精品解析：江西南昌中学教育集团2026-2027学年上学期九年级第一次数学测试卷

南昌中学2026-2027学年九年级第一次数学测试卷 说明：1．本试题卷满分120分，考试时间为120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其它位置无效． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列y不是x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数的图象一定经过（ ） A. 第一、二象限 B. 第三、四象限 C. 第一、三象限 D. 第二、四象限 4. 为纪念1949年至1950年间在台湾隐蔽战线牺牲的无名英雄，近日，电视剧《沉默的荣耀》在CCTV-8播出后反响热烈，收视人数不断攀升．据某平台统计，第一天全国观看的人数为亿，三天后全国观看的人数为累计达3亿，若把每天观看人数的平均增长率记作x，则可以列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程，配方后的方程可化为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，从的图象上可看出当时，函数y的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 抛物线的开口方向________．（“向上”或“向下”） 8. 若m、n是方程的两根，则__________． 9. 若方程有实数根，则b的取值范围是________． 10. 已知是一元二次方程的一个根，则m的值为__________． 11. 已知关于x的二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为______． 12. 若，且，则的取值范围为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 用适当的方法解下列方程． （1）； （2）； 14. 佳县有着3000多年的枣树栽培历史，各方面气候条件适宜优质红枣生长．某农产品公司购进一批佳县红枣，六月份售出500袋，七，八月份销量持续上升，八月份售出720袋．求七，八这两个月的月平均增长率． 15. 已知二次函数的图象经过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）说出这个函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标； 16. 已知二次函数的图象经过点、，求这个二次函数的表达式． 17. 某省城市足球联赛以“一市一队”的形式组织，每支球队与其他球队各赛一场，采用单循环赛制，总计将进行场比赛，求该省共有多少个市？ 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 李明准备进行如下操作试验，把一根长的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形． （1）要使这两个正方形的面积之和等于，李明应该怎么剪这根铁丝？ （2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于，你认为他的说法正确吗？请说明理由． 19. 已知是关于x的二次函数． （1）求m的值； （2）当m为何值时，函数y有最大值，并求出图象的顶点坐标． 20. 已知关于的一元二次方程有两个实数根和． （1）求实数的取值范围； （2）当时，求的值． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 在解一元二次方程时，小马同学粗心地将二次项的系数与一次项系数对换了，得到了一个新的方程．他正确地解出了这个新的方程，其中一个根是3，另一根等于原方程的一个根． （1）求这两个方程相同的根． （2）求原方程两根之和． 22. 已知关于的方程 （1）求证：不论取什么实数值，这个方程总有实数根； （2）当为何整数时，关于的方程有两个整数根？ 六、解答题（本大题共12分） 23. 已知抛物线，完成下列各题： （1）求证：该抛物线与轴一定有两个交点； （2）该抛物线与轴的两个交点分别为（在的左侧），求的坐标； （3）在抛物线上是否存在点，使的面积等于？若存在，请求出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌中学2026-2027学年九年级第一次数学测试卷 说明：1．本试题卷满分120分，考试时间为120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其它位置无效． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．方程是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C．不是方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．方程是一元二次方程，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 下列y不是x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的定义，把各个选项化成二次函数的一般式或者顶点式，即可判断． 【详解】解：根据二次函数的定义可以判断， A、可化为，此选项说法正确，不符合题意； B、此选项说法错误，符合题意； C、可化为，此选项说法正确，不符合题意； D、可化为，此选项说法正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的定义，能否把二次函数化成一般式，顶点式是解题的关键． 3. 二次函数的图象一定经过（ ） A. 第一、二象限 B. 第三、四象限 C. 第一、三象限 D. 第二、四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据解析式可得二次函数开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为原点，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为原点， ∴二次函数的图象一定经过第一、二象限， 故选：A． 4. 为纪念1949年至1950年间在台湾隐蔽战线牺牲的无名英雄，近日，电视剧《沉默的荣耀》在CCTV-8播出后反响热烈，收视人数不断攀升．据某平台统计，第一天全国观看的人数为亿，三天后全国观看的人数为累计达3亿，若把每天观看人数的平均增长率记作x，则可以列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：若把每天票房的平均增长率记作， 由题意得，， 故选：． 5. 用配方法解方程，配方后的方程可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把常数项移项后，在方程左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，然后配方即可． 【详解】解：， 移项得：， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到， 配方得， 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程—配方法．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 6. 如图所示，从的图象上可看出当时，函数y的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质，即可解答． 【详解】解：由图知顶点坐标为，开口向下， ∴当时，可取最大值为， 当时，， 当时，， ∴当时，结合图象知函数y的取值范围是． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 抛物线的开口方向________．（“向上”或“向下”） 【答案】向上 【解析】 【分析】根据二次函数解析式的二次系数的符号即可求解． 【详解】解：∵中， ∴抛物线的开口向上， 故答案为：向上． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 8. 若m、n是方程的两根，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由一元二次方程根与系数的关系即可得出答案． 【详解】解：∵m、n是方程的两根， ∴， 故答案为：． 9. 若方程有实数根，则b的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的判别式． 首先把方程化为一般形式，再根据方程有实数解可得，再代入相应数据进行计算即可． 【详解】∵ ∴， ∵方程有实数解， ∴， 解得：， 故答案为：． 10. 已知是一元二次方程的一个根，则m的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将代入方程求解，同时考虑二次项系数不为0，即可求出m的值． 【详解】解：将代入， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解．解题的关键在于深刻理解一元二次方程的定义． 11. 已知关于x的二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，一元一次不等式，掌握知识点是解题的关键． 先求出二次函数，当时，y随x的增大而减小，再根据当时，y随x的增大而减小，得到，即可解答． 【详解】解：令，得， ∴二次函数，，抛物线开口向上，对称轴为， 当时，y随x的增大而减小， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴． 故答案为：． 12. 若，且，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】将等式化为二次函数解析式的形式，再根据二次函数的性质求y的取值范围即可； 【详解】解：， ， 二次函数的对称轴为x=1，开口向上， 当时，函数在x=1时取得最小值-4， 函数在x=3时取得最大值0， ∴， 故答案为：； 【点睛】本题考查了二次函数的最值，掌握二次函数的图象性质是解题关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 用适当的方法解下列方程． （1）； （2）； 【答案】（1） （2）此方程没有实数根； 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ∴此方程没有实数根． 14. 佳县有着3000多年的枣树栽培历史，各方面气候条件适宜优质红枣生长．某农产品公司购进一批佳县红枣，六月份售出500袋，七，八月份销量持续上升，八月份售出720袋．求七，八这两个月的月平均增长率． 【答案】七，八这两个月的月平均增长率为 【解析】 【分析】设七，八这两个月的月平均增长率为，根据“六月份售出500袋，七，八月份销量持续上升，八月份售出720袋”列出一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设七，八这两个月的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 七，八这两个月的月平均增长率为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 15. 已知二次函数的图象经过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）说出这个函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标； 【答案】（1）二次函数解析式为 （2）图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求出解析式即可； （2）根据二次函数解析式写成顶点式，根据性质得出结论； 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ∴把代入， 则， 解得：， ∴二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵二次函数解析式为， ∵， ∴这个函数图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 16. 已知二次函数的图象经过点、，求这个二次函数的表达式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，把、代入即可求解，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【详解】解：把、代入得： ， 解得， 这个二次函数解析式为． 17. 某省城市足球联赛以“一市一队”的形式组织，每支球队与其他球队各赛一场，采用单循环赛制，总计将进行场比赛，求该省共有多少个市？ 【答案】该省共有个市． 【解析】 【分析】在单循环赛制球赛问题中，，即可列方程，解出即可． 【详解】解：设该省共有个市，根据题意得： ， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴该省共有16个市． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 李明准备进行如下操作试验，把一根长的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形． （1）要使这两个正方形的面积之和等于，李明应该怎么剪这根铁丝？ （2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于，你认为他的说法正确吗？请说明理由． 【答案】（1）应将之剪成和的两段； （2） 正确，理由：设剪成的较短的这段为， 两正方形面积之和为时，， 整理得：， ∵， ∴该方程无实数解， ∴不可能使得两正方形面积之和为，李明的说法正确． 【解析】 【分析】题目主要考查一元二次方程的应用，一元二次方程的判别式，理解题意，列出相应方程是解题关键． （1）设其中一段的长度为，根据两个正方形的面积之和等于建立方程求出其解即可； （2）设剪成的较短的这段为，根据两个正方形的面积之和等于建立方程，如果方程有解就说明李明的说法错误，否则正确． 【小问1详解】 设其中一段的长度为， 根据题意得，， 整理得，， 解得，， ∴应将之剪成和的两段； 【小问2详解】 略 19. 已知是关于x的二次函数． （1）求m的值； （2）当m为何值时，函数y有最大值，并求出图象的顶点坐标． 【答案】（1）m=-3或1；（2）当m=-3时，函数y有最大值，顶点坐标为：（0，3） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的定义求出m的值即可解决问题． （2）根据当二次项系数小于0时，抛物线开口向下，图象有最高点，函数y有最大值，得出m的值，根据解析式即可得出顶点坐标． 【详解】解：（1）∵是关于x的二次函数 ∴m2+2m-1=2，m+1≠0， ∴m=-3或1 （2）当m=-3时， ∴二次函数的解析式为： ∵a=-2<0 ∴抛物线开口向下，图象有最高点，函数y有最大值 顶点坐标为：（0，3） 当m=1时， ∴二次函数的解析式为： ∴函数y有最小值，不合题意舍去 ∴当m=-3时，函数y有最大值，顶点坐标为：（0，3） 【点睛】该题主要考查了二次函数的定义及其性质的应用问题；牢固掌握定义及其性质是解题的关键． 20. 已知关于的一元二次方程有两个实数根和． （1）求实数的取值范围； （2）当时，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据判别式△=≥0求解即可； (2)分解因式,确定两个根之间的关系,后根据判别式计算即可. 【详解】(1)∵关于的一元二次方程有两个实数根和． ∴△=≥0, ∴; (2) ∵ ∴, ∴或, ∴△=0或2m+1=0, 解得或(舍去), ∴. 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与判别式的关系,根与系数的关系定理,熟记根的判别式和根与系数关系定理是解题的关键. 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 在解一元二次方程时，小马同学粗心地将二次项的系数与一次项系数对换了，得到了一个新的方程．他正确地解出了这个新的方程，其中一个根是3，另一根等于原方程的一个根． （1）求这两个方程相同的根． （2）求原方程两根之和． 【答案】（1）1． （2）． 【解析】 【分析】（1）设是两方程的公共根，则，，两式相减并结合已知化简得，解得，或，然后检验即可得出答案； （2）结合（1）中结论，利用一元二次方程根与系数的关系求解． 【小问1详解】 解：原方程为，小马解的方程为， 设是两方程的公共根， ，， 两式相减，得， 化简得， ， ， ， ，或， 当时，，不符合题意，舍去， ， ， 即这两个方程相同的根是1． 【小问2详解】 解：由（1）可知新方程的两个根为3，1， ， ， 原方程两根之和为． 22. 已知关于的方程 （1）求证：不论取什么实数值，这个方程总有实数根； （2）当为何整数时，关于的方程有两个整数根？ 【答案】（1） 证明：当时，方程为一元一次方程，必有一解； 当时，方程为一元二次方程， ， ∴一元二次方程有两个实数根； 综上：不论取什么实数值，这个方程总有实数根； （2）或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用、一元一次方程的解的情况和一元二次方程的解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）分两种情况讨论：当时和时，当时，根据方程各项的系数，利用根的判别式，即可求解； （2）根据方程有两个根，可知方程为一元二次方程，利用因式分解或公式法解方程，分析即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程有两个整数根， ∴方程为一元二次方程，即， ， ， ∴或， 解得：或， ∵为整数，方程的两个根也都为整数， ∴， 解得：或． 六、解答题（本大题共12分） 23. 已知抛物线，完成下列各题： （1）求证：该抛物线与轴一定有两个交点； （2）该抛物线与轴的两个交点分别为（在的左侧），求的坐标； （3）在抛物线上是否存在点，使的面积等于？若存在，请求出点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）， （3）或或或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线与一元二次方程的关系，将函数与轴交点的问题转化为一元二次方程，再根据判别式的值确定函数轴交点的个数； （2）解方程，即可求得点的坐标； （3）假设存在点使得的面积等于，则点纵坐标或，分情况讨论即可． 【小问1详解】 证明：∵当时，即可得到： ∴ ∴该抛物线与轴一定有两个交点 【小问2详解】 解：∵当时，即可得到： ∴ ∴或 ∴点坐标，点坐标为 故答案为：， 【小问3详解】 解：假设存在点使得的面积等于 ∵ ∴ ∴的值为或 当点的纵坐标为时 ∴ 解得：或 ∴存在点坐标、 当点的纵坐标为时 ∴ 解得：或 ∴存在点坐标、 故答案为：或或或 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，抛物线与x轴的交点判定，三角形的面积计算等相关知识点，分类讨论点的坐标是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $