江西九江市浔阳区九江外国语学校2026-2027学年度上学期第一次综合练习 九年级数学

绝密★启用前 九江外国语学校2026-2027学年度上学期第一次综合练习 九年级数学 考试时间：120分钟 满分：120分 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1．下列方程中是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 2．因式分解：（ ） A． B． C． D． 3．菱形具有而矩形不具有的性质是（ ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角相等 4．对一元二次方程的一个正数解的取值范围的探索如下表． 0 1 2 3 4 5 13 23 从表中可以看出方程的一个正数解的大致范围是（ ） A． B． C． D． 5．如图，点是边延长线上一点，连接、、，与交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A． B． C． D． 6．如图，在正方形中，，，分别为边，的中点，连接，，，分别为，的中点，连接，则的长为（ ） A． B．1 C． D．2 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．要使分式有意义，则的取值范围是________． 8．关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是________． 9．如图，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是________． 10．糖糖用如图①中的一副七巧板拼成如图②所示的“花束图”，若正方形的边长为1，则图②中花束的高为________． 11．如图，在菱形中，，，，为对角线上两动点，且满足，连接，，则的最小值为________． 12．在平行四边形中，，，点在上，且．若点是四边形上异于点的另一个点，且，则的值为______________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．（1）解一元二次方程：；（2）解分式方程：． 14．解不等式组，并将它的解集在下面的数轴上表示出来． 15．如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，且．求证：． 16．如图，在中，是的平分线，请仅用无刻度直尺分别按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）在图（1）中，以为腰作一个等腰三角形； （2）在图（2）中，以为边作． 17．如图，在中，于点，延长至点，使，连接，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求的长． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，这个方程总有实数根． （2）若等腰的一边长，另外两边，恰好是这个方程的两个根，求的周长． 19．如图，四边形是菱形，点，分别在边，上，且，过点作的平行线，交的延长线于点，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求证：四边形是正方形． 20．为进一步落实德智体美劳“五育并举”，某中学准备从体育用品商店购买若干个足球和篮球，用于学校球类训练、比赛活动，每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也都相同，已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元；用450元购买篮球和用300元购买足球的个数相同． （1）足球和篮球的单价各是多少元？ （2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求购买足球和篮球的总费用不超过15500元，学校最多可以购买多少个篮球？ 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．定义：如图1，在四边形中，若，，则称这样的四边形为筝形． （1）如图2，在中，点，分别在边，上，且，，求证：四边形为筝形； （2）在图1中，筝形的对角线，相交于点，若，，，求筝形的面积； （3）如图3，在筝形中，对角线，相交于点，过点作于点，交于点，若，请直接写出的长． 22．【知识链接】 实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关． 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计、的下方，从离桌面的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化（溢水杯的杯底厚度忽略不计）． 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积及液体的密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． 总结公式：当小铝块位于液面上方时，；当小铝块浸入液面后，． 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计，各自的示数（单位：）与小铝块各自下降的高度（单位：）之间的关系如图②所示． 【解决问题】 （1）当小铝块下降时，直接写出弹簧测力计和弹簧测力计的示数； （2）当时，求弹簧测力计的示数关于的函数解析式： （3）当弹簧测力计悬挂的小铝块下降时，甲液体中的小铝块受到的浮力为（单位：）．若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为（单位：），则乙液体中小铝块浸入的深度为（单位：），直接写出，的值． 六、解答题（本大题共12分） 23．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 操作一：如图1，在正方形纸片的边上选一点（点不与点，重合），将正方形沿折叠，使点落在正方形内部的点处，得到折痕，延长交于点，连接． （1）求的度数． 【深入探究】 操作二：如图2，在操作一的基础上，将沿着折叠，使点落在正方形的内部，点的对应点为点，在折叠的过程中，同学们发现，随着点的位置改变，点的位置也随之改变，当点在边上的某一位置时，点恰好落在上，此时与交于点． （2）求的度数． （3）求证：． 【拓展延伸】 操作三：如图3，在操作一的基础上，连接交于点，连接，调整点的位置，使 （4）求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $