精品解析：江西省九江第一中学2026-2027学年九年级上学期数学第一次学情自测

初三数学 满分：120分 考试时间：120分钟 一．选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 1. 下列性质中，矩形不具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 四个角都是直角 C. 对角线互相垂直 D. 对边平行且相等 2. 以下属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 学校矩形操场的四条边中点各立一个篮球架，现在用绳子把四个篮球架连起来，平面示意图如图所示．则绳子围成的四边形的形状一定是（ ） A. 菱形 B. 正方形 C. 矩形 D. 平行四边形 4. 关于的一元二次方程的实数根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 5. 以正方形的边为边作等边三角形，则的度数为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 6. 如图，，矩形的顶点，分别在、上，当在边上运动时，随之在边上运动，矩形的形状保持不变，其中，．运动过程中，点到点的最大距离为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 7. 若=0是关于x的一元一次方程，则m=_______. 8. 一元二次方程的一个解为，则_______． 9. 如图，菱形的面积为30，对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则的长为_____________． 10. 已知三角形三边为，，，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是________． 11. ☆|数学文化《几何原本》欧几里得的《几何原本》中记载，形如 的方程的图解法如下：如图，以和b为两直角边长作，再在斜边上截取 则 的长就是所求方程的正根． 利用以上方法解关于x的一元二次方程 时，若构造后的图形满足，则m的值为________． 12. 如图，在正方形中，，为对角线上与，不重合的一个动点，过点作于点，于点，连接，，下列结论：①；②；③；④的最小值为．其中正确结论的序号为______． 三．解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1） （2） 14. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，原方程总有两个实数根； （2）若方程的两个根为矩形的两条邻边的长，当为何值时，矩形为正方形？求出这个正方形的边长． 15. 已知四边形是正方形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．（不写作法，保留作图痕迹） （1）如图①，在正方形中，点，分别在边，上，且，请在边，上分别确定点，，使四边形为矩形； （2）如图②，对角线，相交于点，，，，分别是对角线，上的点，且是内嵌于正方形的正八边形的四个顶点，请作出完整的正八边形． 16. 如图，菱形，E是的中点，且，． （1）求的度数； （2）求对角线的长． 17. 解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学 或 琪琪同学 原方程无实数根 （1）你认为她们的解法是否正确？直接写出判断结果：嘉嘉同学的解法______，琪琪同学的解法______（填“正确”或“错误”）； （2）请选择合适的方法解一元二次方程：． 四．解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，平分，过点D作，交的延长线于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 19. 某超市以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式． （2）若超市要想获利2240元，且让顾客获得更大实惠，这种干果每千克应降价多少元？ 20. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作，且，连结，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 五．解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点运动的时间是秒．过点作于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，说明理由． 22. 定义：方程与方程互为“换位方程”．如一元二次方程的“换位方程”是．已知关于的一元二次方程①：，其中． （1）写出方程①的“换位方程”； （2）若方程①与其“换位方程”有公共根，求这个公共根及的值． 六．解答题（本大题12分） 23. 综合与实践 （1）如图，已知正方形，点在的延长线上，以为边构造正方形，连接和，则和的数量关系为________，位置关系为________． （2）如图，若正方形的边长为，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接、 ①请判断线段和有怎样的关系，并说明理由； ②连接，若，求长． （3）在（2）的条件下，点在边上运动时，则的最小值为________（直接写答案） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学 满分：120分 考试时间：120分钟 一．选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 1. 下列性质中，矩形不具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 四个角都是直角 C. 对角线互相垂直 D. 对边平行且相等 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、矩形的对角线相等，不符合题意； B、矩形的四个角都是直角，不符合题意； C、矩形的对角线相等且互相平分，对角线互相垂直不是矩形的性质，符合题意； D、矩形的对边平行且相等，不符合题意； 2. 以下属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】一元二次方程是指只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，根据定义判断即可． 【详解】解：A、，是一元二次方程，故本选项符合题意； B、，添加是常数且才是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、不是整式方程，即不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意． 3. 学校矩形操场的四条边中点各立一个篮球架，现在用绳子把四个篮球架连起来，平面示意图如图所示．则绳子围成的四边形的形状一定是（ ） A. 菱形 B. 正方形 C. 矩形 D. 平行四边形 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形中位线，菱形的判定，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 因为矩形操场的四条边中点各立一个篮球架， ，， 故， 故四边形是菱形． 4. 关于的一元二次方程的实数根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴关于的一元二次方程的实数根的情况是有两个不相等的实数根． 5. 以正方形的边为边作等边三角形，则的度数为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】分点E在正方形内部和点E在正方形外部两种情况画出图形，进行解答即可． 【详解】解：如图，点E在正方形内部， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵三角形是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， 同理可得，， ∴， 如图，点E在正方形外部， ∵， ∴， 同理可得，， ∴， 综上可知，的度数为或． 6. 如图，，矩形的顶点，分别在、上，当在边上运动时，随之在边上运动，矩形的形状保持不变，其中，．运动过程中，点到点的最大距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点E，连接、、，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，再根据勾股定理列式求出的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，两者相加即可得解． 【详解】解：如图，取的中点E，连接、、， ，， ， ，四边形是矩形， ， ， 根据三角形的三边关系，， 当过点E时最大，最大值为． 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 7. 若=0是关于x的一元一次方程，则m=_______. 【答案】-1 【解析】 【详解】由题意得 且 ， ∴. 8. 一元二次方程的一个解为，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，把一元二次方程的解代入方程中，可得关于的一元一次方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：一元二次方程的一个解为， ， 解得：． 故答案为：. 9. 如图，菱形的面积为30，对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则的长为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】由菱形的对角线互相平分得到，，再由菱形的面积等于其对角线乘积的一半可得的长，最后根据直角三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵菱形的对角线，相交于点O， ∴，， ∵菱形的面积为30， ∴， ∴， ∵， ∴． 10. 已知三角形三边为，，，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用配方法对含a的式子和含有b的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a和b的值，然后根据三角形的三边关系可得答案． 【详解】解：∵， ， ， ，， ，， 三角形的三条边为a，b，c， ∴， ， 又这个三角形的最大边为c， . 11. ☆|数学文化《几何原本》欧几里得的《几何原本》中记载，形如 的方程的图解法如下：如图，以和b为两直角边长作，再在斜边上截取 则 的长就是所求方程的正根． 利用以上方法解关于x的一元二次方程 时，若构造后的图形满足，则m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的图解法，理解图解法的含义是解答本题的关键． 根据题意构造图形，则，，，然后代入一元二次方程即可求出m的值． 【详解】解：根据题意，构造图形如图所示: 则，， ∵， ∴， 即m就是的一个正根， ∴ 解得 (负值已舍)． 故答案为：． 12. 如图，在正方形中，，为对角线上与，不重合的一个动点，过点作于点，于点，连接，，下列结论：①；②；③；④的最小值为．其中正确结论的序号为______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】①连接，可得四边形为矩形，可得；由可得，所以；②由矩形可得，则；由，则；由四边形为正方形可得，即，所以，即，可得；③由②中的结论可得；④由于点为上一动点，当时，根据垂线段最短可得此时最小，最小值为，由①知，所以的最小值为． 【详解】解：①连接，交于点，如图， ，， ． ， 四边形为矩形． ，． 四边形为正方形， ，． 在和中， ， ． ． ． ①正确； ②延长，交于，交于点， ， ． 由①知：， ． ． ， ． ． 即：， ． ②正确； ③由②知：． 即：． ③正确； ④点为上一动点， 根据垂线段最短，当时，最小． ，， ． ． 由①知：， 的最小值为， ④错误． 综上，正确的结论为：①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，垂线段最短，掌握正方形的性质是解题的关键． 三．解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴或， ∴，． 【小问2详解】 解：， ∴， ∴或， ∴，． 14. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，原方程总有两个实数根； （2）若方程的两个根为矩形的两条邻边的长，当为何值时，矩形为正方形？求出这个正方形的边长． 【答案】（1）证明：， ∴无论取何值，原方程总有两个实数根； （2）当时，矩形为正方形，这个正方形的边长为 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：若矩形为正方形，则矩形的两条邻边相等， ∵方程的两个根为矩形的两条邻边的长， ∴当方程有两等根时，矩形为正方形，此时， 解得． ∴方程化为，即， 解得，即正方形边长为， ∴当时，矩形为正方形，这个正方形的边长为． 15. 已知四边形是正方形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．（不写作法，保留作图痕迹） （1）如图①，在正方形中，点，分别在边，上，且，请在边，上分别确定点，，使四边形为矩形； （2）如图②，对角线，相交于点，，，，分别是对角线，上的点，且是内嵌于正方形的正八边形的四个顶点，请作出完整的正八边形． 【答案】（1）如图所示，矩形即为所求 （2）如图所示，正八边形即为所求 【解析】 【分析】（1）连结对角线、交于点，连并延长交于点，连并延长交于点； （2）连、交于点，连、交于点，直线与、的交点即为、的中点；同理作出、的中点，顺次连结即可． 【小问1详解】 解：连结、交于点，连并延长交于点，连并延长交于点． 理由：∵平分，，， ∴(， ∴． ∵是正方形的中心，、、共线，在上， ∴点是点关于点的对称点，；同理． ∴，且与互相平分， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）． 【小问2详解】 解：连、交于点，连、交于点，作直线，分别交、于点、；连、交于点，连、交于点，作直线，分别交、于点、；顺次连结、、、、、、、，正八边形即为所求． 理由：正方形与点、、、构成的图形关于过点且平行于的直线成轴对称，其中与、与、与、与均为对称点， ∴直线与直线关于该对称轴对称，∴交点在对称轴上；同理也在该对称轴上， ∴直线就是过点且平行于的对称轴， ∴、分别落在、上，且由与、与关于对称轴对称得，，即、分别是、的中点； 同理，直线是过点且平行于的对称轴，、分别是、的中点． ∵点、、、是内嵌正八边形的四个顶点，∴，且相邻两条连线（如与）的夹角均为， ∴，八个顶点均匀分布，顺次连结即得内嵌正八边形． 【点睛】本题考查正方形的性质与无刻度直尺作图：第（1）问利用中心对称构造对角线互相平分、再由得对角线相等，从而判定矩形；第（2）问利用对称轴上的点到对称点距离相等，先作出四条边的中点，再结合对称性补全正八边形． 16. 如图，菱形，E是的中点，且，． （1）求的度数； （2）求对角线的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题关键． （1）先证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，再根据平行线的性质求解即可得； （2）先根据菱形的性质可得，再利用勾股定理可得，由此即可得． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ， 是的中点，且， 垂直平分， ， ， 是等边三角形， ， 又， ． 【小问2详解】 解：如图，连接，交于点， ∵四边形是菱形，， ， ， ． 17. 解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学 或 琪琪同学 原方程无实数根 （1）你认为她们的解法是否正确？直接写出判断结果：嘉嘉同学的解法______，琪琪同学的解法______（填“正确”或“错误”）； （2）请选择合适的方法解一元二次方程：． 【答案】（1）错误；错误． （2）． 【解析】 【分析】（1）由乘积为5的两个因数有无数种情况从而可判断嘉嘉错误，通过移项分析发现琪琪对的分析是错的； （2）移项后用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：∵乘积为5的两个因数有无数种情况， ∴嘉嘉由得到或是错误的； 因化为一般式是， ∴，，， ∴琪琪同学的解法错误； 【小问2详解】 解： 移项得：， 提取公因式得：， ∴或， ． 四．解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，平分，过点D作，交的延长线于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质和等角对等边的性质，得出，再利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明； （2）设，由勾股定理可得，从而列方程求出，再利用勾股定理求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，四边形是菱形， ，， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， ， 解得：，即， ． 19. 某超市以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式． （2）若超市要想获利2240元，且让顾客获得更大实惠，这种干果每千克应降价多少元？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法即可求出函数关系式． （2）根据总利润每千克的利润销量，列一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数关系式为， 由题意可知，将和代入中得， 解得： y与x之间的函数关系式为 【小问2详解】 解：根据题意得， 整理得：， 解得：， 又要让顾客获得更大实惠， ． 答：这种干果每千克应降价元． 20. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作，且，连结，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是菱形， ，， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质可得，，结合已知条件，即可证明四边形是菱形； （2）根据题意可得是等边三角形，勾股定理求得的长，进而求得的长，在中，根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， 在中，，， ， ， 四边形是矩形， ，， 在中，， 答：的长为． 五．解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点运动的时间是秒．过点作于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，说明理由． 【答案】（1） 证明：在中，，，， ， 又， ． ， ，即， 四边形是平行四边形． （2）能，时，四边形为菱形 【解析】 【分析】（1）利用含30度角的直角三角形的性质得出，得出，再证明即可； （2）先根据含30度角的直角三角形的性质得出，利用勾股定理解求出，进而求出，根据列出等式，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：能．理由如下： 四边形为平行四边形， 当时，四边形为菱形． ，， ， ， ， ，， ， 若使为菱形，则需，即， 解得， 即当时，四边形为菱形． 【点睛】本题考查含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握平行四边形和菱形的判定方法． 22. 定义：方程与方程互为“换位方程”．如一元二次方程的“换位方程”是．已知关于的一元二次方程①：，其中． （1）写出方程①的“换位方程”； （2）若方程①与其“换位方程”有公共根，求这个公共根及的值． 【答案】（1） （2）当公共根时，；当公共根时， 【解析】 【小问1详解】 解：一元二次方程①：的“换位方程”是． 【小问2详解】 解：∵方程①与其“换位方程”有公共根， ∴，， 两个方程相减得， 根据“换位方程”定义可得，即， ∴同时除以得，解得； 当公共根时，代入得，解得； 当公共根时，代入得，解得． 综上所述，当公共根时，；当公共根时，． 六．解答题（本大题12分） 23. 综合与实践 （1）如图，已知正方形，点在的延长线上，以为边构造正方形，连接和，则和的数量关系为________，位置关系为________． （2）如图，若正方形的边长为，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接、 ①请判断线段和有怎样的关系，并说明理由； ②连接，若，求长． （3）在（2）的条件下，点在边上运动时，则的最小值为________（直接写答案） 【答案】（1）； ． （2）①， ． 证明：∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴（）， ∴，． 设与交于点． ∵点、在直线上且位于点的两侧， ∴． ∵四边形的内角和为， ∴， ∴ ． ②． （3）． 【解析】 【分析】（1）证，得结论． （2）①仿（1）证全等并导角；②作双垂构造“一线三垂直”，全等转移后用勾股定理． （3）由转化为，用将军饮马求最小值． 【小问1详解】 解：∵四边形和四边形都是正方形，且点在的延长线上， ∴，，，， ∴， ∴（）， ∴，． 设与交于点． ∵点、在直线上且位于点的两侧， ∴． ∵四边形的内角和为， ∴， ∴ ． 【小问2详解】 ①略． ②解：作于， 交的延长线于，连接． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（）， ∴，． ∵，的边长为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵（②已证）， ∴． 由②可知为定值，即点为定点，， ∴当点在上运动时，点在过点且垂直于的直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接，交该直线于点，过作，交的延长线于． ∵与关于直线对称， ∴， ∴（两点之间线段最短）， ∵，，点与点关于过且垂直于的直线对称， ∴，，， ∴， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $