精品解析：山东省济宁市嘉祥县马集镇中学2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

二0二五年十二月八年级学业测评 数学试题 满分：120分；考试时间：120分钟 教材版本：人教版 命题范围：第13-17章 第I卷（选择题共 30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下面是一位美术爱好者利用网格图设计的几个英文字母的图形，你认为其中是轴对称图形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 老师布置了一份家庭作业：用老师给的三根小木棍做出一个三角形木架，三根小木棍的长度分别为：5cm、9cm、10cm，要求只能对10cm的小木棍进行裁剪（裁剪后长度为整数）．你认为同学们最多能做出（ ）个不同的三角形木架． A. 1 B. 2 C. 6 D. 10 3. 下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，D，E分别是的中点，点F在上，且，若，则（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 12 5. 下列等式中正确的个数是（ ） ①；②；③；④ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 6. 已知，，，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如果多项式x2+2x+k是完全平方式，则常数k的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 4 D. -4 8. 已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（ ） A. 或 B. C. D. 或 9. 已知等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为9cm和15cm两部分，则这个等腰三角形的腰长为（ ） A. 6cm B. 10cm C. 6cm或10cm D. 11cm 10. 如图，在和中，，，，直线，交于点，连接．下列结论：①，②，③，④平分，其中正确结论的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 第Ⅱ卷（非选择题 共90分) 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知的乘积项中不含和x项，则______． 12. 当时，则___________． 13. 如图，在中，是边的垂直平分线，交于、交于，连接．若，且的周长为，的周长为，则___________． 14. 如图，中，，，点D为BC边上一动点．分别作点D关于AB，AC的对称点E，F，连接AE，AF．则的度数等于______． 15. 如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=30cm，DE=2cm，则BC=______cm． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中， 17. 把下列各式因式分解： （1） （2） 18. 在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为，格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）的顶点，的坐标分别是，． （1）请你根据题意在图中的网格平面内作出平面直角坐标系． （2）请画出关于轴对称的 （3）在轴上找一点，使最小 19. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F． （1）求证：△CEF是等腰三角形； （2）若CD=2，求DF的长． 20. 如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）求∠FAE的度数； 21. 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了。 过程为：； 这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题： （1）分解因式：； （2）三边a，b，c满足，判断的形状. 22. 把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积． 例如，由图1，可得等式：． （1）由图2，可得等式_____； （2）利用（1）所得等式，解决问题：已知，，求的值； （3）如图3，将两个边长为、的正方形拼在一起，、、三点在同一直线上，连接和，若这两个正方形的边长、如图标注，且满足，．请求出阴影部分的面积． 23. 【问题情境】（1）利用角平分线构造全等三角形是常用的解题方法．如图所示，平分，为上一点，过点作，垂足为，延长交于点B，可直接根据___________（填字母依据）证明． 【类比解答】（2）如图所示，在中，，平分，于点，延长交于点，求的度数． 【实际应用】（3）如图所示，在中，，，平分，，交的延长线于点，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二0二五年十二月八年级学业测评 数学试题 满分：120分；考试时间：120分钟 教材版本：人教版 命题范围：第13-17章 第I卷（选择题共 30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下面是一位美术爱好者利用网格图设计的几个英文字母的图形，你认为其中是轴对称图形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义判断即可． 考查轴对称图形的识别，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合熟记它们的概念是解题的关键． 【详解】解：字母“B”的图形是轴对称图形， 字母“”的图形不是轴对称图形， 字母“”的图形是轴对称图形； 字母“” 的图形不是轴对称图形， 共有两个轴对称图形， 故选：B． 2. 老师布置了一份家庭作业：用老师给的三根小木棍做出一个三角形木架，三根小木棍的长度分别为：5cm、9cm、10cm，要求只能对10cm的小木棍进行裁剪（裁剪后长度为整数）．你认为同学们最多能做出（ ）个不同的三角形木架． A. 1 B. 2 C. 6 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，先通过三角形的三边关系求出第三边的长度范围，然后再根据第三边的长度为整数即可求解． 【详解】解：∵由题意已知三角形有两条边为、，设第三边长度为， ∴第三边的取值范围为：，即， 又∵第三条边从的小木棍中裁剪下来， ∴， 又∵裁剪后长度为整数， ∴的取值可以为：， ∴最多能做出6个不同的三角形木架．  故选：C． 3. 下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的定义对选项逐一分析即可． 【详解】把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做因式分解． A、右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意； B、形式上符合因式分解，但等号左右不是恒等变形，等号不成立，不符合题意； C、符合因式分解的形式，符合题意； D、从左到右是整式的乘法，从右到左是因式分解，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查因式分解，解决本题的关键是充分理解并应用因式分解的定义． 4. 如图，在中，D，E分别是的中点，点F在上，且，若，则（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积，解题主要利用了三角形中线把三角形分成两个面积相等的三角形，理论依据是等底等高的三角形的面积相等，需熟记． 根据，，，求得，根据三角形中线把三角形分成两个面积相等的三角形可得，从而求出，再根据计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∵E是的中点，D是的中点， ∴， ∴， ∴的面积为， 故选：D． 5. 下列等式中正确的个数是（ ） ①；②；③；④ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂乘法法则进行分析即可. 【详解】①；故错误； ②；故错误； ③；故错误； ④，故正确； 故选：B 【点睛】考核知识点：同底数幂乘法.理解法则是关键. 6. 已知，，，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把a、b、c的底数全部换成3即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方运算，正确把a、b、c的底数全部换成3是解题的关键． 7. 如果多项式x2+2x+k是完全平方式，则常数k的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 4 D. -4 【答案】A 【解析】 【分析】根据完全平方公式的乘积二倍项和已知平方项先确定出另一个数是1，平方即可． 【详解】解：∵2x=2×1•x， ∴k=12=1， 故选A． 【点睛】本题考查了对完全平方公式的应用，由乘积二倍项确定做完全平方运算的两个数是解题的关键． 8. 已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理．分三角形是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三种情况进行讨论，即可求解． 【详解】解：在等腰三角形中，，顶角为， 当是锐角三角形时，，如图： 根据题意可得，， 在中，； 当是直角三角形时，，此时是等腰直角三角形，底角是，不符合题意； 当是钝角三角形时，如图： 根据题意可得，， 在中，， 故． 综上，顶角为或． 故选：D． 9. 已知等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为9cm和15cm两部分，则这个等腰三角形的腰长为（ ） A. 6cm B. 10cm C. 6cm或10cm D. 11cm 【答案】B 【解析】 【分析】已知给出的9cm和15cm两部分，没有明确哪一部分含有底边，要分类讨论，设三角形的腰为x，分两种情况讨论：x+x=9或x+x=15． 【详解】解：设三角形的腰为x，如图： △ABC是等腰三角形，AB=AC，BD是AC边上的中线， 则有AB+AD=9或AB+AD=15，分下面两种情况解． （1）x+x=9， ∴x=6， ∵三角形的周长为9+15=24cm， ∴三边长分别为6，6，12 ∵6+6=12，不符合三角形的三边关系，故舍去； （2）x+x=15 ∴x=10 ∵三角形的周长为24cm ∴三边长分别为10，10，4． 综上可知：这个等腰三角形的腰长为10cm． 故选：B． 【点睛】主要考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；解题的关键是利用等腰三角形的两腰相等和中线的性质求出腰长，再利用周长的概念求得边长．最后要注意利用三边关系进行验证． 10. 如图，在和中，，，，直线，交于点，连接．下列结论：①，②，③，④平分，其中正确结论的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．先证明，即可证明得到，即可判断①②；设与的交点为，在中由三角形外角的性质可得，在中由三角形外角的性质可得，则，即可判断③；过点作于，于，先证明得到，即可证明得到，假设平分，则可证得到，这与矛盾，即可判断④． 【详解】解：， ，即， 在和中， ， ， ，故①正确； ，故②正确； 设于的交点为， 在中由三角形外角的性质可得， 在中由三角形外角的性质可得， ， ，故③正确； 过点作于，于， ， 又，， ， ， 又， ， ， 假设平分， ， ，即， 又， ， ，这与矛盾， 不平分，故④错误， 故正确的有：①②③． 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分) 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知的乘积项中不含和x项，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加；不含某一项就是说这一项的系数为0；即可求解． 【详解】 ∵乘积项中不含x2和x项， ∴， ∴， ∴ 故答案为：6 【点睛】本题考查了多项式乘多项式法则，解题的关键是合并同类项时要注意项中的指数及字母是否相同，不含某一项就是说这一项的系数为0． 12. 当时，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，幂的乘方，同底数幂的乘法运算．先根据幂的乘方运算法则得出，，根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加得出，再将已知条件代入计算即可求解． 【详解】解：∵，， 故； ∵ ∴． 将代入，得． 故答案为：． 13. 如图，在中，是边的垂直平分线，交于、交于，连接．若，且的周长为，的周长为，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．根据线段垂直平分线的性质可得，，然后根据和的周长求出长，即可求解． 【详解】解：∵是边的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∵的周长为， 即， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，中，，，点D为BC边上一动点．分别作点D关于AB，AC的对称点E，F，连接AE，AF．则的度数等于______． 【答案】134°##134度 【解析】 【分析】利用轴对称的性质解答即可． 【详解】解：∵点E和点F分别是点D关于AB和AC的对称点， ∴∠EAB＝∠BAD，∠FAC＝∠CAD， ∵∠B＝58°，∠C＝55°，∠BAC+∠B+∠C=180° ∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝180°﹣58°﹣55°＝67°， ∴∠EAF＝2∠BAC＝134°， 故答案为：134°． 【点睛】此题考查轴对称的性质，关键是利用轴对称的性质解答． 15. 如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=30cm，DE=2cm，则BC=______cm． 【答案】32 【解析】 【详解】解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC， ∵AB=AC，AD平分∠BAC， ∴AN⊥BC，BN=CN， ∵∠EBC=∠E=60°， ∴△BEM为等边三角形，△EFD为等边三角形， ∵BE=30 cm，DE=2 cm， ∴DM=28 cm， ∵△BEM为等边三角形， ∴∠EMB=60°， ∵AN⊥BC， ∴∠DNM=90°， ∴∠NDM=30°， ∴NM=14 cm， ∴BN=16 cm， ∴BC=2BN=32 cm， 故答案为：32． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中， 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式，整式的加减混合运算，整式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先根据完全平方公式和平方差公式展开，再根据整式的加减混合运算法则进行计算，即可求解； （2）根据整式的混合运算法则化简原式，再将，代入计算，即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： 当，时， 原式 ． 17. 把下列各式因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的方法，熟练掌握提公因式法因式分解和公式法因式分解的方法是解题的关键． （1）根据提公因式法和公式法分解因式，即可求解； （2）先将转化为，再根据提公因式法和公式法分解因式，即可求解． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为，格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）的顶点，的坐标分别是，． （1）请你根据题意在图中的网格平面内作出平面直角坐标系． （2）请画出关于轴对称的 （3）在轴上找一点，使最小 【答案】（1） 如图： （2） 如图所示：即为所求． （3） 如图： 【解析】 【分析】本题主要考查了画轴对称图形，最短路径问题，根据点的坐标确定原点位置，熟练掌握轴对称变换是解题的关键． （1）根据点的坐标可确定原点位置，然后画出平面直角坐标系即可； （2）首先确定点、、三点关于轴对称的对称点位置，依次连接即可求解； （3）作点关于轴的对称点，连接，与轴交于一点，根据轴对称的性质可得，根据两点之间，线段最短，即可得出的值最小． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作点关于轴的对称点，连接，与轴交于一点，点即为所求． ∵点与点，关于轴对称， 故， 即， 根据两点之间，线段最短，即可得出此时的值最小，即的值最小． 19. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F． （1）求证：△CEF是等腰三角形； （2）若CD=2，求DF的长． 【答案】 （1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠ACB=60°． ∵DE∥AB， ∴∠B=EDC=60°，∠A=∠CED=60°， ∴∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°， ∵EF⊥ED， ∴∠DEF=90°， ∴∠F=30° ∵∠F+∠FEC=∠ECD=60°， ∴∠F=∠FEC=30°， ∴CE=CF． ∴△CEF为等腰三角形． （2）4； 【解析】 【分析】（1）证明△DCE中的三个角均为60°，然后再求得∠F=30°，从而可得到∠CEF=30°，故此可得到△CEF为等腰三角形； （2）先求得CF=DE，然后由EC=DC进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）由（1）可知∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°， ∴CE=DC=2． 又∵CE=CF， ∴CF=2． ∴DF=DC+CF=2+2=4． 【点睛】考查等边三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，比较基础，难度不大． 20. 如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）求∠FAE的度数； 【答案】（1） 证明： ； （2）135° 【解析】 【分析】（1）根据题意和题目中的条件，由SAS即可证明△ABC≌△ADE； （2）根据（1）中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到∠FAE的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键． 21. 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了。 过程为：； 这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题： （1）分解因式：； （2）三边a，b，c满足，判断的形状. 【答案】（1）（3x-y+4）（3x-y-4）；（2）等腰三角形或等边三角形 【解析】 【分析】（1）首先将前三项组合，利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可； （2）首先将前两项以及后两项组合，进而提取公因式法分解因式，即可得出a，b，c的关系，判断三角形形状即可． 【详解】解：（1）9x2-6xy+y2-16 =（3x-y）2-42 =（3x-y+4）（3x-y-4）； （2）∵a2-ab-ac+bc=0 ∴a（a-b）-c（a-b）=0， ∴（a-b）（a-c）=0， ∴a=b或a=c或a=b=c， ∴△ABC的形状是等腰三角形或等边三角形． 【点睛】此题主要考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形的判定，正确分组分解得出是解题关键． 22. 把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积． 例如，由图1，可得等式：． （1）由图2，可得等式_____； （2）利用（1）所得等式，解决问题：已知，，求的值； （3）如图3，将两个边长为、的正方形拼在一起，、、三点在同一直线上，连接和，若这两个正方形的边长、如图标注，且满足，．请求出阴影部分的面积． 【答案】（1） （2）的值为45 （3）阴影部分的面积为20 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式与几何图形面积关系，解题的关键是由几何图形得到恒等式． （1）根据图形可知正方形的边长为，然后问题可求解； （2）根据（1）中的结论可把条件代入求解即可； （3）根据题意阴影部分的面积=两个正方形的面积-两个直角三角形的面积，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：由图可得： ； 【小问2详解】 解：由（1）可知：， ∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由图可知：， ∵，， ∴， ∴． 23. 【问题情境】（1）利用角平分线构造全等三角形是常用的解题方法．如图所示，平分，为上一点，过点作，垂足为，延长交于点B，可直接根据___________（填字母依据）证明． 【类比解答】（2）如图所示，在中，，平分，于点，延长交于点，求的度数． 【实际应用】（3）如图所示，在中，，，平分，，交的延长线于点，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）； （3）解：，理由如下： 如图：延长交的延长线于点， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题是解题的关键． （1）首先由角平分线得到，然后由垂直得到，根据全等三角形的判定定理即可证明； （2）首先由角平分线得到，然后由垂直得到，根据全等三角形的判定和性质得出，然后根据，结合三角形外角的性质得到，进而求解即可； （3）延长交的延长线于点，首先由角平分线得到，根据全等三角形的判定和性质得出，即，推得，根据全等三角形的判定和性质得出，即可证明． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：． （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即． （3） 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $