精品解析：山东嘉祥县第二中学2026-2027学年第一学期10月学业水平测试八年级数学试题

2026-2027学年第一学期10月学业水平测试 八年级数学试题 注意事项： 1.本试题共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必先核对条形码上的姓名、准考证号和座号，然后用0.5毫米黑色签字笔将本人的姓名、准考证号和座号填写在答题卡相应位置． 3.答题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写．务必在题号所指示的答题区域内作答；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（　　） A. 2 B. 3 C. 3 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系定理的应用，主要考查学生对三角形的三边关系定理的理解能力，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．根据三角形任意两边之和都大于第三边，任意两边之差都小于第三边逐个判断即可． 【详解】解：A、，不符合三角形三边关系定理，故本选项不符合题意； B、，不符合三角形三边关系定理，故本选项不符合题意； C、，符合三角形三边关系定理，故本选项符合题意； D、，不符合三角形三边关系定理，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 如图，，，则∠C的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，由全等三角形的性质求得，即可求得结论． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 3. 人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短 C. 两直线平行，内错角相等 D. 三角形具有稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了三角形的性质，关键是根据三角形的稳定性解答． 根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性， 故选：D． 4. 如图所示，在和中，，点E在上，点D在上，与交于点O，，，则可判定的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握定理是关键．在和中，，，，即可根据定理证明． 【详解】解：在和中，，，， ∴， 故选：C 5. 如图，在3×3的正方形网格中，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了网格与全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定是关键． 根据题意可得，，，则，，，则，由此即可求解． 【详解】解：如图所示， ， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 6. 如图， 已知， 于点A， 若， 则 的度数是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质得到，垂直得到，三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴； 故选C 7. 尺规作图：作，如图，下列作图过程中，错误的是（ ） A. 作射线 B. 以点为圆心，以任意长为半径作弧，交于点，交于点 C. 以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点 D. 以点为圆心，以任意长为半径作弧，与已知的弧交于点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，根据作一个角等于已知角的作法即可判断求解，掌握基本作图方法是解题的关键． 【详解】解：选项错误，应该以点为圆心，以的长为半径作弧，与已知的弧交于点， 故选：． 8. 如图，在中，，的平分线交于点O，点O到边的距离为2，若，则的面积为（ ） A. 2.5 B. 5 C. 7.5 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，过点O作交于点E，首先得到，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】如图所示，过点O作交于点E ∵，的平分线交于点O，点O到边的距离为2， ∴ ∵ ∴的面积为． 故选：B． 9. 已知等腰三角形的底边长为，一边上的中线把其周长分成两部分，这两部分的差为，则腰长为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查等腰三角形的定义，理解题意，结合图形分情况分析求解即可． 【详解】解：是边的中点， ． （1）如图①，当时， 即当时，； （2）如图②，当， 即时，． 综上所述，腰长为或． 故选C． 10. 如图，的角平分线、相交于F，，，且于G，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的角平分线，灵活运用角平分线的定义及三角形的内角和定理是解题的关键． 根据平行线的性质，结合角平分线的定义计算可判定①；根据三角形的内角和定理结合角平分线的定义可判定②；根据已知条件无法推知③；由角平分线的定义结合周角的定义可判定④． 【详解】解：∵， ， 平分， ， ，故①正确； ， ， ，且于， ， ， 平分， ， ，故②正确； 无法证明平分，故③错误； ，， ， ， ，故④正确； 所以其中正确的结论为①②④，共3个． 故选：C． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 一个三角形的三边长度均为整数，其中两边长为2和5，则第三边的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，设三角形的第三边长是，由此得到，即可得到答案． 【详解】解：设三角形的第三边长是， 由三角形三边关系定理得到：， ∴， ∵三角形三边均为整数， ∴三角形第三边的最大值为6． 故答案为：． 12. 如图，若，，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 若三角形三个内角的比为，则这个三角形按角分类是______三角形． 【答案】直角 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和，三角形的分类，根据三角形三个内角的比求出每个角的度数，即可判断三角形的类型． 【详解】解：设一份为，则三个内角的度数分别为，，， 则， 解得， 所以，，即三个内角的度数分别为，，， 故这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 14. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则的度数是________． 【答案】##25度 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图，角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题．利用三角形内角和定理，角平分线的定义求解． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图可知平分， ∴． 故答案为：． 15. 如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线， 连接，．若的面积是30，则阴影部分的面积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据 “中线把一个三角形分成面积相等的两个三角形”进行求解即可． 【详解】解：∵是的边上的中线， ， ∵是的边上的中线， ， ， ∵是的边上的中线， ， ， ． 三、解答题（共7小题，共75分） 16. 如图，，垂足为，．求证：是直角三角形． 【答案】 证明：，， ， 又， ． 在中，， ， 是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的证明，需熟练掌握等量代换以及三角形内角和为是解决本题的关键． 根据，可得，再由等量代换可得，再根据三角形的内角和为即可证明． 【详解】略 17. 如图，在四边形ABCD中，，点E为对角线BD上一点，且，．求证：． 【答案】 证明：在四边形中，，点为对角线上一点， ， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．由平行线的性质得，进而证明． 【详解】略 18. 如图，，，． （1）求证：； （2）若与的交点为M，，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， ， 在和中， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理． （1）由得，即，再由证明，根据全等三角形的性质可得结论； （2）由得，再由三角形内角和定理可推出，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，和交于点， ， ， ，， ， ． 19. 如图，直线，被所截，连接，交于点E，，，平分． （1）若，求的度数； （2）点F在上，连接．若，请说明：． 【答案】（1） （2） 证明：，， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和，熟记三角形内角和定理是解题的关键． （1）先利用角平分线的意义求出，再利用三角形内角和求出，进而求出，然后利用三角形内角和求出； （2）先求出，再利用三角形内角和求出即可． 【小问1详解】 解：∵平分，， ∴， ， ， ， ， ， ∴； 【小问2详解】 略 20. 如图，在每个小正方形的边长都是1的方格纸中，的顶点A，，都在小正方形的格点上，请按下列要求画出所求线段及点，要求所画线段的端点和所画的点均在格点上． （1）画出要求的线段： ①在边上取一点，连接，使； ②画出边上的高线； （2）求的面积； （3）画出要求的点：在方格纸中取一点，使． 【答案】（1） 如图所示：①线段即为所求；线段即为所求． （2）10 （3） 如图所示：点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查格点作图，利用网格求三角形面积，平行线的性质．掌握三角形的中线、高线的概率及性质是解题的关键． （1）①画出边上的中线即可；②过点A向的延长线作垂线，垂足为点E即可； （2）根据网格，利用割补法求解即可； （3）过点B作，直线与格线的交点是格点，即为所求的点F． 【小问1详解】 解：①∵点D是， ∴ 根据等底同高的两三角形面积相等得； ∵， ∴是边上的高线． 【小问2详解】 解：． 【小问3详解】 解：∵ ∴与的底边的高相等， ∴． 21. 【模型解读】 角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． 【模型证明】 常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B． 结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且（当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． 【模型运用】 如图，，分别为和的平分线，，则，，的数量关系是 ． 【解决问题】 如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为 米． 【答案】模型证明： 证明：如图，作于，于， 则， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴； 模型运用：； 解决问题：50 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 模型证明：作于，于，则，，证明，即可得证； 模型运用：在上截取点，使得，连接，由角平分线的定义可得，证明，得出，，再证明，得出，即可得证； 解决问题：由题意可得米，米，延长至点，使得，连接，证明，得出米，，，再证明，即可得解． 【详解】模型证明：略 模型运用：如图，在上截取点，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； 解决问题：由题意可得：米，米，米，米， ∴米，米， 如图，延长至点，使得，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴米，，， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴米， 即此时甲、乙两人的距离为米． 故答案为：50． 22. （1）提出问题：如图1，在中，，点正好落在直线上，则、的关系为 　　． （2）探究问题：①如图2，在中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． ②如图3，将①中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问①中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题：如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果） 【答案】（1）； （2）①，理由如下： 直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：； ②成立．证明如下： 如图2， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等角的余角相等、三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）利用平角的定义即可求解； （2）①先证明出，得出，，即可得出结果； ②证明出，得出，，即可得出结论； （3）由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．可知，而，的表示由，的位置决定，故需要对，的位置分当在上，在上时或当在上，在上时，或当到达，在上时，分别讨论． 【详解】解：（1），， ， 故答案为：； （2）①略 ②略 （3）①当在上，在上时，即， ，， 以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． ， ， ； ②当在上，在上时，即， ，， ， ， ； ③当到达，在上时，即， ，， ， ， ． 综上所述，当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期10月学业水平测试 八年级数学试题 注意事项： 1.本试题共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必先核对条形码上的姓名、准考证号和座号，然后用0.5毫米黑色签字笔将本人的姓名、准考证号和座号填写在答题卡相应位置． 3.答题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写．务必在题号所指示的答题区域内作答；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（　　） A. 2 B. 3 C. 3 D. 3 2. 如图，，，则∠C的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短 C. 两直线平行，内错角相等 D. 三角形具有稳定性 4. 如图所示，在和中，，点E在上，点D在上，与交于点O，，，则可判定的依据是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在3×3的正方形网格中，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图， 已知， 于点A， 若， 则 的度数是 （ ） A. B. C. D. 7. 尺规作图：作，如图，下列作图过程中，错误的是（ ） A. 作射线 B. 以点为圆心，以任意长为半径作弧，交于点，交于点 C. 以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点 D. 以点为圆心，以任意长为半径作弧，与已知的弧交于点 8. 如图，在中，，的平分线交于点O，点O到边的距离为2，若，则的面积为（ ） A. 2.5 B. 5 C. 7.5 D. 15 9. 已知等腰三角形的底边长为，一边上的中线把其周长分成两部分，这两部分的差为，则腰长为（ ） A. B. C. 或 D. 10. 如图，的角平分线、相交于F，，，且于G，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 一个三角形的三边长度均为整数，其中两边长为2和5，则第三边的最大值为______． 12. 如图，若，，，则的长为_____． 13. 若三角形三个内角的比为，则这个三角形按角分类是______三角形． 14. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则的度数是________． 15. 如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线， 连接，．若的面积是30，则阴影部分的面积是___________． 三、解答题（共7小题，共75分） 16. 如图，，垂足为，．求证：是直角三角形． 17. 如图，在四边形ABCD中，，点E为对角线BD上一点，且，．求证：． 18. 如图，，，． （1）求证：； （2）若与的交点为M，，求的度数． 19. 如图，直线，被所截，连接，交于点E，，，平分． （1）若，求的度数； （2）点F在上，连接．若，请说明：． 20. 如图，在每个小正方形的边长都是1的方格纸中，的顶点A，，都在小正方形的格点上，请按下列要求画出所求线段及点，要求所画线段的端点和所画的点均在格点上． （1）画出要求的线段： ①在边上取一点，连接，使； ②画出边上的高线； （2）求的面积； （3）画出要求的点：在方格纸中取一点，使． 21. 【模型解读】 角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． 【模型证明】 常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B． 结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且（当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． 【模型运用】 如图，，分别为和的平分线，，则，，的数量关系是 ． 【解决问题】 如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为 米． 22. （1）提出问题：如图1，在中，，点正好落在直线上，则、的关系为 　　． （2）探究问题：①如图2，在中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． ②如图3，将①中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问①中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题：如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $