元的总个数。（1）求，；（2）求的分布列；（3）求。 【切入点】本题的过程有两层随机：先「预测」再「审核」。预测各次独立且等可能，审核规则则与「预测中这是第几次出现某个符号」有关。所以要把「这一位生成什么」翻译成预测序列上的一个条件，而不要试图对审核结果单独建模。 【关键】（1）生成一次就结束，要求第一次预测为「甲类符号」并且审核后也生成它，故 。 有两种路径：第一次预测为甲类但审核生成另一类，第二次预测为甲类（此时已是第二次出现，必生成）；或者第一次预测为乙类（必生成乙类），第二次预测为甲类（此时是第一次出现，审核后生成甲类的概率为一半）。两条路径的概率都是 ，故 。 （2）对 ，「恰好生成 个」要求第 个生成的是甲类而前 个都不是。按前 个预测里出现过几次甲类分类：一次都没出现过，则第 次预测甲类属于第一次出现，审核后生成甲类的概率为一半；恰好出现过一次，则第 次预测甲类属于第二次出现，审核后必生成甲类。两类合起来恰好给出 倍的因子，。取到上限 时，前 个生成结果都不是甲类，用同样的分类办法求和得 。 （3）由（2）知 ，用错位相减求和得 ，再用条件概率公式作商，分子分母同乘 ，得 。 【易错】第一，审核规则的三条要一起读：「预测中的第一次出现」与「第二次出现」处理方式不同，只按「预测到甲类就生成甲类」算会整体偏差。第二， 取到上限时不需要第 个位置再做预测，这一点与中间的项不同。第三，第（3）问的条件概率里，「」对应的小问全部落在（2）的公式适用范围内（因为 ），可以放心代入。 【答案】（1），；（2）（其中 ），；（3） 例6（解答·★★★★☆） 甲、乙两人组队准备参加一项挑战比赛，该挑战比赛共分关，规则如下：首先某队员先上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则该队员继续挑战下一关，否则该队员被淘汰，并由第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始继续挑战，当两名队员均被淘汰或者关都挑战成功，挑战比赛结束。若甲每一关挑战成功的概率均为，乙每一关挑战成功的概率均为，且甲、乙两人每关挑战成功与否互不影响，每关成功与否也互不影响。（1）已知甲先上场，，①求挑战没有一关成功的概率；②设为挑战比赛结束时挑战成功的关卡数，求；（2）如果关都挑战成功，那么比赛挑战成功。试判断甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率是否相同，并说明理由。 【切入点】接力制的规则是：一人从当前关卡往后打，打到哪里失手，就换另一人从这一关接着打，两人都被淘汰或全部关卡通关则结束。第（1）问关卡很少，直接把每条路径列出来最快。第（2）问要判断「谁先上场」是否影响通关概率，这类判断通常能从公式的对称性看出来。 【关键】（1）①一关都没过，只能是甲在第一关失手、乙接手后也在第一关失手，。 ②成功的关卡数 可取 。 的概率已算出。 有两条互斥路径：甲过了第一关但第二关失手、乙接手第二关又失手；或者甲第一关失手、乙过了第一关但第二关失手。把两段概率相乘再相加，得 。于是 的概率由「和为一」得 ，。 （2）记先上场者每关成功率 、后上场者 。通关要求两名队员接力把全部关卡走完，而「接力」意味着把整段关卡按「先上场者失手的位置」切成两段：前一段由先上场者独立走完，后一段由后上场者独立走完。把这两段的条件写成「前一段全部成功、下一关失手」的乘积，再对全部可能的切点求和，得到的表达式里凡是含 、 的项都是关于两者对称的，交换 与 的取值不改变结果，所以谁先出场对通关概率没有影响。 【易错】第一，第（1）②问里「乙接手」的起点是上一名队员失手的关卡，不是下一关；把起点写错，路径就全错了。第二， 的两条路径要写全，只写一条会漏掉一半概率。第三，第（2）问不能只说「凭直觉对称」。要把通关概率写成含两名队员成功率的表达式，并指出它对调两者后不变，才算是把理由说清楚。 【答案】（1）①；②；（2）概率相同，理由见解析 变式6-1（解答·★★★★★） 在某个抽奖游戏中，抽奖箱内装有个大小相同、质地均匀的小球，编号分别为1，2，…，n．游戏规则如下：从箱子中随机取出一个小球，记录下编号后放回；再从箱子中随机取出一个小球，记录下编号后放回：重复这个过程，直到某次取到的小球的编号小于或等于上一次取到的小球的编号时停止。游戏停止时，取球的总次数记作T，表示“共有n个小球，按规则取球k次后游戏停止”的概率。（1）求和的值；（2）若小球的个数为n，求游戏停止时取球次数为奇数的概率（用n表示）。 