精品解析：福建福州市延安中学2026-2027学年 九年级上学期10月阶段考试数学试卷

福州延安中学2026-2027学年第一学期适应性练习（10月） 初三数学 （满分150分，完卷时间120分钟） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列图形中是中心对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：A．是中心对称图形，故此选项符合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 2. 若关于x的方程有一个根为1，则a的值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】将根代入方程求解a的值即可． 【详解】解：∵方程有一个根为1， ∴， 即， 解得． 3. 如果，则的值是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 4. 一元二次方程用配方法解可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此可得答案． 【详解】解： ， 故选：C． 5. 反比例函数的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的增减性推出，进而求解，即可解题． 【详解】解：反比例函数的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小， ， 解得． 6. 在某象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一场比赛）制，每组x人．若每组共需进行21场比赛，则根据题意可列方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设每组x人，则每个人都要与其他人比赛一场，而相同两人之间的比赛只算作一场，故总场次为场． 【详解】解：设每组x人， 由题意得，． 7. 如图，将绕点A逆时针旋转，得到．若点D在线段的延长线上，则的度数为（ ） A.   B.   C.   D.   【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得出，再根据等腰三角形的性质可求出的度数． 【详解】解：根据旋转的性质，可得：， ∴． 8. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质．根据位似图形的概念得到，，证明，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴与的面积比为：， 故选：D． 9. 已知二次函数经过点，且函数最大值为4，则a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据待定系数法求得解析式即可求解． 【详解】解：∵二次函数经过点，且函数最大值为4， ∴且． 解得． 10. 如图，平行四边形中，E，F分别为，边上两点，，，连接，交于点P，若平行四边形的面积为S，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过E作交AC于G，由，得，故，．结合得，证，推出．再由同高三角形面积比等于底之比，逐步计算得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 过点E作，交AC于点G，如图： 四边形是平行四边形， ， ∴． ， ∴， ∴，． ， ，， 又，， ． 在和中， ， ， ， ∴， ∴，， ∵平行四边形对角线平分面积， ∴， ∵与同高， ∴面积比等于底的比， ∴， ∵与同高， ∴面积比等于底的比， ∴． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知点与点关于原点对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征，求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：点与点关于原点对称， 根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，可得 ，， 则． 12. 若函数是二次函数，则m的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的定义求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且，解得：． 13. 函数是解决现实世界诸多领域问题的重要模型，其中反比例函数让我们能定量分析“此消彼长”的关系，而不是凭感觉判断．当电压一定时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，当电阻为时，电流是；若电流为时，电阻是______． 【答案】12 【解析】 【分析】先求出反比例函数关系式，再将代入可得答案． 【详解】解：设反比例函数关系式为， 当时，， 解得， 反比例函数关系式为， 当时，， 解得． 14. 设m，n是方程的两实数根，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】由根与系数的关系可得，再整体代入代数式求值即可． 【详解】解：∵m，n是方程的两实数根， ∴， ∴． 15. 如图，在矩形中，，，将矩形绕点A逆时针旋转，使得点B的对应点恰好落在对角线上，交于E，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由旋转的性质得，，，进而可得，则可证明，设，则，，最后在中运用勾股定理求解即可． 【详解】解：在矩形中，，， ∴，， 由旋转的性质得，，． ∴，， 在中，， ∴， ∴， 设，则，． 在中，， ， ， ， 解得， ∴的长为． 16. 若二次函数的图像，过不同的六点，，，，，，则，，的大小关系是_________．（用“<”连接） 【答案】 【解析】 【分析】把A、B、C三点代入解析式，求出a、b的关系即，然后求出抛物线的对称轴直线，再利用二次函数的性质比较大小即可． 【详解】解：把点、、，代入， 则， 消去c和n可得：，解得： ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点到对称轴的距离为；点到对称轴的距离为；点到对称轴的距离为； ∵， ∴抛物线开口方向向上， ∵ ∴． 三、解答题（共9小题，共86分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：整理得， 配方得，即， 开方得， 解得； 【小问2详解】 解：整理得， 因式分解得， 得或， 解得：． 18. 已知关于x的一元二次方程，求证：该方程总有两个实数根． 【答案】证明：对于一元二次方程， ∵， ∴该方程总有两个实数根． 【解析】 【分析】对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 【详解】略 19. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，使点C的对应点E落在上，连接．若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】由旋转的性质可得、、，即，再利用等边对等角以及三角形内角和定理可得，最后根据角的和差求解即可． 【详解】解：∵绕点A顺时针旋转得到，使点C的对应点E落在AB上，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 某商场以每件20元的价格购进一批商品，如果以每件28元销售，那么每天可售出100件．经调查发现，这种商品的销售单价每上涨1元，每天销售量就减少10件．设销售单价上涨x（x为整数），每天销售利润为y元． （1）求y与x之间的函数关系式． （2）求销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）（，且x为整数） （2）销售单价定为29元时，每天销售利润最大，最大利润是810元 【解析】 【分析】（1）根据题意列出y与x之间的函数关系式即可； （2）利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得 （，且x为整数）， 即y与x之间的函数关系式为：（，且x为整数）； 【小问2详解】 解：由（1）知， ∵，开口向下，对称轴， 又∵，且x为整数， ∴当时，最大利润为（元）， 此时销售单价为（元）， 即销售单价定为29元时，每天销售利润最大，最大利润是810元． 21. 如图，在钝角三角形中，． （1）在边上求作一点P，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若，，，求的长． 【答案】（1）如图，点P即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）利用相似三角形的判定和性质求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中， 解得． 22. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 山地救援折叠支撑架的相关问题 活动过程 模型抽象 山地救援使用一款可折叠支撑架，下图为支撑架侧面示意图．杆件相交于点O．B，D两点置于地面上，支撑架完全撑开后，加固横杆起到稳定作用，且． 数据信息 过点O作于点G，交于点H，经测量，，，，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： （1）求证：； （2）当时，求AC的长度． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，再利用相似三角形对应角相等可得，再利用内错角相等、两直线平行即可证明结论； （2）利用平行线等分线段定理可得，易证、，利用勾股定理可得，即、，由（1）可得，利用相似三角形的性质列比例式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 又由（1）知， ∴， ∴，解得：． 23. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与正比例函数的图像的交点A在第一象限，点A的纵坐标比横坐标大1． （1）求点A的坐标和反比例函数的解析式． （2）点P在射线上，过点P作x轴的垂线交双曲线于点B．连接并延长交x轴于点C，于点E，连接．如果点P的纵坐标为4，求证：． 【答案】（1）， （2）证明：∵点P在射线上，且P纵坐标为4， ∴，解得，即， ∵轴， ∴， ∴将代入，得，即， 设经过、的一次函数解析式为 则，解得：， ∴直线的解析式为， ∵当时，，解得， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，， ∴． ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）设，再根据点A的纵坐标比横坐标大1列方程求得x，可确定点A的坐标，进而求得反比例函数的解析式； （2）先求得、、，易得直线的解析式为，即；再证明、为等腰直角三角形，易得，进而证明可得，再利用等量代换即可证明结论． 【小问1详解】 解：∵点A在正比例函数上，且点A的纵坐标比横坐标大1， ∴设，则，解得：，则， ∴， ∴将代入反比例函数，得，解得， ∴反比例函数解析式为：． 【小问2详解】 略 24. 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，，求证：； （3）平移抛物线使得其顶点与原点O重合，M，N为抛物线上的两点．M在第一象限，N在第二象限，，且直线不与x轴平行．试判断直线是否恒过定点，若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】（1） （2）证明：∵抛物线与x轴交于A，B两点， ∴， 解得． ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴ （3）直线恒过定点 【解析】 【分析】（1）先求出C、B的坐标，然后根据待定系数法求解即可； （2）先求出A的坐标，然后根据勾股定理和逆定理证明即可； （3）求出抛物线解析式为：，设，，根据勾股定理得出，化简得，进而可求出，设直线，联立方程组，化简得，根据根与系数的关系得出，则，求出，则直线，当时，，即可求解. 【小问1详解】 解：∵抛物线交y轴于点C， ∵当时，， ∴，， ∵，解得， ∴， ∵将代入抛物线解析式 ∴，解得． ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵原抛物线配方得：， ∴顶点平移到原点后，抛物线解析式为：， 设，， ∵， ∴， ∴， 化简得 ∵，， ∴， 设直线， 联立方程组， 化简得， ∴， ∴， ∴， ∴直线， 当时，， ∴直线MN恒过定点. 25. 如图，在中，，，为中线，于点E． （1）求证：； （2）求的值； （3）将绕点A逆时针旋转得到，连接，的面积为10， ①求证：； ②求的面积． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）2 （3）①证明：由旋转可得，， 由（2）知， ∴，即， ∵，， ∴， 即，即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； ②的面积为20 【解析】 【分析】（1）利用两个角相等证明，即可得到； （2）证明，以及，即可求得，再结合直角三角形的性质即可得到答案； （3）①由，结合直角三角形的性质得到，证得，即可推出； ②利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ∵为中线， ∴， 即， ∵， ∴， ∴，①， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即②， 由①②可得，即， 在中，， ∴，即； 【小问3详解】 ①证明：略 ②作交延长线于点， ∵， ∴， 设，则，， ∵，，， ∴， ∴， 在中，， 由①知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴① ∵，， ∴，即， ∵，即， ∴②， 由得， ∵的面积为10， ∴的面积为20． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州延安中学2026-2027学年第一学期适应性练习（10月） 初三数学 （满分150分，完卷时间120分钟） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列图形中是中心对称的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于x的方程有一个根为1，则a的值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 3. 如果，则的值是（ ） A. 3 B. C. D. 4. 一元二次方程用配方法解可变形为（ ） A. B. C. D. 5. 反比例函数的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在某象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一场比赛）制，每组x人．若每组共需进行21场比赛，则根据题意可列方程为（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，将绕点A逆时针旋转，得到．若点D在线段的延长线上，则的度数为（ ） A.   B.   C.   D.   8. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（　　） A. B. C. D. 9. 已知二次函数经过点，且函数最大值为4，则a的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，平行四边形中，E，F分别为，边上两点，，，连接，交于点P，若平行四边形的面积为S，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知点与点关于原点对称，则______． 12. 若函数是二次函数，则m的值为_______． 13. 函数是解决现实世界诸多领域问题的重要模型，其中反比例函数让我们能定量分析“此消彼长”的关系，而不是凭感觉判断．当电压一定时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，当电阻为时，电流是；若电流为时，电阻是______． 14. 设m，n是方程的两实数根，则______． 15. 如图，在矩形中，，，将矩形绕点A逆时针旋转，使得点B的对应点恰好落在对角线上，交于E，则的长为______． 16. 若二次函数的图像，过不同的六点，，，，，，则，，的大小关系是_________．（用“<”连接） 三、解答题（共9小题，共86分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知关于x的一元二次方程，求证：该方程总有两个实数根． 19. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，使点C的对应点E落在上，连接．若，求的度数． 20. 某商场以每件20元的价格购进一批商品，如果以每件28元销售，那么每天可售出100件．经调查发现，这种商品的销售单价每上涨1元，每天销售量就减少10件．设销售单价上涨x（x为整数），每天销售利润为y元． （1）求y与x之间的函数关系式． （2）求销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？ 21. 如图，在钝角三角形中，． （1）在边上求作一点P，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若，，，求的长． 22. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 山地救援折叠支撑架的相关问题 活动过程 模型抽象 山地救援使用一款可折叠支撑架，下图为支撑架侧面示意图．杆件相交于点O．B，D两点置于地面上，支撑架完全撑开后，加固横杆起到稳定作用，且． 数据信息 过点O作于点G，交于点H，经测量，，，，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： （1）求证：； （2）当时，求AC的长度． 23. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与正比例函数的图像的交点A在第一象限，点A的纵坐标比横坐标大1． （1）求点A的坐标和反比例函数的解析式． （2）点P在射线上，过点P作x轴的垂线交双曲线于点B．连接并延长交x轴于点C，于点E，连接．如果点P的纵坐标为4，求证：． 24. 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，，求证：； （3）平移抛物线使得其顶点与原点O重合，M，N为抛物线上的两点．M在第一象限，N在第二象限，，且直线不与x轴平行．试判断直线是否恒过定点，若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由． 25. 如图，在中，，，为中线，于点E． （1）求证：； （2）求的值； （3）将绕点A逆时针旋转得到，连接，的面积为10， ①求证：； ②求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $