奥数思维培优 第1讲 工程问题·单位1妙用（讲义）-2026-2027学年六年级上册数学人教版

人教版 · 六年级上册奥数思维培优★ ★ ★ ★ ★ 第1讲 工程问题 · 单位“1”妙用 一、课程信息 项目 内容 讲次 第1讲 专题 工程问题——把工作总量看作单位“1” 适用年级 小学六年级 建议课时 1课时（60分钟） 难度星级 ★★★★☆ 前置知识 分数乘除法；认识单位“1”（五年级下册分数意义） 核心方法 工作总量=1；效率=1÷时间；合作效率=效率和；合作时间=1÷合作效率 二、学习目标 维度 目标 知识与技能 理解把工作总量看作单位“1”的道理；会用“效率=1÷时间”求单人/合作效率；能求合作时间、中途加入与离开、轮流工作等基本工程问题。 过程与方法 经历“设总量1→求各自效率→求效率和→求时间”的完整过程；学会用线段图、时间轴分析过程。 思维品质 不被具体数量迷惑，体会“化归为单位1”的简洁；养成画时间轴、分阶段计算的习惯。 情感应用 感受工程思想在装修、打印、运货、水池注水等生活中的用处，增强学习信心。 三、情境导入 学校打印室要赶印一批期末试卷。如果只让王老师一个人印，6小时印完；只让李老师一个人印，12小时印完。 动脑筋：如果两位老师一起印，是不是 6÷2=3 小时就能印完？ 图1 两位老师的每小时印刷效率对比 悬念一：两人合印，到底要几小时？ 悬念二：为什么不是“6和12的平均数9小时”，也不是“一半3小时”？ 带着这两个问题，我们进入今天的学习。 四、知识导航 工程问题的关键，是把“一项工作的总量”暂时不看作具体多少件、多少米，而是看作单位“1”。 基本公式：① 工作效率 = 1 ÷ 单独完成时间；② 合作效率 = 甲效率 + 乙效率；③ 合作时间 = 1 ÷ 合作效率。 图2 工程问题基本数量关系线段图 已知 求 公式 甲单独a天、乙单独b天 合作时间 合作时间 = 1 ÷ ( + ) 合作时间、甲单独时间 乙单独时间 乙效率 = 1/合作时间 − 1/甲时间 先做一段再合作 合作/单独时间 分阶段算完成量，再用 剩余量÷效率 五、易错辨析 常见错误 正确做法 把两人时间直接相加：6+12=18小时 应先求效率：1÷( +)=4小时 认为合作时间是各自时间的平均数 合作效率是效率相加，不是时间相加；合作时间比短的那个还要短 中途有人离开时，忘了按“先合做、再单独”分段 画时间轴：先算合作完成了多少，再算剩下的由谁、以什么效率完成 轮流工作时直接把一轮工作量当成整数轮 先看整轮做了多少、剩多少，再判断最后一轮由谁做、做多久 六、典例精讲 本讲安排6道例题，从基本合作到轮流工作、按工作量分配，循序渐进。 例1【基本合作：求合作时间】 题目：小张和小李合录一份书稿。小张单独录完要12小时，小李单独录完要18小时。两人合录，几小时能录完？ 分析：把书稿总量看作“1”。先求两人每小时各录多少，再求合起来每小时录多少，最后用总量÷合效率。 详解： 小张效率 ，小李效率 。 合效率 = + = + = 。 合作时间 = 1 ÷ = = 7.2（小时）= 7小时12分。 答：两人合录 7.2 小时（即7小时12分）录完。 图3 例1线段图 方法点睛：合作问题三步走：设总量1→求效率和→1÷效率和。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：一份稿件，小陈单独打要9小时，小刘单独打要18小时。两人合打，几小时完成？ 解答： 小陈效率 ，小刘效率 。 合效率 = + = + = 。 合打时间 = 1 ÷ = 6（小时）。答：6小时完成。 点拨：与例1同法：先求效率和，再用1÷效率和。 例2【知合作时间，求单人时间】 题目：一批快递，师徒两人一起分拣，6小时完成；师傅单独分拣要10小时。徒弟单独分拣要几小时？ 分析：两人合做6小时，说明合效率是1/6；师傅效率是1/10。合效率减去师傅效率就是徒弟效率。 详解： 合效率 = ，师傅效率 = 。 徒弟效率 = − = − = = 。 徒弟单独时间 = 1 ÷ = 15（小时）。 答：徒弟单独分拣要15小时。 图4 师徒效率对比（以1/30为单位） 方法点睛：知合求单用“减”：合效率 − 已知效率 = 另一人效率。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：两个装订小组合订一批杂志，8小时完成；甲组单独订要12小时。乙组单独订要几小时？ 解答： 合效率 = ，甲组效率 = 。 乙组效率 = − = − = 。 乙组单独 = 1 ÷ = 24（小时）。 点拨：与例2同法：知合求单，用“合效率减已知效率”。 例3【中途加入】 题目：装订一批绘本，小李单独装订要12小时。小李先单独做了3小时后，小王加入一起装订，又用3小时正好完成。小王单独装订这批绘本要几小时？ 分析：分两段：前3小时只有小李，后3小时两人合做。先算小李一共做了多少，剩下的就是小王3小时做的。 详解： 小李一共做了 3+3=6 小时，完成 = 。 小王3小时完成了 1 − = 。 小王效率 = ÷ 3 = 。 小王单独时间 = 1 ÷ = 6（小时）。 答：小王单独装订要6小时。 图5 例3时间轴 方法点睛：中途加入问题，画时间轴分段算；别把“小李先做的3小时”和“合做的3小时”里小李的工作量漏掉。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：一批玩偶，小周单独做要15小时。小周先做3小时后，小陈加入一起做，又做3小时正好完成。小陈单独做要几小时？ 解答： 小周共做 3+3=6 小时，完成 = 。 小陈3小时做 1 − = ，小陈效率 = ÷ 3 = 。 小陈单独 = 1 ÷ = 5（小时）。 点拨：与例3同法：先算“先做者”一共完成多少，剩下的就是加入者的工作量。 例4【中途离开】 题目：组装一批手办，甲组单独做要10小时，乙组单独做要15小时。两组合做3小时后，甲组因事离开，剩下的由乙组单独完成。乙组还要几小时？ 分析：先算两人合做3小时完成了多少，再算剩下多少，最后用剩余量÷乙效率。 详解： 合效率 = + = + = = 。 合做3小时完成 3 × = ，还剩 1 − = 。 乙组效率 = ，乙组还要 ÷ = = 7.5（小时）。 答：乙组还要7.5小时。 图6 例4时间轴 方法点睛：中途离开与中途加入是一对：都是先分段，再“剩余量÷留下者效率”。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：一批零件，甲组单独做要12小时，乙组单独做要24小时。两组合做4小时后，甲组离开，剩下的由乙组单独完成。乙组还要几小时？ 解答： 合效率 = + = + = 。 合做4小时完成 4 × = ，剩 。 乙组效率 ，还要 ÷ = 12（小时）。 点拨：与例4同法：先合做一段，再把剩余量除以留下者的效率。 例5【轮流工作】 题目：给一个空水池注水。甲管单开6小时注满，乙管单开18小时注满。按“甲管开1小时、乙管开1小时、甲管开1小时、乙管开1小时……”这样轮流开，几小时能注满？ 分析：一轮（甲1小时+乙1小时）注水是固定的。先看整数轮注了多少、剩多少，再判断最后一段轮到谁、做多久。 详解： 甲效率 = ，乙效率 。 每2小时（一轮）注水 + = + = = 。 4轮（8小时）注水 4 × = ，还剩 1 − = 。 第9小时轮到甲，甲效率 ，注满 需 ÷ = （小时）。 总时间 = 8 + = 8又（小时）= 8小时40分。 答：8又2/3小时（8小时40分）注满。 图7 例5轮流时间表 方法点睛：轮流问题三步：算一轮→看整数轮→余数判断最后一段。注意最后一段未必是整小时。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：一个空水池，甲管单开4小时注满，乙管单开24小时注满。按“甲管开1小时、乙管开1小时”轮流，几小时注满？ 解答： 甲效率 = ，乙效率 。 每2小时一轮注水 + = 。 3轮（6小时）注水 3 × = = ，剩 。 第7小时轮到甲，注满 需 ÷ = （小时）。 总时间 = 6 + = 6.5小时（6小时30分）。 点拨：与例5同法：先算整数轮，再看余数轮到谁、做多久。 例6【按工作量分配】 题目：修一条路，甲队单独修要20天，乙队单独修要30天。两队合修完成，共得工程款15000元。按两队实际完成的工作量分配，各应得多少元？ 分析：先求合修几天完成，再分别算两队各做了总工程的几分之几，按这个比分钱。 详解： 合效率 = + = + = = 。 合修天数 = 1 ÷ = 12（天）。 甲队12天完成 = ，乙队12天完成 = 。 甲得 15000 × = 9000（元），乙得 15000 × = 6000（元）。 答：甲队得9000元，乙队得6000元。 图8 两队工作量分配 方法点睛：合做相同时间，工作量之比等于效率之比，也就是时间的反比：甲:乙 = 30:20 = 3:2。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：一项工程，甲队单独做要15天，乙队单独做要30天。两队合做完成，共得工钱12000元。按工作量分配，各得多少元？ 解答： 合效率 = + = + = 。 合做 1 ÷ = 10（天）。 甲10天做 = ，乙10天做 = 。 甲得 12000 × = 8000（元），乙得 12000 × = 4000（元）。 点拨：与例6同法：工作量比 = 时间反比 = 30:15 = 2:1，按这个比分钱。 七、真题进阶（名校小升初） 真题1【三管齐开：含排水管】（某名校小升初真题） 题目：有一个水池，装有甲、乙两根进水管和一根排水管丙。单开甲管6小时注满空池，单开乙管12小时注满空池，单开丙管8小时将满池水放完。三管齐开，几小时能把空池注满？ 分析：三管齐开时，甲、乙进水，丙排水。净效率 = 甲效率 + 乙效率 − 丙效率，再用总量1÷净效率。 详解： 甲效率 ，乙效率 ，丙排水效率 。 净效率 = + − = + − = = 。 注满时间 = 1 ÷ = 8（小时）。 答：三管齐开，8小时注满空池。 方法点睛：含排水管问题：进水效率加、排水效率减，先求净效率，再求时间。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：一个水池，甲管单开4小时注满，乙管单开12小时注满，丙管单开6小时排空。三管齐开，几小时注满？ 解答： 净效率 = + − = + − = = 。 时间 = 1 ÷ = 6（小时）。答：6小时注满。 点拨：与真题1同法：进加排减，先求净效率。 真题2【分阶段注水】（某重点中学分班考试真题） 题目：一个水池装有甲、乙两管。甲、乙两管同时打开，5小时注满；乙、丙两管同时打开，4小时注满。如果乙管先开6小时后关闭，再同时打开甲、丙两管，还需2小时注满。乙管单独开几小时注满空池？ 分析：由甲乙合5h、乙丙合4h得两组效率关系；再把乙6h+甲丙2h拆成甲2h+乙6h+丙2h，用已知关系代入求解乙效率。 详解： 甲+乙 = ，乙+丙 = 。 乙6h + 甲2h + 丙2h = 2(甲+乙+丙) + 4乙 = 1。 由甲+乙=，乙+丙=，得甲=−乙，丙=−乙。 代入：6乙 + 2(−乙) + 2(−乙) = 1； 即 6乙 + − 2乙 + − 2乙 = 1；2乙 = 1 − − = 。 乙效率 = ，乙单独 = 1 ÷ = 20（小时）。 答：乙管单独开20小时注满。 方法点睛：分阶段问题关键：把总过程拆成每个人各做几小时，再用已知合作关系代入消元求单人效率。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：一个水池，甲、乙合开4小时注满，乙、丙合开6小时注满。乙先开8小时后关闭，甲丙再合开2小时注满。乙单独开几小时注满？ 解答： 甲+乙=，乙+丙=；甲=−乙，丙=−乙。 8乙 + 2(−乙) + 2(−乙) = 1；8乙 + − 2乙 + − 2乙 = 1； 4乙 = 1 − − = ；乙 = ，乙单独 = 24（小时）。 点拨：与真题2同法：拆段+代入消元，是小升初压轴常见套路。 八、方法总结表 题型 已知 核心方法 检验要点 求合作时间 甲a、乙b天 1 ÷ ( + ) 结果应小于较短时间 知合求单人 合时间、一人时间 合效率−已知效率=另一人效率 效率和=1/合时间 中途加入/离开 过程分段 分段算完成量，剩余÷留下者效率 各段工作量之和=1 轮流工作 两人交替 算一轮→整数轮→余数定最后一段 最后一段时间≤1 按工作量分配 合做报酬 工作量比=效率比=时间反比 两人报酬之和=总额 九、解题口诀 工程问题并不难，先把总量看作1； 各自效率时间倒，合作起来效率加； 中途进出画时间轴，分段来算不抓瞎； 轮流先算整轮账，最后一段再补差。 十、分层训练 A组 基础过关（5题） A1. 一份文件，小王单独打要8小时，小赵单独打要12小时。两人合打，几小时打完？ A2. 整理一批图书，一班单独做要15小时，二班单独做要10小时。两班合做3小时，完成了这批图书的几分之几？ A3. 加工一批零件，师徒合做4小时完成，师傅单独做要6小时。徒弟单独做要几小时？ A4. 制作一批风筝，小马单独做要6小时，小刘单独做要12小时。两人合做，几小时做完？ A5. 修剪一块草坪，师徒合做4小时完成，师傅单独做要12小时。徒弟单独做要几小时？ B组 能力提升（5题） B1. 制作一批校服，甲厂单独做要12天，乙厂单独做要18天。甲厂先做3天后，乙厂加入一起做，还要几天完成？ B2. 组装一批无人机，甲组单独做要10小时，乙组单独做要15小时。两组合做4小时后，乙组因故离开，剩下的由甲组单独完成。甲组还要几小时？ B3. 一仓货物，A车单独运6小时运完，B车单独运12小时运完。两车合运2小时后，A车故障离开，剩下的由B车单独运完。B车还要几小时？ B4. 加工一批零件，赵师傅单独做要12小时。赵师傅先做4小时后，钱师傅加入一起做，又做2小时正好完成。钱师傅单独做要几小时？ B5. 一批服装，甲厂单独做要20天，乙厂单独做要30天。两厂合做8天后，甲厂接到新任务离开，剩下的由乙厂单独完成。乙厂还要几天？ C组 思维挑战（5题） C1. 一个空水池，甲管单开5小时注满，乙管单开10小时注满。按“甲管开1小时、乙管开1小时”轮流，几小时注满？ C2. 修一段路，甲队单独修要12天，乙队单独修要24天。两队合修完成，共得工程款36000元。按工作量分配，各得多少元？ C3. 一个空水池，甲管单开8小时注满，乙管单开24小时注满。按“甲管开1小时、乙管开1小时”轮流注水，几小时注满？ C4. 一项工程，甲队单独做要18天，乙队单独做要12天。两队合做完成，共得工程款9000元。按工作量分配，各得多少元？ C5. 一件工作，甲单独做要12小时，乙单独做要18小时。现在甲先做若干小时后由乙接着做完，从开始到完工共用了14小时。甲、乙各做了几小时？ 十一、参考答案与详细解析 A组 基础过关（5题） A1 小王效率 ，小赵效率 ；合效率 = +=；时间 = 1 ÷ = = 4.8（小时）= 4小时48分。 A2 合效率 = +=；3小时完成 3 × = 。答：完成这批图书的一半。 A3 合效率 ，师傅效率 ；徒弟效率 = −=；徒弟单独 = 1 ÷ = 12（小时）。 A4 小马效率 ，小刘效率 ；合效率 = +=+=；时间 = 1 ÷ = 4（小时）。答：4小时做完。 A5 合效率 ，师傅效率 ；徒弟效率 = −=−=；徒弟单独 = 1 ÷ = 6（小时）。 B组 能力提升（5题） B1 甲厂3天完成 =，剩 ；合效率 = +=；还需 ÷ = = 5.4（天）。 B2 合效率 = +=；合做4小时完成 =，剩 ；甲组效率 ，还要 ÷ = = 3又1/3（小时）。 B3 合效率 = +=；合运2小时完成 2×=，剩 ；B车效率 ，还要 ÷ = 6（小时）。 B4 赵师傅共做 4+2=6 小时，完成 =；钱师傅2小时完成 1−=；钱师傅效率 = ÷2=；单独 = 1 ÷ = 4（小时）。 B5 合效率 = +=+=；合做8天完成 8×=，剩 ；乙效率 ，还要 ÷ = 10（天）。 C组 思维挑战（5题） C1 甲效率 ，乙 ；每2小时一轮注水 。 3轮（6小时）注水 ，剩 ；第7小时轮到甲，需 ÷ = （小时）。 总时间 = 6.5小时（6小时30分）。 C2 合效率 = +=，合修8天；甲完成 =，乙完成 =； 甲得 36000× = 24000元，乙得 36000× = 12000元（合计36000元，检验正确）。 C3 甲效率 =，乙效率 ；每2小时一轮注水 +==。 5轮（10小时）注水 ，剩 ；第11小时轮到甲，需 ÷ = = 1又（小时）。 总时间 = 10 + = 11又（小时）= 11小时20分。 C4 合效率 = +=，合做 = 7.2（天）。 工作量比 = 时间反比 = 12:18 = 2:3。 甲得 9000× = 3600（元），乙得 9000× = 5400（元）（合计9000元，检验正确）。 C5 设甲做 x 小时，乙做 (14−x) 小时。 列方程 + = 1；两边乘36：3x + 2(14−x) = 36， 解得 x = 8。 甲做8小时，乙做6小时。 检验：8× + 6× = + = 1，正确。 十二、本讲小结 本讲核心是“设工作总量为单位1”，把所有具体工程问题化归为分数效率问题。 基本合作求时间、知合求单人、中途加入或离开、轮流工作、按工作量分配五类题型，都围绕“效率和”展开。 解题时先判断属于哪类，再画线段图或时间轴分段计算。 十三、易错警示与学习建议 易错点 提醒 忘记设单位1，被“多少件/多少米”困住 一律先把总量看作1，只算效率 合作时间按“时间相加”或“时间平均”算 用“效率相加”，再用1÷效率和 中途问题不分段 画时间轴，先合做后单独分别算 轮流问题直接算整数轮就收尾 一定要算到最后一段具体是谁、多久 学习建议：本讲建议课后再练5道合作与中途问题，重点练“画时间轴、分段算”；下讲学习“分数应用题·量率对应”，与本讲的单位1思想一脉相承。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $