精品解析：四川南充市南部县第二中学2026-2027学年九年级上学期数学第一次学情自测数学试卷

南部县第二中学初2024级第一次月考数学试卷 （满分150分，时间120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程中未知数的最高次数为1，不是一元二次方程； B、方程中含有2个未知数，不是一元二次方程； C、方程是一元二次方程； D、方程不是整式方程，不是一元二次方程． 2. 方程解的情况是（ ） A. B. C. D. 无实数根 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴原方程无实数根. 3. 若关于的函数是二次函数，则须满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵关于的函数是二次函数， ∴. 4. 若方程的二次项系数、常数项分别是、，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴. 5. 关于的方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实数根 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根. 6. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种草坪，要使草坪的面积为．设道路的宽为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移的性质可得草坪正好是一个长方形，其长为，宽为，据此列出方程即可． 【详解】解：由平移的性质可知，草坪正好是一个长方形，其长为，宽为， 则可列方程为． 7. 以下有四个函数：①；②；③；④．则当时，随的增大而减小的函数有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】解：，， 故随的增大而减小，符合题意； ，， 故随的增大而增大，不符合题意； ，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，不符合题意； ，， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，符合题意； 综上：当时，随的增大而减小的函数有2个. 8. 函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分类讨论，当时，当时，结合二次函数图象，一次函数图象经过的象限判定即可求解． 【详解】解：当时，则， 一次函数的图象经过第一、二、四象限， 二次函数的图像开口向上； 当时，， 一次函数的图象经过第一、三、四象限， 二次函数图象开口向下； 综上所述，D选项符合题意． 9. 已知方程的两根分别为，，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2026 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用方程根的定义对所求式子降次，再结合一元二次方程根与系数的关系化简，即可计算出结果． 【详解】解：∵ ， 是方程 的两根， ∴ 由根的定义可得 ，整理得 ， 由一元二次方程根与系数的关系可得 ， ∵ ， 是方程 的两根，且常数项为， 且， ∴变形得 ，则， ， 因此结果为 ． 10. 对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． ⑤存在实数，使得 其中正确的是（） A. ①②④ B. ①②④⑤ C. ①②③④⑤ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式，正确的变形是解题的关键．根据一元二次方程根与判别式的关系、根的定义及代数变形逐一判断各命题． 【详解】解：∵若，则是方程的根，此时判别式，当方程有两个相等的实数根时，；当方程有两个不同的实根时，， ∴判别式，故①正确； ∵方程有两个不等实根，则其判别式，即， ∴方程的判别式，故②正确； ∵若c是方程的根，则，即，当时，不一定为0，故③错误； ∵是方程的根，则，， ，故④正确； ∵存在实数使，如取，则需，取即可(若，取，)，故⑤正确． 综上，正确的是①②④⑤． 故选：B． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 一元二次方程的解是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用开平方法解方程即可得到答案． 【详解】解：解方程，得， 故答案为：． 12. 已知函数是关于的二次函数，则的值为________． 【答案】1 【解析】 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得：或且， ∴． 13. 抛物线的顶点坐标是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 14. 已知二次函数，当自变量取，时，函数值相等，则当自变量取时，函数值________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点式得到二次函数图象的对称轴为y轴，所以函数值相等，则，然后计算自变量为0时的函数值即可． 【详解】解：∵二次函数图象的对称轴为y轴，当x分别取，时，函数值相等， ∴， ∴， ∴当时，． 15. 若，是方程的两根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由根与系数的关系可得，由方程的解的定义得到，，则可求出，，则可得原式，据此求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴， ，， ∴，， ∴，， ∴ ． 16. 已知点、，若点M在抛物线上运动，则的最小值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质与图象，解题关键是找出抛物线上的点到点B的距离的特点． 设点，用含m代数式表示，可得点M到点B的距离与点M到直线的距离相等，进而求解． 【详解】解：设点M的横坐标为m，则点，即点M到x轴距离为， ∴点M到直线的距离为， ∵， ∴点M到点B的距离与点M到直线的距离相等， ∵点A横坐标为， ∴当点M为直线与抛物线的交点时，最小， 如图，设直线与直线交点， ∴最小值为，． 故答案为： 6． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分） 17. 用合适的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得． 18. 已知关于x的一元二次方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根． 【答案】m的值为14，方程的另一个根为 【解析】 【分析】设方程的另一个根为 t，利用根与系数的关系进行求解即可． 【详解】解：设方程的另一个根为t， 根据根与系数的关系得，， 解得， 即m的值为14，方程的另一个根为． 【点睛】本题考查根与系数的关系，对于一元二次方程的两个实数根，则有． 19. 已知点、点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）判断出开口方向和增减性，再求出、和时的函数值即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵点、点在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）得抛物线的解析式为， ∴抛物线开口向下，对称轴为y轴， ∴离对称轴越远，函数值越小， 当时，， 当时， 当时，， ∴当时，的取值范围为． 20. 设、是方程的两个根，求下列各式的值． （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由根与系数的关系得到的值，再把所求式子去括号并利用整体代入法求解即可； （2）由根与系数的关系得到的值，再把所求式子通分并利用整体代入法求解即可． 【小问1详解】 解：∵、是方程的两个根， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解：同理可得， ∴ ． 21. 已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）若，且，，都是整数，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． （1）根据“，是关于的方程的两个不相等的实数根”，则，得出关于的不等式求解即可； （2）根据，结合（1）所求的取值范围，得出整数的值有，，，分别计算讨论整数的不同取值时，方程的两个实数根，是否符合都是整数，选择符合情况的整数的值即可． 【小问1详解】 解：∵，是关于的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵，由（1）得， ∴， ∴整数的值有，，， 当时，方程为， 解得：，（都是整数，此情况符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 综上所述，的值为． 22. 定义：如果一元二次方程（）满足，那么称这个方程为“联合方程”． （1）判断一元二次方程是否为“联合方程”，说明理由； （2）已知是关于的“联合方程”，若是此“联合方程”的一个根，求和的值． 【答案】（1） 解：该方程是“联合方程”，理由如下： 在一元二次方程中，，，， ， 一元二次方程是“联合方程”； （2）的值为，的值为6 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解二元一次方程组，正确理解一元二次方程的解得概念是解题的关键． （1）根据“联合方程”的定义进行计算即可； （2）根据题意得到二元一次方程组，解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是关于的“联合方程”， ， 是此“联合方程”的一个根， ， 即， 解得， 的值为，的值为6． 23. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔的实际售价应定为元/个 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据4月份销售150个，6月份销售216个，列出方程进行求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，由题意，得：， 解得：或（舍去）； 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，由题意，得： ， 解得：， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴； 答：该品牌头盔的实际售价应定为元/个． 24. 【阅读材料】方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，令，则原方程可化为．① 解方程①可得：， ∴当时，即，则，故 当时，即，则，故 ∴原方程的解为，，， 【解决问题】 （1）通过阅读材料，由原方程到方程①的过程中，是利用换元法以达到________的目的．（填“降次”或“消元”） （2）请仿照材料中的方法并结合现有知识，解下列方程： ① ② 【答案】（1）降次 （2）①或；②或或或 【解析】 【小问1详解】 由原方程到方程①的过程中，是利用换元法以达到降次的目的； 【小问2详解】 解：①设，则原方程可化为， ∴， 解得或（舍去）， 当时，则， 解得或； ②设，则原方程可化为， ∴， 解得或， 当时，则， ∴， 解得或； 当时，则， ∴， 解得或； 综上所述，原方程的解为或或或． 25. 如图，在梯形中，，，于点，，，，从初始时刻开始，动点，分别从，同时出发，运动速度均为，动点沿的方向运动，到点停止；动点沿的方向运动，到点停止，设运动时间为，的面积为．（此题规定：线段是面积为0的三角形） 解答下列问题： （1）当时，________；当时，________； （2）当时，求与之间的函数关系式； （3）当动点在线段上运动时，求出当时x的值． 【答案】（1）2；9 （2）时，；时，；时， （3）7 【解析】 【分析】（1）根据的值判断所在的具体线段位置，结合矩形的判定和性质以及三角形的面积公式即可求出对应所对应的的值． （2）根据动点所在位置不同，分情况讨论①②③，结合图形，根据运动的轨迹和面积公式分别求出与之间的函数关系式． （3）根据动点所在的位置，判断取值范围，确定与之间的函数关系式，利用梯形的面积公式和已知条件，求出具体值即可求出对应的的值． 【小问1详解】 解：，，， ， 为矩形． ①，动点，运动速度均为， ，， ， ， ． ②，动点，运动速度均为， ，， ，， 点运动到线段上，点运动到线段上， 到边上的距离与相等，即为4，, ． 【小问2详解】 解：当时，如图所示， ． 当时，如图所示， ． 当时，如图所示， ． 【小问3详解】 解：动点在线段上运动， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南部县第二中学初2024级第一次月考数学试卷 （满分150分，时间120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程解的情况是（ ） A. B. C. D. 无实数根 3. 若关于的函数是二次函数，则须满足的条件是（ ） A. B. C. D. 4. 若方程的二次项系数、常数项分别是、，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 5. 关于的方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实数根 6. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种草坪，要使草坪的面积为．设道路的宽为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 以下有四个函数：①；②；③；④．则当时，随的增大而减小的函数有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能为（ ） A. B. C. D. 9. 已知方程的两根分别为，，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2026 D. 10. 对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． ⑤存在实数，使得 其中正确的是（） A. ①②④ B. ①②④⑤ C. ①②③④⑤ D. ①②③ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 一元二次方程的解是_____________． 12. 已知函数是关于的二次函数，则的值为________． 13. 抛物线的顶点坐标是________． 14. 已知二次函数，当自变量取，时，函数值相等，则当自变量取时，函数值________． 15. 若，是方程的两根，则的值为________． 16. 已知点、，若点M在抛物线上运动，则的最小值为________． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分） 17. 用合适的方法解下列方程： （1） （2） 18. 已知关于x的一元二次方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根． 19. 已知点、点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，求的取值范围． 20. 设、是方程的两个根，求下列各式的值． （1） （2） 21. 已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）若，且，，都是整数，求的值． 22. 定义：如果一元二次方程（）满足，那么称这个方程为“联合方程”． （1）判断一元二次方程是否为“联合方程”，说明理由； （2）已知是关于的“联合方程”，若是此“联合方程”的一个根，求和的值． 23. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 24. 【阅读材料】方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，令，则原方程可化为．① 解方程①可得：， ∴当时，即，则，故 当时，即，则，故 ∴原方程的解为，，， 【解决问题】 （1）通过阅读材料，由原方程到方程①的过程中，是利用换元法以达到________的目的．（填“降次”或“消元”） （2）请仿照材料中的方法并结合现有知识，解下列方程： ① ② 25. 如图，在梯形中，，，于点，，，，从初始时刻开始，动点，分别从，同时出发，运动速度均为，动点沿的方向运动，到点停止；动点沿的方向运动，到点停止，设运动时间为，的面积为．（此题规定：线段是面积为0的三角形） 解答下列问题： （1）当时，________；当时，________； （2）当时，求与之间的函数关系式； （3）当动点在线段上运动时，求出当时x的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $