专题01 有理数28大题型84题（期中专项训练）七年级数学上学期新教材苏科版

专题01 有理数 基础·固本强基 题型1 正数与负数 题型2 有理数的分类 题型3 数轴 题型4 相反数 题型5 绝对值 题型6 有理数大小比较 题型7 有理数的四则混合运算（重点） 题型8 有理数四则混合运算的实际应用（重点） 题型9 含乘方的有理数混合运算（重点） 题型10 科学记数法（重点） 提升·进阶突破 题型11 相反意义的量 题型12 数轴上两点之间的距离（重点） 题型13 数轴上整点覆盖问题 题型14 绝对值非负性（重点） 题型15 绝对值的几何意义（重点） 题型16 有理数混合运算综合 题型17 有理数中的简便运算（重点） 题型18 根据点在数轴的位置判断式子的正负 题型19 含乘方的有理数混合运算题（重点） 题型20 乘方的应用 题型21 程序流程图 题型22 算24点 拔高·压轴破难 题型23 数轴上的动点问题（难点） 题型24 数轴上的翻折问题（难点） 题型25 绝对值的几何意义（最值）（难点） 题型26 数轴与绝对值结合（难点） 题型27 二进制计算问题（难点） 题型28 有理数的新定义运算（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 正数与负数（共3小题） 【步骤】判断数与 0 大小，大于 0 是正数，小于 0 是负数，0 既不是正数也不是负数。 【易错】带负号的数不一定是负数，字母 a 可正可负，0 不属于正数或负数。 1．（26-27七年级上·江苏镇江·期中）在、、0、、中，负数有_________个． 2．（26-27七年级上·江苏南京·期中）下列各数：，，1，0，，，，，中，正数有___个，负数有___个． 3．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）关于，，0.41，，0，3.14这六个数，下列说法错误的是（   ） A．，0不是正数 B．，0.41，0，3.14是正数 C．，，0.41，，0，3.14是有理数 D．，是负数 题型2 有理数的分类（共3小题） 【步骤】先看是否整数或分数，整数含正整数、0、负整数，分数含正、负分数。 【易错】有限小数、无限循环小数属于分数；π 不是有理数，0 是整数。 4．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）在数中，非负有理数有___________个． 5．（25-26七年级上·江苏南京·期中）将下列各数按照分类，填入下面对应的大括号内： ，，，，，0，，12，，，（7和8之间依次多一个0）． 整数集合：{_______…} 正有理数集合：{_______…} 分数集合：{_______    } 6．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）把下列各数填入相应的数集合中： ，，，，，，，（相邻两个1之间依次增加一个2）． 整数集合： ； 正数集合： ； 分数集合： ； 有理数集合： ． 题型3 数轴（共6小题） 【步骤】画直线，定原点、正方向、单位长度，再把数对应标到数轴上。 【易错】单位长度必须统一；原点位置可自选，数轴是直线不是射线线段。 7．（26-27七年级上·江苏·期中）下列关于数轴的说法正确的是（     ） A．规定了原点和正方向的直线 B．规定了单位长度的直线 C．规定了原点和单位长度的直线 D．规定了原点、正方向和单位长度的直线 8．（25-26七年级上·江苏淮安·期末）在数轴上A、B两点分别表示的数是2和8，在数轴上，点A右侧有另外一点P，且P到A、B的距离和是10，则点P表示的数是（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 9．（25-26七年级上·江苏·期末）将0，，，，，3这六个数在数轴上表示出来，并用“”将它们连接起来． 题型4 相反数（共3小题） 【步骤】改变数字符号，其余不变；0 的相反数是 0，两相反数到原点距离相等。 【易错】相反数仅符号不同，不是一正一负；不要把相反数和倒数弄混淆。 10．（26-27七年级上·江苏南京·期中）下列各数中，一定互为相反数的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 11．（25-26七年级上·江苏南京·期中）___________时，代数式与代数式的值互为相反数． 12．（25-26七年级上·广东珠海·期中）已知与互为相反数，那么______． 题型5 绝对值（共3小题） 【步骤】正数绝对值是本身，负数是它相反数，0 的绝对值为 0，看原数正负求值。 【易错】绝对值一定非负；绝对值相等两数，不一定相等，可能互为相反数。 13．（25-26七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知，则的值为________． 14．（25-26七年级上·江苏南京·期末）关于的说法不正确的是（　　） A．1与a的差的绝对值 B．1到a的距离 C．a到1的距离 D．1与a的差的相反数 15．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）若，，，则的值是（  ） A．或 B． C．1或11 D． 题型6 有理数大小比较（共3小题） 【步骤】正数大于 0，0 大于负数；负数比较，绝对值大的反而小，也可借助数轴判断。 【易错】负数比较易直接用绝对值大小判断；数轴右侧数总大于左侧，别搞反。 16．（26-27七年级上·江苏南京·期中）比较大小：（1）______，（2）______（填“”、“”或“”）． 17．（2026·河南·模拟预测）下列不等式关系中正确的是（     ） A． B． C． D． 18．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）某校开展体育测试，男生1000米跑步的合格标准为3分30秒，甲、乙、丙、丁四位男同学的成绩（超出标准的部分记为“”．不足标准的部分记为“”）如表所示，则1000米跑步成绩最好的是___________． 人员 甲 乙 丙 丁 成绩/秒 题型7 有理数的四则混合运算（共3小题） 【步骤】先乘除后加减，有括号先算括号内；同级运算从左往右，按顺序计算。 【易错】符号最容易出错，去括号注意变号；别随意调换乘除运算顺序。 19．（26-27七年级上·江苏南京·期中）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 20．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 21．（24-25七年级上·河北沧州·期末）计算 (1) (2) 题型8 有理数四则混合运算的实际应用（共3小题） 【步骤】读懂题意，设定正负，列有理数算式，按运算法则计算，最后写出实际答案。 【易错】正负意义易混淆，结果勿忘带单位；作答要贴合实际含义。 22．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）某种篮球的标准质量是，检查5个这种篮球的质量，把超过标准质量的克数记作正数，不足的克数记作负数，检查结果如表： 篮球的编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差（g） (1)最接近标准质量的是___________号篮球； (2)求这5个篮球的平均质量． 23．（25-26七年级上·江苏南通·期末）冬季来临，小芳家为了节省取暖费用，将旧空调更换为节能空调．她记录了一星期内每天节能空调的运行时长（如下表，单位：小时）．以5小时为标准，超过的小时数记为正数，不足的小时数记为负数．其中，星期五比星期四多用小时． 星期 一 二 三 四 五 六 日 时长 a 0 (1)根据题意得： ______； (2)已知旧空调耗电每小时度，节能空调耗电每小时度，若电价为元/度，小芳家换成节能空调后，这一星期七天的电费比原来使用旧空调节省了多少元？ 24．（25-26七年级上·江苏常州·期中）某学习小组记录了一名外卖小哥一周的送餐情况．规定：送餐量以40单为基准，超过部分记为正，不足部分记为负（送一次外卖称为一单）具体送餐量如下表： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） (1)这一周七天中，送餐单数最接近40单的是星期______； (2)这一周七天中，送餐最多的单数比最少的单数多______单； (3)外卖小哥每天的收入由底薪30元和送单补贴组成，补贴规则如下：不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单的部分，每单补贴6元．求该小哥这一周中送外卖收入最多的一天比最少的一天多赚多少元？ 题型9 含乘方的有理数混合运算（共3小题） 【步骤】先算乘方，再乘除后加减；有括号先算括号内，同级运算从左向右依次计算。 25．（25-26六年级下·上海·期中）计算：． 26．（25-26七年级上·贵州铜仁·期末）计算 (1) (2) 27．（25-26九年级上·山东青岛·期中）计算： (1)． (2)． (3)． 题型10 科学记数法（共3小题） 【步骤】写成a×10n，1≤a＜10，数原数整数位数确定n，n等于整数位减 1 【易错】a范围不能超标；负数不要漏负号，n的正负容易判断错误。 28．（26-27七年级上·江苏盐城·期中）大丰湿地公园一年累计吸收二氧化碳约320000千克，数据320000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 29．（2026·江苏镇江·中考真题）2026年第一季度，我市实现农林牧渔业总产值3750000000元．该数据用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 30．（2026·江苏徐州·中考真题）淮海战役期间有名群众支援前线，用科学记数法表示为________________． 提升·进阶突破 题型11 相反意义的量（共3小题） 31．（26-27七年级上·江苏常州·期中）下列各对量中，不具有相反意义的是（     ） A．胜3局与负4局 B．盈利3万元与亏损2万元 C．气温升高与气温为 D．转盘逆时针转3圈与顺时针转5圈 32．（26-27七年级上·江苏扬州·期中）立春是二十四节气之首，标志着春季的开始，立春的“立”表示开始，“春”代表温暖和生长．立春以后某市出现冻雨天气，最低温度低于零度，若把气温零上记为，则表示气温为__________ 33．（26-27七年级上·辽宁沈阳·期中）某袋装薯片标准净重，质检工作人员为直观了解该种薯片每袋的净重与标准的误差，把薯片净重记为，那么薯片净重就记为( )． 题型12 数轴上两点之间的距离（共3小题） 【步骤】取两点表示的数，用大数减小数，或求两数之差的绝对值得到距离。 【易错】距离一定是非负数；不要直接用左边数减右边数，忽略绝对值。 34．（25-26九年级下·河北沧州·期中）已知A，B，C是数轴上的三个点，且C在B的右侧．点A，B表示的数分别是1，3，如图所示．若，则点C表示的数是______． 35．（25-26七年级上·辽宁丹东·期末）线段，P是线段上任意一点，C，D两点分别从点P，点A同时向B点运动，且C点的运动速度为，D点的运动速度为．若运动时间为时，则________． 36．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为9，点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，回到点B后停止运动．设点P运动的时间为． (1)当点P返回到点B时，求t的值； (2)当时，求点P表示的数； (3)当点P表示的数是时，求t的值． 题型13 数轴上整点覆盖问题（共3小题） 【步骤】求出线段两端数值，分端点是否为整点，再计算覆盖整点个数。 【易错】端点是整点时个数 = 差 + 1；端点非整点，整点个数等于两数之差。 37．（25-26六年级上·上海松江·期末）在数轴上表示的点与表示1.5的点之间的整数共有______个． 38．（2025七年级上·江苏泰州·专题练习）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是，若在这个数轴上任意画出一条长为的线段，则线段盖住的整点个数为（    ） A．3个 B．4个 C．3个或4个 D．4个或5个 39．（24-25七年级上·江苏常州·期中）数轴上表示整数的点为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意放上一根长为整数厘米的火柴棒，该火柴棒能盖住3个整点，则这根火柴棒的长度为_____厘米． 题型14 绝对值非负性（共3小题） 【步骤】任意数的绝对值≥0；多个绝对值相加为 0，则每个绝对值都等于 0 【易错】不要误认为绝对值等于 0 的数有多个；易忽略 “同时为 0” 这个条件 40．（2026七年级上·湖南张家界·竞赛）已知 ， (1)求的值． (2)画数轴，并在数轴上标出到a、b两数距离之和为4的数． 41．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）已知，且，求___________． 42．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）绝对值非负性的基本含义，用数学语言表示就是：对于任意有理数，都有． (1)若，求的值； (2)已知，求的值． 题型15 绝对值的几何意义（共3小题） 43．（2026·甘肃白银·二模）若x为任意有理数，表示在数轴上表示的点到原点的距离，表示在数轴上表示的点到表示的点的距离，则的最小值为______． 44．（2026七年级下·重庆涪陵·竞赛）我们知道，在数轴上，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地可以规定，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：．利用此结论，那么式子的最小值是__________． 45．（25-26七年级上·贵州六盘水·期末）数形结合是解决数学问题的重要方法，数轴上两点之间的距离可以用两数之差的绝对值来表示，点A表示的数是a，点B表示的数是b，则A，B两点之间的距离．例如：若点A表示5，点B表示，则．解决下列问题： (1)若点A表示的数是4，点B表示的数是，则A，B两点之间的距离是_______； (2)当时，请在数轴上标记x所在的位置并写出x的值； (3)是否存在有理数m，使得有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 题型16 有理数混合运算综合（共3小题） 46．（26-27七年级上·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)（简便计算）． 47．（26-27七年级上·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)（用简便运算）． 48．（26-27七年级上·江苏泰州·期中）计算 (1)； (2)； (3)； (4)（简便计算）； (5)； (6)． 题型17 有理数中的简便运算（共3小题） 49．（25-26六年级上·黑龙江鸡西·期末）用简便方法计算下列各题 (1) (2) 50．（25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）用运算律简便运算 (1) (2) 51．（25-26七年级上·江苏南京·期中）请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：. 题型18 根据点在数轴的位置判断式子的正负（共3小题） 52．（25-26七年级上·河南·期末）有理数在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于______． 53．（25-26七年级上·广东揭阳·期末）已知有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简为______． 54．（25-26七年级上·甘肃平凉·期末）有理数在数轴上对应的位置如图所示，0为原点． (1)a______0，______0，______0，______0（填“＜”或“＞”或“＝”） (2)化简． 题型19 含乘方的有理数混合运算题（共3小题） 55．（26-27七年级上·江苏扬州·期中）小明是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“3的下3次方”．一般地，把n个a（）相除记作，读作“a的下n次方”，即． (1)直接写出计算结果：______，______． (2)关于除方，下列说法正确的有______（填序号）．①对于任何正整数n，；②（）；③（a是有理数，，n是正整数）；④；⑤负数的下正奇数次方结果是负数，负数的下正偶数次方结果是正数． (3)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢?例如：（幂的形式）． 试一试：将下列除方运算直接写成幂的形式：______，______（写成幂的形式，不化简） (4)计算：． 56．（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）在实数范围内定义一种新运算“＠”，其运算规则为：，如：，则的值为（    ） A． B． C． D． 57．（2026·湖北恩施·一模）综合与实践： 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，十进制数一般不标注基数． 材料一：十进制数中的3表示3个千，7表示7个百，2表示2个十，1表示1个一，于是我们得到了下面的式子（规定当时，）：． 例如，二进制数，转换为十进制数为：． 材料二：将十进制数转化为二进制数可以用除2取余法， 例如，将十进制数转换为二进制数的除法算式如图，将上式中各步所得的余数按照逆序排列，即可得． 此方法可推广为把十进制数转换为进制数的算法（除取余法）． 根据上述材料解答下列问题： (1)二进制数对应的十进制数是______，十进制数对应的二进制数为______． (2)中国古代的十二地支，十二生辰，十二生肖等都属于十二进制的应用．十二进制使用，，，，，，，，，，，来计数．其中代表，代表．请结合以上材料计算十进制数对应的十二进制数为______． (3)有一种密钥破解方式，先将二进制明码数转成十进制数后，再按以下规则获得密码：当为奇数时，破解公式为，当为偶数时，破解公式为．则破解二进制明码表示的密码为______． 题型20 乘方的应用（共3小题） 58．（25-26七年级·全国·暑假作业）阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算． 计算：． 解：设， 则， 所以 ， 即． 按照上面的方法，计算：． 59．（25-26七年级上·全国·期末）我们知道，3的正整数次幂：，，，，，，，，…，观察归纳，可得的个位数字是_______． 60．（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）由乘方的定义可知：（n个a相乘）．观察下列算式回答问题： (1)________；（写出结果） (2)________； (3)计算的值． 题型21 程序流程图（共3小题） 61．（26-27七年级上·江苏徐州·期中）如图所示是计算机程序流程图，若开始输入，则最后输出的结果是（     ） A． B． C．12 D．14 62．（26-27七年级上·江苏南京·期中）如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． (1)当小明输入，4，15这三个数时，则三次输出的结果依次为__________，__________，__________； (2)有一次，小明操作的时候输入了一个小于10的正整数，最后输出的结果是2，则小明输入的正整数是__________ 63．（25-26七年级上·河南信阳·期中）某编程兴趣小组设计了一个数值转换的小程序，运行规则如图所示，当输入的数为时，输出的数是（     ） A． B． C． D． 题型22 算24点（共3小题） 64．（26-27七年级上·江苏连云港·期中）四个有理数3，2，2，1，可通过加、减、乘、除、乘方等运算，使其结果等于24．请写出三个这样的不同的算式． 65．（2026七年级上·江苏·专题练习）如图，小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求取出卡片，完成下列问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)算点游戏：从中取出4张卡片，用学过的“，，，”运算，使结果为．请写出2个运算式并进行计算： ①_________________； ②__________________． 66．（2025七年级上·全国·专题练习）王红有5张写着以下数的卡片，请按要求抽出卡片，解答下列各题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数乘积最小，最小值是_________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数相除商最大，最大值是_________； (3)从中取出除0以外的4张卡片，将这4个数进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使结果为24，每个数只能用一次，如：．请另写出一种符合要求的算式． 拔高·压轴破难 题型23 数轴上的动点问题（共3小题） 67．（25-26七年级上·福建福州·期末）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为．对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作（，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作（，线段）． 例如：点表示的数为，则（点，），（点，线段）． 已知点为数轴原点，点，为数轴上的动点． (1)（点，线段）________，（点，线段）________； (2)若点，表示数分别为，，（线段，线段）．求的值； (3)点从原点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动；点从表示数的点出发，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，…，按此规律运动，，两点同时出发，设运动的时间为秒，若（线段，线段），求的值． 68．（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图所示，在数轴上点表示的数分别为，，，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为 (1)则______，______，______； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点、点分别以每秒个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动秒后，点与点之间的距离为多少？用含t的代数式表示 ②的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变；请求其值； (3)由第（1）小题可以发现，三条线段的长度之间满足的数量关系．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，三条线段的长度之间又存在怎样的数量关系，请直接写出答案． 69．（25-26七年级上·吉林长春·期中）在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足． (1)a = ，b= ，c= ； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 对应的点重合； (3)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①求t为何值时，点P到点B的距离是5； ②直接写出点Q到点C的距离是点P到点B距离的2倍时t的值． 题型24 数轴上的翻折问题（共3小题） 70．（25-26七年级上·山东青岛·期末）如图，在一条可以折叠的数轴上，，两点表示的数分别是，，以点为折点，将此数轴向右对折，若对折点在点的右边，且，两点相距，则点表示的数是______． 71．（25-26七年级上·陕西延安·期中）【问题背景】我们知道，数轴上两点之间的距离可以用右侧的点所表示的数减去左侧的点所表示的数来计算．如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，若将数轴折叠，使点与点重合，解答下列问题： 【问题再现】（）求折叠后与表示数重合的点所表示的数； 【问题推广】（）若折叠后，数轴上的两点也重合，且折叠前两点之间的距离为个单位长度（点在点的左侧），求两点所表示的数； 【拓展提升】（）在（）的条件下，将折叠后的数轴展开，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向正半轴运动；同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向负半轴运动．设当运动时间为秒时，两点相距个单位长度，求的值． 72．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）定义：已知点是线段上的一个点，若点到线段两个端点的距离之比为 ，则称点为线段的“理想点”．如图，、分别是数轴上的两点，点表示的数是，点表示的数是5． (1)求点、之间的距离； (2)求线段的“理想点”表示的数； (3)点是线段上一点，将线段沿点向右折叠，使点的对应点仍落在数轴上，若点、、三点中，其中一点是另外两个点所连线段的理想点，直接写出此时点表示的数． 题型25 绝对值的几何意义（最值）（共3小题） 73．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）同学们都知道，表示1与之差的绝对值，实际上也可以理解为1与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)求_________； (2)同理，表示数轴上实数所对的点分别到和1006所对的两点距离相等，则_______________； (3)类似地，表示数轴上实数所对的点分别到和2所对的两点距离之和，若，则________________； (4)由以上探究，猜想对于任何实数，是否有最小值？如果有，请求出最小值；如果没有，请说明理由． 74．（25-26七年级上·福建漳州·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 材料分析：如图1，已知数轴上两点，．则两点距离为两数差的绝对值，即 如：1到3的距离为两数差的绝对值，即；到3的距离为两数差的绝对值，即． 根据以上思想，完成下题 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． （1）如图2，数轴上表示和6的数的两点之间的距离是______； （2）若数轴上表示数的点位于与5之间，求的值是______； （3）当取最小值时，相应的数的取值范围是______； 实际应用： （4）已知数轴上点，表示的数分别为8和，动点，分别从，两点，同时出发，点以每秒1个单位长度沿数轴向左匀速运动，点以点速度的2倍，沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．问当为多少秒时？，之间的距离为3． 拓展提升： （5）若数，满足，求的最小值． 75．（25-26七年级上·福建莆田·期中）我们知道，是在数轴上表示数a的点到原点的距离．进一步地，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B两点之间的距离就可以表示为．反过来，也就表示A、B两点之间的距离．下面，我们将利用这两种语言的互化，再辅助以图形语言解决问题． 例，若，求x的值． 解：①，即． 文字语言：x的值为数轴上到表示的点的距离等于2的点表示的数． ②图形语言： ③答案：x的值为或． 通过以上学习，完成以下问题： (1)若，求x的值； 解：①文字语言：x的值为数轴上到表示的点的距离等于到表示3的点的距离相等的点表示的数． ②请补全图形语言： ③答案：____________． (2)若，则x的值为______． (3)代数式的最小值为______，此时x的值是______． (4)一条笔直的公路边有三个居民小区A、B、C和一个市民广场O，居民小区A、B、C分别位于市民广场左侧5千米，左侧1千米，右侧4千米．现要在该公路上建一个居民生活服务站点P，满足三个小区的居民购物需求，站点P有一辆货车负责向三个小区的居民免费运送所购生活物资．根据小区居民居住人口数和购买力，站点P每天向A小区运送购买物资1次，向B小区运送购买物资2次，向C小区运送购买物资3次．物资运送车往返1千米路程需要花费5元，每次只运送一个小区的物资．为了全天运送购买物资的总运费最少，请你思考站点P建在何处才能使一天的总运送费用最少？最少费用是多少？写出你的解答过程． 题型26 数轴与绝对值结合（共3小题） 76．（25-26七年级上·四川巴中·期末）【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 （1）①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 （2）求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边时，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 【解决问题】 （3）某公司办公楼有6层，公司要召开会议，从1层到6层每层参会人数分别为1，2，1，2，3，3．由于电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？ 77．（2025七年级上·全国·专题练习）阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数轴上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则，两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题： (1)与3的距离是_________； (2)式子的最小值是多少？ (3)应用：某一直线沿街有2014户居民（相邻两户居民间隔相同）：，，，，，，某餐饮公司想为这2014户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在_________，才能使这2014户居民到点的距离总和最小． 78．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）已知： b是最小的正整数， 且a、b满足， 请回答问题∶ (1)请直接写出a、b的值，_______，_____； (2)数轴上a、b、c三个数所对应的分别为A、B、C，点B与点C之间的距离表示为，点A 与点B之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B 和点 C分别以每秒1 个单位长度和3 个单位长度的速度向右运动． ①经过2秒后，点A 与点 C之间的距离 ． ②经过t秒后，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值、 题型27 二进制计算问题（共3小题） 79．（25-26七年级上·重庆合川·期末）【探究学习】其他进制数和十进制数之间的相互转换． 探究1：①把二进制数改写成十进制数；②把三进制数改写成十进制数． ①方法：把二进制数，改写成十进制数，只要把它写成各位数上数字与基数2的幂的乘积之和的形式，然后按通常的方法进行计算即可．②方法：把三进制数，改写成十进制数，只要把它写成各位数上数字与基数3的幂的乘积之和的形式，然后按通常的方法进行计算即可． 探究2：③把十进制数89改写成二进制数；④把十进制数257改写成三进制数． ③方法：把十进制数89改写成二进制数，用这个十进制数89连续除以2，直到商为零为止，把每次所得的余数倒序写出来：，这样就化成了二进制数，这种方法是“除以2倒取余数”． ④方法：把十进制数257改写成三进制数，用这个十进制数257连续除以3，直到商为零为止，把每次所得的余数倒序写出来：，这样就化成了三进制数，这种方法是“除以3倒取余数”．      (1)“二进制”化为十进制数为______；“六进制数”化为十进制数为______． (2)计算（结果转化为十进制）： (3)有一种密钥破解方式，先将二进制数转成十进制数x后，再按以下规定获得密码：当x为奇数时，表示成三进制，当x为偶数时，表示成七进制．如：二进制明码“1101”化为十进制为13，13为奇数，化成三进制为“111”，所以译成密码为111，请将二进制明码“110110”译成密码为________（直接写结果）． (4)合川桃片专卖店推出不同重量的密封礼盒（重量为整斤数），由于制作工艺特殊，店铺规定顾客只能购买整盒，不能拆开重新包装．通过灵活搭配这几种规格的礼盒（同一订单每种礼盒最多搭配一个），竟然可以恰好满足任何1斤到15斤（整斤数）的订单需求（即订单斤数等于若干礼盒重量之和），利用二进制解决：店家至少需要推出________种不同重量的密封礼盒（直接写结果）． 80．（25-26七年级上·江苏南通·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 为区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数（十进制数一般不标注基数）． 可知：一个其它进位制数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，从而转化成一个十进制数，反之，可以将一个十进制数表示成一个其它进位制数． 规定：当时，． 例如：，即； ，即； ，即． 【初步感知】 （1）①请把转化为十进制数为______； ②请把转化为八进制数； 【类比探究】 （2）类比十进制数的四则运算可进行其它进位制数的运算， 例如：． 计算：①； ②． 【拓展提升】 （3）小聪发现不同进制数都可以化为十进制数，故不同进制数也可以进行加法运算． 例如：． 若，则_____（结果用十进制数表示）． 81．（25-26七年级上·江苏南通·期中）【阅读材料】 材料一：N进制数与十进制数之间的转换将N进制数转化为十进制数，只要将N进制数的每个数字依次乘基数n的相应整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与其相等的十进制数． 规定：如：； 将十进制数化为与其相等的N进制数，用十进制数除以基数n，然后将商继续除以n，直到商为0，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可． 如，将89转化为五进制数：因为，，，所以． 材料二：二进制数加减运算 加法法则：，；，． 减法法则：，，，．（同一数位不够减时，向高一位借1当2） 根据以上法则，二进制数的加减法可类比十进制的竖式加法、减法规则进行运算． 如：，， ∴①，②， 如： ，， ∴③；④． 【问题解决】 (1)将八进制数转化成十进制数，结果为______； 将十进制数73转化成二进制数，结果为______； (2)列竖式计算：①； ②．（结果用二进制数表示） (3)探究二进制的乘法法则：，，，． 根据以上乘法法则，仿照十进制的乘法竖式法则，计算：．（结果用二进制数表示） (4)“退位减法”是一种逐位相减的方法．仿照十进制和二进制，其它几进制的退位减法也是类似的．若a，b，c，d，e分别代表五进制中5个互不相同的数，且三位数比三位数大2，则______． 题型28 有理数的新定义运算（共3小题） 82．（24-25七年级上·吉林·期末）用符号“f”定义一种新运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，，，…；（2），，，，…．利用以上规律计算：______． 83．（25-26七年级上·河南鹤壁·期中）【定义新知】 数轴上有三个点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“关联点”．例如：如图，数轴上点所表示的数依次为，点到点的距离等于点到点距离的2倍，此时点是点的“关联点”；点到点的距离等于点到点距离的2倍，点也是点的“关联点”． 【尝试应用】 （1）若数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，请判断点是否为点的“关联点”，并说明理由； 【拓展探索】 （2）若数轴上点表示的数为，点表示的数为，为数轴上一个动点： ①当点在点的右侧，且点是点的“关联点”，求此时点所表示的数； ②当点在点的左侧，点中，有一个点恰好是其他两个点的“关联点”，请直接写出此时点所表示的数． 84．（25-26七年级上·河南周口·期中）综合与实践 在学习数轴与线段的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“优点”进行研究． 定义：点在线段上，若或，则称点是线段的“优点”，线段，称作互为“优点”伴侣线段． (1)观察判断 如图1，点为线段的“优点”． ①若，则__________________； ②若点也是线段的“优点”（不同于点），则________________（填“=”或“”）； (2)性质探究 如图2，在原点为的数轴上有E，F两点，其中点表示的数为1，F点表示的数为4．若点在点的左侧，且M，N均为线段的“优点”，求线段的长； (3)拓展应用 在（2）的探究中，若点在线段的延长线上，且线段与互为“优点”伴侣线段，请直接写出点表示的数． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $专题01 有理数 基础·固本强基 题型1 正数与负数 题型2 有理数的分类 题型3 数轴 题型4 相反数 题型5 绝对值 题型6 有理数大小比较 题型7 有理数的四则混合运算（重点） 题型8 有理数四则混合运算的实际应用（重点） 题型9 含乘方的有理数混合运算（重点） 题型10 科学记数法（重点） 提升·进阶突破 题型11 相反意义的量 题型12 数轴上两点之间的距离（重点） 题型13 数轴上整点覆盖问题 题型14 绝对值非负性（重点） 题型15 绝对值的几何意义（重点） 题型16 有理数混合运算综合 题型17 有理数中的简便运算（重点） 题型18 根据点在数轴的位置判断式子的正负 题型19 含乘方的有理数混合运算题（重点） 题型20 乘方的应用 题型21 程序流程图 题型22 算24点 拔高·压轴破难 题型23 数轴上的动点问题（难点） 题型24 数轴上的翻折问题（难点） 题型25 绝对值的几何意义（最值）（难点） 题型26 数轴与绝对值结合（难点） 题型27 二进制计算问题（难点） 题型28 有理数的新定义运算（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 正数与负数（共3小题） 【步骤】判断数与 0 大小，大于 0 是正数，小于 0 是负数，0 既不是正数也不是负数。 【易错】带负号的数不一定是负数，字母 a 可正可负，0 不属于正数或负数。 1．（26-27七年级上·江苏镇江·期中）在、、0、、中，负数有_________个． 【答案】 【分析】小于的数是负数，既不是正数也不是负数，逐个判断各数即可得到结果． 【详解】解：，不是负数；，是负数；既不是正数也不是负数；，不是负数；，是负数；因此负数一共有个． 2．（26-27七年级上·江苏南京·期中）下列各数：，，1，0，，，，，中，正数有___个，负数有___个． 【答案】 3 5 【详解】解：正数有1、、；负数有、、、、， 因此正数有3个，负数有5个． 3．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）关于，，0.41，，0，3.14这六个数，下列说法错误的是（   ） A．，0不是正数 B．，0.41，0，3.14是正数 C．，，0.41，，0，3.14是有理数 D．，是负数 【答案】B 【分析】根据有理数的分类解答即可． 【详解】解：B选项中 0不是正数． 题型2 有理数的分类（共3小题） 【步骤】先看是否整数或分数，整数含正整数、0、负整数，分数含正、负分数。 【易错】有限小数、无限循环小数属于分数；π 不是有理数，0 是整数。 4．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）在数中，非负有理数有___________个． 【答案】6 【分析】本题主要考查非负有理数的定义，解决本题的关键是要熟练掌握非负有理数的定义． 非负有理数是指0和正有理数，正有理数分为：正整数和正分数，正有限小数和正无限循环小数属于正有理数，根据非负有理数的定义即可求解． 【详解】解：在数中，非负有理数是，共6个． 故答案为：6． 5．（25-26七年级上·江苏南京·期中）将下列各数按照分类，填入下面对应的大括号内： ，，，，，0，，12，，，（7和8之间依次多一个0）． 整数集合：{_______…} 正有理数集合：{_______…} 分数集合：{_______    } 【答案】 整数集合：， 正有理数集合：， 分数集合：． 【分析】本题考查了有理数的分类． 根据整数、正有理数、分数的定义，进行分类即可． 【详解】解：，是无理数， 整数集合：， 正有理数集合：， 分数集合：． 6．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）把下列各数填入相应的数集合中： ，，，，，，，（相邻两个1之间依次增加一个2）． 整数集合： ； 正数集合： ； 分数集合： ； 有理数集合： ． 【答案】 整数集合：{，0，2025}； 正数集合：{3.14159，，2025，，1.1212212221...}； 分数集合：{3.14159，，}； 有理数集合：{，3.14159，0，2025，，}． 【分析】本题考查了有理数的分类和定义，熟练掌握有理数的两种分类方式是解答本题的关键． 有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．有理数也可分为正有理数，零和负有理数，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数，据此求解即可． 【详解】略 题型3 数轴（共6小题） 【步骤】画直线，定原点、正方向、单位长度，再把数对应标到数轴上。 【易错】单位长度必须统一；原点位置可自选，数轴是直线不是射线线段。 7．（26-27七年级上·江苏·期中）下列关于数轴的说法正确的是（     ） A．规定了原点和正方向的直线 B．规定了单位长度的直线 C．规定了原点和单位长度的直线 D．规定了原点、正方向和单位长度的直线 【答案】D 【详解】解：∵数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线， 又∵选项A缺少单位长度，选项B缺少原点和正方向，选项C缺少正方向，均不满足要求， ∴选项A、B、C错误，选项D正确. 8．（25-26七年级上·江苏淮安·期末）在数轴上A、B两点分别表示的数是2和8，在数轴上，点A右侧有另外一点P，且P到A、B的距离和是10，则点P表示的数是（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【分析】设点表示的数为，根据在点右侧，分在、之间和在右侧两种情况，利用数轴上两点间距离的性质列方程求解即可. 【详解】解：设点表示的数为， ∵点在点右侧， ∴， ①当点在、之间，即时， 由数轴上点的位置关系可得，，， ∵， ∴该情况不符合题意； ②当点在点右侧，即时， 可得，， ∴， 解得，符合题意； 综上，点表示的数为. 9．（25-26七年级上·江苏·期末）将0，，，，，3这六个数在数轴上表示出来，并用“”将它们连接起来． 【答案】见解析， 【详解】解：各数在数轴上表示如下： 用“”把它们连接起来为：． 题型4 相反数（共3小题） 【步骤】改变数字符号，其余不变；0 的相反数是 0，两相反数到原点距离相等。 【易错】相反数仅符号不同，不是一正一负；不要把相反数和倒数弄混淆。 10．（26-27七年级上·江苏南京·期中）下列各数中，一定互为相反数的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、和互为相反数，符合题意； B、和不互为相反数，不符合题意； C、和不互为相反数，不符合题意； D、当时，和不互为相反数，不符合题意． 11．（25-26七年级上·江苏南京·期中）___________时，代数式与代数式的值互为相反数． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，相反数的定义，解题的关键是掌握相反数的定义． 根据相反数的定义，两个代数式的值互为相反数时，它们的和为零，由此列出方程并求解即可． 【详解】解：∵代数式与代数式的值互为相反数， ∴， 解得． 故答案为：． 12．（25-26七年级上·广东珠海·期中）已知与互为相反数，那么______． 【答案】 2 【分析】本题考查相反数，等式的性质，根据相反数的定义，两个数互为相反数则它们的和为零，由此列出方程并求解即可. 【详解】解：因为 与 互为相反数， 所以 ， 即 ， 整理得 ， 因此 ； 故答案为：2. 题型5 绝对值（共3小题） 【步骤】正数绝对值是本身，负数是它相反数，0 的绝对值为 0，看原数正负求值。 【易错】绝对值一定非负；绝对值相等两数，不一定相等，可能互为相反数。 13．（25-26七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知，则的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，掌握整体代入思想是解题的关键． 根据非负数的性质，绝对值和平方项均非负，它们的和为零，则每项为零，从而求出和的值． 【详解】解：，，且， 且， 由，得，即， 由，得，即， ； 故答案为． 14．（25-26七年级上·江苏南京·期末）关于的说法不正确的是（　　） A．1与a的差的绝对值 B．1到a的距离 C．a到1的距离 D．1与a的差的相反数 【答案】D 【分析】本题需结合绝对值的代数定义与几何意义，相反数的定义，根据绝对值的代数定义和几何意义逐一判断即可． 【详解】解：A、表示的是1与a的差的绝对值，原说法正确，不符合题意； B、表示的是1到a的距离，原说法正确，不符合题意； C、表示的是a到1的距离，原说法正确，不符合题意； D、1与a的差的相反数为，而当时，；当时，，原说法错误，符合题意； 故选：D． 15．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）若，，，则的值是（  ） A．或 B． C．1或11 D． 【答案】A 【分析】该题考查了绝对值的性质，代数式求值，根据绝对值的定义，和各有两种可能值，但需满足的条件，从而确定符合条件的和组合，再计算的值． 【详解】解：∵，∴或； ∵，∴或； 又∵， ∴当，时，，满足，此时； 当，时，，满足，此时； 其他组合均不满足． ∴的值为或． 故选：A． 题型6 有理数大小比较（共3小题） 【步骤】正数大于 0，0 大于负数；负数比较，绝对值大的反而小，也可借助数轴判断。 【易错】负数比较易直接用绝对值大小判断；数轴右侧数总大于左侧，别搞反。 16．（26-27七年级上·江苏南京·期中）比较大小：（1）______，（2）______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【详解】解：（1），， ，，且， ； （2），，且， ． 17．（2026·河南·模拟预测）下列不等式关系中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据绝对值性质、分数通分比较法、负数比较大小规则，逐一判断各选项即可得到正确结果． 【详解】解：逐个判断各选项： 对于A选项，∵ ，，，∴ ，A错误． 对于B选项，∵ ，，， ∴ ，B正确． 对于C选项，两个负数比较大小，绝对值更大的数更小， ∵ ， ∴ ，C错误． 对于D选项，∵ 负数小于一切正数，为负数，为正数， ∴ ，D错误． 18．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）某校开展体育测试，男生1000米跑步的合格标准为3分30秒，甲、乙、丙、丁四位男同学的成绩（超出标准的部分记为“”．不足标准的部分记为“”）如表所示，则1000米跑步成绩最好的是___________． 人员 甲 乙 丙 丁 成绩/秒 【答案】乙 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的大小比较，成绩中负值表示比标准时间快，正值表示比标准时间慢，成绩的数值越小，表示用时越短，成绩越好． 比较各数大小后作答即可． 【详解】解：∵， ∴1000米跑步成绩最好的是乙． 故答案为：乙． 题型7 有理数的四则混合运算（共3小题） 【步骤】先乘除后加减，有括号先算括号内；同级运算从左往右，按顺序计算。 【易错】符号最容易出错，去括号注意变号；别随意调换乘除运算顺序。 19．（26-27七年级上·江苏南京·期中）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）先化为省略加号的形式，再进行有理数的加减混合运算即可； （2）根据加法的交换律和结合律进行简便计算即可； （3）先将除法转化为乘法，再进行多个有理数相乘的计算即可； （4）先将除法转化为乘法，再进行多个有理数相乘的计算即可； （5）先将除法转化为乘法，再进行多个有理数相乘的计算即可； （6）根据乘法分配律的逆运算求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 20．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ． 21．（24-25七年级上·河北沧州·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) 10 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算、乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据相关运算法则计算即可； （2）根据相关运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型8 有理数四则混合运算的实际应用（共3小题） 【步骤】读懂题意，设定正负，列有理数算式，按运算法则计算，最后写出实际答案。 【易错】正负意义易混淆，结果勿忘带单位；作答要贴合实际含义。 22．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）某种篮球的标准质量是，检查5个这种篮球的质量，把超过标准质量的克数记作正数，不足的克数记作负数，检查结果如表： 篮球的编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差（g） (1)最接近标准质量的是___________号篮球； (2)求这5个篮球的平均质量． 【答案】(1)3 (2)这5个篮球的平均质量为． 【分析】本题考查了绝对值、有理数四则运算的应用． （1）根据超过标准质量的克数记作正数，不足的克数记作负数，绝对值最小的最接近标准，可得最接近标准质量的球； （2）先求出这5个篮球的总质量，再除以5即可求解． 【详解】（1）解：，， 号篮球质量最接近标准质量， 故答案为：； （2）解： 答：这5个篮球的平均质量为． 23．（25-26七年级上·江苏南通·期末）冬季来临，小芳家为了节省取暖费用，将旧空调更换为节能空调．她记录了一星期内每天节能空调的运行时长（如下表，单位：小时）．以5小时为标准，超过的小时数记为正数，不足的小时数记为负数．其中，星期五比星期四多用小时． 星期 一 二 三 四 五 六 日 时长 a 0 (1)根据题意得： ______； (2)已知旧空调耗电每小时度，节能空调耗电每小时度，若电价为元/度，小芳家换成节能空调后，这一星期七天的电费比原来使用旧空调节省了多少元？ 【答案】(1)2 (2)节省了元 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，根据题意列出算式，是解题的关键． （1）先求出星期四节能空调的运行时长，然后根据星期五比星期四多用小时，求出星期五节能空调的运行时长，最后求出a的值即可； （2）先求出节约的电量，然后求出节省的钱数即可． 【详解】（1）解：． （2）解：（小时）， （小时）， （元）， 答：小芳家换成节能空调后，这一星期七天的电费比原来使用旧空调节省了元． 24．（25-26七年级上·江苏常州·期中）某学习小组记录了一名外卖小哥一周的送餐情况．规定：送餐量以40单为基准，超过部分记为正，不足部分记为负（送一次外卖称为一单）具体送餐量如下表： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） (1)这一周七天中，送餐单数最接近40单的是星期______； (2)这一周七天中，送餐最多的单数比最少的单数多______单； (3)外卖小哥每天的收入由底薪30元和送单补贴组成，补贴规则如下：不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单的部分，每单补贴6元．求该小哥这一周中送外卖收入最多的一天比最少的一天多赚多少元？ 【答案】(1)四 (2)19 (3)106 【分析】本题考查正负数的应用，熟练掌握正负数运算法则是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义，分别求得各数的绝对值，然后比较大小即可； （2）根据正数和负数的实际意义，用最大的数减去最小的数即可； （3）根据题意分别求得收入最多和最少的一天，然后计算差值即可． 【详解】（1）解：由题意可得，各数的绝对值分别为5，3，4，2，7，12，15， 由于， 则这一周七天中，送餐单数最接近40单的是星期四， 故答案为：四； （2）解： （单） 即这一周七天中，送餐最多的单数比最少的单数多19单， 故答案为：19； （3）解：由题意可得，收入最多的一天是星期日， 收入为（元）， 收入最少的一天是星期三， 收入为（元）， （元）， 答：该小哥这一周中送外卖收入最多的一天比最少的一天多赚106元． 题型9 含乘方的有理数混合运算（共3小题） 【步骤】先算乘方，再乘除后加减；有括号先算括号内，同级运算从左向右依次计算。 25．（25-26六年级下·上海·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 26．（25-26七年级上·贵州铜仁·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）先计算乘方，再利用乘法分配律计算即可； （2）先计算乘方、小括号内的减法，再计算括号内的减法，然后计算乘法，最后计算减法即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 27．（25-26九年级上·山东青岛·期中）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先计算乘方和乘除法，再计算加减法即可； （2）先计算乘方和括号内通分作差，再计算乘法，最后计算加减法即可； （3）先计算括号内减法和乘方，将除法化为乘法，再计算连乘即可． 【详解】（1） 解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型10 科学记数法（共3小题） 【步骤】写成a×10n，1≤a＜10，数原数整数位数确定n，n等于整数位减 1 【易错】a范围不能超标；负数不要漏负号，n的正负容易判断错误。 28．（26-27七年级上·江苏盐城·期中）大丰湿地公园一年累计吸收二氧化碳约320000千克，数据320000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值即可得到结果． 【详解】解：． 29．（2026·江苏镇江·中考真题）2026年第一季度，我市实现农林牧渔业总产值3750000000元．该数据用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：. 30．（2026·江苏徐州·中考真题）淮海战役期间有名群众支援前线，用科学记数法表示为________________． 【答案】 【详解】解：． 提升·进阶突破 题型11 相反意义的量（共3小题） 31．（26-27七年级上·江苏常州·期中）下列各对量中，不具有相反意义的是（     ） A．胜3局与负4局 B．盈利3万元与亏损2万元 C．气温升高与气温为 D．转盘逆时针转3圈与顺时针转5圈 【答案】C 【分析】根据相反意义的量的定义，判断每组量是否具备相反的含义，找出不具有相反意义的选项． 【详解】解：∵胜与负是相反意义， ∴A项具有相反意义，不符合题意． ∵盈利与亏损是相反意义， ∴B项具有相反意义，不符合题意． ∵升高是变化量，气温是温度数值，二者不是相反意义， ∴项不具有相反意义，符合题意． ∵逆时针转与顺时针转是相反意义， ∴D项具有相反意义，不符合题意． 32．（26-27七年级上·江苏扬州·期中）立春是二十四节气之首，标志着春季的开始，立春的“立”表示开始，“春”代表温暖和生长．立春以后某市出现冻雨天气，最低温度低于零度，若把气温零上记为，则表示气温为__________ 【答案】零下3℃ 【详解】解：∵零上记为，正号表示零上气温， ∴负号表示与零上意义相反的零下气温， ∴表示气温为零下． 33．（26-27七年级上·辽宁沈阳·期中）某袋装薯片标准净重，质检工作人员为直观了解该种薯片每袋的净重与标准的误差，把薯片净重记为，那么薯片净重就记为( )． 【答案】 【分析】正负数表示相反意义的量，以标准净重为基准，超出标准的部分记为正数，不足标准的部分记为负数，计算差值即可得到结果． 【详解】解：∵以标准净重为基准，超出标准净重的部分记为正数，不足部分记为负数， 又∵，记为， ∴与标准净重的差值为，即比标准净重少， ∴薯片净重记为． 题型12 数轴上两点之间的距离（共3小题） 【步骤】取两点表示的数，用大数减小数，或求两数之差的绝对值得到距离。 【易错】距离一定是非负数；不要直接用左边数减右边数，忽略绝对值。 34．（25-26九年级下·河北沧州·期中）已知A，B，C是数轴上的三个点，且C在B的右侧．点A，B表示的数分别是1，3，如图所示．若，则点C表示的数是______． 【答案】5 【分析】根据数轴上两点间的距离公式求出的长，则可得到的长，根据点C在点B的右侧，可知点C表示的数为点B表示的数加上点B与点C之间的距离，据此可得答案． 【详解】解：∵点A，B表示的数分别是1，3， ∴， ∵， ∴， ∵C在B的右侧， ∴点C表示的数为． 35．（25-26七年级上·辽宁丹东·期末）线段，P是线段上任意一点，C，D两点分别从点P，点A同时向B点运动，且C点的运动速度为，D点的运动速度为．若运动时间为时，则________． 【答案】 6或16 【分析】本题考查线段上的动点问题，根据运动方向和速度确定点在数轴上的位置，利用绝对值的几何意义求解距离，即可 【详解】解：设所在的直线为数轴，点A为原点，则点B所表示的数为20，设点P表示的数为x， ∵C，D两点分别从点P，点A同时向B点运动，且C点的运动速度为，D点的运动速度为． ∴点C所表示的数为：，点D所表示的数为： ∵， ∴，解得：或4， ∴或 故答案为：6或16． 36．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为9，点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，回到点B后停止运动．设点P运动的时间为． (1)当点P返回到点B时，求t的值； (2)当时，求点P表示的数； (3)当点P表示的数是时，求t的值． 【答案】(1) (2)0 (3)t的值为3或 【分析】本题考查两点之间的距离，用点表示数轴上的数，分情况讨论是解题的关键； （1）先求出之间的距离，再分别计算点P到达A点和返回时用的时间，相加即可； （2）根据P到达A点时用的时间确定路径，再计算所走路程，即可解答； （3）分两种情况计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动， ∴（秒），故点P到达A点时用的时间为秒； ∵当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动， ∴， 故当点P返回到点B时，； （2）解：∵P到达A点时用的时间为（秒）， 当时，，即时，点P从A点返回； ； ∴当时，点P表示的有理数是：； （3）解：当点P第一次到达时，， 当点P运动到点A，然后向右运动到时， ， 综上所述，t的值为3或． 题型13 数轴上整点覆盖问题（共3小题） 【步骤】求出线段两端数值，分端点是否为整点，再计算覆盖整点个数。 【易错】端点是整点时个数 = 差 + 1；端点非整点，整点个数等于两数之差。 37．（25-26六年级上·上海松江·期末）在数轴上表示的点与表示1.5的点之间的整数共有______个． 【答案】3 【分析】本题考查数轴上两点之间的整数个数，通过找出所有大于且小于1.5的整数求解即可． 【详解】解：数轴上表示与1.5的点之间的整数有，0，1，共3个． 故答案为：3 38．（2025七年级上·江苏泰州·专题练习）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是，若在这个数轴上任意画出一条长为的线段，则线段盖住的整点个数为（    ） A．3个 B．4个 C．3个或4个 D．4个或5个 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识．利用数轴知识解答． 【详解】解：当起点在整点时，盖住的整点个数为； 当起点不在整点时，设线段的区间为，其中a不是整数，则盖住的整点个数为． 线段盖住的整点个数为4或5． 故选：D． 39．（24-25七年级上·江苏常州·期中）数轴上表示整数的点为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意放上一根长为整数厘米的火柴棒，该火柴棒能盖住3个整点，则这根火柴棒的长度为_____厘米． 【答案】3或2 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是找出长度为n（n为正整数）的线段盖住n或个整点，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，分端点是否与整点重合两种情况来考虑是关键． 由于若火柴棒的端点恰好与整点重合，则1厘米长的线段盖住2个整点，若火柴棒的端点不与整点重合，则1厘米长的线段盖住1个整点，据此分析即可求解． 【详解】解：长度为n（n为正整数）的线段盖住n或个整点，． ∴长度为m的火柴棒能盖住的3个整点时，火柴棒的长度厘米或，即厘米， 故答案为：3或2． 题型14 绝对值非负性（共3小题） 【步骤】任意数的绝对值≥0；多个绝对值相加为 0，则每个绝对值都等于 0 【易错】不要误认为绝对值等于 0 的数有多个；易忽略 “同时为 0” 这个条件 40．（2026七年级上·湖南张家界·竞赛）已知 ， (1)求的值． (2)画数轴，并在数轴上标出到a、b两数距离之和为4的数． 【答案】(1)5 (2)画图见解析 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴． （2）解：设到a、b两数距离之和为4的数为， 则， 当时，，； 当时，，方程无解； 当时，，； ∴到a、b两数距离之和为4的数为或． 41．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）已知，且，求___________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了代数式求值，绝对值的意义和绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．由绝对值的意义和绝对值的非负性可确定m和n的值，再代入中计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴当时， 当时，， 故答案为：或． 42．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）绝对值非负性的基本含义，用数学语言表示就是：对于任意有理数，都有． (1)若，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)1 (2)8 【分析】本题主要考查了代数式求值，平方数、绝对值的非负性，熟知绝对值的非负性是解题的关键．（1）根据绝对值的非负性可得和，据此求出x、y的值，再代值计算即可得到答案； （2）可证明，那么可得，则，由平方数和绝对值的非负性求出a、b的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ∵且， ∴且，即和， 解得，， ∴． （2）解：∵， ∴． 已知， ∴， 简化得． 又 ∵且， ∴且，即和， 解得， ∴． 题型15 绝对值的几何意义（共3小题） 43．（2026·甘肃白银·二模）若x为任意有理数，表示在数轴上表示的点到原点的距离，表示在数轴上表示的点到表示的点的距离，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据绝对值的几何意义，表示数轴上与对应点之间的距离，由可知在数轴上表示的点到表示的点与表示的点的距离之和，当位于和之间时，距离之和取得最小值，最小值为两点之间的距离． 【详解】解：∵表示数轴上与两数对应的点之间的距离， ∴，即在数轴上表示的点到表示的点与表示的点的距离之和， 当时，有最小值，为． 44．（2026七年级下·重庆涪陵·竞赛）我们知道，在数轴上，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地可以规定，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：．利用此结论，那么式子的最小值是__________． 【答案】 【分析】的几何意义为表示数的点到表示数的点的距离之和，可得当x在1和9之间的5时距离的和最小，据此求解即可． 【详解】解：的几何意义为表示数的点到表示数的点的距离之和， ∴根据绝对值的几何意义可得，当x在1和9之间的5时距离的和最小， 那么当时，， ∴式子的最小值是． 45．（25-26七年级上·贵州六盘水·期末）数形结合是解决数学问题的重要方法，数轴上两点之间的距离可以用两数之差的绝对值来表示，点A表示的数是a，点B表示的数是b，则A，B两点之间的距离．例如：若点A表示5，点B表示，则．解决下列问题： (1)若点A表示的数是4，点B表示的数是，则A，B两点之间的距离是_______； (2)当时，请在数轴上标记x所在的位置并写出x的值； (3)是否存在有理数m，使得有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 或，在数轴上标记x所在的位置如图所示： (3)当时，的值最大，最大值为 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据两点间的距离公式计算即可得出结果； （2）先根据绝对值的意义求出或，再在数轴上标记x所在的位置即可； （3）分区间讨论的化简结果，比较得出最大值即可． 【详解】（1）解：∵点A表示的数是4，点B表示的数是， ∴A，B两点之间的距离是； （2）解：∵， ∴或， ∴或， （3）解：当时，， 当时，，此时， 当时，， ∴当时，的值最大，最大值为． 题型16 有理数混合运算综合（共3小题） 46．（26-27七年级上·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)（简便计算）． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）根据有理数的加减混合运算法则计算即可得出结果； （2）先计算乘法，再计算加法即可得出结果； （3）先计算绝对值，再计算乘法，最后计算加减； （4）先将带分数化为假分数，再计算乘法，最后计算减法即可得出结果； （5）根据有理数的乘法运算律计算即可得出结果； （6）将所求式子变形为，再结合有理数的乘法运算律计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 47．（26-27七年级上·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)（用简便运算）． 【答案】(1)0 (2) (3)11 (4) (5) (6) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 48．（26-27七年级上·江苏泰州·期中）计算 (1)； (2)； (3)； (4)（简便计算）； (5)； (6)． 【答案】(1)1 (2) (3) (4) (5)8 (6) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 题型17 有理数中的简便运算（共3小题） 49．（25-26六年级上·黑龙江鸡西·期末）用简便方法计算下列各题 (1) (2) 【答案】(1)23 (2) 【分析】本题主要考查有理数乘除中的简便运算； （1）先把除法变乘法，再根据有理数乘法运算律计算即可； （2）把2026变为，再根据有理数乘法运算律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 50．（25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）用运算律简便运算 (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的运算，运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据乘法分配律即可求解； （）根据乘法分配律即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 51．（25-26七年级上·江苏南京·期中）请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：. 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，乘法分配律的运用，熟练掌握有理数混合运算的法则和乘法分配律是解题的关键.计算，把除法变成乘法，再利用乘法分配律求解，所得结果取倒数即为答案. 【详解】解：原式的倒数为： ， ∴． 故答案为. 题型18 根据点在数轴的位置判断式子的正负（共3小题） 52．（25-26七年级上·河南·期末）有理数在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于______． 【答案】 【分析】本题考查了数轴与有理数，根据数轴上点的位置得到式子的正负，再根据绝对值的性质化简求值即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，，，， ， ∴， 故答案为：． 53．（25-26七年级上·广东揭阳·期末）已知有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简为______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了数轴及绝对值，整式的加减，解题的关键是根据数轴确定，，，． 利用数轴可得，，，然后化简绝对值即可． 【详解】解：由数轴可知：，且， ，，， ． 故答案为：． 54．（25-26七年级上·甘肃平凉·期末）有理数在数轴上对应的位置如图所示，0为原点． (1)a______0，______0，______0，______0（填“＜”或“＞”或“＝”） (2)化简． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题主要考查利用数轴比较数字的大小以及绝对值的化简，根据数轴判断出a、b、c、0的大小顺序是解题关键． （1）根据数轴判断出a、b、c、0及其绝对值的大小顺序，再分别判断出、、与0的大小关系即可． （2）根据（1）的结论，去绝对值，计算出结果即可． 【详解】（1）解：根据数轴可知： 且， ∴，，． 故答案为：，，，； （2）解：∵，，，， ∴ ． 题型19 含乘方的有理数混合运算题（共3小题） 55．（26-27七年级上·江苏扬州·期中）小明是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“3的下3次方”．一般地，把n个a（）相除记作，读作“a的下n次方”，即． (1)直接写出计算结果：______，______． (2)关于除方，下列说法正确的有______（填序号）．①对于任何正整数n，；②（）；③（a是有理数，，n是正整数）；④；⑤负数的下正奇数次方结果是负数，负数的下正偶数次方结果是正数． (3)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢?例如：（幂的形式）． 试一试：将下列除方运算直接写成幂的形式：______，______（写成幂的形式，不化简） (4)计算：． 【答案】(1)，4 (2)①②⑤ (3)； (4) 【分析】（1）根据新定义，列式计算即可； （2）根据新定义，逐一进行判断即可； （3）根据新定义结合除法法则，进行计算即可； （4）根据新定义以及有理数的运算法则进行计算即可. 【详解】（1）解：，； （2）解：表示个1相除，结果为1，故①正确； ，故②正确； 当时，，故③错误； ，故，故④错误； 负数的下正奇数次方表示奇数个负数相除，结果是负数；负数的下正偶数次方表示偶数个负数相除，结果是正数，故⑤正确； 综上，正确的有①②⑤； （3）解：； ； （4）解：原式 . 56．（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）在实数范围内定义一种新运算“＠”，其运算规则为：，如：，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用有理数的乘方运算性质化简即可求解． 【详解】解：根据新运算规则， 可得 ． 57．（2026·湖北恩施·一模）综合与实践： 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，十进制数一般不标注基数． 材料一：十进制数中的3表示3个千，7表示7个百，2表示2个十，1表示1个一，于是我们得到了下面的式子（规定当时，）：． 例如，二进制数，转换为十进制数为：． 材料二：将十进制数转化为二进制数可以用除2取余法， 例如，将十进制数转换为二进制数的除法算式如图，将上式中各步所得的余数按照逆序排列，即可得． 此方法可推广为把十进制数转换为进制数的算法（除取余法）． 根据上述材料解答下列问题： (1)二进制数对应的十进制数是______，十进制数对应的二进制数为______． (2)中国古代的十二地支，十二生辰，十二生肖等都属于十二进制的应用．十二进制使用，，，，，，，，，，，来计数．其中代表，代表．请结合以上材料计算十进制数对应的十二进制数为______． (3)有一种密钥破解方式，先将二进制明码数转成十进制数后，再按以下规则获得密码：当为奇数时，破解公式为，当为偶数时，破解公式为．则破解二进制明码表示的密码为______． 【答案】(1)5，； (2)； (3)． 【分析】（1）结合题中所给转换方法进行计算即可； （2）根据题中所给计算方法进行计算即可； （3）先将二进制数转化为十进制数，再按获得密码的规则进行计算即可 【详解】（1）解：． 由题可得 十进制数对应的二进制数为． （2）解：由题可得 十进制数982对应的十二进制数为． （3）解：由题可得 为奇数时， 破解公式为． 题型20 乘方的应用（共3小题） 58．（25-26七年级·全国·暑假作业）阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算． 计算：． 解：设， 则， 所以 ， 即． 按照上面的方法，计算：． 【答案】 【分析】理解题意，模仿题干过程进行分析作答即可． 【详解】解：设， 则 ∴， 即． 59．（25-26七年级上·全国·期末）我们知道，3的正整数次幂：，，，，，，，，…，观察归纳，可得的个位数字是_______． 【答案】3 【分析】本题考查了根据乘方运算求解．观察3的正整数次幂的个位数字，发现其以3、9、7、1四个数字为一个循环周期．2025除以4的余数为1，故的个位数字与的个位数字相同，据此即可求解． 【详解】解：由题意得的个位数字按3、9、7、1顺序循环， ， 因此个位数字为3． 故答案为：3． 60．（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）由乘方的定义可知：（n个a相乘）．观察下列算式回答问题： (1)________；（写出结果） (2)________； (3)计算的值． 【答案】(1)900 (2) (3)1 【分析】本题考查乘方的定义的规律问题，熟知乘方的定义． （1）根据乘方的定义以及规律求解即可； （2）根据乘方的定义以及规律求解即可； （3）首先根据乘方的定义以及规律得出再根据乘方的定义求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：900； （2）解：， 故答案为：； （3）解： ． 题型21 程序流程图（共3小题） 61．（26-27七年级上·江苏徐州·期中）如图所示是计算机程序流程图，若开始输入，则最后输出的结果是（     ） A． B． C．12 D．14 【答案】D 【分析】将代入图中，然后按照有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】解：， 观察图可知， ， ， 最后输出的结果是14． 62．（26-27七年级上·江苏南京·期中）如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． (1)当小明输入，4，15这三个数时，则三次输出的结果依次为__________，__________，__________； (2)有一次，小明操作的时候输入了一个小于10的正整数，最后输出的结果是2，则小明输入的正整数是__________ 【答案】(1)；1；0 (2)2或7 【分析】（1）根据题目中的数值转换机，可以写出相应的输出结果； （2）根据题意，利用分类讨论的方法，可以计算出相应的输入数据． 【详解】（1）解：由题意得， 当输入数值是时，，，输出的数值为； 当输入数值是4时，，，，输出的数值为1， 当输入数值是15时，，，，的相反数是0，，输出的数值为0； （2）解：当按照绝对值输出结果为2时， ∴绝对值为2的非正数是，的相反数为2， ∵， ∴输入数据为2或者7， 当按照倒数输出结果为2时，取相反数后应该为，取相反数前为，一个数减去5后结果为，这个数一定是一个分数，而不可能为整数，因此这种情况时，输入的数据不可能是正整数； 综上，小明输入的正整数是2或7． 63．（25-26七年级上·河南信阳·期中）某编程兴趣小组设计了一个数值转换的小程序，运行规则如图所示，当输入的数为时，输出的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照程序流程图，结合有理数混合运算的法则计算即可得出结果． 【详解】解：∵输入的数为， ∴，， ∴当输入的数为时，输出的数是． 题型22 算24点（共3小题） 64．（26-27七年级上·江苏连云港·期中）四个有理数3，2，2，1，可通过加、减、乘、除、乘方等运算，使其结果等于24．请写出三个这样的不同的算式． 【答案】；； 【分析】根据有理数的混合运算即可得到答案，运算时注意正确的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号的先算括号里的． 【详解】解：算式1：， 算式2：， 算式3：． 65．（2026七年级上·江苏·专题练习）如图，小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求取出卡片，完成下列问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)算点游戏：从中取出4张卡片，用学过的“，，，”运算，使结果为．请写出2个运算式并进行计算： ①_________________； ②__________________． 【答案】 15 【分析】（1）个数一组，找符号相同的情况下绝对值最大的两个数即可． （2）个数一组，先找符号不同的两个数，再用绝对值最大的数除以绝对值最小的数即可． （3）用加减乘除只要结果是24即可． 【详解】（1）解：由题意可得，两个数同号的情况下，绝对值最大的一组数是和， 最大值是：． （2）解：由题意可得，两个数异号的情况下，绝对值最大的数是，最小的是， 最小值是：． （3）解：由题意可得，①； ②． 66．（2025七年级上·全国·专题练习）王红有5张写着以下数的卡片，请按要求抽出卡片，解答下列各题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数乘积最小，最小值是_________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数相除商最大，最大值是_________； (3)从中取出除0以外的4张卡片，将这4个数进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使结果为24，每个数只能用一次，如：．请另写出一种符合要求的算式． 【答案】(1) (2)3 (3)． 【分析】（1）根据题意列出算式，找出积最小值即可； （2）根据题意列出算式，找出商最大值即可； （3）利用“点”游戏规则列出算式即可． 【详解】（1）解：取，，此时乘积最小，； （2）解：取，，此时商的最大值，； （3）解：． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键，记住先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 拔高·压轴破难 题型23 数轴上的动点问题（共3小题） 67．（25-26七年级上·福建福州·期末）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为．对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作（，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作（，线段）． 例如：点表示的数为，则（点，），（点，线段）． 已知点为数轴原点，点，为数轴上的动点． (1)（点，线段）________，（点，线段）________； (2)若点，表示数分别为，，（线段，线段）．求的值； (3)点从原点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动；点从表示数的点出发，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，…，按此规律运动，，两点同时出发，设运动的时间为秒，若（线段，线段），求的值． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或秒． 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数、数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题，解决本题的关键是计算数轴上两点间的距离，进行分类讨论． (1)根据定义求值即可； (2)分线段在线段左侧和右侧两种情况求解； (3)根据点的运动方向和速度分情况讨论． 【详解】（1）解：（点，线段）， （点，线段）， 故答案为：，； （2）解：当线段在线段左侧时， 可得：（线段，线段）， 解得：； 当线段在线段右侧时， 可得：（线段，线段）， 解得：； 综上所述，或； （3）解：当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：(不符合题意)； 当时，点表示的数是，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时， 则有（线段，线段）； 综上所述，若（线段，线段），则有或或或秒． 68．（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图所示，在数轴上点表示的数分别为，，，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为 (1)则______，______，______； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点、点分别以每秒个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动秒后，点与点之间的距离为多少？用含t的代数式表示 ②的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变；请求其值； (3)由第（1）小题可以发现，三条线段的长度之间满足的数量关系．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，三条线段的长度之间又存在怎样的数量关系，请直接写出答案． 【答案】(1) (2)①；②不变；值为 (3)当时，，当时，，当时， 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题： （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）①由点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒2个单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，再根据两点间的距离公式即可得到答案； ②由点以每秒单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，从而得到，再计算出，即可得到答案； （3）分别表示出的长度，然后分情况讨论得出之间的关系，即可得到答案． 【详解】（1）解：在数轴上点表示的数分别为，，， ，，， 故答案为：； （2）①点以每秒个单位长度的速度向左运动，点以每秒个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：， 点与点之间的距离为：； ②点以每秒单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：， ， ， 的值不会随着时间的变化而改变； （3）点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为：， ，，， 当时，， 当时，， 当时，， 随着运动时间的变化，之间存在类似于（1）的数量关系． 69．（25-26七年级上·吉林长春·期中）在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足． (1)a = ，b= ，c= ； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 对应的点重合； (3)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①求t为何值时，点P到点B的距离是5； ②直接写出点Q到点C的距离是点P到点B距离的2倍时t的值． 【答案】(1)，，9 (2)7 (3)①2.5或7.5；②或 【分析】（1）由b是最大的负整数，可得．由，可求得，． （2）设点B与数x表示的点对应，根据折叠点既是的中点，也是B点及其对应点的中点，可得，求得x的值即可． （3）①由题意得t秒时，P点对应的数为，分两种情况：P点在 B点右侧时和P点在 B点左侧时，分别计算即可． ②由“点Q到点C的距离是点P到点B距离2倍”列方程得，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵b是最大的负整数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，，9． （2）解：设点B与数x表示的点对应，则 ， 解得， 故答案为：7． （3）解：①情况1：P点在 B点右侧时， ， 解得； 情况2：P点在 B点左侧时， ， 解得． 综上，t的值为2.5或7.5时，点P到点B的距离是5． ②由题意得， 整理得， ∴或， 解得或． ∴点Q到点C的距离是点P到点B距离2倍时t的值为或． 【点睛】本题考查了数轴，数轴上两点之间的距离，以及数轴上的动点问题，正确的表示出t秒后P、Q所对应的数，以及分类讨论是解题的关键． 题型24 数轴上的翻折问题（共3小题） 70．（25-26七年级上·山东青岛·期末）如图，在一条可以折叠的数轴上，，两点表示的数分别是，，以点为折点，将此数轴向右对折，若对折点在点的右边，且，两点相距，则点表示的数是______． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、折叠的性质，关键是熟练应用知识点解题； 先求出折叠后表示的数，由折叠可得是中点，即可求得它表示的数． 【详解】解：由题意得， ∵点表示的数为，点在点的右边，且， ∴折叠后的点表示的数为． ∵折叠前点表示的数为， ∴， 即点表示的数为． 故答案为：． 71．（25-26七年级上·陕西延安·期中）【问题背景】我们知道，数轴上两点之间的距离可以用右侧的点所表示的数减去左侧的点所表示的数来计算．如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，若将数轴折叠，使点与点重合，解答下列问题： 【问题再现】（）求折叠后与表示数重合的点所表示的数； 【问题推广】（）若折叠后，数轴上的两点也重合，且折叠前两点之间的距离为个单位长度（点在点的左侧），求两点所表示的数； 【拓展提升】（）在（）的条件下，将折叠后的数轴展开，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向正半轴运动；同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向负半轴运动．设当运动时间为秒时，两点相距个单位长度，求的值． 【答案】（）；（）点表示的数为，点表示的数为；（）或 【分析】（）利用中点坐标公式求出折叠点表示的数，设折叠后与表示数重合的点所表示的数为，根据折叠点列出方程解答即可求解； （）由题意可得点到折叠点的距离为个单位长度，再根据数轴上两点间距离解答即可求解； （）由题意可得点运动秒时表示的数为，点运动秒时表示的数为，再分点在点左侧和右侧两种情况，根据数轴上两点间距离公式列出方程解答即可求解； 本题考查了数轴与有理数，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】解：（）∵数轴上点表示的数是，点表示的数是， ∴折叠点表示的数为， 设折叠后与表示数重合的点所表示的数为， 则， 解得， ∴折叠后与表示数重合的点所表示的数为； （）∵折叠前两点之间的距离为个单位长度， ∴点到折叠点的距离为个单位长度， ∴点表示的数为，点表示的数为； （）由题意可得，点运动秒时表示的数为，点运动秒时表示的数为， 当点在点左侧时，则， 解得； 当点在点右侧时，则， 解得； 综上，当两点相距个单位长度时，的值为或． 72．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）定义：已知点是线段上的一个点，若点到线段两个端点的距离之比为 ，则称点为线段的“理想点”．如图，、分别是数轴上的两点，点表示的数是，点表示的数是5． (1)求点、之间的距离； (2)求线段的“理想点”表示的数； (3)点是线段上一点，将线段沿点向右折叠，使点的对应点仍落在数轴上，若点、、三点中，其中一点是另外两个点所连线段的理想点，直接写出此时点表示的数． 【答案】(1)20 (2)或1 (3)或或 【分析】本题主要考查了新定义问题，数轴上两点之间的距离，解绝对值方程等知识． （1）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可． （2）设“理想点”P表示的数为x，分两种情况当时和当时，根据“理想点”的定义列出关于x的一元一次方程求解即可得出答案． （3）设点Q表示的数为q，然后分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：点M、N之间的距离为. （2）解：设“理想点”P表示的数为x， 当时， ， ， ； 当时， 综上，P表示的数为或1； （3）解：设点Q表示的数为q， 分两种情况讨论“理想点”： 情况1：当时，, 当是M、N的理想点， 即，即， 解得， 当，即 解得. 情况2：当时， N是、M的理想点， 当， 即， 解得 综上：点Q表示的数为或或． 题型25 绝对值的几何意义（最值）（共3小题） 73．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）同学们都知道，表示1与之差的绝对值，实际上也可以理解为1与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)求_________； (2)同理，表示数轴上实数所对的点分别到和1006所对的两点距离相等，则_______________； (3)类似地，表示数轴上实数所对的点分别到和2所对的两点距离之和，若，则________________； (4)由以上探究，猜想对于任何实数，是否有最小值？如果有，请求出最小值；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)3 (2) (3)或3 (4)有，最小值为3． 【分析】本题考查数轴与绝对值，一元一次方程，理解绝对值的几何意义是解题的关键． （1）直接计算即可； （2）根据题意得，x所对点为和所对点的中点，根据中点公式即可求解； （3）根据和2所对的两点距离之和为9，得到或，分类讨论：①当时，②当时，逐个计算即可； （4）表示数轴上实数x所对点到和6对的两点距离之和，结合数轴可知最小值为． 【详解】（1）解：． 故答案为：3． （2）由题意知，实数x所对点到和1006所对的两点距离相等， ， 故答案为：； （3）， ∴或 ①当时， ， ， 解得； ②当时， ， ， 解得； 故答案为：或3； （4）表示数轴上实数x所对点到和6所对的两点距离之和， 结合数轴可知，当时，有最小值，最小值为． 74．（25-26七年级上·福建漳州·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 材料分析：如图1，已知数轴上两点，．则两点距离为两数差的绝对值，即 如：1到3的距离为两数差的绝对值，即；到3的距离为两数差的绝对值，即． 根据以上思想，完成下题 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． （1）如图2，数轴上表示和6的数的两点之间的距离是______； （2）若数轴上表示数的点位于与5之间，求的值是______； （3）当取最小值时，相应的数的取值范围是______； 实际应用： （4）已知数轴上点，表示的数分别为8和，动点，分别从，两点，同时出发，点以每秒1个单位长度沿数轴向左匀速运动，点以点速度的2倍，沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．问当为多少秒时？，之间的距离为3． 拓展提升： （5）若数，满足，求的最小值． 【答案】（1）8   （2）8   （3）   （4）7或9秒   （5） 【分析】本题考查了一元一次方程的应用及数轴、绝对值，掌握两点之间的距离公式是解题的关键． （1）根据两点之间距离的定义求解； （2）根据绝对值的性质求解； （3）根据两点之间距离的定义及当在两点之间时距离和最小求解； （4）设经过秒时，，之间的距离为3，此时点表示的数是，点表示的数是，据此列方程求解即可； （5）根据绝对值几何意义分别求和的最小值，即可求解． 【详解】（1）解：数轴上表示和6的两点之间的距离为：， 故答案为：8； （2）解：数轴上表示数的点位于与5之间， ， ， 故答案为：8； （3）解：表示数到点1与3的距离之和， 当时，取最小值， 故答案为：； （4）解：设经过秒时，，之间的距离为3， 此时点表示的数是，点表示的数是， 则， 整理得， 解得或， 故当为7或9秒时，，之间的距离为3； （5）解：表示数到点1与3的距离之和， 当时，取得最小值； 表示数到点4与的距离之和， 当时，取得最小值， 此时， 的最小值为1，的最小值为， 的最小值为：， 故答案为：． 75．（25-26七年级上·福建莆田·期中）我们知道，是在数轴上表示数a的点到原点的距离．进一步地，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B两点之间的距离就可以表示为．反过来，也就表示A、B两点之间的距离．下面，我们将利用这两种语言的互化，再辅助以图形语言解决问题． 例，若，求x的值． 解：①，即． 文字语言：x的值为数轴上到表示的点的距离等于2的点表示的数． ②图形语言： ③答案：x的值为或． 通过以上学习，完成以下问题： (1)若，求x的值； 解：①文字语言：x的值为数轴上到表示的点的距离等于到表示3的点的距离相等的点表示的数． ②请补全图形语言： ③答案：____________． (2)若，则x的值为______． (3)代数式的最小值为______，此时x的值是______． (4)一条笔直的公路边有三个居民小区A、B、C和一个市民广场O，居民小区A、B、C分别位于市民广场左侧5千米，左侧1千米，右侧4千米．现要在该公路上建一个居民生活服务站点P，满足三个小区的居民购物需求，站点P有一辆货车负责向三个小区的居民免费运送所购生活物资．根据小区居民居住人口数和购买力，站点P每天向A小区运送购买物资1次，向B小区运送购买物资2次，向C小区运送购买物资3次．物资运送车往返1千米路程需要花费5元，每次只运送一个小区的物资．为了全天运送购买物资的总运费最少，请你思考站点P建在何处才能使一天的总运送费用最少？最少费用是多少？写出你的解答过程． 【答案】(1) ②补全图形语言如下： ③ (2)或5 (3)， (4)站点P建在B和C之间（包括端点），才能使总运送费用最少，最少费用是190元 【分析】本题考查了绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离，绝对值方程，熟练掌握绝对值的几何意义、数形结合是解题的关键． （1）在数轴上表示出来，根据题中的例题写出答案即可； （2）分三种情况讨论，化简绝对值，解方程即可； （3） ，意义为在数轴上表示数的点到表示数和和的点距离之和，根据绝对值的几何意义可得当表示数的点在数的位置时，距离之和最小，即可求解； （4）以市民广场O为原点，原点右侧为正方向，1千米为单位长度，建立数轴，设居民生活服务站点P所对应的数为x，根据绝对值几何意义分析判断取得最小值时的情况即可． 【详解】（1）解：② 略 ③由数轴可得； 故答案为：； （2）解： 当时，，解得； 当时，，方程无解； 当时，，解得， ∴的值为或5， 故答案为：或5； （3）解：，意义为在数轴上表示数的点到表示数和和的点距离之和， 根据绝对值的几何意义可得当表示数的点在数的位置时，即时，到表示数和和的点距离之和最小，最小值为， 故答案为：，； （4）解：以市民广场O为原点，原点右侧为正方向，1千米为单位长度，建立数轴，设居民生活服务站点P所对应的数为x， 由题意可知，，，4， ∴物资的往返总运送费用为：元，如图， ∵表示x到的距离与x到4的距离之和，x到的距离与x到4的距离之和的2倍的总和， 当时，取得最小值， 当时，取得最小值， ∴当时，取得最小值， ∵物资运送车往返1千米路程需要花费5元， ∴（元）． ∴站点P建在B和C之间（包括端点），才能使总运送费用最少，最少费用是190元． 题型26 数轴与绝对值结合（共3小题） 76．（25-26七年级上·四川巴中·期末）【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 （1）①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 （2）求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边时，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 【解决问题】 （3）某公司办公楼有6层，公司要召开会议，从1层到6层每层参会人数分别为1，2，1，2，3，3．由于电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？ 【答案】（1）①5；②2或8；（2）5；（3）会议地点应设在第4或5层 【分析】本题主要考查有理数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的几何意义是解题的关键． （1）①直接利用A、B两点间的距离公式进行计算即可得到答案； ②根据绝对值几何意义解答即可； （2）根据绝对值几何意义分类讨论即可； （3）将所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和转化为绝对值的表示形式，再利用绝对值的几何意义解答即可． 【详解】解：（1）①由条件可知距离是． 故答案为：5． ②表示数轴上表示a的点到5的距离为3， ∴或， 解得：或， 故答案为：8或2． （2）记点P，A，B，C分别表示数x，，，2，点P、点A的距离，点P、点B的距离，点P、点C的距离． 当点P在点A的左边，即时，此时，，． ∴，即； 当点P与点A重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点B重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点C重合时，，即； 当点P在点C的右边时，即时，此时，，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 故答案为：5． （3）设会议地点应设在第x层， 由题意可得所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和为， 可以拆分为，即x到这个数的距离和最小，这个数正中间的两个数为4和5， ∴当时，有最小， 又∵x为正整数， ∴当或时有最小． 故答案为：会议地点应设在第4或5层． 77．（2025七年级上·全国·专题练习）阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数轴上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则，两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题： (1)与3的距离是_________； (2)式子的最小值是多少？ (3)应用：某一直线沿街有2014户居民（相邻两户居民间隔相同）：，，，，，，某餐饮公司想为这2014户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在_________，才能使这2014户居民到点的距离总和最小． 【答案】(1)5 (2)5 (3)到之间（包括，两点） 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离、绝对值的几何意义，解题的关键是采用数形结合的思想． （1）根据题意，直接列式计算即可； （2）根据的几何意义是数轴上表示有理数x的点到及到3的距离之和，即可得到答案； （3）当有两户居民，时，可知，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这2户居民到点P的距离总和最小．当有四户居民，，，时，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这4户居民到点P的距离总和最小．依次类推，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：5． （2）解：∵的几何意义是数轴上表示有理数x的点到及到3的距离之和， 数轴如下， ∴当时，式子取得最小值，最小值为． （3）解：当有两户居民，时，可知，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这2户居民到点P的距离总和最小． 当有四户居民，，，时，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这4户居民到点P的距离总和最小． 那么由题意可知，2014户居民，，，，，中， 点P选在到之间（包括，两点），才能使这2014户居民到点P的距离总和最小． 故答案为：到之间（包括，两点）． 78．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）已知： b是最小的正整数， 且a、b满足， 请回答问题∶ (1)请直接写出a、b的值，_______，_____； (2)数轴上a、b、c三个数所对应的分别为A、B、C，点B与点C之间的距离表示为，点A 与点B之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B 和点 C分别以每秒1 个单位长度和3 个单位长度的速度向右运动． ①经过2秒后，点A 与点 C之间的距离 ． ②经过t秒后，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值、 【答案】(1) (2)①； ②不变，理由如下： ∵点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3 个单位长度的速度向右运动， ∴经过t秒后，点A表示的数为，点表示的数为，点C表示的数为， ∴，， ∴， ∴的值不会随着时间t的变化而改变． 【分析】本题考查最小正整数定义，绝对值和完全平方非负性，数轴上两点间距离，数轴上动点问题等． （1）根据题意可得，利用绝对值和完全平方非负性可知，； （2）①经过2秒后，可知点A 表示的数为，点C表示的数为，继而可求出本题答案；②经过t秒后，点A表示的数为，点表示的数为，点C表示的数为，继而可得，，继而得到，继而可知不会随着时间t的变化而改变． 【详解】（1）解：∵b是最小的正整数， ∴， ∵， ∴， ∴，， 故答案为：； （2）解：①∵点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点C以3个单位长度的速度向右运动， ∵点A现在表示的数为，点C现在表示的数为， ∴经过2秒后，可知点A 表示的数为，点C表示的数为， ∴， 故答案为：14； ② 略 题型27 二进制计算问题（共3小题） 79．（25-26七年级上·重庆合川·期末）【探究学习】其他进制数和十进制数之间的相互转换． 探究1：①把二进制数改写成十进制数；②把三进制数改写成十进制数． ①方法：把二进制数，改写成十进制数，只要把它写成各位数上数字与基数2的幂的乘积之和的形式，然后按通常的方法进行计算即可．②方法：把三进制数，改写成十进制数，只要把它写成各位数上数字与基数3的幂的乘积之和的形式，然后按通常的方法进行计算即可． 探究2：③把十进制数89改写成二进制数；④把十进制数257改写成三进制数． ③方法：把十进制数89改写成二进制数，用这个十进制数89连续除以2，直到商为零为止，把每次所得的余数倒序写出来：，这样就化成了二进制数，这种方法是“除以2倒取余数”． ④方法：把十进制数257改写成三进制数，用这个十进制数257连续除以3，直到商为零为止，把每次所得的余数倒序写出来：，这样就化成了三进制数，这种方法是“除以3倒取余数”．      (1)“二进制”化为十进制数为______；“六进制数”化为十进制数为______． (2)计算（结果转化为十进制）： (3)有一种密钥破解方式，先将二进制数转成十进制数x后，再按以下规定获得密码：当x为奇数时，表示成三进制，当x为偶数时，表示成七进制．如：二进制明码“1101”化为十进制为13，13为奇数，化成三进制为“111”，所以译成密码为111，请将二进制明码“110110”译成密码为________（直接写结果）． (4)合川桃片专卖店推出不同重量的密封礼盒（重量为整斤数），由于制作工艺特殊，店铺规定顾客只能购买整盒，不能拆开重新包装．通过灵活搭配这几种规格的礼盒（同一订单每种礼盒最多搭配一个），竟然可以恰好满足任何1斤到15斤（整斤数）的订单需求（即订单斤数等于若干礼盒重量之和），利用二进制解决：店家至少需要推出________种不同重量的密封礼盒（直接写结果）． 【答案】(1)9，205 (2)209 (3)105 (4)4 【分析】本题考查了二进制与十进制的转换，有理数的乘方，有理数的加法等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）参照方法①②计算即可； （2）参照方法①②计算即可； （3）先将变为十进制数，判断是偶数还是奇数，再参照方法③④计算即可； （4）将十进制数15转化为二进制数，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：9，205； （2）解： ； （3）解：， 54为偶数时，需要表示成七进制． ． 故答案为：105； （4）解：由题意知， ， 店家至少需要推出4种不同重量的密封礼盒，重量分别为1斤，2斤，4斤，8斤， 故答案为：4． 80．（25-26七年级上·江苏南通·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 为区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数（十进制数一般不标注基数）． 可知：一个其它进位制数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，从而转化成一个十进制数，反之，可以将一个十进制数表示成一个其它进位制数． 规定：当时，． 例如：，即； ，即； ，即． 【初步感知】 （1）①请把转化为十进制数为______； ②请把转化为八进制数； 【类比探究】 （2）类比十进制数的四则运算可进行其它进位制数的运算， 例如：． 计算：①； ②． 【拓展提升】 （3）小聪发现不同进制数都可以化为十进制数，故不同进制数也可以进行加法运算． 例如：． 若，则_____（结果用十进制数表示）． 【答案】（1）①142；②；（2）①；②；（3）51 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用． （1）根据题意将三进制化为十进制即可求解． （2）根据题意，类比十进制的运算规则，在相应进位制下进行计算即可求解． （3）根据题意例题进行计算先求得，，根据即可求解． 【详解】（1）①把 ， 故答案为： ② ， 即：． （2）① ② （3）∵， ， ， ， ，，且、为正整数， ，， 故答案为： 81．（25-26七年级上·江苏南通·期中）【阅读材料】 材料一：N进制数与十进制数之间的转换将N进制数转化为十进制数，只要将N进制数的每个数字依次乘基数n的相应整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与其相等的十进制数． 规定：如：； 将十进制数化为与其相等的N进制数，用十进制数除以基数n，然后将商继续除以n，直到商为0，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可． 如，将89转化为五进制数：因为，，，所以． 材料二：二进制数加减运算 加法法则：，；，． 减法法则：，，，．（同一数位不够减时，向高一位借1当2） 根据以上法则，二进制数的加减法可类比十进制的竖式加法、减法规则进行运算． 如：，， ∴①，②， 如： ，， ∴③；④． 【问题解决】 (1)将八进制数转化成十进制数，结果为______； 将十进制数73转化成二进制数，结果为______； (2)列竖式计算：①； ②．（结果用二进制数表示） (3)探究二进制的乘法法则：，，，． 根据以上乘法法则，仿照十进制的乘法竖式法则，计算：．（结果用二进制数表示） (4)“退位减法”是一种逐位相减的方法．仿照十进制和二进制，其它几进制的退位减法也是类似的．若a，b，c，d，e分别代表五进制中5个互不相同的数，且三位数比三位数大2，则______． 【答案】(1)， (2)①② (3) (4)8 【分析】本题主要考查了新定义运算，整式的加减运算，有理数的乘方运算，解题的关键是理解题意，熟练掌握运算法则． （1）根据题干提供的信息，将八进制数转化成十进制数，十进制数73转化成二进制数，即可作答； （2）①根据二进制数加法运算法则，进行计算即可； ②根据二进制数加法运算法则，进行计算即可； （3）仿照十进制的有理数乘法运算法则进行计算即可． （4）理解题意，得出，，结合三位数比三位数大2，且，则，又因为a，b，c，d，e都是整数，且是的其中一个，进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， ∴将八进制数转化成十进制数，结果为； 依题意，，，，， ，，， ∴将十进制数73转化成二进制数，结果为； （2）解：①依题意， 即； ②依题意， ； （3）解：依题意， ∴． （4）解：∵a，b，c，d，e分别代表五进制中5个互不相同的数，且三位数比三位数大2，且 ∴， ， 则， ∴， 则， ， ∵a，b，c，d，e分别代表五进制中5个互不相同的数， ∴a，b，c，d，e都是整数，且是的其中一个， 则尽量小， ∴， 则， ∴． 题型28 有理数的新定义运算（共3小题） 82．（24-25七年级上·吉林·期末）用符号“f”定义一种新运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，，，…；（2），，，，…．利用以上规律计算：______． 【答案】0 【分析】本题主要考查了新定义运算中的规律探究，熟练掌握从已知运算中总结对应规律并代入计算是解题的关键．先从已知运算结果中总结出正整数和分数对应的运算规律，再代入计算和，最后求差值． 【详解】解： 对于正整数，， ∴ ． ∵ 对于的整数，有” ∴ ． ∴ ． 故答案为：． 83．（25-26七年级上·河南鹤壁·期中）【定义新知】 数轴上有三个点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“关联点”．例如：如图，数轴上点所表示的数依次为，点到点的距离等于点到点距离的2倍，此时点是点的“关联点”；点到点的距离等于点到点距离的2倍，点也是点的“关联点”． 【尝试应用】 （1）若数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，请判断点是否为点的“关联点”，并说明理由； 【拓展探索】 （2）若数轴上点表示的数为，点表示的数为，为数轴上一个动点： ①当点在点的右侧，且点是点的“关联点”，求此时点所表示的数； ②当点在点的左侧，点中，有一个点恰好是其他两个点的“关联点”，请直接写出此时点所表示的数． 【答案】（1）点A是点B，C的“关联点”， ∵点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴点A到点C的距离等于点A到点B距离的2倍，点A也是点B，C的“关联点”． （2）①点P所表示的数为，0或4； ②点P所表示的数为，或 【分析】本题主要考查了数轴，利用数轴上两点之间的距离表示有理数，有理数的四则运算，解题的关键是掌握分类讨论的思想． （1）根据“关联点”的定义进行判断即可； （2）①先求出两点之间的距离，分类讨论：第一种情况：点与点B之间的距离等于点与点A之间的距离的2倍时，即点与点A之间的距离为，第二种情况：点与点A之间的距离等于点与点B之间的距离的2倍时，即点与点B之间的距离为，第三种情况：当点在点B的右侧时，有点与点A之间的距离等于点与点B之间距离的2倍，分别求解即可； ②分类讨论：第一种情况：当点为点A，B的“关联点”时，点与点B之间的距离等于点与点A之间距离的2倍， 第二种情况：当点A与点之间的距离等于点与点P之间的距离的2倍时，即点与点P之间的距离为，第三种情况：当点A与点P之间的距离等于点与点B之间的距离的2倍时，即点与点P之间的距离为，分别求解即可． 【详解】解：（1） 略 （2）①由点A、B所表示的数可知， 点与点之间的距离为． 当点在点与点之间时： 第一种情况：点与点B之间的距离等于点与点A之间的距离的2倍时，即点与点A之间的距离为，如图 ∴此时点表示的数为， 第二种情况：点与点A之间的距离等于点与点B之间的距离的2倍时，即点与点B之间的距离为，如图 ∴此时点表示的数为； 第三种情况：当点在点B的右侧时，有点与点A之间的距离等于点与点B之间距离的2倍，如图 ∴点与点之间的距离等于点P与点之间的距离，即点与点B之间的距离为3， ∴此时点表示的数为． 综上可知，点所表示的数为点P所表示的数为，0或4． ②第一种情况：当点为点A，B的“关联点”时： ∵点在点的左侧， ∴点与点B之间的距离等于点与点A之间距离的2倍，如图 ∴点与点A之间的距离等于点与点之间的距离，即点与点之间的距离为3， ∴此时点所表示的数为； 当点为点P，B的“关联点”时：点在点A的左侧，点B在点A的右侧， 第二种情况：当点A与点之间的距离等于点与点P之间的距离的2倍时，即点与点P之间的距离为，如图 ∴此时点所表示的数为； 第三种情况：当点A与点P之间的距离等于点与点B之间的距离的2倍时，即点与点P之间的距离为，如图 ∴此时点所表示的数为， 综上可知，点P所表示的数为，或． 84．（25-26七年级上·河南周口·期中）综合与实践 在学习数轴与线段的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“优点”进行研究． 定义：点在线段上，若或，则称点是线段的“优点”，线段，称作互为“优点”伴侣线段． (1)观察判断 如图1，点为线段的“优点”． ①若，则__________________； ②若点也是线段的“优点”（不同于点），则________________（填“=”或“”）； (2)性质探究 如图2，在原点为的数轴上有E，F两点，其中点表示的数为1，F点表示的数为4．若点在点的左侧，且M，N均为线段的“优点”，求线段的长； (3)拓展应用 在（2）的探究中，若点在线段的延长线上，且线段与互为“优点”伴侣线段，请直接写出点表示的数． 【答案】(1)①18；② (2) (3)5.5或10 【分析】本题考查数轴相关知识点，线段之间的数量关系，用数轴上点表示有理数，解答本题需要分类讨论多种情况，解题的关键是读懂题中“优点”，“优点”伴侣线段的定义． （1）①由即可求解；②利用“优点”定义求出即可； （2）根据点M在N左侧，再由“优点”定义求解即可； （3）根据点G在线段的延长线上，可得出或，求解即可． 【详解】（1）解：①∵点C为线段的“优点”，， ∴， ∴， 故答案为：18； ②如图， ∵点D是线段的“优点”（不同于点）， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵点表示的数为4， ∴， 当点在点左侧时，则，， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵点E表示的数为1，点F表示的数为4， ∴， 线段互为“优点”伴侣线段时，有或， 当时，， ∴点表示的数为， 当时，， ∴点表示的数为10， 综上，点表示的数为或10． $