第1讲 集合的运算与计数专项训练-2027届高考数学一轮复习

集合的运算与计数 集合与逻辑 · 专题篇 集合的运算（数轴法） 一、三个基本运算 交集 ：由同时属于 与 的元素组成。 并集 ：由属于 或属于 的元素组成。 补集 ：由属于全集 但不属于 的元素组成。 二、运算律 德摩根律：；。 。 等于空集； 等于 。 三、与包含的互化 等价于 ，也等价于 。 四、常用变形 ；。 例1（单选·★☆☆☆☆） 已知集合，，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】两个集合都已经是区间，直接到数轴上求并集。 【关键】，。两个区间有重叠，并起来就是从较小的一端延伸到较大的一端，即 。 【易错】把结果写成两段。两个区间有公共部分时，并集应当连成一段；只有彼此不相接时才写成两段。 故选 C。 【答案】C 变式1-1（单选·★☆☆☆☆） 已知集合，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】先解出两个集合，再到数轴上取并集。 【关键】由 得 ；由 得 ，即 。 搭在 的开头部分，并起来从 一直延伸到正无穷，即 。 【易错】只比两个左端点的大小就下结论。并集的形式要看两区间的重叠关系：这里 的左端点更小、右端点落在 内部，所以并集的左端取 、右端取正无穷。 故选 A。 【答案】A 变式1-2（单选·★☆☆☆☆） 已知集合，则 = （ ） A. 空集 B. C. D. 【切入点】先用绝对值不等式解出 ，再从里面挑整数。 【关键】 等价于 ，解得 ，即 。这个区间里的整数是 。 【易错】把端点算进去。 与 都不满足严格小于，取不到；另外不要写进负整数， 的左端点是 。 故选 D。 【答案】D 例2（单选·★☆☆☆☆） 设集合，，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】两个集合分别来自二次不等式与一次不等式，先解出来再取并集。 【关键】由 得 ，即 ；由 得 。 从 起一直延伸到正无穷，把 的右半段包住了，并起来就是 。 【易错】看到 是 就以为并集的右端是 。 延伸到正无穷，右端要写成 ；同时左端取 ，不是 。 故选 D。 【答案】D 变式2-1（单选·★☆☆☆☆） 已知集合，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】两个集合都是不等式的解集，先化成区间，再到数轴上取并集。 【关键】由 得 ；由 即 得 。把两段合起来得 。 【易错】把 的左端点写成开。原不等式带等号， 取得到，左端点是闭的。另外 是两段，并起来以后 到 之间仍是取不到的。 故选 D。 【答案】D 例3（单选·★☆☆☆☆） 已知集合，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】先解出集合 ，再在实数范围内取补集。 【关键】由 得 ，所以 。它的补集是数轴上剩下的部分，即 。 【易错】一处是把 漏掉。真数要为正， 本来就不在 里，取补集时它属于补集，所以左端点是闭的。另一处是把 写成开： 不带等号， 不在 中，因此它在补集里，右端点应当闭。 故选 B。 【答案】B 变式3-1（单选·★☆☆☆☆） 已知集合，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】集合 用函数的定义域描述，先把它翻译过来： 就是使 有意义的那些 。 【关键】对数的真数要为正，故 ，得 。 由 即 得 。取交集是两个区间的公共段，即 。 【易错】把定义域的条件写反。 要求真数 大于零，得到的是 ；若误写成 ，就会把 也拉进来。 故选 A。 【答案】A 含二次与分式不等式的集合运算 一、定义域的三条 的定义域：。 的定义域：。 的定义域：。 二、分式不等式 等价于 ； 等价于 且 。 等价于 ； 等价于 且 。 三、二次不等式（二次项系数为正） ： 时解集在两根之外， 时解集为 ， 时解集为全体实数。 ： 时解集在两根之间， 时解集为空集。 例4（单选·★☆☆☆☆） 已知集合，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】两个集合一个用二次不等式写、一个用一次不等式写，先把它们都化成区间，再取交集。 【关键】由 得 ，所以 ；由 得 。两个区间的公共段是 。 【易错】把 的端点写成开。原不等式带等号， 与 都取得到，所以 的两端都是闭的；而 的左端点是开的，公共段从左端点较大的一方开始。 故选 C。 【答案】C 变式4-1（单选·★☆☆☆☆） 已知集合，，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】集合 由分式不等式给出。 的符号不确定，不能两边直接乘，要化成整式再解。 【关键】 等价于 ，解得 。又 ，两区间取公共段得 。 【易错】两边同乘 得 ，于是误把 当成 。分式不等式先化成分子分母相乘的形式，再解这个二次不等式。 故选 C。 【答案】C 例5（单选·★☆☆☆☆） 已知集合，，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】 是列举法给出的有限集，所以只要把 化成区间，再挑出 中落在区间里的数。 【关键】由 得 ，所以 。 中落在该区间内的是 与 ，故 。 【易错】把 或 放进来。 比左端点 小、 比右端点 大，两个都不在 内。分解后先把两根写清楚，再逐个比。 故选 B。 【答案】B 例6（单选·★☆☆☆☆） 已知集合，，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】 带 又是开区间，要把里头小于 6 的自然数逐个列出来； 化成区间后取公共部分。 【关键】由 且 为自然数得 ；由 得 。 中小于 的是 与 ，所以 。 【易错】把 留在答案里。 的右端点 是开的，取不到，只有严格小于 的元素才属于交集。另外 时要从 起， 不在开区间内。 故选 D。 【答案】D 变式6-1（单选·★☆☆☆☆） 已知集合，集合，则 = （ ）。 A. B. C. D. 【切入点】 是二次不等式的解集，属于「两根之外」型； 只给四个数，逐个代入判断最省事。 【关键】由 得 ，解集是 或 ，即 。 中满足条件的是 和 ，故 。 【易错】把 和 也算进来。它们是方程 的两根，代入后左边等于 ，不满足严格大于， 中的这两个数都要剔除。 故选 B。 【答案】B 集合间的关系 一、包含的定义与判据 ： 中每个元素都属于 。 且 等价于 。 真子集： 且 ，此时称 是 的真子集。 二、空集 空集是任何集合的子集；空集是任何非空集合的真子集。 三、等价转化 等价于 ； 等价于 。 等价于 ； 等价于 。 等价于 。 例7（单选·★☆☆☆☆） 已知全集均为的子集，且，则 = （ ） A. 空集 B. C. D. 【切入点】题面只有关系、没有具体数字，画一张韦恩图最快：把 画成一个圈， 画在 里面。 【关键】 说明 的元素全在 里，于是 中不可能有元素落在 上。所以 一个元素也没有，等于空集。 【易错】把「 与 没有公共元素」当成「 是空集」。 完全可以不是空集，只是它整体落在 里；两个集合没有交集，空掉的是交集本身，不是 。 故选 A。 【答案】A 变式7-1（单选·★☆☆☆☆） 集合，则与的关系为（ ） A. B. C. D. 【切入点】先把 解出来 —— 它是方程 的解集，只有两个数，然后跟 逐个比。 【关键】由 得 ，故 。 的两个元素都在 中，且 比 少一个元素，所以 是 的真子集，记作 。 【易错】选项中混进了 、 这类写法。 描述的是元素与集合之间的关系， 描述的才是集合与集合之间的关系，两个集合之间不能写 。 故选 C。 【答案】C 变式7-2（单选·★☆☆☆☆） 设集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】 为空集，就是两个区间在数轴上不搭界。 【关键】 的左端固定在 ，而 在它右边，所以只要 整体落在 的左边即可，即 。再结合 本身是一个区间，得 。于是 。 【易错】把 排除掉。 与 只差端点 ，而 属于 、不属于 ，交集仍然是空集，所以 取得到。端点归谁所有，由各自区间的开闭决定。 故选 A。 【答案】A 例8（单选·★☆☆☆☆） 设M，N为全集的两个非空子集，若，则 = （ ） A. 空集 B. C. D. 【切入点】 这句话说的是： 与 没有公共元素。既然两者不相交， 就整个落在 里面。 【关键】由 得 等于空集，于是 。取交集时，若一个集合包含另一个，交集就是较小的那个，因此 。 【易错】把 看成了 。题目给的包含式左端是 、右端是 ，两个下标要对准；另外题里说明 是非空子集，答案不能写成空集。 故选 B。 【答案】B 例9（单选·★☆☆☆☆） 设集合，若，则中各元素之和为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【切入点】 就是说 的两个元素都在 里。 中有一个明确元素 ，先盯住它。 【关键】因为 且 ，所以 必须是 的元素。而 ，故只能是 。于是 ，各元素之和为 。 【易错】回头去求 。 的具体值题里没给，也不需要求 —— 它只是说明 的第二个元素是谁。看清问的是 的元素之和，与 无关。 故选 B。 【答案】B 变式9-1（单选·★☆☆☆☆） 已知集合，若，则 = （ ） A. 0 B. 0或2 C. 1或2 D. 0或1 【切入点】 换个写法就是 ，也就是 的两个元素都得落在 里。 【关键】 有两个元素，所以 ；又 本来就在 中，于是只需 。而 ，故 或 。后者解得 或 ，其中 与元素互异性矛盾，舍去。所以 或 。 【易错】求出值后不回代检验。 会让 变成 、 变成 ，两个集合都不合法。列举法表示的集合里出现参数，解完必须代回去验一遍互异性。 故选 B。 【答案】B 变式9-2（单选·★☆☆☆☆） 已知集合，，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】 就是「 里的每个元素都在 里」。两个集合都是区间，把端点摆到数轴上比一比即可。 【关键】先看 会不会是空集。 在 时为空集，而空集是任何集合的子集，这一段直接满足。当 时 非空，此时 要求 的右端点不超过 的右端点，即 ，解得 。两段合起来， 的范围是 或 。 【易错】漏掉「 为空集」那一段。只解 就会丢掉 的全部取值。集合里带参数时，先问一句它能不能取到空集。 故选 D。 【答案】D 由集合关系求范围 一、区间包含 等价于 且 。 等价于 且 ；端点能否取等，由两个区间各自的开闭决定。 二、含参区间的空集 集合 为 时， 为空集等价于 。 三、两个判据 的反面： 中存在不属于 的元素。 等于空集： 与 在数轴上没有公共部分。 例10（单选·★★☆☆☆） 已知集合，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】 的右端点是参数 ， 是已经确定的区间，先把 解出来。 【关键】由 得 ，即 。要让 ， 的右端点不能小于 的右端点，即 。 【易错】写成 。 时 与 相等，仍满足 ，所以等号取得到。左端两边都固定为 ，不需要再讨论。 故选 D。 【答案】D 变式10-1（单选·★★☆☆☆） 已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】先把两个集合都化成区间。 需要解二次不等式， 只要把 甩到一边。 【关键】由 得 ，即 ；由 得 。要让 ， 的右端点不能落在 的右端点左边，即 ，解得 。 【易错】写成 。 的右端点是开的， 的右端点取不取到都不影响包含关系，所以等号能取； 时 仍然把 包住。 故选 B。 【答案】B 例11（填空·★★☆☆☆） 已知集合，，且，则实数a的取值范围为__________． 【切入点】 是长度固定的滑动区间，左端点一动右端点跟着动，只要保证它落在 里即可。 【关键】由 得 ，即 。 有两个端点、长度为 ，本身不会是空集，所以只需 且 ，解得 。 【易错】只写一个不等式。 要求 的两个端点都落进 ，漏掉任何一个，答案都会变宽。 所以 的取值范围是 。 【答案】 变式11-1（单选·★★☆☆☆） 已知集合，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】两个集合一个带参数、一个是有限集。先把有限集列出来，再让含参区间把它装进去。 【关键】 由 得 （因 ）。 的元素满足 且 ，即 是 的正因数，故 。要让 ，只需 中最大的元素不超出 的右端点，即 。 【易错】只挑 的某一个元素去比。有限集落在区间里，要盯住它的最大元素与最小元素；本题最小元素 已经在 中（ 的左端点是 ），所以只需保证 。 故选 A。 【答案】A 例12（填空·★★☆☆☆） 已知集合，非空集合，若，则的取值范围是______． 【切入点】先把 翻译成包含关系，再看 本身有什么限制 —— 题目已经说明 非空。 【关键】 等价于 。 要非空，需 ，即 ；要落在 内，需 且 。两条一起解，得 。 【易错】忽略「非空」这一条。不写 就会得到包含 的假解；另外 可以取，此时 仍然非空。 【答案】 变式12-1（填空·★★☆☆☆） 已知集合，，若，则实数的取值范围是__________． 【切入点】 的右端点是 ，随 变动，所以 有可能是空集。先把它分成「 为空集」与「 非空」两种情况。 【关键】 为空集的条件是 ，即 ，这一段自然满足 。当 即 时 非空，此时 的右端点不能超过 的右端点，即 ，解得 ，与 合并得 。两段取并， 的取值范围是 。 【易错】一是只算非空那一段，把 整段丢掉；二是把 舍去。 时 ，与 相等，仍然满足 ，取得到。 【答案】 子集与真子集 一、子集的个数 含 个元素的集合，子集有 个，真子集有 个，非空真子集有 个。 含 个元素的子集有 个，其中 。 二、计数原理 ：每个元素都有取与不取两种选择。 三、两个极端 空集是每个集合的子集；每个集合都是自身的子集。 例13（单选·★☆☆☆☆） 集合的一个真子集可以为（ ） A. B. C. D. 【切入点】题目要找「一个真子集」，先看清原集合是什么。它写成 ，左端点开、右端点闭。 【关键】真子集要满足两条：元素都在原集合里，且不能等于原集合。C 选项 中的每个数都落在 内，又明显比原集合少，所以它是原集合的真子集。 【易错】A 选项就是原集合本身，只能算子集、不能算真子集；D 选项里的 不在原集合中（左端点是开的），连子集都不是。看这类题先盯端点归谁所有。 故选 C。 【答案】C 例14（单选·★☆☆☆☆） 已知集合，则集合的子集个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 无数个 【切入点】子集个数只由元素个数决定，任务还是把集合数清楚。条件带 ，最后要在自然数里取。 【关键】由 得 ，即 。在这个范围里取自然数，得 ，共 3 个元素，子集有 个。 【易错】把 或 算进去。原不等式是严格小于，两端都不含。另外 属于自然数，漏掉它元素个数就变成 2、答案会写成 4。 故选 C。 【答案】C 变式14-1（单选·★☆☆☆☆） 已知全集，集合，则的非空真子集的个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【切入点】先求补集，再套子集个数的公式，公式里的指数就是元素个数。 【关键】由 、 得 ，共 3 个元素。3 个元素的集合有 个子集，去掉自身得 个真子集，再去掉空集，非空真子集有 个。 【易错】把「非空真子集」当成「真子集」。三个数要分清：子集 个、真子集 个、非空真子集 个，差的就是「自身」和「空集」。 故选 B。 【答案】B 变式14-2（单选·★☆☆☆☆） 已知集合，则的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【切入点】集合用描述法给出且带 ，先解二次不等式求出范围，再在范围里挑自然数。 【关键】由 得 ，即 。在这个范围里取自然数，得 ，共 3 个元素，所以子集有 个。 【易错】把 也算进去。 说的是自然数， 不算；同时 必须保留，因为原不等式带等号。 故选 D。 【答案】D 例15（单选·★☆☆☆☆） 已知集合，则集合的子集的个数为（ ） A. 15 B. 16 C. 31 D. 32 【切入点】先解二次不等式求出范围，再在这个范围里挑整数。 【关键】由 得 ，即 。其中的整数是 ，共 4 个，所以子集有 个。 【易错】漏掉负数： 落在 与 之间，是集合的元素。另外 与 是端点、不含等号，取不到。选项里的 与 分别是真子集、非空真子集的个数，看清问的是哪一个。 故选 B。 【答案】B 变式15-1（单选·★☆☆☆☆） 集合的子集的个数为（ ） A. 64 B. 16 C. 6 D. 4 【切入点】题目没有直接给出元素，得先把集合 解出来。条件 且 说明 是 的正因数。 【关键】 的正因数为 ，所以 ，共 6 个元素，子集有 个。 【易错】漏掉 或 。它们都满足 ；元素个数少一个，答案就从 掉到 ，差一倍。 故选 A。 【答案】A 变式15-2（单选·★★☆☆☆） 已知全集，集合，则的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【切入点】全集 由不等式给出，先把 解出来，再求补集、数元素。 【关键】由 得 ，取整数得 ，所以 。去掉 后，，共 3 个元素，子集个数为 。 【易错】拿全集的元素个数去套公式。这里 有 4 个元素、补集只有 3 个，指数要取补集的个数。 故选 C。 【答案】C 元素个数与计数 一、子集的个数 含 个元素的集合，子集有 个，真子集有 个，非空真子集有 个。 二、两个集合的容斥 。 。 三、三个集合的容斥 。 四、补集的计数 。 五、拆分恒等式 。 例16（单选·★★☆☆☆） 集合M中的元素个数记为，若，，，则 = （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【切入点】题面给的是三个「元素个数」，而且没有具体元素，这正是容斥公式的用武之地。 【关键】由容斥原理，。代入已知得 ，解得 。 【易错】把交集那一项写成加号。并集比两个集合的元素个数之和要少，少掉的正是重复算了两遍的部分，所以要减 。 故选 D。 【答案】D 变式16-1（单选·★☆☆☆☆） 已知集合，则的所有子集的个数为（ ） A. 8 B. 7 C. 5 D. 3 【切入点】子集个数只看元素个数，任务就是把集合 数清楚。条件里带 ，提示最后要在整数里挑。 【关键】由 得 ，即 ；在这个范围里取整数，得 ，共 3 个元素，所以子集有 个。 【易错】把端点 或 算进去。原不等式是严格小于，两端都不含，这两个数都不是元素。若把两端也算上，元素个数会变成 5，答案跟着错。 故选 A。 【答案】A 变式16-2（单选·★★☆☆☆） 已知全集，集合A，B是U的子集，若，，，则集合 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】三个条件都是「某个交集等于某个集合」。注意 与 恰好把 拆成两半，合起来就是整个 。 【关键】由 ，。再对 取补集，得 。 【易错】把 当成关键条件。它只说明 属于 ， 里还有没有别的元素得靠补集来定。这类题用「补集拆两半」比逐个试选项快。 故选 D。 【答案】D 例17（单选·★★☆☆☆） 设集合，，则的元素个数为（ ） A. B. 3 C. 2 D. 1 【切入点】 由指数不等式给出，先解出它的范围，再同列举法给出的 取交集。 【关键】由 得 ，即 。 中小于 的是 ，所以 ，共 3 个元素。 【易错】把 放进来： 是严格小于， 不在 里。另外本题问的是元素个数，答案是数字，不要选成列举的形式。 故选 B。 【答案】B 变式17-1（单选·★☆☆☆☆） 已知集合，则的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【切入点】 是用 的元素算出来的，先把 列举出来，再求交集。 【关键】由 及 得 ，所以 ，共 2 个元素，子集个数为 。 【易错】把 的元素当成自变量。 描述的是函数值，元素是 而不是 。 故选 B。 【答案】B 例18（单选·★☆☆☆☆） 已知全集，集合，则中的元素个数为（ ） A. 0 B. 3 C. 4 D. 5 【切入点】全集 由 且 给出，先把它的元素列全，再求补集。 【关键】。去掉 后剩下 ，所以 有 4 个元素。 【易错】把 漏掉。 是自然数、属于 ，也就在补集里；若按整数去理解， 还会多出负数，答案又会变。 故选 C。 【答案】C 变式18-1（单选·★☆☆☆☆） 已知集合，则中的元素个数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【切入点】 由绝对值不等式加整数条件描述，先把它列出来，再与 求并集。 【关键】 且 为整数，得 。 中只有 是新的，所以并集是 到 的 8 个整数。 【易错】把两个集合的元素个数直接相加得 10。 与 有公共元素 ，并集里它们只算一次；本题也可以用容斥算：。 故选 B。 【答案】B 变式18-2（单选·★☆☆☆☆） 设全集，集合 ，则的子集个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【切入点】先解方程求出 ，再用全集 求补集，最后数元素个数。 【关键】由 得 ，即 。全集 中剩下的是 ，所以 ，共 3 个元素，子集个数为 。 【易错】拿 的元素个数去套公式。题目问的是补集的子集个数，指数应当取补集的元素个数 ；若误用 的 个元素，会得到 。 故选 B。 【答案】B 学科网（北京）股份有限公司 $ 集合的运算与计数 集合与逻辑 · 专题篇 集合的运算（数轴法） 一、三个基本运算 交集 ：由同时属于 与 的元素组成。 并集 ：由属于 或属于 的元素组成。 补集 ：由属于全集 但不属于 的元素组成。 二、运算律 德摩根律：；。 。 等于空集； 等于 。 三、与包含的互化 等价于 ，也等价于 。 四、常用变形 ；。 例1（单选·★☆☆☆☆） 已知集合，，则 = （ ） A. B. C. D. 变式1-1（单选·★☆☆☆☆） 已知集合，则 = （ ） A. B. C. D. 变式1-2（单选·★☆☆☆☆） 已知集合，则 = （ ） A. 空集 B. C. D. 例2（单选·★☆☆☆☆） 设集合，，则 = （ ） A. B. C. D. 变式2-1（单选·★☆☆☆☆） 已知集合，则 = （ ） A. B. C. D. 例3（单选·★☆☆☆☆） 已知集合，则 = （ ） A. B. C. D. 变式3-1（单选·★☆☆☆☆） 已知集合，则 = （ ） A. B. C. D. 含二次与分式不等式的集合运算 一、定义域的三条 的定义域：。 的定义域：。 的定义域：。 二、分式不等式 等价于 ； 等价于 且 。 等价于 ； 等价于 且 。 三、二次不等式（二次项系数为正） ： 时解集在两根之外， 时解集为 ， 时解集为全体实数。 ： 时解集在两根之间， 时解集为空集。 例4（单选·★☆☆☆☆） 已知集合，则 = （ ） A. B. C. D. 变式4-1（单选·★☆☆☆☆） 已知集合，，则 = （ ） A. B. C. D. 例5（单选·★☆☆☆☆） 已知集合，，则 = （ ） A. B. C. D. 例6（单选·★☆☆☆☆） 已知集合，，则 = （ ） A. B. C. D. 变式6-1（单选·★☆☆☆☆） 已知集合，集合，则 = （ ）。 A. B. C. D. 集合间的关系 一、包含的定义与判据 ： 中每个元素都属于 。 且 等价于 。 真子集： 且 ，此时称 是 的真子集。 二、空集 空集是任何集合的子集；空集是任何非空集合的真子集。 三、等价转化 等价于 ； 等价于 。 等价于 ； 等价于 。 等价于 。 例7（单选·★☆☆☆☆） 已知全集均为的子集，且，则 = （ ） A. 空集 B. C. D. 变式7-1（单选·★☆☆☆☆） 集合，则与的关系为（ ） A. B. C. D. 变式7-2（单选·★☆☆☆☆） 设集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 例8（单选·★☆☆☆☆） 设M，N为全集的两个非空子集，若，则 = （ ） A. 空集 B. C. D. 例9（单选·★☆☆☆☆） 设集合，若，则中各元素之和为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 变式9-1（单选·★☆☆☆☆） 已知集合，若，则 = （ ） A. 0 B. 0或2 C. 1或2 D. 0或1 变式9-2（单选·★☆☆☆☆） 已知集合，，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 由集合关系求范围 一、区间包含 等价于 且 。 等价于 且 ；端点能否取等，由两个区间各自的开闭决定。 二、含参区间的空集 集合 为 时， 为空集等价于 。 三、两个判据 的反面： 中存在不属于 的元素。 等于空集： 与 在数轴上没有公共部分。 例10（单选·★★☆☆☆） 已知集合，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式10-1（单选·★★☆☆☆） 已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 例11（填空·★★☆☆☆） 已知集合，，且，则实数a的取值范围为__________． 变式11-1（单选·★★☆☆☆） 已知集合，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 例12（填空·★★☆☆☆） 已知集合，非空集合，若，则的取值范围是______． 变式12-1（填空·★★☆☆☆） 已知集合，，若，则实数的取值范围是__________． 子集与真子集 一、子集的个数 含 个元素的集合，子集有 个，真子集有 个，非空真子集有 个。 含 个元素的子集有 个，其中 。 二、计数原理 ：每个元素都有取与不取两种选择。 三、两个极端 空集是每个集合的子集；每个集合都是自身的子集。 例13（单选·★☆☆☆☆） 集合的一个真子集可以为（ ） A. B. C. D. 例14（单选·★☆☆☆☆） 已知集合，则集合的子集个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 无数个 变式14-1（单选·★☆☆☆☆） 已知全集，集合，则的非空真子集的个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 变式14-2（单选·★☆☆☆☆） 已知集合，则的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 例15（单选·★☆☆☆☆） 已知集合，则集合的子集的个数为（ ） A. 15 B. 16 C. 31 D. 32 变式15-1（单选·★☆☆☆☆） 集合的子集的个数为（ ） A. 64 B. 16 C. 6 D. 4 变式15-2（单选·★★☆☆☆） 已知全集，集合，则的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 元素个数与计数 一、子集的个数 含 个元素的集合，子集有 个，真子集有 个，非空真子集有 个。 二、两个集合的容斥 。 。 三、三个集合的容斥 。 四、补集的计数 。 五、拆分恒等式 。 例16（单选·★★☆☆☆） 集合M中的元素个数记为，若，，，则 = （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 变式16-1（单选·★☆☆☆☆） 已知集合，则的所有子集的个数为（ ） A. 8 B. 7 C. 5 D. 3 变式16-2（单选·★★☆☆☆） 已知全集，集合A，B是U的子集，若，，，则集合 = （ ） A. B. C. D. 例17（单选·★★☆☆☆） 设集合，，则的元素个数为（ ） A. B. 3 C. 2 D. 1 变式17-1（单选·★☆☆☆☆） 已知集合，则的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 例18（单选·★☆☆☆☆） 已知全集，集合，则中的元素个数为（ ） A. 0 B. 3 C. 4 D. 5 变式18-1（单选·★☆☆☆☆） 已知集合，则中的元素个数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 变式18-2（单选·★☆☆☆☆） 设全集，集合 ，则的子集个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 学科网（北京）股份有限公司 $