2026-2027学年人教版九年级数学上册期中考试模拟题

2026—2027学年度上学期九年级数学期中考试模拟题 （满分 120 分　考试时间 120 分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．回答非选择题时，用 0.5 毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1．以 和 为两根的一元二次方程为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2．用配方法解一元二次方程 ，配方后得到的方程为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3．反比例函数 的图象位于（　　） A．第一、二象限　　B．第一、三象限　　C．第二、四象限　　D．第三、四象限 4．一次函数 与反比例函数 的图象（　　） A．只有一个交点　　B．有两个交点　　C．没有交点　　D．交点在 轴的同侧 5. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. x2+1=0 B. x2−2x+1=0 C. x2+x+1=0 D. x2+x−1=0 6．在反比例函数 中，若 ，则 的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 7．（2026·四川巴中）关于二次函数，下列说法正确的个数是（     ） ①它的图象经过第一、二、三象限； ②当时，y随x的增大而增大； ③它的图象可由向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到； ④直线（k为常数）与它的图象一定有两个交点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的 辆增加到三月份的 辆，若这两个月的月销售量的年增长趋势相同（即这两次增长的百分率相同），则该品牌汽车这两次增长的百分率约为（　　）（结果保留 ） A．　　B．　　C．　　D． 9. 如图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=kx+t的图象，当y1<y2时，x的取值范围是（　　） A. x<−1 B. x>2 C. −1<x<2 D. x<−1或x>2 10．二次函数 的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③当 时，．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①②　　B．①③　　C．②③　　D．①②③ 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11．若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 ________． 12．已知点 是反比例函数 图象上一点，过点 分别向 轴、 轴作垂线，垂足分别为 、，则矩形 的面积为________． 13．将抛物线 向左平移 个单位长度得到的新抛物线的顶点坐标为________． 14．已知函数 的图象上有 ，， 三点，则 用“”连接为________． 15. 如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y=a(x−3)2+2.5运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度OA为，则铅球掷出的水平距离OB为________． 16．如图，抛物线 的对称轴是 ，且过点 ，有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中所有正确的结论是________（填写正确结论的序号）． 三、解答题：本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解方程： （1）； （2）． 18. 如图，菱形ABCD中，m、n、t分别是菱形ABCD的两条对角线和边长，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“菱系一元二次方程”．请解决下列问题： （1）填空：①当m=4,n=8时，t=________；②用含m、n的代数式表示t2=_______； （2）求证：关于x的“菱系一元二次方程”必有实数根． 19．如图，点 是反比例函数 图象上一点，过点 分别向 轴、 轴作垂线，垂足分别为 、，连接 ． （1）当点 的坐标为 时，求点 的坐标； （2）求 的面积； （3）当点 在第一象限内运动时，求点 到原点的距离的最小值． 20．小雨借助探究一次函数图象与性质的经验，对函数 的图象与性质进行了探究，下面是小雨的探究过程． 【提出问题】 可以看作关于原点对称的两条射线上的点 到原点的距离， 由此可以猜测 的图象大致形状； 【作出猜想】当 时，；当 时，， 所以函数 的图象关于 轴对称； 【验证猜想】当 时，二次函数 的图象如图①所示， 与 轴的交点为 ，与 轴的交点为(-3,0)与 ； （1）求当 时，函数值 的取值范围； （2）若 ，求 的取值范围． 21．（2026·山东青岛）某乡镇企业积极响应国家乡村全面振兴号召，依托本地特色资源，计划投资生产某种产品．投产第一年企业需要至少生产13万件产品，受产能限制，产量不超过24万件，并且生产的产品能全部售出．经调研，投产第一年该产品的总成本（万元）与产量（万件）之间近似满足二次函数关系，部分数据见下表： 产量（万件） … 15 18 20 … 总成本（万元） … 285 336 360 … （总利润=总销售额－总成本） (1)求投产第一年该产品的总成本与产量之间的函数关系式； (2)投产第一年，如果该产品每件售价为20元，生产该产品多少万件时，总利润最大？最大总利润是多少？ (3)投产第一年，如果该产品每件售价为m元时，总利润会随着产量的增大而增大，则m的最小值是多少？ 22. 某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部L1，左、右门洞L2，L3均呈抛物线型，水平横梁，L1的最高点B到AC的距离，L2，L3关于BO所在直线对称．MN，MP，NQ为框架，点M，N在L1上，点P，Q分别在L2，L3上，，MP⊥AC，NQ⊥AC．以O为原点，以AC所在直线为x轴，以BO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线L1的函数表达式； （2）已知抛物线L3的函数表达式为，，求MN的长． 23．（2026·江苏无锡）综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 (1)如图，小红丢沙包时的出手高度为1.5m，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为10m．沙包在距离出手点的水平距离为3m时达到最高点，最高点距离地面2m．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． (2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面1m． 小红出手高度仍为1.5m，出手点与靶心的水平距离仍为10m．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为4m时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 参考答案与详细解析 一、选择题　解析 【第1题】（由两根求一元二次方程）【答案】 B 【分析】 以 3 和 -2 为根的方程可写为 ，展开即 。 【详解】 解：检验选项：A 的根为 ；C 不符；D 的判别式 ，无实数根。只有 B 以 3 和 -2 为根。故选：B。 【第2题】（配方法解一元二次方程）【答案】 A 【分析】 移项后两边同加一次项系数一半的平方。 【详解】 解：，移项得 ，两边同加 16 得 ，即 。故选：A。 【第3题】（反比例函数图象所在象限）【答案】 C 【分析】 时，反比例函数图象在第二、四象限。 【详解】 解： 中 ，∴图象位于第二、四象限。故选：C。 【第4题】（一次函数与反比例函数图象交点）【答案】 B 【分析】 联立方程组化为整式方程，判断实根个数。 【详解】 解：联立 与 ，得 ，两边同乘 得 ，即 ，解得 或 ，∴两个图象有两个交点。故选：B。 【第5题】（一元二次方程根的判别）【答案】 D 【分析】 有两个不相等实根即 。 【详解】 解：A．；B．；C．；D．。故选：D。 【第6题】（反比例函数取值范围）【答案】 A 【分析】 时，在每个象限内 y 随 x 增大而减小。 【详解】 解： 中 ，在 时 y 随 x 增大而减小； 时 ， 时 ；∵ ∴。故选：A。 【第7题】（二次函数的性质判断）【答案】C 【分析】先将二次函数配方为顶点式，再结合二次函数的图象性质、平移规律、交点与判别式的关系，逐个判断即可得结论．题干条件缺失且依赖原图，文字不完整，无法仅凭文本判定。 【详解】解：∵， ∵ ， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为， ①令，得，解得或，即抛物线与轴交于和， ∵抛物线开口向上， ∴当时，恒成立，不存在且的点， ∴图象不经过第三象限，故①错误； ②∵ 开口向上，对称轴为， ∴ 时，随的增大而增大，又， ∴ 时随的增大而增大，故②正确； ③根据平移规律可得，向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的二次函数解析式为，与原函数一致，故③正确； ④联立，整理得， ∵恒成立， ∴方程总有两个不相等的实数根，即直线与抛物线一定有两个交点，故④正确； 综上所述，正确的说法共3个． 【第8题】（增长率问题）【答案】 A 【分析】 设月平均增长率为 x，列方程 。 【详解】 解：，，，。故选：A。 【第9题】（二次函数与一次函数图象关系）【答案】D 【分析】 由两图象交点横坐标确定 的区间。 【详解】 解：由图象知两函数交点横坐标为 -1 和 2， 即抛物线在一次函数图象下方，对应 x<−1或x>2。故选：D。 【第10题】（二次函数图象与系数关系）【答案】 D 【分析】 由图象与坐标轴位置关系及对称轴逐项判断。 【详解】 解：①图象与 y 轴交于负半轴⇒，正确；②对称轴在 y 轴右侧⇒，正确；③当 时图象在 x 轴下方⇒，正确。故选：D。 二、填空题　解析 【第11题】（一元二次方程根的判别：两相等实根）【答案】 4 【分析】 两相等实根即 。 【详解】 解：，，。故答案为：4。 【第12题】（反比例函数 k 的几何意义）【答案】 8 【分析】 矩形面积等于 。 【详解】 解： 在 上，，矩形 OMPN 面积 。故答案为：8。 【第13题】（抛物线平移与顶点）【答案】 【分析】 左移 4 个单位，顶点横坐标减 4。 【详解】 解： 顶点为 ，向左平移 4 个单位得 ，顶点坐标为 。故答案为：。 【第14题】（二次函数函数值比较）【答案】 【分析】 代入各点横坐标计算函数值比较。 【详解】 解：；；；。∴。故答案为：。 【第15题】（二次函数实际应用：抛铅球）【答案】 8 【分析】 先用 OA 求 a，再令 求落点水平距离。 【详解】 解： 时 ，代入 得 ，。令 ：，， 或 （舍去），。故答案为：8。 【第16题】（二次函数多结论判断）【答案】③④ 【分析】 由对称轴与过点表示系数，再逐项判断五个结论。 【详解】 解：对称轴 ⇒ ；过点 ⇒ ⇒ 。 ①<0,故①错； ②，故 ② 错； ③，故 ③ 对； ④<0,故④对； ⑤ ，即a(-1)2+b+c>a(-m)2+b(-m)+c,当m=1时，a(-1)2+b+c=a(-m)2+b(-m)+c，故⑤错 综上：正确结论为③④。 三、解答题　解析 【第17题】（解一元二次方程：因式分解与配方）【答案】 （1），；（2）， 【分析】 （1）因式分解法；（2）配方法。 【小问1详解】 解：，，，。 【小问2详解】 解：，移项得 ，两边同加 4 得 ，，，。 【第18题】（“菱系一元二次方程”）【答案】 （1）①；②；（2）证明见解析 【分析】 （1）由菱形对角线垂直得 ；（2）用判别式证明。 【小问1详解】 解：① 时，，；②。 【小问2详解】 证明：方程 的判别式 ，∴必有实数根。 【第19题】（反比例函数 k 的几何意义与最值）【答案】 （1）；（2）4；（3）最小值 4 【分析】 （1）垂足定义；（2） 求面积；（3）用完全平方式求距离最小值（九年级范围内方法）。 【小问1详解】 解：N 为向 y 轴所作垂足，故 。 【小问2详解】 解：P 在 上，，。 【小问3详解】 解：设 ，则 ，，，当 时取等，最小值为 4。 【第20题】（含绝对值二次函数图象与性质）【答案】 （1）；（2）函数值的取值范围为 (0,4] 【分析】 分段去掉绝对值，分别求值域。 【小问1详解】 解： 时 ，∴函数值 y 的取值范围为 。 【小问2详解】 解：在 内，x∈(-1,0] 时 y 由 4 降至 3；x∈[0,3) 时 y 在 取最大 4、x→3 时趋近 0（取不到），∴y 的取值范围为 (0,4]（其中 y=4 在 x=1 处可取到）。 【第21题】（二次函数实际应用：成本与利润）【答案】 （1）；（2）生产 24 万件时利润最大，最大 96 万元；（3）m 的最小值为 24 【分析】 （1）待定系数法；（2）列利润函数求最值；（3）由增减性求 m 最小值。 【小问1详解】 解：代入 得，，即 。 【小问2详解】 解：利润 ， 在，开口向上，最大在 ，（万元）。 答：生产 24 万件时利润最大，最大 96 万元。 【小问3详解】 解：， 因为,且总利润随 x 增大而增大， 所以对称轴 ，，故 m 的最小值为 24。 【第22题】（二次函数综合：景区大门）【答案】 （1）；（2） 【分析】 （1）由顶点与对称点求 L1；（2）联立 L1、L3 求 x 得 MN。 【小问1详解】 解：顶点 ，设 ；由 得 ，代入 ：，，∴。 【小问2详解】 解：，即 ，化简得 ，，。 【第23题】（二次函数实际应用：丢沙包）【答案】 （1）不能正好命中靶心；（2）最高点距地面 1.9 m 【分析】 （1）建立坐标系求解析式，判断 时 y 是否命中；（2）由顶点横坐标求最高点。 【小问1详解】 解：设出手点为原点，顶点 ：； 时 ⇒ ⇒ 。靶心在 ：，且落地 ，∴沙包不能正好命中靶心。 【小问2详解】 解：顶点 ，由 与 得 ，，解得 ，，∴沙包达到最高点时距离地面 1.9 m。 学科网（北京）股份有限公司 $