精品解析：江苏省宿迁市泗阳县实验高级中学2025-2026学年高二上学期第一次调研数学试题

2025-2026学年高二上学期第一次调研 数学试题 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得其斜率，即可得倾斜角. 【详解】. 设其倾斜角为，则，又， 则，即倾斜角为150°. 故选：D 2. 已知直线与直线平行，则与之间的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据两条直线平行，求出值，再应用平行线间的距离公式求值即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解之得. 于是直线，即， 所以与之间的距离为. 故选：A 3. 经过两点的直线的倾斜角为，则的值为（ ） A. -2 B. 1 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点斜率公式及斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】经过两点的直线的斜率为， 又直线的倾斜角为，所以，解得. 故选：B. 4. 若点在圆外，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过方程表示圆及点在圆外，构造不等式求解即可. 【详解】由， 化为标准方程可得：， 则，即，① 又在圆外，可得：，解得：或，② 由①②取交集可知，实数的取值范围是， 故选：C. 5. 已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】联立和方程，求得交点坐标，再结合垂直关系求得斜率，即可求解 【详解】由，，联立方程可得： 又直线的斜率为， 所以要求的直线斜率为，故直线方程为，即. 故选：D 6. 在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，则动点的轨迹与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】C 【解析】 【分析】利用已知条件列出方程，化简可得点P的轨迹方程为圆，再判断圆心距和半径的关系即可得解. 【详解】由，得， 则，整理得， 表示圆心为，半径为的圆， 圆的圆心为为圆心，半径， 两圆的圆心距为，满足， 所以两个圆相交. 故选：C. 7. 若直线被圆截得的弦长为定值，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离为定值，列方程来求得正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径为， 要使弦长为定值，则需圆心到直线的距离为定值， 即为定值，所以. 故选：C 8. 设直线 ， 一束光线从原点 出发沿射线 向直线 射出， 经 反射后与 轴交于点 ， 再次经 轴反射后与 轴交于点 . 若 ， 则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据光学的性质，根据对称性可先求关于直线的对称点，后求直线，可得、两点坐标，进而由可得. 【详解】 如图，设点关于直线的对称点为， 则得，即， 由题意知与直线不平行，故， 由，得，即， 故直线的斜率为， 直线的直线方程为：， 令得，故， 令得，故由对称性可得， 由得，即， 解得，得或， 若，则第二次反射后光线不会与轴相交，故不符合条件． 故， 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中不正确的有（ ） A. 若两直线平行，则两直线的斜率相等 B. 若两直线的斜率之积等于，则两直线垂直 C. 过点且斜率为1的直线方程可表示为： D. 直线倾斜角的范围是：，且当倾斜角增大时，斜率也增大 【答案】ACD 【解析】 【分析】由两直线的位置关系即可判断AB，由直线的点斜式方程即可判断C， 由直线倾斜角与斜率的关系即可判断D. 【详解】对于A，若两直线平行，则两直线的斜率可能不存在，故A错误； 对于B，若两直线的斜率之积等于，则两直线垂直，故B正确； 对于C，过点且斜率为1的直线方程为，而方程中，故C错误； 对于D，直线倾斜角的范围是：， 当时， 倾斜角增大时，斜率也增大；当时，斜率不存在； 当时，倾斜角增大时，斜率也增大.故D错误. 故选：ACD. 10. 已知圆与圆，则（ ） A. 过点作圆的切线只有条，则 B. 若圆与圆有且只有条公切线，则 C. 当时，两圆的一条公切线方程为 D. 当时，两圆的公共弦长为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，分析可知圆心的圆心在圆上，将圆心的坐标代入圆的方程，求出的值，可判断A选项；对于B，分析可知，两圆相交，根据圆与圆的位置关系求出的取值范围，可判断B选项；对于C，判断直线与两圆的位置关系，可判断C选项；对于D，求出两圆的公共弦长，可判断D选项. 【详解】圆的标准方程为，圆心，半径为， 圆的圆心为，半径为， 对于A选项，若点作圆的切线只有条，则圆心的圆心在圆上， 则有，因为，解得，A对； 对于B选项，若圆与圆有且只有条公切线，则两圆相交， 且， 由题意可得，即， 因为，解得，B错； 对于C选项，当时，圆的方程为，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 圆心到直线的距离为， 故当时，两圆的一条公切线方程为，C对； 对于D选项，当时，由B选项可知，两圆相交， 将两圆方程作差可得，此时，两圆的相交弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 所以，两圆的公共弦长为，D错. 故选：AC. 11. 已知圆，则（ ） A. 圆与直线必有两个交点 B. 圆上存在4个点到直线的距离都等于1 C. 圆与圆恰有三条公切线，则 D. 动点在直线上，过点向圆引两条切线，为切点，则四边形面积最小值为2 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线切过定点切该定点在圆内可判断A；求出圆的圆心到直线的距离可判断B；将圆化成标准形式为，转化为两圆外切可判断C；由，且当最小时最小时可判断D. 【详解】对于A，将直线整理得，由， 知，所以直线过定点，因为， 所以该定点在圆内，故A正确； 对于B，圆的圆心到直线的距离为， 所以过圆心且与直线平行的直线与圆相交有两个点到直线的距离为1， 与直线平行且与圆相切，并且与直线在圆心同侧的直线到的距离为1， 所以只有三个点满足题意，故B错误； 对于C，将圆化成标准形式为， 因为两圆有三条公切线，所以两圆外切，所以， 解得，故C正确； 对于D，连接，因为为切点，所以， 所以，且当最小时，最小， 所以当与直线垂直时，，又因为半径为2， 所以， 所以，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在平面直角坐标系中，点在直线上，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，因点在直线上，故当且仅当时，取得最小值，由点到直线的距离公式计算即得. 【详解】因为点在直线上， 则当且仅当时，取得最小值， 即. 故答案为：. 13. 圆关于直线l：对称的圆的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出圆心关于直线的对称点，从而可求出所求圆的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为， 设圆心关于直线：的对称点为，则 ，解得， 所以所求圆的圆心为， 所以圆关于直线l：对称的圆的方程为 ， 故答案为： 14. 瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，，，，且其“欧拉线”与圆相切，则的“欧拉线”方程为________，点在圆上，的最大值是________． 【答案】 ①. ②. 7 【解析】 【分析】求线段的中垂线即为的“欧拉线”；设将问转化为直线与圆有交点求，利用直线与圆的位置关系即可. 【详解】，由题意可得的欧拉线为的中垂线， 由，可得的中点为，且， 线段的中垂线方程为，即； 设，则，即， 因点既在圆上，又在直线上，则直线与圆有交点， 所以，即，解得， 所以的最大值为. 故答案为：；7 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知顶点，边上的高为且垂足为E. （1）求边上中线所在的直线方程； （2）求点E的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求得点坐标，根据两点式求得的方程、 （2）根据求得点的坐标. 【小问1详解】 ，即， 所以直线的方程为. 【小问2详解】 直线的方程为， 设， 依题意， 所以， ， 即. 16. 已知：及经过点的直线. （1）当平分时，求直线的方程； （2）当与相切时，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）由圆的标准方程得到圆心坐标，由两点得斜率，由点斜式写出直线方程，化简即得； （2）分类，验证斜率不存在时是否符合题意，斜率存在时，设出切线方程，由圆心到切线距离等于圆的半径可求得参数，得直线方程. 【小问1详解】 由题意，当平分时，即直线l过圆心C时. 圆的圆心为，半径， 则直线的斜率为， 所以的方程为，即. 【小问2详解】 当斜率不存在时，直线的方程为， 圆心到的距离为2，等于半径，符合题意； 当斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得， 所以的方程为； 所以直线的方程为或. 17. 已知直线，. （1）若坐标原点O到直线m的距离为，求a的值； （2）当时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）依据点到直线的距离公式建立方程求解即可. （2）联立求出直线交点，再分类讨论直线是否过原点，求解即可. 【小问1详解】 设原点O到直线m的距离为， 则，解得或； 【小问2详解】 由解得，即m与n的交点为. 当直线l过原点时，此时直线斜率为， 所以直线l的方程为； 当直线l不过原点时，设l的方程为， 将代入得， 所以直线l的方程为. 故满足条件的直线l的方程为或. 18. 已知圆，点，为坐标原点. （1）若，求圆过点的切线方程； （2）若直线与圆交于，两点，且，求的值； （3）若圆上存在点，满足，求的取值范围. 【答案】（1）或； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）把代入，设出切线方程，利用点到直线距离公式计算即得. （2）联立直线与圆的方程，结合韦达定理及给定的数量积计算即得. （3）求出点的轨迹方程，利用两圆有公共点列出不等式求解即得. 【小问1详解】 当时，圆的圆心，半径， 而点到直线的距离为2，因此圆过点的切线斜率存在，设方程为， 则，解得或， 所以所求切线方程为或. 【小问2详解】 由消去得，， 设，则， 由，得，则， 整理得，则，即，解得，满足， 所以. 【小问3详解】 设点，由，得， 整理得，即，因此点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆， 依题意，圆与圆有公共点，即，则， 整理得，解得， 所以的取值范围是. 19. 已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆交于两点，当时，求实数的值； （3）过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积为，求的最大值. 【答案】（1） （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）设圆的方程为，根据直线与圆相切于点列方程组求解； （2）求出圆心到直线的距离为，求出； （3）求出，设直线的斜率为，求出直线的方程，联立直线与圆的方程，求出点的坐标，求出点的坐标，求出点和点的坐标，求出、的表达式，即可求出得表达式，根据基本不等式求出的最大值. 【小问1详解】 由题可知，设圆的方程为， 由直线与圆相切于点， 得，解得， 所以圆的方程为； 【小问2详解】 设圆心到直线的距离为， 因为，所以， 所以， 解得； 【小问3详解】 由题意知，， 设直线的斜率为， 则直线的方程为， 由，得， 解得或， 则点的坐标为， 又直线的斜率为， 同理可得：点的坐标为， 由题可知：， ， 又， 同理，， 当且仅当时等号成立， 的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用方程思想求出的表达式，继而根据基本不等式求出的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二上学期第一次调研 数学试题 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 已知直线与直线平行，则与之间的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 经过两点的直线的倾斜角为，则的值为（ ） A. -2 B. 1 C. 3 D. 4 4. 若点在圆外，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，则动点的轨迹与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 7. 若直线被圆截得的弦长为定值，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 8. 设直线 ， 一束光线从原点 出发沿射线 向直线 射出， 经 反射后与 轴交于点 ， 再次经 轴反射后与 轴交于点 . 若 ， 则 的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中不正确的有（ ） A. 若两直线平行，则两直线的斜率相等 B. 若两直线的斜率之积等于，则两直线垂直 C. 过点且斜率为1的直线方程可表示为： D. 直线倾斜角的范围是：，且当倾斜角增大时，斜率也增大 10. 已知圆与圆，则（ ） A. 过点作圆的切线只有条，则 B. 若圆与圆有且只有条公切线，则 C. 当时，两圆的一条公切线方程为 D. 当时，两圆的公共弦长为 11. 已知圆，则（ ） A. 圆与直线必有两个交点 B. 圆上存在4个点到直线的距离都等于1 C. 圆与圆恰有三条公切线，则 D. 动点在直线上，过点向圆引两条切线，为切点，则四边形面积最小值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在平面直角坐标系中，点在直线上，则的最小值为________. 13. 圆关于直线l：对称的圆的方程为______． 14. 瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，，，，且其“欧拉线”与圆相切，则的“欧拉线”方程为________，点在圆上，的最大值是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知顶点，边上的高为且垂足为E. （1）求边上中线所在的直线方程； （2）求点E的坐标． 16. 已知：及经过点的直线. （1）当平分时，求直线的方程； （2）当与相切时，求直线的方程. 17. 已知直线，. （1）若坐标原点O到直线m的距离为，求a的值； （2）当时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程. 18. 已知圆，点，为坐标原点. （1）若，求圆过点的切线方程； （2）若直线与圆交于，两点，且，求的值； （3）若圆上存在点，满足，求的取值范围. 19. 已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆交于两点，当时，求实数的值； （3）过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $