第1讲 集合的运算与计数专项训练-2027届高三数学一轮复习

集合的运算与计数 集合与逻辑 · 专题篇 集合的交、并、补 集合运算的题只有两步：先化简，再运算。化简是把每一段描述法里的条件解成看得懂的区间或数集；运算就是按交集、并集、补集的定义取公共、取合并、取反面。两步都不难，丢分几乎都丢在「化简没化干净」上。 化简的关键是认准这个集合代表什么。写法是 时，看的是 满足什么条件；写法是 时，看的是 的取值范围（值域）。最常见的两类是定义域类与值域类：根号下要非负、对数真数要为正 —— 这两种是在求定义域；而 这种写法是在求值域，结果一定是 的一部分。两类混起来，答案一定错。 解不等式是化简的常用手段。一元二次不等式先因式分解再定区间；分式不等式先移项通分、再把分子分母各自的符号定下来；指数与对数不等式先化成同底，再用单调性去掉底数 ——这时要写清底数与真数各自的限制，别漏掉定义域。 运算这一步，推荐画数轴。交集是两个区间覆盖的公共部分，并集是两段合起来的全部，补集是在全集里挖掉这个集合剩下的部分。画出来之后再读答案，比凭空想可靠得多。遇到离散集合（比如 、）与区间取交，先把区间写出来，再一个一个数落在里面整数，不要凭感觉。 端点处最容易出错。交集与并集都要逐端点判断「取不取得到」：一个集合在端点处是开、另一个是闭，取交集时就取闭的那一端；取并集时同样看哪一端能取到。补集的端点也要反过来 —— 原来取到的现在取不到。 两处最容易错。一是把定义域与值域弄混，或者解不等式时忘了原条件本身的限制（例如对数不等式中真数必须为正）。二是补集参与运算时，先做别的运算、最后才想起取补 ——顺序反了结果就完全不同。 例1（单选·★☆☆☆☆） 已知集合，，则 = （ ） A. B. C. D. 变式1-1（单选·★☆☆☆☆） 设集合，则 = （ ） A. B. C. D. 变式1-2（单选·★☆☆☆☆） 已知集合，则 = （ ） A. B. C. D. 例2（单选·★☆☆☆☆） 已知集合，，则 = （ ） A. B. C. D. 变式2-1（单选·★☆☆☆☆） 已知集合，，则 = （ ） A. B. C. D. 变式2-2（单选·★☆☆☆☆） 已知集合，则 = （ ） A. B. C. D. 例3（单选·★☆☆☆☆） 已知集合，则 = （ ） A. B. C. D. 集合间的关系（子集／包含） 「」这四个字符，翻译过来只有一句话： 里的每一个元素都在 里。做题时把它变成端点的不等式 ——把两个集合都化成区间， 的左端点不能比 的左端点更小，右端点不能比 的右端点更大。 端点处能不能取等是这类题唯一的分水岭。判断方法是看端点本身在不在集合里：若 的端点能取到（闭），那 对应的端点也必须能取到，所以不等式取等；若 的端点是开的， 的端点就不必取等，不等式不取等。这一步漏掉，答案往往只差一个端点。 第二类题是由元素对应反求参数。题目给出两个列举法表示的集合、且一个大一个小，那就看小集合里多出来的元素必须等于大集合里的哪一个 ——列出等式解出参数即可。这类题有时还要用集合元素的互异性：同一个集合里不能有两个相同的元素，解出来的参数要回代检验。 含参数的集合还要注意空集。严格来说空集是任何集合的子集，所以「」时应当分「 为空集」与「 不为空集」两种情况讨论。不过在单选、填空题里，出题人给的往往已经保证了 非空（比如写成了明确的区间），只有在集合本身带参数、可能取空的时候才需要讨论。 还有一种问法是把包含关系当条件反过来问：「」是「」的什么条件？做法是两个方向各推一次：由 能推出结论就是充分，由结论能反推出 就是必要。反推时要注意有没有别的取值也能使结论成立 —— 有，则不是必要。 两处最容易错。一是端点取等判断错，特别是「 且 是开区间」时误取等号。二是反求参数后没有回代检验，解出来的值可能让集合里出现重复元素，那就要舍去。 例4（单选·★☆☆☆☆） 已知集合且，则a等于（ ） A. 1 B. C. D. 2 变式4-1（单选·★★☆☆☆） 已知集合，，若，则m的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 例5（单选·★☆☆☆☆） 已知集合，，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 例6（单选·★☆☆☆☆） 设集合，若，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式6-1（单选·★★☆☆☆） 已知集合，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式6-2（单选·★★☆☆☆） 设集合。若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式6-3（多选·★★★☆☆） 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 元素的个数与子集个数 这一块的全部内容，是三句话加一个公式。一个含 个元素的集合，子集有 个，真子集有 个，非空真子集有 个。公式背后的道理很简单：每个元素都有「选」与「不选」两种去处，所以共有 种取法；再按「要不要排除全集本身、要不要排除空集」去掉相应的几个即可。 所以这类题的全部工作量都在「数出 」上。题目一般不会直接告诉你元素个数，而是给出一个集合，要你先把它解出来、再数。解的过程与前一节完全一样：解不等式、认定义域或值域、注意整数集与自然数集的限制。 数元素时有两处特别容易漏。一是离散集合的限制：写的是 或 时，解出的区间还要与自然数集或整数集取交，这时不要忘记 是不是属于该数集（ 但 ）。二是指数与对数不等式： 的真解是 ， 不是一个整数，所以要用 把它夹住，才知道整数部分到哪里。 第三类题是由个数反求参数。常见的有两种：一是「已知交集只有一个元素」这类条件，把它翻译成「某个参数恰好落在某个区间里」；二是「集合有 3 个真子集」这类说法，先由 反推 ，再让集合恰有两个元素。「个数」往往是条件而不是问题，读题时先分清它在句子里扮演什么角色。 第四类是容斥。两个有限集合满足 ，已知其中三个就能求第四个。这个式子的意义是「多算了一次交集，要减回去」，三个集合的情形可以类比推下去。 两处最容易错。一是把「子集」与「真子集」混用，题目问真子集却算了 。二是数元素时漏掉端点或忘了离散限制，结果 差一个，后面指数就差一倍。 例7（单选·★☆☆☆☆） 已知集合，则的子集的个数是（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 变式7-1（单选·★☆☆☆☆） 已知集合，且的元素个数是一个，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式7-2（单选·★★☆☆☆） 已知集合，，，若集合C有3个真子集，则实数m的值可能为（ ） A. B. C. D. 例8（单选·★★☆☆☆） 已知集合，，，则的真子集共有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 变式8-1（单选·★★☆☆☆） 设集合，，则的元素个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 例9（单选·★★☆☆☆） 已知集合，，则集合的子集个数为（ ） A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 变式9-1（填空·★★☆☆☆） 表示有限集合A中元素的个数，已知，，，则 = ______． 学科网（北京）股份有限公司 $ 集合的运算与计数 集合与逻辑 · 专题篇 集合的交、并、补 集合运算的题只有两步：先化简，再运算。化简是把每一段描述法里的条件解成看得懂的区间或数集；运算就是按交集、并集、补集的定义取公共、取合并、取反面。两步都不难，丢分几乎都丢在「化简没化干净」上。 化简的关键是认准这个集合代表什么。写法是 时，看的是 满足什么条件；写法是 时，看的是 的取值范围（值域）。最常见的两类是定义域类与值域类：根号下要非负、对数真数要为正 —— 这两种是在求定义域；而 这种写法是在求值域，结果一定是 的一部分。两类混起来，答案一定错。 解不等式是化简的常用手段。一元二次不等式先因式分解再定区间；分式不等式先移项通分、再把分子分母各自的符号定下来；指数与对数不等式先化成同底，再用单调性去掉底数 ——这时要写清底数与真数各自的限制，别漏掉定义域。 运算这一步，推荐画数轴。交集是两个区间覆盖的公共部分，并集是两段合起来的全部，补集是在全集里挖掉这个集合剩下的部分。画出来之后再读答案，比凭空想可靠得多。遇到离散集合（比如 、）与区间取交，先把区间写出来，再一个一个数落在里面整数，不要凭感觉。 端点处最容易出错。交集与并集都要逐端点判断「取不取得到」：一个集合在端点处是开、另一个是闭，取交集时就取闭的那一端；取并集时同样看哪一端能取到。补集的端点也要反过来 —— 原来取到的现在取不到。 两处最容易错。一是把定义域与值域弄混，或者解不等式时忘了原条件本身的限制（例如对数不等式中真数必须为正）。二是补集参与运算时，先做别的运算、最后才想起取补 ——顺序反了结果就完全不同。 例1（单选·★☆☆☆☆） 已知集合，，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】一个集合是列举出来的，一个是区间，取交集就是问：区间里有哪些元素恰好也是那个集合的元素。 【关键】，。在 的四个元素里，落在 内的是 、、，故 。故选 A。 【易错】一是把答案写成区间 （选项 C）—— 只含四个整数，交集仍是数集不是区间。二是漏掉端点 （ 的右端是闭的， 要取）。三是把 也算进去（ 里没有 ）。 【答案】A 变式1-1（单选·★☆☆☆☆） 设集合，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】式子里有 ，先把补集求出来，再与 取交。 【关键】由 得 ；又 ，所以 。故选 D。 【易错】一是补集只写成 ，漏掉端点 （原集合开、补集就是闭）。二是先取交再取补，顺序反了。三是右端点写成 是开的 —— 成立，所以 属于补集，右端必须是闭的。 【答案】D 变式1-2（单选·★☆☆☆☆） 已知集合，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】先解绝对值不等式求出 ，再求补集，最后与正整数集取交 —— 与正整数集取交时要只留正整数。 【关键】由 得 或 ，即 ；故 。与正整数集取交，得 。故选 D。 【易错】一是绝对值不等式只写了 ，漏掉 。二是补集把端点写错 —— 的两端都是开的，补集在 与 处都要取到。三是忘了 不是正整数，把 当成答案。 【答案】D 例2（单选·★☆☆☆☆） 已知集合，，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】先把 里的二次不等式解出来，两个集合都变成区间之后再取交。 【关键】由 得 ，故 ；又 ，所以 。故选 A。 【易错】一是解二次不等式时区间方向写反（两根 与 之间是「小于等于零」）。二是端点处 与 都取得到，写成开区间就错了。三是把 与 看混。 【答案】A 变式2-1（单选·★☆☆☆☆） 已知集合，，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】两个集合都是定义域：一个由根号下非负给出，一个由对数真数为正给出。 【关键】由 得 ，即 ，；由 得 或 ，。取交得 。故选 A。 【易错】一是把对数真数的条件写成「不小于零」，真数必须严格大于零，所以 与 都取不到。二是第二段只写到 却把右端写成开的（ 满足 的等号，要取到）。三是把「或」当成「且」，两段只写了一段。 【答案】A 变式2-2（单选·★☆☆☆☆） 已知集合，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】 是解二次不等式得到的解集，而 的写法是 ——问的是 的范围，也就是值域。 【关键】由 得 ；对 ，因为 且随 取遍所有非负数，故 。取并得 。故选 C。 【易错】一是把 当成定义域去求 ，那是 ，而题目写的是 。二是并集取了公共部分（那是交集）。三是把左端点写成 —— 并集要取更小的那个端点 。 【答案】C 例3（单选·★☆☆☆☆） 已知集合，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】对数不等式先化成「底数的幂」的形式，再用单调性去掉对数符号，同时别忘了真数为正。 【关键】由 得 ，解得 ，故 。又 ，所以 。故选 D。 【易错】一是只写 而忘了 ，这样 会算成 。二是把 的右端点 当成能取到之后又去取交，其实 ，右端点由 决定。三是区间开闭标错（ 与 都取不到）。 【答案】D 集合间的关系（子集／包含） 「」这四个字符，翻译过来只有一句话： 里的每一个元素都在 里。做题时把它变成端点的不等式 ——把两个集合都化成区间， 的左端点不能比 的左端点更小，右端点不能比 的右端点更大。 端点处能不能取等是这类题唯一的分水岭。判断方法是看端点本身在不在集合里：若 的端点能取到（闭），那 对应的端点也必须能取到，所以不等式取等；若 的端点是开的， 的端点就不必取等，不等式不取等。这一步漏掉，答案往往只差一个端点。 第二类题是由元素对应反求参数。题目给出两个列举法表示的集合、且一个大一个小，那就看小集合里多出来的元素必须等于大集合里的哪一个 ——列出等式解出参数即可。这类题有时还要用集合元素的互异性：同一个集合里不能有两个相同的元素，解出来的参数要回代检验。 含参数的集合还要注意空集。严格来说空集是任何集合的子集，所以「」时应当分「 为空集」与「 不为空集」两种情况讨论。不过在单选、填空题里，出题人给的往往已经保证了 非空（比如写成了明确的区间），只有在集合本身带参数、可能取空的时候才需要讨论。 还有一种问法是把包含关系当条件反过来问：「」是「」的什么条件？做法是两个方向各推一次：由 能推出结论就是充分，由结论能反推出 就是必要。反推时要注意有没有别的取值也能使结论成立 —— 有，则不是必要。 两处最容易错。一是端点取等判断错，特别是「 且 是开区间」时误取等号。二是反求参数后没有回代检验，解出来的值可能让集合里出现重复元素，那就要舍去。 例4（单选·★☆☆☆☆） 已知集合且，则a等于（ ） A. 1 B. C. D. 2 【切入点】两个集合都用列举法写出来了，一个小一个大，那就看小集合里多出来的那个元素。 【关键】、。由 知 必须在 里，而 中未知的那个元素是 ，所以 ，解得 。故选 D。 【易错】一是把 也拿去对应，得出错误方程。二是解出 后忘了检验互异性（此处 三个元素互不相同，成立）。三是把 与 对应。 【答案】D 变式4-1（单选·★★☆☆☆） 已知集合，，若，则m的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【切入点】两个列举法集合， 里的 必须落在 里，而 里正是那个含对数的未知元素。 【关键】由 、、 知 ，故 ，解得 。故选 C。 【易错】一是让 去对应 或 ，那两个元素已经定死了，只能让 。二是解出 后忘了检验（此时 ，三个元素互不相同）。三是忘了对数真数必须为正（ 满足）。 【答案】C 例5（单选·★☆☆☆☆） 已知集合，，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【切入点】把「」与「」当成两个命题，各推一次，看哪边能推哪边。 【关键】当 时 ，而 ，显然 ，故充分性成立。反过来，若 ，则 可以是 也可以是 ，所以由 推不出 ，必要性不成立。所以是充分不必要条件。故选 C。 【易错】一是只推了一个方向就下结论。二是反推时只想到 ，忘了 时 同样满足 。三是把「充分」「必要」两词的位置记反。 【答案】C 例6（单选·★☆☆☆☆） 设集合，若，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】两个都是区间，把「」翻译成端点的不等式即可。 【关键】、。要使 完全落在 里， 的右端点 至少要够到 的右端点 ，即 。故选 D。 【易错】一是只比左端点（ 之类），这里 是「小于型」的区间，只需比右端。二是把不等号方向写反，得 。三是纠结 时 与 ——此时 确实全在 内（），所以 可以取。 【答案】D 变式6-1（单选·★★☆☆☆） 已知集合，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】 里的二次不等式要先解出来，变成显式区间之后才好比端点。 【关键】由 得 ，故 。又 ，由 得 ，即 。故选 C。 【易错】一是 解成 （原式是严格小于，端点为开）。二是左端点也去比（ 的左端是 ，本来就够）。三是 写成 —— 的右端点 取不到，所以 等于 也成立。 【答案】C 变式6-2（单选·★★☆☆☆） 设集合。若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】这次是小集合在前：，所以 要足够大，把 整个装进去。 【关键】由 得 ；由 得 。要 ， 的右端点必须不小于 的右端点，即 ，解得 。故选 D。 【易错】一是写成 （不等号方向反了）—— 的右端是 ， 越大 才越大。二是端点 时可不可取： 的右端 取得到，所以 要取等三是把 写成 。 【答案】D 变式6-3（多选·★★★☆☆） 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】式子是「」，先把它翻译成「 至少要包含什么」，再用反证逐个判断选项。 【关键】。由 得 ，即 。 项：若 ，则 ，由包含关系得 ，但 不含 ，矛盾，故 ， 错。 项：同理，若 则 ，同样矛盾，所以 ， 对。 项：由 项已得 ，自然 ， 对。 项：，故 ， 错。故选 BC。 【易错】一是没有把「补集包含」翻译成「 至少包含哪些」，直接硬算 的范围。二是 D 项忘了「交集要求同时在两个集合里」，看到 就以为 。三是 A、B 两项方向相反，容易只判对一个。 【答案】BC 元素的个数与子集个数 这一块的全部内容，是三句话加一个公式。一个含 个元素的集合，子集有 个，真子集有 个，非空真子集有 个。公式背后的道理很简单：每个元素都有「选」与「不选」两种去处，所以共有 种取法；再按「要不要排除全集本身、要不要排除空集」去掉相应的几个即可。 所以这类题的全部工作量都在「数出 」上。题目一般不会直接告诉你元素个数，而是给出一个集合，要你先把它解出来、再数。解的过程与前一节完全一样：解不等式、认定义域或值域、注意整数集与自然数集的限制。 数元素时有两处特别容易漏。一是离散集合的限制：写的是 或 时，解出的区间还要与自然数集或整数集取交，这时不要忘记 是不是属于该数集（ 但 ）。二是指数与对数不等式： 的真解是 ， 不是一个整数，所以要用 把它夹住，才知道整数部分到哪里。 第三类题是由个数反求参数。常见的有两种：一是「已知交集只有一个元素」这类条件，把它翻译成「某个参数恰好落在某个区间里」；二是「集合有 3 个真子集」这类说法，先由 反推 ，再让集合恰有两个元素。「个数」往往是条件而不是问题，读题时先分清它在句子里扮演什么角色。 第四类是容斥。两个有限集合满足 ，已知其中三个就能求第四个。这个式子的意义是「多算了一次交集，要减回去」，三个集合的情形可以类比推下去。 两处最容易错。一是把「子集」与「真子集」混用，题目问真子集却算了 。二是数元素时漏掉端点或忘了离散限制，结果 差一个，后面指数就差一倍。 例7（单选·★☆☆☆☆） 已知集合，则的子集的个数是（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【切入点】先把集合解出来、数清有几个元素，再套 。 【关键】由 得 ；又 ，故 ，共 个元素。所以 的子集有 个。故选 B。 【易错】一是忘了 ，把任何小于 的数都算进去。二是漏掉 —— 是自然数，必须算。三是把答案写成 （那是真子集的个数）。 【答案】B 变式7-1（单选·★☆☆☆☆） 已知集合，且的元素个数是一个，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】 只有两个元素 与 ，要使交集只有一个元素，先看 在不在 里。 【关键】，。因为 ，所以 不可能成为交集里的元素，只能让 落进 ，即 。故选 C。 【易错】一是没有先判断 在不在 里，盲目分情况讨论。二是把左端点写成开区间（，可以取）。三是忘了 也可以等于 ？—— 不行，那样 的两个元素会重复，失去意义。 【答案】C 变式7-2（单选·★★☆☆☆） 已知集合，，，若集合C有3个真子集，则实数m的值可能为（ ） A. B. C. D. 【切入点】「 有 个真子集」这句话先翻译成「 有 个元素」，再让 的两个元素都落在 里。 【关键】由 有 个真子集得 ，即 ，所以 有 个元素，从而 的两个元素都在 里。由 知 是以 与 为端点的区间，把 与 都代进去得 、、且 。解出 且 。四个选项里只有 落在该范围内。故选 C。 【易错】一是没有先由真子集个数反推出「 有 2 个元素」。二是忘了 的两个元素必须互不相同，漏掉 （此时 那两个元素重合）。三是把 写成 。 【答案】C 例8（单选·★★☆☆☆） 已知集合，，，则的真子集共有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【切入点】三步：解出 、取交得 、数 的元素再套真子集公式。 【关键】由 且 得 。又 ，故 ，有 个元素。所以 的真子集有 个。故选 A。 【易错】一是 忘了整数限制，把区间当集合。二是把「真子集」当成「子集」算成 个。三是取交时把 、 也算进去（它们不在 里）。 【答案】A 变式8-1（单选·★★☆☆☆） 设集合，，则的元素个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【切入点】 的真解里有 这个无理数，但我们只要知道它夹在 与 之间就够了。 【关键】由 得 ，而 说明 。所以 ，元素个数为 。故选 B。 【易错】一是把 当成 或当成 ——它夹在两者之间， 能取、 不能取。二是把 里的 也算进去（，所以 不满足）。三是忘了 从 开始数。 【答案】B 例9（单选·★★☆☆☆） 已知集合，，则集合的子集个数为（ ） A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 【切入点】 解出的是区间，与 取交后只剩整数，再数个数。 【关键】由 得 ，即 。故 ，有 个元素，子集个数为 。故选 C。 【易错】一是只写 忘了 ， 会算成 ，交集就多出一个 。二是把 也算进交集（ 在 处取不到）。三是区间右端 虽取得到，但 ，不影响结果。 【答案】C 变式9-1（填空·★★☆☆☆） 表示有限集合A中元素的个数，已知，，，则 = ______． 【切入点】题目给的是两个集合各自的元素个数与并集的元素个数，求交集的个数 —— 这是标准的容斥。 【关键】由容斥公式 得 。 【易错】一是把并集的个数当成交集的个数。二是公式里加减号记反（多算了一次交集，要减回去）。三是算完不检验 —— 应当不超过 且不超过 ，也不小于 的下限，成立 【答案】 学科网（北京）股份有限公司 $