【切入点】停止条件是「这一次取到的编号不大于上一次」，所以「过程还没停」等价于「已经取出的编号严格递增」。这是一个非常好用的改写：把「何时停」换成「递增序列有多长」，问题就从逐次条件概率变成计数。 【关键】（1） 恒成立。「」等价于前两次编号严格递增，从 个编号中选两个递增排列，共 种，故 ，于是 。同理「」等价于前三次严格递增，概率为 ，两者相减得 。 （2）记「恰好取 次后停止」的概率为 。由前面的改写，。于是 。因为编号最多只有 个，严格递增至多持续 次，所以 最大为 ，把 取奇数的那些项加起来即可。逐项展开后正好是一个交错的组合数之和，它等于 。 【易错】第一，「严格递增」与「不递减」是两回事：取到相等编号时过程也会停止，所以递增序列里不能出现重复编号。第二， 的最大值是 而不是 ，因为最后一次取球后一定停止。第三，最后一步的求和不要硬算，要用二项式展开的形式看出结果，否则很容易在组合数下标上出错。 【答案】（1），；（2） 计分 · 奖励与决策：分值映射与期望比较 给分规则一复杂，随机变量就不像「掷几次骰子」那样直观了。处理这类问题的第一件事，是把规则翻译成一张对照表：每一种基础结果各自对应多少分。这张表列清楚了，后面就只是「把同分的那些基础结果的概率加起来」。 翻译对照表时最容易出错的，是分段规则。分段规则往往按「答对了几个」「取出的球是什么颜色」分成若干档，每档一个分值。这类规则不能只算首尾两档，中间的每一档都要单独列出，而且要检查档与档之间有没有重叠或遗漏 ——规则读漏一档，随机变量的取值就会少一个。 随机变量的取值一旦列出，就要回头核对「规则有没有让不同基础结果落到同一个分值上」。如果两种情况都得到相同的分数，那么取这个分数的概率是两种情况的概率之和，不能只写一半。这一点在奖金、优惠券一类「可叠加」「可累计」的规则里尤其常见。 决策题的骨架是固定的：把两个方案各自对应的随机变量的期望都求出来，然后作差，看差的符号。作差之后通常能因式分解，而因式里往往只有一个因子的符号不确定，其余的可以先用已知范围定死。把「不确定的那个因子的符号」讨论清楚，结论就出来了。 如果两个方案完全对称，只是把参与者的角色对调，那么差式里含角色的项会两两抵消，差恒为零 ——这时要说清楚「无论参数取什么值两者都一样」，不能只说「取某个特殊值时不相等」。 最后提三个易错处。第一，规则里出现「不低于」「至多」这类边界时，要确认边界值算在哪一档。第二，算期望时不要漏掉概率为零的取值，它们虽然不贡献数值，但要写出来以表明分布列是完整的。第三，决策题的结论要落到「应该选哪一个」上，只给出两个期望的数值而不作判断，不能算答完。 例7（解答·★★★★★） 现有A、B两个箱子，里面分别装有3个大小、质地完全相同的小球。A箱有2个红球，1个白球；B箱有1个红球，2个白球。现有甲、乙两人进行摸球游戏，每轮游戏甲从A箱取一球，乙从B箱取一球，每次取球后放回原来箱子（即每次取球时箱中球的总数和颜色保持不变，各轮取球相互独立）。每轮取球得分规则如下：•若两人取出的球颜色相同：各得2分•若一人取红球，一人取白球：取红球者得3分，取白球者得1分（1）求第一轮游戏甲与乙得分之差的分布列和期望；（2）若规定游戏进行轮结束（），轮游戏结束后若甲累计得分高于乙，则甲获得最终胜利；若乙累计得分不低于甲，则乙获得最终胜利。①求时乙获得最终胜利的概率；②求时在乙获得最终胜利的条件下，甲乙分数相同的概率。 【切入点】规则按「两人取出的球是否同色」分了两档，分档之后的分值又取决于「谁取到红球」。把这两层读清楚，随机变量就是两人得分之差，只需把四种取球结果逐一对照规则。第（2）问把每轮的分差独立重复若干次，于是变成对独立同分布随机变量求和的分布。 【关键】（1）甲取到红球的概率是 、白球是 ；乙取到红球是 、白球是 。两人同色时各得两分，分差为零，概率为 ；甲红乙白时甲得三分、乙得一分，分差为正二，概率 ；甲白乙红时分差为负二，概率 。于是 。 （2）①两轮的总分差是两个独立同分布变量之和，把三个取值的概率两两相乘并累加，得总分差为负四、负二、零的概率之和是 。「乙获胜」包含总分差为负与为零两种情形，两者都要计入。 ②三轮时总分差为六种偶数值。「分数相同」即总分差为零，包括三轮都打平、以及一轮正二一轮负二一轮打平这两大类，把后者的三种排列也算进去，得 。「乙获胜」即总分差不大于零，把负值各级与零一并累加得 。两者相除即为所求。 【易错】第一，分差为「负二」的那一支只有甲取白球、乙取红球一种，不要与「甲取红球、乙取白球」弄反。第二，第（2）①问里「乙获胜」包含「打平」，漏掉打平会少算 。第三，第（2）②问里总分差为零的路径有两类，第二类还要乘上排列数三，只算「三轮全平」是本题最容易丢分的地方。 【答案】（1）分布列：，，，；（2）①；② 变式7-1（解答·★★★★☆） 某景区为回馈游客设计了一项抽奖活动，每轮抽奖规则是：从装有大小相同的6个红球和4个黑球的袋中一次抽取3个球，每一个红球积1分，每一个黑球积0分；每位游客只能参加一轮抽奖活动，若所得积分大于或等于2，即可获得景区门票一张。（1）求游客甲在一轮抽奖中所得积分的分布列；（2）若某旅行团共5位游客，每位游客获奖的概率稳定且相互独立，求该旅行团获得景区门票人数的众数。 【切入点】一次抽三个球，积分就是其中红球的个数，这是一个不放回的抽样问题，用组合数直接算。第（2）问把「是否得门票」看成一次成功，人数就是一个二项分布的随机变量，问的是它的众数。 【关键】（1）十个球中取三个共有 种等可能取法。取到零个红球即三个全黑，；取到一个红球，；取到两个红球，；取到三个红球，。四个概率之和为一。 （2）积分不低于二即得门票，概率为 。五位游客获奖人数服从二项分布 。把六个概率逐一算出并比较，发现取三人和取四人的概率并列最大，所以众数是 人或 人。 【易错】第一，积分与红球个数一一对应，但「不低于二」包含积分取二与取三两种情形，漏掉任何一种都会把概率算小。第二，众数不唯一是允许的，只写一个人数就丢了答案的一半。第三，用不等式比较相邻两项的办法求众数时，要把两个方向的不等式都列出，这样才看得出「并列」。 【答案】（1），，，；（2） 人或 人 例8（解答·★★★★☆） 某学校组织学科创新能力知识竞赛，参赛选手随机从三类问题中各抽取一个问题回答，类问题回答正确的得分依次是2分、3分、5分，回答错误得0分。已知甲同学能正确回答类问题的概率依次为，乙同学能正确回答类问题的概率都为，总分最高的选手获胜，且甲、乙同学能正确回答问题的概率与顺序无关。（1）求乙同学三个问题中至少有两个问题回答正确的概率；（2）记为甲同学的总得分，求的分布列及期望；（3）已知乙同学在比赛中获胜，求甲同学的总得分不低于5分的概率。 【切入点】三类问题的分值分别是二、三、五分，所以甲的总得分是一个「加权和」型的随机变量。三题各自答对与否互不影响，把八种答题结果逐一列出、算出得分与概率即可。要注意不同组合可能得到相同的总分，这时概率要合并。 【关键】（1）乙三类问题答对的概率都是 ，三题中至少答对两题的概率为 。 （2）甲答对三类问题的概率分别为 、、，把八种结果列出并累加，总分可能取 ；其中总分 有「只答对第三类」与「同时答对前两类」两种情况，概率要相加。把各取值与其概率一一对应后求加权和，得 。 【易错】第一，总分相同的两种来源必须合并概率，否则分布列的和不会等于一。第二，「答题顺序无关」这句话的含义是每类题被答对的概率只与类别有关、与它排在第几个无关，不能据此认为各类分值可以互换。第三，第（1）问的「至少两题」包含恰好两题与全部三题两种情形，只算恰好两题是最常见的漏项。 【答案】（1）；（2） 变式8-1（解答·★★★★★） 为备战年第十一届全国学生“学宪法讲宪法”比赛，某校举办了法治素养竞赛（分初赛和决赛两部分）。初赛从道题中任选题作答，题均答对则进入决赛。已进入决赛的参赛者允许连续抽奖次，中奖次奖励元，中奖次奖励元，中奖次奖励元，若次均未中奖，则只奖励元。假设每次抽奖中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立。（1）已知初赛道题中甲能答对其中道题，记甲在初赛中答对的题目个数为，求的数学期望以及甲在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率；（2）记一名进入决赛的同学恰好中奖次的概率为，求的极大值；（3）假设该校共选拔出名同学进入决赛，若这名同学获得的总奖金的期望值不小于元，试求此时的取值范围。 【切入点】前半段是不放回抽题，答对题数服从超几何分布；后半段是独立重复抽奖，奖金按中奖次数分档。两段之间用「是否进入决赛」衔接。最后问的是参数的取值范围，要把「总奖金的期望不小于某个数」写成关于参数的不等式。 【关键】（1）从六题中任取两题作答，答对题数 服从超几何分布，期望可直接用「抽取数乘以会做比例」算出，。「已答对一题」是条件，「仍未进入决赛」即恰答对一题，用条件概率公式作商得 。 （2）连续抽三次，恰好中奖一次的概率为 。求导并提取公因式得 ，在 上导数只由 决定符号，故极大值点为 ，极大值为 。 （3）奖金按中奖次数分为四档。把四档的金额与其概率对应相乘求和，化简得期望为六十倍的一个关于 的三次式。「九名同学的总期望不小于一千一百二十元」化为一条三次不等式，其左边是关于 的严格增函数，且在 处取到零，再结合题干给的范围，得到所求区间。 【易错】第一，条件概率的分子分母要分清：「已答对一题」是条件，分母是答对至少一题的概率，不是全部情形的概率。第二，奖金档与中奖次数是一一对应的，「三次都没中奖」也有一档奖金，不能漏。第三，解的区间右端是开区间，因为题干给出的参数范围本身不含右端点。 【答案】（1）；仍未进入决赛的概率为 ；（2）极大值为 ；（3） 例9（解答·★★★★☆） 为促进消费，某商场面向顾客开展抽奖活动，规则如下：现有10个不透明的箱子，每个箱子内装有4个除颜色外其他完全相同的小球，其中5个箱子各装有2个白球和2个红球，另外5个箱子各装有1个白球和3个红球，顾客从10个箱子中随机地选取1个箱子，记所选的箱子中红球的个数为m，顾客可从选中的箱子中一次性取出个球，若取出的均是红球，则顾客可获得奖金元，否则无法获得奖金。（1）当时，求顾客可以获得奖金的概率；（2）当n取何值时，顾客获得奖金金额的期望更大？ 【切入点】两种箱子中红球个数不同，所以「抽到几个红球」要先分成两类箱子讨论，再在每类箱子内部按不放回抽球计算。奖金金额与红球个数挂钩，所以整套计算要沿用同一个分类。 【关键】（1）选到含两个红球的箱子与含三个红球的箱子的概率各为 。前者取出一个是红球的概率为 ，后者为 。加权相加得 。 （2） 时奖金为 ， 取 与 分别得到四十元与三十元； 时奖金为 ，同样对应八十元与六十元。两个方案都要先算「取出的全是红球」这一条件概率，再按箱子类型加权。分别算出两个期望， 时是 ， 时是 。后者较大，故取两个球时期望更高。 【易错】第一，奖金公式里的分母与红球个数有关，不能把两类箱子的奖金写成一个数。第二， 时「全是红球」的概率要用组合数算，不能把两次抽取当成有放回。第三，两个期望的数值很接近，比较时要用精确分数作差，用四舍五入后的近似值容易得出相反结论。 【答案】（1）；（2） 时奖金金额的期望更大 变式9-1（解答·★★★★☆） 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束。A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关。（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由。 【切入点】规则里有一个关键的「一旦答错就结束」，所以累计得分只有三种可能：第一题就错、第一题对第二题错、两题都对。这个结构决定了整个分布列非常短。第（2）问把两类问题的先后顺序对调，再用期望作比较。 【关键】（1）先答 类时， 类答对得二十分， 类答对得八十分。第一题就错的概率为一减去 类的正确率，故 ；第一题对而第二题错的概率为 类正确率乘 类错误率，故 ；两题都对的概率为两者之积，故 。三个概率之和为一，可作核对。 （2）把顺序对调， 类先答时得分的三种可能变成零、八十与一百，各概率按同样的结构算出。分别求期望得 与 ，后者较大，所以应选择先回答 类问题。 【易错】第一，「答错即结束」使第二题只可能在第一题答对时出现，不要把两题的独立性误用成「两题都要答」。第二，两类问题的分值不同，把顺序对调后得分取值也跟着变，不能沿用同一组取值。第三，决策题的结论要写出「选哪一类」以及理由，只给两个期望值不算答完。 【答案】（1），，；（2）应选择先回答 类问题 变式9-2（解答·★★★★☆） 甲、乙、丙三人各自独立投篮，甲和乙都投中的概率是，甲投中而丙未投中的概率是，乙投中而丙未投中的概率是。（1）请问三人中哪一位投篮水平较高？并说明理由；（2）现将投篮水平较低的两人组成一组（记为），与投篮水平较高的人（记为组）进行投篮比赛，甲、乙、丙各自独立投篮次，且每次投篮的结果互不影响，投中次数较多的一组获胜，求组获胜的概率。 【切入点】题干没有直接给出三人的命中率，而是给了三个关于两两同时命中的概率。这是三个方程，把命中率当未知数解出来即可。第（2）问把水平较低的两人编成一组、与水平较高的那位对抗，两组各自的命中次数都是二项分布，求其中一组更大的概率。 【关键】（1）把三人记为甲、乙、丙，命中率记为 、、。「甲、乙都中」给出 ，「甲中而丙未中」给出 ，「乙中而丙未中」给出 。后两式相除，左右两边都含 ，约去后得 ；再代回第一式求出 与 ，最后由第二式解出 。三个命中率中 最大，所以丙的投篮水平较高。 （2）水平较低的是甲与乙，两人合计投篮四次，命中次数服从 ；丙投篮两次，命中次数服从 。「丙这一组获胜」要求丙的命中次数严格大于另一组。把每一种可能的情形相乘并累加，得 。 【易错】第一，解方程组时要注意 才能约去 ，这一步要在解答里交代清楚。第二，第二问里「水平较低的两人一组」意味着这一组要投四次、丙只投两次，两组投篮次数不同，不能用同一个二项分布。第三，「投中次数较多的一组获胜」是严格大于，两组次数相等时不算任何一方获胜，所以求的是严格大于的概率而不是不小于。 【答案】（1）丙的投篮水平较高；（2） 学科网（北京）股份有限公司 $ 概率综合应用 概率与统计 · 专题篇 赛制与胜负：等效转换、尾局枚举与对称性 比赛中带概率的这种题，难处从来不在概率公式，而在先把规则读懂。题目用一段话告诉你怎么打、打到什么时候停、谁算赢，要做的是把这段话翻译成一句关于「局」的数学命题；这一步错了，后面的分布列再漂亮也是白算。 翻译的核心是一个等价改写。凡是「先胜若干局者获胜」的赛制，都可以改写成「把比赛假想成打满规定的局数，赢够了规定局数就算赢」。两种说法的胜者完全一致：先赢够了，剩下的局补打也改变不了结果；打满后赢够了，也说明他确实先赢到了那个数。改写之后各局互不影响，问题立刻变成熟悉的计数。 改写之后要立刻分清两件事，它们对应的随机变量完全不同。一件是「谁赢了」，只需数够不够；另一件是「一共打了多少局」，就要先想清楚比赛在第几局结束。求局数时，「最后一局一定由胜者赢下」是必须用上的条件：前面若干局双方都还没赢够，最后一局才把差额补齐。漏掉这一条，等于把提前结束的比赛当成打满，答案必然偏差。 枚举尾局是求局数最稳的办法：把结局写成一段由两种符号组成的短序列，每个符号代表某一局由谁赢，再换成对应一方获胜的概率相乘即可。这类题的序列通常很短，穷举比套公式更不容易漏项。 还有一种情形要靠对称性省力。当双方每一局获胜的概率相等时，任何一方的胜率都是二分之一。更一般地，若若干名选手两两交手时胜负概率相同，他们夺冠的概率也相等，可用「总概率为一」反推其中一个的夺冠概率，省掉整棵赛程树的展开。 最后提三个反复出现的坑。第一，「打满局数」与「先胜局数」这两种赛制不能混用。第二，求条件概率前要先把条件事件的范围划清楚。第三，算完分布列后用「各概率之和为一」自查一遍。 例1（解答·★★★★★） 在概率中，等效转换是计算复杂比赛概率的重要思想。例如：两位选手进行3局2胜制比赛，每局选手获胜的概率为选手获胜的概率为，且每局比赛相互独立。那么选手在“3局2胜制”的赛制中获胜的概率，可等效为：选手在3场比赛中至少赢2场。设3场比赛中选手获胜的场数为，那么服从二项分布，从而可以利用二项分布的分布列求出选手获胜的概率。（1）若，求选手在“5局3胜”的赛制中获胜的概率；（2）记选手在“局胜”的赛制中获胜的概率为；在“局胜”的赛制中，选手第一场比赛获胜的条件下，最终获胜的概率为，证明：（3）网球大满贯赛事有两个签表，上半区有名种子选手，下半区有名种子选手（且）。每次抽签都等可能地随机选择一个签表，并抽出一名种子选手进入正赛，抽中后种子选手保留在签表内（不重复抽取）。记上半区的所有种子选手先被抽完的概率为，证明：。 变式1-1（解答·★★★★★） 某社区举行乒乓球比赛，现有甲、乙等名选手参加。规则如下，将所有选手随机编号为，第一轮1号与2号对战，3号与4号对战，以此类推，共决出名胜者进入第二轮；第二轮1号与2号的胜者和3号与4号的胜者对战，以此类推，决出名胜者进入第三轮；最终有2名胜者进入第轮对战，第轮对战的胜者即为整场比赛的冠军。已知甲选手与其他选手对战时，甲获胜的概率为；其余选手两两对战时，双方获胜的概率均为0.5；比赛没有平局，且每场比赛结果相互独立。（1）若，求乙获得冠军的概率；（2）记为甲和乙恰在第轮比赛中对战的概率，求；（3）记为甲和乙对战过且乙获得冠军的概率，求。 变式1-2（解答·★★★★★） 某科研团队研发的两款AI围棋机器人（Alpha星，Beta翼）进行对抗赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部完成后，获胜局数多的机器人胜出。假设每局比赛中，Alpha星获胜的概率都是，各局比赛的结果相互独立，且无平局。（1）当时，两款机器人共进行5局比赛，设两款机器人所赢局数之差的绝对值为，求的分布列和数学期望；（2）当时，若两款机器人共进行局比赛，记事件表示“在前局比赛中Alpha星赢了局”。事件表示“Alpha星最终获胜”。求值；（3）若两款机器人共进行了局比赛，Alpha星获胜的概率记为；若两款机器人共进行了局比赛，Alpha星获胜的概率记为；若两款机器人共进行了局比赛，Alpha星获胜的概率记为。证明：当时，。 例2（解答·★★★★☆） 甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为，输的概率为，每局比赛的结果是独立的。（1）当时，求甲最终获胜的概率；（2）为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案。方案一：最终获胜者得3分，失败者得分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大。 变式2-1（解答·★★★★★） 甲、乙、丙、丁四人进行一场乒乓球比赛，具体赛制为：首先四人抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局并获得第四名；紧接着“败区”的胜者和“胜区”的“败者”对阵，胜者晋级到决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名。已知甲对阵乙、丙、丁时甲获胜的概率均为，乙对阵丙、丁时乙获胜的概率均为，丙与丁对阵时，相互之间获胜的可能性相同，且不同对阵结果相互独立。经过抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁。（1）求丙获得第四名的概率；（2）求甲获得冠军的概率；（3）求乙参与对阵的比赛场数的分布列。 例3（解答·★★★★★） 在第十五届全国运动会乒乓球女子团体金牌赛中，山东队拼尽全力、不屈不挠，最终战胜河北队，夺得冠军。为了弘扬国球精神，提升竞技水平，某学校举行“校园杯”趣味乒乓球比赛，甲乙两名同学进行“单打对决”，规则如下：比赛采用五局三胜制，为增加比赛悬念，每局比赛不设固定分数上限，实行“净胜两分制”，即从0比0开局，率先净胜对手2分的一方赢得该局。经赛前技术分析，在每一个回合(即从发球开始到一方得分结束的完整对抗过程)中，甲得分的概率为，乙得分的概率为。假设各回合结果相互独立，无无效回合，且各局胜负互不影响。（1）在某一局比赛中，求经过2回合结果为平局的概率和经过4回合结果为平局的概率；（2）在某一局比赛中，记“经过个回合甲获胜”为事件，分别求及在该局比赛中甲获胜的概率；（3）比赛结束时，双方共进行了局比赛，求的分布列。(附:当时，). 变式3-1（解答·★★★★☆） 甲，乙两位同学进行羽毛球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛无平局且各局比赛的结果互不影响。（1）若两人比赛三局，求甲至少胜两局的概率；（2）若比赛采用五局三胜制（即先胜三局的一方获胜，比赛随即结束），设比赛结束时共进行了局，求的分布列与数学期望。 终止与次数：停止条件与路径分类 有一类题，过程会一直进行下去，直到某个条件被满足才停。题目问的往往是「停下来时已经进行了多少次」。这类问题的随机变量是次数而不是某一次的结果，所以先要弄清楚这个次数能取哪些值。 取值范围的确定，靠的是把「停止条件」逐字读一遍。停止条件通常有两层：一层是「成功一次就停」，另一层是「试到规定的上限还没成功也停」。上限这一层常被忽略，而它恰恰决定了次数能不能取到最大值。当上限存在时，取到上限的那一次结果其实已经无关紧要，因为无论如何都要停 —— 这是这类题最容易被算错的地方。 求概率时，把「恰好第若干次停下」翻译成两句话：前面那些次都没有触发停止条件，而这一次触发了。这两件事是独立的，概率相乘即可。「前面都没有触发」通常意味着前面若干次的结果完全相同（全都没成功、全都没出现某种模式），于是这一段概率往往写成某个数的幂。 当停止条件不是「成功一次」那么单薄，而是「连续若干次满足某种模式」时，就必须按上一次的结果分类 —— 因为这一次是否停下取决于上一次是什么。这时要把状态写清楚：上一次属于哪种情形、各有多大概率，再分别讨论这一次的走向。 还有一类过程，每一步都会消耗掉一个有限的资源（奖品、卡牌、球），资源耗尽时过程自动结束。这时停止条件不再是一个固定的次数，而是与已进行的次数联动。处理办法是按「还剩多少资源」分段，每一段内部仍然用「前面不触发、这一次触发」的想法。 最后提三个高频错误。第一，把终止型过程当成各次独立的重复试验，忘记后面的试验能不能进行取决于前面的结果。第二，求条件概率时把「已经停止」与「尚未停止」的范围弄混。第三，涉及无限次的过程要用等比数列求和收尾。 例4（解答·★★★★★） 为备战校园篮球赛，某校高三年级开展“三分球挑战”测试，测试规则如下：每位选手最多有次投篮机会，在投篮过程中，一旦投中，立即结束测试，并公布投篮次数。现有某位选手，单次投中的概率为。（1）若，求该选手恰好投篮次的概率；（2）设该选手结束测试时的投篮次数为，求的数学期望。 变式4-1（解答·★★★★★） 某同学进行连续投篮练习，累计投中次后结束练习。设该同学每次投中的概率均为，记结束练习时投篮的总次数为。（1）求；（2）已知。①若，求当为何值时，最大；②若为常数，记函数，求的极大值点。 例5（解答·★★★★★） 设整数。某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮次。当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习。设该同学每次投中的概率为，各次投中与否相互独立。记为停止练习时该同学的投篮次数。（1）当，时，求的分布列；（2）设，均为自然数。（i）当时，求；（ii）当时，证明：。 变式5-1（解答·★★★★★） 甲、乙两人比赛，每局甲胜概率为，乙胜概率为，且。比赛进行到有1人连胜两局时结束。记为比赛的局数，表示比赛进行局结束的概率。（1）若，求，；（2）求，（结果用，表示）；（3）表示的期望。（i）求（结果用，表示）；（ii）证明：。（参考公式：无穷等比数列，公比为，若，则：，） 变式5-2（解答·★★★★★） 在某生成式人工智能模型中，有一种简化的“词元生成器”，该模型只有两种词元，，且生成词元总数不超过。若生成，则过程立即结束；否则继续生成，直至总数达到。每个词元生成需要先预测，再审核。假设每次预测为，的概率均为0.5，且各次预测相互独立。审核规则如下：①若预测中第一次出现词元，则审核后生成，的概率均为0.5；②若预测中第二次出现词元，则审核后必生成；③若预测中出现词元，则审核后必生成。设表示过程结束时生成词元的总个数。（1）求，；（2）求的分布列；（3）求。 例6（解答·★★★★☆） 甲、乙两人组队准备参加一项挑战比赛，该挑战比赛共分关，规则如下：首先某队员先上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则该队员继续挑战下一关，否则该队员被淘汰，并由第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始继续挑战，当两名队员均被淘汰或者关都挑战成功，挑战比赛结束。若甲每一关挑战成功的概率均为，乙每一关挑战成功的概率均为，且甲、乙两人每关挑战成功与否互不影响，每关成功与否也互不影响。（1）已知甲先上场，，①求挑战没有一关成功的概率；②设为挑战比赛结束时挑战成功的关卡数，求；（2）如果关都挑战成功，那么比赛挑战成功。试判断甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率是否相同，并说明理由。 变式6-1（解答·★★★★★） 在某个抽奖游戏中，抽奖箱内装有个大小相同、质地均匀的小球，编号分别为1，2，…，n．游戏规则如下：从箱子中随机取出一个小球，记录下编号后放回；再从箱子中随机取出一个小球，记录下编号后放回：重复这个过程，直到某次取到的小球的编号小于或等于上一次取到的小球的编号时停止。游戏停止时，取球的总次数记作T，表示“共有n个小球，按规则取球k次后游戏停止”的概率。（1）求和的值；（2）若小球的个数为n，求游戏停止时取球次数为奇数的概率（用n表示）。 计分 · 奖励与决策：分值映射与期望比较 给分规则一复杂，随机变量就不像「掷几次骰子」那样直观了。处理这类问题的第一件事，是把规则翻译成一张对照表：每一种基础结果各自对应多少分。这张表列清楚了，后面就只是「把同分的那些基础结果的概率加起来」。 翻译对照表时最容易出错的，是分段规则。分段规则往往按「答对了几个」「取出的球是什么颜色」分成若干档，每档一个分值。这类规则不能只算首尾两档，中间的每一档都要单独列出，而且要检查档与档之间有没有重叠或遗漏 ——规则读漏一档，随机变量的取值就会少一个。 随机变量的取值一旦列出，就要回头核对「规则有没有让不同基础结果落到同一个分值上」。如果两种情况都得到相同的分数，那么取这个分数的概率是两种情况的概率之和，不能只写一半。这一点在奖金、优惠券一类「可叠加」「可累计」的规则里尤其常见。 决策题的骨架是固定的：把两个方案各自对应的随机变量的期望都求出来，然后作差，看差的符号。作差之后通常能因式分解，而因式里往往只有一个因子的符号不确定，其余的可以先用已知范围定死。把「不确定的那个因子的符号」讨论清楚，结论就出来了。 如果两个方案完全对称，只是把参与者的角色对调，那么差式里含角色的项会两两抵消，差恒为零 ——这时要说清楚「无论参数取什么值两者都一样」，不能只说「取某个特殊值时不相等」。 最后提三个易错处。第一，规则里出现「不低于」「至多」这类边界时，要确认边界值算在哪一档。第二，算期望时不要漏掉概率为零的取值，它们虽然不贡献数值，但要写出来以表明分布列是完整的。第三，决策题的结论要落到「应该选哪一个」上，只给出两个期望的数值而不作判断，不能算答完。 例7（解答·★★★★★） 现有A、B两个箱子，里面分别装有3个大小、质地完全相同的小球。A箱有2个红球，1个白球；B箱有1个红球，2个白球。现有甲、乙两人进行摸球游戏，每轮游戏甲从A箱取一球，乙从B箱取一球，每次取球后放回原来箱子（即每次取球时箱中球的总数和颜色保持不变，各轮取球相互独立）。每轮取球得分规则如下：•若两人取出的球颜色相同：各得2分•若一人取红球，一人取白球：取红球者得3分，取白球者得1分（1）求第一轮游戏甲与乙得分之差的分布列和期望；（2）若规定游戏进行轮结束（），轮游戏结束后若甲累计得分高于乙，则甲获得最终胜利；若乙累计得分不低于甲，则乙获得最终胜利。①求时乙获得最终胜利的概率；②求时在乙获得最终胜利的条件下，甲乙分数相同的概率。 变式7-1（解答·★★★★☆） 某景区为回馈游客设计了一项抽奖活动，每轮抽奖规则是：从装有大小相同的6个红球和4个黑球的袋中一次抽取3个球，每一个红球积1分，每一个黑球积0分；每位游客只能参加一轮抽奖活动，若所得积分大于或等于2，即可获得景区门票一张。（1）求游客甲在一轮抽奖中所得积分的分布列；（2）若某旅行团共5位游客，每位游客获奖的概率稳定且相互独立，求该旅行团获得景区门票人数的众数。 例8（解答·★★★★☆） 某学校组织学科创新能力知识竞赛，参赛选手随机从三类问题中各抽取一个问题回答，类问题回答正确的得分依次是2分、3分、5分，回答错误得0分。已知甲同学能正确回答类问题的概率依次为，乙同学能正确回答类问题的概率都为，总分最高的选手获胜，且甲、乙同学能正确回答问题的概率与顺序无关。（1）求乙同学三个问题中至少有两个问题回答正确的概率；（2）记为甲同学的总得分，求的分布列及期望；（3）已知乙同学在比赛中获胜，求甲同学的总得分不低于5分的概率。 变式8-1（解答·★★★★★） 为备战年第十一届全国学生“学宪法讲宪法”比赛，某校举办了法治素养竞赛（分初赛和决赛两部分）。初赛从道题中任选题作答，题均答对则进入决赛。已进入决赛的参赛者允许连续抽奖次，中奖次奖励元，中奖次奖励元，中奖次奖励元，若次均未中奖，则只奖励元。假设每次抽奖中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立。（1）已知初赛道题中甲能答对其中道题，记甲在初赛中答对的题目个数为，求的数学期望以及甲在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率；（2）记一名进入决赛的同学恰好中奖次的概率为，求的极大值；（3）假设该校共选拔出名同学进入决赛，若这名同学获得的总奖金的期望值不小于元，试求此时的取值范围。 例9（解答·★★★★☆） 为促进消费，某商场面向顾客开展抽奖活动，规则如下：现有10个不透明的箱子，每个箱子内装有4个除颜色外其他完全相同的小球，其中5个箱子各装有2个白球和2个红球，另外5个箱子各装有1个白球和3个红球，顾客从10个箱子中随机地选取1个箱子，记所选的箱子中红球的个数为m，顾客可从选中的箱子中一次性取出个球，若取出的均是红球，则顾客可获得奖金元，否则无法获得奖金。（1）当时，求顾客可以获得奖金的概率；（2）当n取何值时，顾客获得奖金金额的期望更大？ 变式9-1（解答·★★★★☆） 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束。A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关。（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由。 变式9-2（解答·★★★★☆） 甲、乙、丙三人各自独立投篮，甲和乙都投中的概率是，甲投中而丙未投中的概率是，乙投中而丙未投中的概率是。（1）请问三人中哪一位投篮水平较高？并说明理由；（2）现将投篮水平较低的两人组成一组（记为），与投篮水平较高的人（记为组）进行投篮比赛，甲、乙、丙各自独立投篮次，且每次投篮的结果互不影响，投中次数较多的一组获胜，求组获胜的概率。 学科网（北京）股份有限公司 $