精品解析：甘肃平凉市第四中学2026—2027学年九年级上学期第一次阶段考试数学试卷

平凉四中2026—2027学年第一学期第一阶段质量检测题（卷） 九年级数学 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 1，， B. 1，3，2 C. 1，3， D. 0，， 3. 已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（ ） A. 2 B. 1或 C. 1 D. 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 5. 若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘，若每天“遗忘”的百分比是一样的，设百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 8. 已知三个二次函数的图象如图所示，那么、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，菱形的边长为6，，点E为的中点，动点P以2的速度沿A→B→E运动，动点Q以1的速度沿B→D运动．点P，Q分别从A，B两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P运动的时间为s，的面积为y，则y与x之间的关系用图象大致可表示为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则正数的值为________． 12. 秋冬季是流感的高发季节，应特别注意预防，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染了______人． 13. 已知抛物线与轴的一个交点坐标为，则代数式的值为______． 14. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是_____． 15. 2026年6月11日晚，“吴越杯”足球赛决赛，金华队对阵温州队．金华队在第83分钟时一记大力抽射，扳平比分．最终点球以战胜温州队，获得冠军．如图，据球迷目测，该球员在距离球门24米处射门，当球飞出14米远处，达到最高点，最终在球门离地面1.2米高处入网．这条抛物线的表达式为_________． 16. 如图，二次函数的图象与轴交于，对称轴为直线，以下结论：；；；（为任意实数）．其中正确的是______． 三、解答题（共6题，共46分）． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 已知抛物线经过点，和点，求该抛物线的解析式． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 21. 某商场以每件220元的价格购进一批商品，当每件商品售价为280元时，每天可售出30件；为了迎接“双十一购物节”，扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每天就可以多售出3件，要使商场每天销售这种商品的总利润达到3600元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ 22. 把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有着广泛的应用． 例如：①用配方法分解因式：． 解：原式． ②利用配方法求最小值：求的最小值． 解：， 因为不论取何值，总是非负数，即，所以． 所以当时，有最小值，最小值是． 根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：_______； （2）求出的最大值； （3）若，，其中为任意实数，试比较与的大小，并说明理由． 四、解答题（共5题，共50分）． 23. 已知抛物线，现将该函数图象向右平移2个单位，向上平移5个单位得到抛物线． （1）求抛物线的解析式． （2）当时，求抛物线的最大值和最小值． 24. 阅读下面的例题，并完成相应的任务． 例：解方程：． 解：分两种情况：①当时，原方程化为，解得，（舍去）； ②当时，原方程化为，解得，（舍去）． 综上所述，原方程的解是，． 任务：请参照上述方法解方程 25. 邻居张老汉养了一群鸡，现在要建一长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长米），墙对面有一个米宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长米．请同学解决以下问题： （1）若设鸡场的面积为平方米，鸡场与墙平行的一边长为米，请写出与之间的函数关系式，并写出的取值范围； （2）当鸡场的面积为平方米时，鸡场的长与宽分别是多少米？ （3）鸡场的最大面积是多少？并求出此时鸡场的长与宽分别是多少米？ 26. 中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分九（1）班同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时，通过收集到的素材进行了方案探究和任务性学习： 【设计方案求碗里水面的宽度】 素材一： 图1是一个竖直放置在水平桌面MN上的瓷碗，图2是其截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），当碗中盛满水时的最大深度． 素材二： 如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜，倒出碗中的部分水，当水面与碗口的夹角为时停止倾斜． 问题解决 问题1 如右图，以碗底的中点F为原点O，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，求碗体的抛物线解析式； 问题2 根据图2位置，当把碗中的水喝掉一部分后，发现水面的最大深度为，求此时水面宽度的长； 问题3 如图3，当碗停止倾斜时，求此时碗里水面的宽度． 27. 已知，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点M是直线上方的抛物线上一动点（不与A，C重合），连接，，求的面积最大值以及此时点M的坐标． （3）如图2，若动点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平凉四中2026—2027学年第一学期第一阶段质量检测题（卷） 九年级数学 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐一判断即可． 【详解】解：、中有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 、中有一个未知数，未知数的最高次数为，且是整式方程，是一元二次方程，符合题意； 、中左边不是整式，故不是一元二次方程，不符合题意； 、中若时不是一元二次方程，不符合题意． 2. 二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 1，， B. 1，3，2 C. 1，3， D. 0，， 【答案】A 【解析】 【详解】解：二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是1，，． 3. 已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（ ） A. 2 B. 1或 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由题意得：，且， 解得：． 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】计算根的判别式，判定，解答即可． 【详解】解：∵一元二次方程为， ∴，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴方程有两个不相等的实数根． 5. 若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得二次函数的图象开口向上，对称轴为y轴，则离对称轴越远，函数值越大，比较出三个点到对称轴的距离的大小即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴为y轴， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵点、、在二次函数的图象上，且， ∴． 6. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘，若每天“遗忘”的百分比是一样的，设百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设每天遗忘百分比为x，最初知识量为1．根据每天遗忘百分比相同，两天后剩余知识为一半，列出方程． 【详解】解：设每天遗忘百分比为x，最初知识量为1． ∵第一天后剩余知识为，第二天后剩余知识为， 又∵两天后剩余知识为一半，即， ∴． 故选A． 7. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”法则即可解答． 【详解】解：∵ 函数图象向左平移2个单位长度， ∴ 平移后表达式为． ∵ 再向下平移1个单位长度， ∴ 最终表达式为，即． 8. 已知三个二次函数的图象如图所示，那么、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；越大，图象的开口越小． 【详解】解：函数的图象开口向上，函数和的图象开口向下，且函数的开口更大， ，，，， ． 9. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质和一次函数的性质，根据二次函数的性质得对称轴为直线，可判断C；再由二次函数的性质和一次函数的性质对、的符号进行逐项判断，即可求解；掌握二次函数的性质和一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得： 对称轴为直线，当时，则有，即抛物线与y轴的交点坐标为， 故C错误，不符合题意； A．由抛物线的图象得，顶点坐标为，且，所以一次函数交y轴于正半轴，且经过第一、二、四象限，故此项符合题意； B．由抛物线的图象得，由一次函数图象得，符号不一致，故此项错误，不符合题意； D．由一次函数图象得，，则由抛物线的顶点坐标可知，所以前后矛盾，故此选项不符合题意； 故选：A． 10. 如图，菱形的边长为6，，点E为的中点，动点P以2的速度沿A→B→E运动，动点Q以1的速度沿B→D运动．点P，Q分别从A，B两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P运动的时间为s，的面积为y，则y与x之间的关系用图象大致可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分两种情况：点P在上运动和点P在上运动，分别求出解析式即可． 【详解】∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形． ①当点P在上运动，即时， ，， 过点P作于点N， ∵是等边三角形， ∴， ∴在中，， ∴， 即y与x之间的函数解析式为； ②当点P在上运动，即时， ， 过点P作于点M， ∵是等边三角形， ∴， ∴在菱形中， ∴在中，， ∴， 即y与x之间的函数解析式为； 综上所述，y与x之间的函数解析式为， 图象为： ． 故选：B 【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，分类讨论，正确求出函数解析式是解题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则正数的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将根代入原方程，得到关于的一元二次方程，求解后筛选出正数即可得到结果． 【详解】解：是关于的一元二次方程的一个根， 将代入方程得， 解得或， 是正数， ． 12. 秋冬季是流感的高发季节，应特别注意预防，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染了______人． 【答案】 【解析】 【分析】设每轮传染中平均一个人传染了个人，列出方程，然后解方程并检验即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 由题意得 ， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染了个人． 13. 已知抛物线与轴的一个交点坐标为，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可求出的值，再利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴， ∴， ∴，即的值为． 14. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】观察函数图象，二次函数的图象不在一次函数的图象上方时自变量的取值范围，即为不等式的解集． 【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，, ∴由图象可得，不等式的解集是． 15. 2026年6月11日晚，“吴越杯”足球赛决赛，金华队对阵温州队．金华队在第83分钟时一记大力抽射，扳平比分．最终点球以战胜温州队，获得冠军．如图，据球迷目测，该球员在距离球门24米处射门，当球飞出14米远处，达到最高点，最终在球门离地面1.2米高处入网．这条抛物线的表达式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出点的横坐标为，设这条抛物线的表达式为，再利用待定系数法计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：点的横坐标为， 设这条抛物线的表达式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴． 16. 如图，二次函数的图象与轴交于，对称轴为直线，以下结论：；；；（为任意实数）．其中正确的是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向和对称轴的位置可判断、、的符号，然后再根据二次函数的最值和抛物线与轴的交点情况逐项判定即可． 【详解】解：由图象可知：，，， ∴， ∴，故错误； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，即，故正确； ∵抛物线的对称轴为直线，过点， ∴抛物线与轴的另外一个交点坐标为， ∴当时，，故错误； 由图象可知，则当时，有最小值为， ∴时，，即（为任意实数），故正确； 综上可得：正确． 三、解答题（共6题，共46分）． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解答即可求解； （2）利用因式分解法解答即可求解． 【小问1详解】 解： 或 ∴，； 【小问2详解】 解： ∴． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】根据因式分解法解方程即可； 根据换元法解方程即可． 【小问1详解】 解： 或 ∴，； 【小问2详解】 解：设，则原方程化为， ∴， ∴，（舍去）， ∴， ∴，． 19. 已知抛物线经过点，和点，求该抛物线的解析式． 【答案】 【解析】 【详解】解：设该抛物线的解析式为， ∵该抛物线经过点，和点， ∴， ∴， ∴该抛物线的解析式为． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 【答案】（1）证明：在一元二次方程中，，，， ∴根的判别式， ∵无论取何实数，， ∴，即， ∴ 方程总有两个不相等的实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）计算方程的根的判别式，证明其恒大于0即可得证； （2）利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积的表达式，代入已知等式求解的值． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵、是方程的两根， ∴由根与系数的关系得：，， 将上述两式代入得：， 整理得：， 解得． 21. 某商场以每件220元的价格购进一批商品，当每件商品售价为280元时，每天可售出30件；为了迎接“双十一购物节”，扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每天就可以多售出3件，要使商场每天销售这种商品的总利润达到3600元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ 【答案】每件商品应降价30元 【解析】 【分析】设每件商品应降价元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可． 【详解】解：设每件商品应降价元， 由题意，得， 解得：，． 有利于减少库存， ． 答：每件商品应降价30元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用——销售问题，解题的关键是根据销售问题的数量关系建立方程． 22. 把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有着广泛的应用． 例如：①用配方法分解因式：． 解：原式． ②利用配方法求最小值：求的最小值． 解：， 因为不论取何值，总是非负数，即，所以． 所以当时，有最小值，最小值是． 根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：_______； （2）求出的最大值； （3）若，，其中为任意实数，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）16；4 （2）的最大值为 （3）解：，理由如下： ∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据完全平方式的特点可知，常数项为一次项系数一半的平方，据此可得答案； （2）利用配方法推出，据此可得答案； （3）求出，根据可得结论． 【小问1详解】 解：由题意得，； 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为； 【小问3详解】 略 四、解答题（共5题，共50分）． 23. 已知抛物线，现将该函数图象向右平移2个单位，向上平移5个单位得到抛物线． （1）求抛物线的解析式． （2）当时，求抛物线的最大值和最小值． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为． 【解析】 【分析】（1）抛物线的平移法则：左加右减，上加下减，据此即可得到答案； （2）由二次函数的性质可得出结果． 【小问1详解】 解：抛物线，将该函数图象向右平移2个单位，向上平移5个单位得到抛物线．则抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵抛物线的解析式为． ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上，当时，取得最小值为， ∴抛物线上的点离对称轴越远，对应纵坐标越大， ∵， ∴当时的函数值大于当时的函数值， 即当时，抛物线的最大值为 ∴当时，抛物线的最大值为，最小值为． 24. 阅读下面的例题，并完成相应的任务． 例：解方程：． 解：分两种情况：①当时，原方程化为，解得，（舍去）； ②当时，原方程化为，解得，（舍去）． 综上所述，原方程的解是，． 任务：请参照上述方法解方程 【答案】， 【解析】 【分析】分两种情况：①当，即时，原方程化为，②当，即时，原方程化为，据此讨论求解即可． 【详解】解：分两种情况：①当，即时， 原方程化为，即， ∵， ∴原方程无实数根； ②当，即时， 原方程化为，即， 解得，； 综上所述，原方程的解是，． 25. 邻居张老汉养了一群鸡，现在要建一长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长米），墙对面有一个米宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长米．请同学解决以下问题： （1）若设鸡场的面积为平方米，鸡场与墙平行的一边长为米，请写出与之间的函数关系式，并写出的取值范围； （2）当鸡场的面积为平方米时，鸡场的长与宽分别是多少米？ （3）鸡场的最大面积是多少？并求出此时鸡场的长与宽分别是多少米？ 【答案】（1） （2）鸡场的长与宽分别为16米、10米； （3）鸡场的最大面积为162平方米，此时鸡场的长与宽分别为18米、9米 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用； （1）用含的式子表示鸡场与墙垂直的一边长，根据矩形面积公式即可写出函数关系式； （2）根据（1）所得关系式，将代入即可求解； （3）求出函数的最大值，使得面积取最大值即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，鸡场与墙平行的一边长为米，可得鸡场与墙垂直的一边长为米，即米， ∴ ∵鸡场的一边靠墙（墙长米），墙对面有一个米宽的门， ∴ ∴ 【小问2详解】 令，即， 解得，（不合题意，舍去），所以． 当时， ． 所以，鸡场的长与宽分别为米、米； 【小问3详解】 对于，， 所以函数有最大值，当时， 函数有最大值，最大值 当时， ． 所以鸡场的最大面积为平方米，此时鸡场的长与宽分别为米、米． 26. 中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分九（1）班同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时，通过收集到的素材进行了方案探究和任务性学习： 【设计方案求碗里水面的宽度】 素材一： 图1是一个竖直放置在水平桌面MN上的瓷碗，图2是其截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），当碗中盛满水时的最大深度． 素材二： 如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜，倒出碗中的部分水，当水面与碗口的夹角为时停止倾斜． 问题解决 问题1 如右图，以碗底的中点F为原点O，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，求碗体的抛物线解析式； 问题2 根据图2位置，当把碗中的水喝掉一部分后，发现水面的最大深度为，求此时水面宽度的长； 问题3 如图3，当碗停止倾斜时，求此时碗里水面的宽度． 【答案】问题1∶ ；问题2：；问题3： 【解析】 【分析】问题1：本题建立以碗底的中点F为原点O，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，根据题干条件给出、、的坐标，再利用待定系数法求解即可． 问题2：本题通过液面高度确定液面的纵坐标，再利用解析式给出液面两端的横坐标，即可求解． 问题3：本题仍建立以为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，通过等腰三角形的判定可求出点的坐标，再利用待定系数法给出直线解析式，通过直线和抛物线求得交点的坐标，最后利用勾股定理求两点间距离，即可解题． 【详解】问题1： 解：以碗底的中点F为原点O，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示： ， ，， ， ， ， 设抛物线的解析式为， 将点代入解析式，有，解得， 抛物线解析式为． 问题2： 解：碗中液面高度（离桌面距离）为，， 这时液面的纵坐标为， 当时，有，解得，， 则液面宽度为．　 问题3： 解：以为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，倾斜后如图所示，记轴交于点，交于点， 由题知，，， 轴， 又， ∴， ， ， 设直线的解析式为， 则，解得， ， 联立方程组， 解得或， ， ． 【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式、等腰三角形的判定、勾股定理和求直线与抛物线的交点问题，解题的关键在于将实际数据变为直角坐标系中的数据，再利用函数的性质即可解题． 27. 已知，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点M是直线上方的抛物线上一动点（不与A，C重合），连接，，求的面积最大值以及此时点M的坐标． （3）如图2，若动点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）的面积最大值为，此时点M的坐标为 （3）存在，符合条件的点P的坐标为：，，，， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）作轴于点H，交线段于点D，先求直线的解析式，设点M的坐标为，用含q的式子表示出，进而用含q的式子表示出，利用二次函数的最值求解； （3）以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形时，分三种情况：当以为对角线时，则；当以为对角线时，则；当以为对角线时，则，分别列方程求解即可． 【小问1详解】 解：将，代入， 得：， 解得， 该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，作轴于点H，交线段于点D， 将代入，得， ， 设直线的解析式为，将，代入， 得：， 解得， 直线的解析式为； 设点M的坐标为，则点D的坐标为， ， ， 二次项系数，抛物线开口向下，对称轴为， 当时，取最大值，最大值为， 此时， 综上可知，的面积最大值为，此时点M的坐标为； 【小问3详解】 解：抛物线的对称轴为：直线， 设，，，， ，，， 以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形时，分三种情况： 当以为对角线时，则，如图： ， 解得， ，； 当以为对角线时，则，如图： ， 解得， ； 当以为对角线时，则，如图： ， 解得， ， ， 综上可得，符合条件的点P的坐标为：，，，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $