精品解析：甘肃平凉市静宁县三合初级中学2025-2026学年第一学期九年级第二次质量检测数学试题

三合初中2025-2026学年第二学期质量检测试题（卷） 九年级数学（150分） 一、选择题 （每小题3分，共30分） 1. 如图图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 3. 方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 只有一个实数根 C. 没有实数根 D. 有两个不相等的实数根 4. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 二次函数y＝﹣2（x﹣3）2+1的顶点坐标为（　　） A. （﹣3，1） B. （3，﹣1） C. （﹣3，﹣1） D. （3，1） 6. 二次函数y=x2+px+q中，若p+q=0，则它的图象必经过下列四点中( ) A. (－1，1) B. (1，－1) C. (－1，－1) D. (1，1) 7. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，AE=1，则弦CD的长是（ ） A. B. 2 C. 6 D. 8 8. 如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=25°，则∠D等于（ ） A. 20° B. 30° C. 40° D. 50° 9. 关于二次函数的下列结论，正确的是（ ） A. 它的开口方向是向上 B. 当时，随的增大而增大 C. 它的顶点坐标是 D. 当时，有最小值是3 10. 如图是二次函数图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线，给出四个结论：①；②；③；④若点B（，）、C（，）为函数图象上的两点，则，其中正确结论是（ ） A. ②④ B. ①④ C. ①③ D. ②③ 二、填空题（每小题4分，共32分） 11. 方程的两根分别为__________． 12. 如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，若∠BOC=100°，则∠BAC=______． 13. m是方程的根，则式子的值为_____． 14. 如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为________． 15. 若关于x的一元二次方程x2＋kx＋1＝0有两个相等的实数根，则k的值为_____． 16. 将抛物线y=x2-2x向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线解析式为______________． 17. 如图，在中，，将绕着点顺时针旋转后得到，则_________________． 18. 如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果输水管的半径为，水面宽为，则水的最大深度为________m． 三、解答题（共88分） 19. 解下列方程： （1） （2） 20. 如图，在中，，是绕着点C顺时针方向旋转得到的，此时B、C、E在同一直线上． 求旋转角的大小； 若，，求BE的长． 21. 某厂工业废气年排放量为400万立方米，为改善大气环境质量，决定分二期投入治理，使废气的年排放量减少到256万立方米，如果每期治理中废气减少的百分率相同．求每期减少的百分率是多少？ 22. 如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点．求此二次函数的解析式； 23. 如图，在平面直角坐标系中，将四边形称为“基本图形”，且各点的坐标分别为，，，． （1）画出“基本图形”关于原点对称的四边形，并填出，，，的坐标． ( ， )，( ， )， ( ， )， ( ， ) （2）画出“基本图形”绕点顺时针旋转所成的四边形． 24. 如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E． （1）求证：AB=AC； （2）求证：DE为⊙O的切线； （3）若⊙O半径为5，∠BAC=60°，求DE的长． 25. 已知关于x的方程 （1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 26. 天虹商场以每件元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量件与每件的销售价元满足一次函数关系，当销售单价定为元时，每天可销售件；当销售单价定为元时，每天可销售件． （1）求与的函数关系式； （2）请写出商场卖这种商品每天的销售利润元与每件的销售价元之间的函数关系式； （3）当每件的销售单价定为多少元时，商场每天所获的利润最高？最高利润为多少？ 27. 如下图①，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）抛物线上是否存在点M，使得的面积与的面积相等，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）点在第一象限的抛物线上，连接．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三合初中2025-2026学年第二学期质量检测试题（卷） 九年级数学（150分） 一、选择题 （每小题3分，共30分） 1. 如图图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念和识别． 【详解】根据中心对称图形的概念和识别，可知D是中心对称图形，A、C是轴对称图形，D既不是中心对称图形，也不是轴对称图形． 故选D． 【点睛】本题考查中心对称图形，掌握中心对称图形的概念，会判断一个图形是否是中心对称图形． 2. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，使用移项、直接开平方的方法即可得到结果． 【详解】∵， ∴， 故． 3. 方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 只有一个实数根 C. 没有实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】C 【解析】 【分析】利用根的判别式进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴此方程无实数根． 故选：C． 4. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据关于原点对称的两个点的坐标分别互为相反数计算即可． 【详解】∵点关于原点对称的点的坐标是, 故选A． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握两个点关于原点对称时坐标变化特点：横纵坐标均互为相反数． 5. 二次函数y＝﹣2（x﹣3）2+1的顶点坐标为（　　） A. （﹣3，1） B. （3，﹣1） C. （﹣3，﹣1） D. （3，1） 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的解析式可直接得到顶点坐标． 【详解】解：∵二次函数y＝﹣2（x﹣3）2+1是顶点式， ∴顶点坐标为（3，1）． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，属于基础题，解题的关键是掌握的顶点坐标为． 6. 二次函数y=x2+px+q中，若p+q=0，则它的图象必经过下列四点中( ) A. (－1，1) B. (1，－1) C. (－1，－1) D. (1，1) 【答案】D 【解析】 【分析】将p+q=0代入二次函数，变形得y=x2+p（x-1），若图象一定过某点，则与p无关，令p的系数为0即可． 【详解】∵p+q=0， ∴y=x2+px+q=x2+px-p=x2+p(x-1)， ∵图象必经某点， ∴图像与p的值无关， ∴x-1=0，即x=1， 当x=1时，y=1， ∴它的图象必经过（1，1） 故选D. 【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系，在这里解定点问题，应把p当做变量，令其系数为0进行求解． 7. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，AE=1，则弦CD的长是（ ） A. B. 2 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂径定理，构造直角三角形，连接OC，在RT△OCE中应用勾股定理即可． 【详解】试题解析：由题意连接OC，得 OE=OB-AE=4-1=3， CE=DE= =， CD=2CE=2， 故选B． 8. 如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=25°，则∠D等于（ ） A. 20° B. 30° C. 40° D. 50° 【答案】C 【解析】 【分析】连接OC，由圆周角定理可知，又由DC是⊙O切线，可知，根据直角三角形中两锐角互余，即可求得答案． 【详解】解：连接OC，如下图： ∵， ∴ 又∵DC切⊙O于点C，OC为半径 ∴ ∴是直角三角形 ∴ ∴ 故选：C 【点睛】本题考查切线的性质定理，圆周角定理，以及直角三角形性质，牢记相关知识点，数形结合解题是关键． 9. 关于二次函数的下列结论，正确的是（ ） A. 它的开口方向是向上 B. 当时，随的增大而增大 C. 它的顶点坐标是 D. 当时，有最小值是3 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵二次函数，， ∴该函数图象开口向下，故选项A错误，不符合题意； 当时，y随x的增大而增大，故选项B正确，符合题意； 它的顶点坐标为，故选项C错误，不符合题意； 当时，y有最大值3，故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 10. 如图是二次函数图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线，给出四个结论：①；②；③；④若点B（，）、C（，）为函数图象上的两点，则，其中正确结论是（ ） A. ②④ B. ①④ C. ①③ D. ②③ 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线与x轴的交点情况判断①，根据对称轴判断②，根据抛物线的对称性判断③、④． 【详解】∵抛物线的开口方向向下， ∴a＜0； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故①正确 由图象可知：对称轴， ∴，故②错误； ∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上， ∴c＞0，由图象可知：当x=1时y=0，∴，故③错误； 由图象可知：当x=﹣1时y＞0， ∴点B（，）、C（，）为函数图象上的两点，则，故④正确．故选B． 二、填空题（每小题4分，共32分） 11. 方程的两根分别为__________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程，根据零乘积性质，两个因式的乘积为零，则每个因式可能为零，分别求解即可． 【详解】解：由， 得或， 解得，． 故答案为， 12. 如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，若∠BOC=100°，则∠BAC=______． 【答案】50° 【解析】 【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半得． 【详解】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC=100°， ∴∠BAC=∠BOC=×100°=50°． 故答案为：50°． 【点睛】本题考查圆周角定理，题目比较简单． 13. m是方程的根，则式子的值为_____． 【答案】2018 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解、代数式求值，理解方程的解满足方程是解答的关键． 先由方程的解求得，再整体代入所求代数式中求解即可． 【详解】解：根据题意，将m代入方程可得：， 则原式． 故答案为：2018． 14. 如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为________． 【答案】直线x＝2 【解析】 【分析】根据抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，计算横坐标的和除以2即可得到对称轴． 【详解】∵点（1，0），（3，0）的纵坐标相同， ∴这两点一定关于对称轴对称， ∴对称轴是：x==2， 故答案为：直线x=2． 【点睛】此题考查了抛物线的性质，抛物线上两个点的纵坐标相等时，这两个点关于对称轴对称． 15. 若关于x的一元二次方程x2＋kx＋1＝0有两个相等的实数根，则k的值为_____． 【答案】±2 【解析】 【分析】由关于x的一元二次方程x2＋kx＋1＝0有两个相等的实数根，则 再列方程，解方程可得答案. 【详解】解： 关于x的一元二次方程x2＋kx＋1＝0有两个相等的实数根， 故答案为： 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，掌握“一元二次方程有两个相等的实数根，则”是解题的关键. 16. 将抛物线y=x2-2x向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线解析式为______________． 【答案】y=x2-10x+27． 【解析】 【详解】解：依题意可知，原抛物线顶点坐标为（1，-1）， 平移后抛物线顶点坐标为（-5，2）， 又因为平移不改变二次项系数， ∴所得抛物线解析式为：y=（x-5）2+2．即y=x2-10x+27． 故答案为：y=x2-10x+27． 17. 如图，在中，，将绕着点顺时针旋转后得到，则_________________． 【答案】##100度 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到，，进而求出的度数． 【详解】解：绕着点顺时针旋转后得到， ，， ． 18. 如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果输水管的半径为，水面宽为，则水的最大深度为________m． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是垂径定理的应用及勾股定理． 根据题意可得出，，由勾股定理得出，则水的最大深度． 【详解】解：由题意得，，，， ∴， ∴水的最大深度， 故答案为：． 三、解答题（共88分） 19. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【小问1详解】 解：， 移项，得， 提公因式，得， 则或， ∴； 【小问2详解】 解：， 由， ∵， ∴， ∴． 20. 如图，在中，，是绕着点C顺时针方向旋转得到的，此时B、C、E在同一直线上． 求旋转角的大小； 若，，求BE的长． 【答案】（1）90°；（2）14． 【解析】 【分析】（1）根据题意∠ACE即为旋转角，只需求出∠ACE的度数即可． （2）根据勾股定理可求出BC，由旋转的性质可知CE=CA=8，从而可求出BE的长度． 【详解】解：（1）∵△DCE是△ABC绕着点C顺时针方向旋转得到的，此时点B、C、E在同一直线上， ∴∠ACE=90°，即旋转角为90°， （2）在Rt△ABC中， ∵AB=10，AC=8， ∴BC==6， ∵△ABC绕着点C旋转得到△DCE， ∴CE=CA=8， ∴BE=BC+CE=6+8=14 21. 某厂工业废气年排放量为400万立方米，为改善大气环境质量，决定分二期投入治理，使废气的年排放量减少到256万立方米，如果每期治理中废气减少的百分率相同．求每期减少的百分率是多少？ 【答案】20%． 【解析】 【分析】设每期减少的百分率是x，根据题意列出关于x的一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设每期减少的百分率是x， 根据题意得：400(1﹣x)2＝256， 解得x1＝0.2，x2＝1.8(舍去)， 答：每期减少的百分率为20%． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，读懂题意列出方程是解题的关键． 22. 如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点．求此二次函数的解析式； 【答案】 【解析】 【分析】本根据二次函数图象经过原点得到，再结合图象经过点，进而联立方程求出的值，确定二次函数的解析式． 【详解】解：函数图像经过原点和点， ， 解得：， 二次函数的解析式为． 23. 如图，在平面直角坐标系中，将四边形称为“基本图形”，且各点的坐标分别为，，，． （1）画出“基本图形”关于原点对称的四边形，并填出，，，的坐标． ( ， )，( ， )， ( ， )， ( ， ) （2）画出“基本图形”绕点顺时针旋转所成的四边形． 【答案】（1） 如图所示； ，，，； （2） 如图所示： 【解析】 【分析】本题考查了画中心对称图形，画旋转图形，写出点的坐标； （1）根据坐标系中点关于原点对称的坐标特点，横纵坐标互为相反数，即可得出答案； （2）将图形各顶点逆时针旋转90度即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E． （1）求证：AB=AC； （2）求证：DE为⊙O的切线； （3）若⊙O半径为5，∠BAC=60°，求DE的长． 【答案】 （1）证明：连接AD ∵AB是⊙O的直径 ∴∠ADB=90° 又BD=CD ∴AD是BC的垂直平分线 ∴AB=AC （2）证明：连接OD ∵点O、D分别是AB、BC的中点 ∴OD∥AC 又DE⊥AC ∴OD⊥DE， ∴DE为⊙O的切线 （3）DE=． 【解析】 【分析】（1）连接AD，根据条件证明AD是BC的垂直平分线即可； （2）连接OD，根据三角形中位线定理证得：OD∥AC ，从而证出OD⊥DE即可； （3）根据条件可得△ABC是等边三角形，根据三线合一可得出CD的长，然后在Rt△CDE中利用勾股定理可求出DE的长． 【详解】（1）略 （2）略 （3）∵AB=AC， ∠BAC=60° ∴△ABC是等边三角形 ∵⊙O的半径为5 ∴AB=BC=10， CD=BC=5 又∠C=60°，DE⊥AC ∴∠CDE=90°-60°=30°， ∴CE= ∴ ． 25. 已知关于x的方程 （1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1），； （2）∵， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可； （2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可． 【详解】解：（1）设方程的另一根为x1， ∵该方程的一个根为1， ∴， 解得． ∴a的值为，该方程的另一根为． （2）略 【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根，则x1+x2，x1•x2，要记牢公式，灵活运用． 26. 天虹商场以每件元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量件与每件的销售价元满足一次函数关系，当销售单价定为元时，每天可销售件；当销售单价定为元时，每天可销售件． （1）求与的函数关系式； （2）请写出商场卖这种商品每天的销售利润元与每件的销售价元之间的函数关系式； （3）当每件的销售单价定为多少元时，商场每天所获的利润最高？最高利润为多少？ 【答案】（1）m与x的函数关系式为：； （2） （3）每件的销售单价定为42元时，商场每天所获的利润最高，最高利润为432元 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法解出解析式即可； （2）根据题意列出函数解析式，即可求解； （3）利用二次函数函数的性质求得最值，即可求解． 【小问1详解】 解：把；代入得， ，解得：． 故m与x的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 即销售利润y元与每件的销售价x元之间的函数关系式：； 【小问3详解】 ∵， ∴当时，y的最大值为432， ∴每件的销售单价定为42元时，商场每天所获的利润最高，最高利润为432元． 27. 如下图①，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）抛物线上是否存在点M，使得的面积与的面积相等，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）点在第一象限的抛物线上，连接．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式； （2）先求出点C的坐标，再求出直线的解析式为，进而得到经过原点且与直线平行的直线解析式为，再由平行线间间距相等且和有公共边，因此当点M在直线上时，满足题意，据此联立，解方程即可得到答案； （3）首先根据二次函数的解析式求出点D的坐标，从而得出轴，根据题意得出和全等，得出点G的坐标，利用待定系数法求出直线的函数解析式，然后求出一次函数和二次函数的交点坐标，根据点P在抛物线对称轴的左侧得出点P的坐标． 【小问1详解】 解：把代入中得：， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 在中，当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴经过原点且与直线平行的直线解析式为， ∵的面积与的面积相等， ∴当点M在直线上时，满足题意， 联立，解得或， ∴点M的坐标为或； 【小问3详解】 解：如图，连接，设交y轴于点G， 在中，当时， ， ∴点D的坐标为， 由（2）知点C的坐标为， 轴，， ∵点B的坐标为， ， ， ， 又， ， ， ， ∴点G的坐标为， 设直线的表达式为， 将代入，得，解得， ∴直线的表达式为， 令，解得， ∵点P是抛物线对称轴（直线）左侧的一点，即， ， 把代入抛物线中，得， ∴存在满足题意的点P，点P的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，平行线的性质，全等三角形的性质与判定等等，通过利用待定系数法求出对应的函数解析式，然后联立函数解析式求出交点坐标是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $