精品解析：福建省长乐华侨中学2026-2027学年上学期九年级10月数学学情自测卷

2026-2027学年九年级10月数学反馈练习 满分：150分　考试时间：120分钟 一、单选题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1. 下列属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 用配方法解方程时，左右两边需同时加上的常数是（ ） A. 16 B. 4 C. 2 D. 1 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 已知3是关于x的方程的一个根，则这个方程的另一个根是（ ） A. 2 B. 5 C. −2 D. −3 6. 把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 已知、是关于x的方程的两根，下列结论一定正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 下表是若干组二次函数的自变量x与函数值y的对应值： x … 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 … y … 0.36 0.13 ﹣0.08 ﹣0.27 ﹣0.44 … 那么方程x2﹣5x+c＝0的一个近似根（精确到0.1）是（　　） A. 3.4 B. 3.5 C. 3.6 D. 3.7 9. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．若水面再下降，水面宽度为（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，抛物线的对称轴为直线，与轴分别交于点 且．下列结论： ①；②（为实数）； ③当时，随的增大而增大； ④若方程的两个实数根分别为，且，则 ．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11. 关于x的一元二次方程的一个根是2，则_____． 12. 在抛物线 上，比较 的大小_________． 13. 某品牌新能源汽车4月份销售8万辆，随着“以旧换新”政策的推出，预计该品牌新能源汽车到6月份销售量将比4月份增加万辆，设从4月份到6月份销售量的平均月增长率为x，则可以列方程为________． 14. 发射一枚炮弹，经秒后的高度为米，且时间与高度的关系为．若此炮弹在第7秒与第15秒时的高度相等，则第_____秒时，炮弹位置达到最高． 15. 抛物线 的部分图像如图所示，则当 时， 的取值范围是_________． 16. 已知函数，当时，有最大值5，最小值1，则m的取值范围是_____． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 86 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 选择适当的方法解下列方程： （1） （2） 18. 已知二次函数 （1）用配方方法将解析式化为 的形式； （2）二次函数 中 和 满足下表： 直接写出当 时， 的取值范围＿＿＿＿＿＿＿＿； （3）在给定的直角坐标系中，直接画出这个函数的大致图象． 19. 关于x的方程 （1）求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根 （2）若方程有一个根是，求另一个根及m的值 20. 如图，已知抛物线与直线交于，两点． （1）求，两点的坐标； （2）若，请直接写出的取值范围___________． 21. 在二次函数中，解答下列问题： （1）若函数图象的顶点在轴上，求的值； （2）若点在抛物线上，令，求证：． 22. 文化商场经营某种新型电子产品．购进时的价格为20元/件，根据市场预测，在一段时间内，销售价格为40元/件时，销售量为200件，销售单价每降低1元，就可多售出20件． （1）直接写出销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）求出销售该产品所获利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并写出商场获得的最大利润； （3）若商场想获得4000元的利润，同时要完成不少于320件的该产品销售任务，该商场应该如何确定销售价格． 23. 投壶 投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏．投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分．箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线．同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（单位长度为）．某同学将箭从处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线的一部分，且当箭的最大高度为时，距离投出点的水平距离为．把壶近似看作矩形，已知壶口的宽度，壶的高度． （1）求抛物线的表达式． （2）若箭刚好由点处擦边投入壶中，求人离壶的距离． （3）在（2）的条件下，该同学再次投掷，仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变，要使得箭再次投入壶中，请直接写出的取值范围． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为． （1）求点、、的坐标及顶点的坐标； （2）点为直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交直线于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）将抛物线向左平移个单位得到抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点．若的面积为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级10月数学反馈练习 满分：150分　考试时间：120分钟 一、单选题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1. 下列属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程须为整式方程且只含一个未知数，未知数的最高次数为2． 【详解】解：A选项，含两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B选项，不是整式方程，不属于一元二次方程，不符合题意； C选项，含一个未知数，未知数的最高次数为2，是一元二次方程，符合题意； D选项，含一个未知数，未知数的最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意． 2. 二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，牢记“一般地，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式，其中叫做二次项系数，叫做一次项系数，叫做常数项”是解题的关键．根据一元二次方程一般式，即可解答． 【详解】解：∵， ∴二次项系数是，一次项系数是3，常数项是． 故选：A． 3. 用配方法解方程时，左右两边需同时加上的常数是（ ） A. 16 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．要使方程左边配成一个完全平方式，需要等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 【详解】解：， ， 用配方法解方程时，左右两边需同时加上常数是4， 故选：B． 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标为． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键． 5. 已知3是关于x的方程的一个根，则这个方程的另一个根是（ ） A. 2 B. 5 C. −2 D. −3 【答案】A 【解析】 【分析】设另一根为 结合根与系数的关系可得从而可得答案． 【详解】解：∵3是关于x的方程的一个根，设另一根为 ∴ ∴ 故选A 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，掌握“的两根分别为 则”是解本题的关键． 6. 把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为， 故选：． 7. 已知、是关于x的方程的两根，下列结论一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 根据方程的系数结合根的判别式，可得出，由此即可得出，即可判断A；根据根与系数的关系可得出，结合的值不确定，即可判断B；根据根与系数的关系可得出，即可判断C；由，可得出、异号，即可判断D． 【详解】解：A．， ∴，结论A正确，符合题意； B、∵、是关于的方程的两根， ∴， ∵的值不确定， ∴B结论不一定正确，不符合题意； C、∵、是关于的方程的两根， ∴，结论C错误，不符合题意； D、∵， ∴、异号，结论D错误，不符合题意． 故选：A． 8. 下表是若干组二次函数的自变量x与函数值y的对应值： x … 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 … y … 0.36 0.13 ﹣0.08 ﹣0.27 ﹣0.44 … 那么方程x2﹣5x+c＝0的一个近似根（精确到0.1）是（　　） A. 3.4 B. 3.5 C. 3.6 D. 3.7 【答案】B 【解析】 【分析】观察表格可得-0.08更接近于0，得到方程的一个近似根（精确到0.1）是1.5，再由的对称轴为x=得到方程的另一个近似根（精确到0.1）是3.5 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴为直线x＝， 观察表格得：方程的一个近似根（精确到0.1）是1.5， ∴另一个近似根m满足＝， ∴m＝3.5， 故选：B. 【点睛】此题考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键． 9. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．若水面再下降，水面宽度为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以AB所在直线为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，由待定系数法求得二次函数的解析式，然后由题意得关于x的一元二次方程，解得x的值，用较大的x值减去较小的x值即可得出答案． 【详解】解：如图，以AB所在直线为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系， 则由题意可知A（-2，0），B（2，0），C（0，2）， 设该抛物线的解析式为y=ax2+2，将B（2，0）代入得： 0=a×4+2， 解得：a=-． ∴抛物线的解析式为y=-x2+2， ∴若水面再下降1.5m，则有-1.5=-x2+2， 解得：x=±． ∵-（-）=2， ∴水面宽度为2m． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数的性质是解题的关键． 10. 如图，抛物线的对称轴为直线，与轴分别交于点 且．下列结论： ①；②（为实数）； ③当时，随的增大而增大； ④若方程的两个实数根分别为，且，则 ．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线与x轴交于原点可判断①；根据当时，函数有最大值可判断②；根据增减性可判断③；根据题意可得抛物线与直线的两个交点的横坐标为，据此可判断④． 【详解】解：∵函数图象开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于原点， ∴， ∴，故①错误； ∵对称轴为直线，且函数图象开口向下， ∴当时，函数有最大值， ∴，即，故②错误； ∵在对称轴右侧，随的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小，故③错误； 若方程的两个实数根分别为， ∴方程的两个实数根分别为， ∴抛物线与直线的两个交点的横坐标为， ∴，故④正确． 综上所述，正确的只有1个． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11. 关于x的一元二次方程的一个根是2，则_____． 【答案】8 【解析】 【分析】把代入，转化为m的方程求解即可． 本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键． 【详解】解：把代入， 得， 解得， 故答案为：8． 12. 在抛物线 上，比较 的大小_________． 【答案】 【解析】 【分析】把三个点的横坐标分别代入抛物线的解析式求出对应的函数值，再比较大小． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ∵， ∴． 13. 某品牌新能源汽车4月份销售8万辆，随着“以旧换新”政策的推出，预计该品牌新能源汽车到6月份销售量将比4月份增加万辆，设从4月份到6月份销售量的平均月增长率为x，则可以列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用． 设从4月份到6月份销售量的平均月增长率为x，则6月份的销售量为万辆，据此列出方程即可． 【详解】解：设从4月份到6月份销售量的平均月增长率为x， 由题意得． 故答案为：． 14. 发射一枚炮弹，经秒后的高度为米，且时间与高度的关系为．若此炮弹在第7秒与第15秒时的高度相等，则第_____秒时，炮弹位置达到最高． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的对称两点求出抛物线的对称轴，即可得炮弹位置达到最高时的值． 【详解】解：∵此炮弹在第7秒与第15秒时的高度相等， ∴抛物线的对称轴是直线， ∴炮弹位置达到最高时，时间是第11秒． 15. 抛物线 的部分图像如图所示，则当 时， 的取值范围是_________． 【答案】 或 【解析】 【分析】由图象读出对称轴与一个交点的坐标，利用抛物线的对称性求出另一个交点，再结合开口方向确定时图象的位置，写出的取值范围． 【详解】解：由图象可知，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∵抛物线与轴的两个交点关于对称轴对称， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∵抛物线开口向上，当时，图象位于轴的上方， ∴的取值范围是或． 16. 已知函数，当时，有最大值5，最小值1，则m的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称性和增减性，以及求二次函数的最值的方法．先将该函数的表达式化为顶点式，得出当时，y有最小值1，再把代入，求出x的值，即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵， ∴当时，y有最小值为1， 把代入表达式，得， 解得：， ∵当时，有最大值5，最小值1， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 86 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 选择适当的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， 因式分解得 ， ∴或 解得 ，； 【小问2详解】 解：， ∴ 因式分解得 ， 即， ∴或 解得 ，． 18. 已知二次函数 （1）用配方方法将解析式化为 的形式； （2）二次函数 中 和 满足下表： 直接写出当 时， 的取值范围＿＿＿＿＿＿＿＿； （3）在给定的直角坐标系中，直接画出这个函数的大致图象． 【答案】（1） （2） （3）如图所示，该抛物线即为所求 【解析】 【分析】（1）用配方法把二次函数的一般式化为顶点式； （2）由表格确定的值，结合顶点式与因式分解判断时的取值范围； （3）由抛物线的顶点、对称轴以及与坐标轴的交点，描点后用平滑曲线画出大致图象． 【小问1详解】 解：   ． 【小问2详解】 解：把代入得， ∴，即图象经过点， ∵， ∴当时，，， ∴， ∵，且在内， ∴当时，取最小值， ∴当时，的取值范围是． 【小问3详解】 解：由知抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点为； ∵， ∴图象与轴交于点、， 取得，即图象与轴交于点， ∴先在坐标系中描出点、、、， 再根据对称性描出它们关于直线的对称点，最后用平滑曲线顺次连接，并向两端适当延伸即得大致图象． 图象略 19. 关于x的方程 （1）求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根 （2）若方程有一个根是，求另一个根及m的值 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式即可进行判断； （2）根据根与系数的关系建立方程组即可求解． 【小问1详解】 解： ∴方程总有两个不相等的实数根 【小问2详解】 解：令另一个根为， 解得： 【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式和根与系数的关系．熟记相关结论即可． 20. 如图，已知抛物线与直线交于，两点． （1）求，两点的坐标； （2）若，请直接写出的取值范围___________． 【答案】（1），两点的坐标分别是，； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，二次函数与不等式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）由题意可知，然后求出的值即可； （）根据图象即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可知， 解得或， ∴，两点的坐标分别是，； 【小问2详解】 解：由图可知，当时，的图象在图象的上方，则． 故答案为：． 21. 在二次函数中，解答下列问题： （1）若函数图象的顶点在轴上，求的值； （2）若点在抛物线上，令，求证：． 【答案】（1） （2）证明：点在抛物线上，则， ∵， ∴． ∵， ∴，当且仅当时等号成立． 【解析】 【分析】（1）先把抛物线配方写出顶点坐标，令顶点的纵坐标等于求，结合取舍； （2）把点代入抛物线解析式表示出，再代入并配方，由完全平方的非负性证得结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵函数图象的顶点在轴上， ∴， ∴， ∴或， ∵， ∴． 【小问2详解】 略 22. 文化商场经营某种新型电子产品．购进时的价格为20元/件，根据市场预测，在一段时间内，销售价格为40元/件时，销售量为200件，销售单价每降低1元，就可多售出20件． （1）直接写出销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）求出销售该产品所获利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并写出商场获得的最大利润； （3）若商场想获得4000元的利润，同时要完成不少于320件的该产品销售任务，该商场应该如何确定销售价格． 【答案】（1）y=－20x+1000 （2）w=－20x2+1400x－20000，当x=35时，商场获得最大利润4500元 （3）商场的售价为30元． 【解析】 【分析】（1）根据销售单价每降低1元，就可多售出20件，可知当销售单价为x元时，降低了（40－x）元，则比200件多销售20（40－x）件，则此时销售量为200+20（40－x）； （2）根据“利润=销售量×单件利润”列式即可得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，将一般式整理成顶点式，可知函数开口方向向下，顶点是最高点，即x=35时，商场获得最大利润； （3）依题意列式：w=4000，且y≥320，解方程组即可得解． 【小问1详解】 依题意，得y=200+20（40－x）=－20x+1000 则销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：y=－20x+1000 【小问2详解】 w=y（x－20）=（x－20）（－20x+1000） 整理得w=－20x2+1400x－20000=－20（x－35）2+4500 则当x=35时，商场获得最大利润4500元 【小问3详解】 依题意， 解得： 解得x≤34 所以商场的售价为30元． 【点睛】本题考查了二次函数最值，解一元二次方程，不等式等知识点，根据题目条件列出对应关系式是本题的难点． 23. 投壶 投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏．投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分．箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线．同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（单位长度为）．某同学将箭从处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线的一部分，且当箭的最大高度为时，距离投出点的水平距离为．把壶近似看作矩形，已知壶口的宽度，壶的高度． （1）求抛物线的表达式． （2）若箭刚好由点处擦边投入壶中，求人离壶的距离． （3）在（2）的条件下，该同学再次投掷，仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变，要使得箭再次投入壶中，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）米 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据实际情况设出相应的函数解析式是解题的关键． （1）由题可知抛物线的顶点为，则，将点代入，即可求函数的解析式即可； （2）令，求出，则（米）； （3）设再次投掷时箭的飞行轨迹对应的抛物线轨迹为，将代入，求得，则函数解析式为，由此可得． 【小问1详解】 解：∵箭的最大高度为时，距离投出点的水平距离为， ∴抛物线的顶点为， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：令， 解得或（舍）， ∵四边形是矩形， ∴， ∴（米）， ∴人离壶的距离为米； 【小问3详解】 解：设再次投掷时箭的飞行轨迹对应的抛物线轨迹为， 当箭刚好由点处擦边投入壶中时，将代入， 得， 解得， ∴， ∴． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为． （1）求点、、的坐标及顶点的坐标； （2）点为直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交直线于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）将抛物线向左平移个单位得到抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点．若的面积为，求的值． 【答案】（1） （2）16， （3）或． 【解析】 【分析】（1）令求抛物线与轴交点的横坐标，令求与轴交点的纵坐标，配方求顶点坐标； （2）先求直线的解析式，设出点的坐标并表示线段的长，配方求最大值； （3）写出平移后抛物线的解析式，用表示、、的坐标，由的面积为列方程求，注意分与两种情况讨论． 【小问1详解】 解：令，得，即， ∴， ∴，， ∵点在点的左侧， ∴，， 令，得， ∴， ∵， ∴顶点的坐标为． 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 把、代入得， 解得，， ∴直线的解析式为， 设点的坐标为（）， ∵轴，点在直线上， ∴点的坐标为， ∴   ， ∵， ∴当时，取最大值， 此时， ∴的最大值为，此时点的坐标为． 【小问3详解】 解：把抛物线向左平移个单位， ∴抛物线的解析式为， 令，得， ∴或， ∴或， ∵点在点的左侧， ∴，， ∴， 令，得， ∴， ∴， ∴， ①当时，， ∴， ∴或（，舍去）， ②当时，， ∴或（，舍去）， ∴的值为或． 【点睛】第（2）问中把线段的长表示成关于的二次函数、用配方法求最值是通法；第（3）问平移后抛物线与轴两交点间的距离保持不变（等于原抛物线与轴两交点间的距离），把面积条件转化为后，务必分与两种情况讨论，漏掉一种会丢解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $