精品解析：甘肃白银市第十中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

初三年级数学 一、单选题（共30分，每小题3分，共10题） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 新定义：若四边形一组对边平行且有一组邻边相等，称为“准菱形”．已知平行四边形为准菱形，则该四边形一定是（　　） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 无法确定 3. 近年来，某市大力推进绿色低碳发展，持续优化产业结构，工业能耗稳步下降．2023年规模以上工业综合能源消费量为304.42万吨标准煤，2025年为75.39万吨标准煤．设这两年规模以上工业综合能源消费量的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组线段中，、、、成比例的一组是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 5. 对于线段和，若，则下列式子一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 设计师正在规划一个菱形状的花坛．为了测量花坛的边长，他在对角线交点和一边的中点之间拉了一根测距绳，测得 的长度为米．利用几何知识，你能算出这个菱形花坛的总周长是多少米吗？（ ） A. B. C. D. 7. 如图，小星在完成人工智能设计的计算机任务时，发现屏幕上出现了长为，宽为的矩形，且点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，于是过定点沿直线向矩形射去，如果某时刻射出的直线恰好将矩形分成面积相等的两部分，则该直线与矩形边的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，某单位准备在院内一块长、宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．要使种植花草的面积为，则小道进出口的宽度为（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 宽与长的比是的矩形叫作黄金矩形，帕特农神庙正面轮廓视觉上非常接近黄金矩形，嵌套多层近似黄金矩形，如图，矩形截掉正方形后，剩余的矩形仍是黄金矩形，是，求的长度，设的长度是，根据题意，下列的方程中正确的是（ ） ①；②；③；④． A. ① B. ①③ C. ①②④ D. ①②③④ 10. 如图，正方形中，点，分别是边，上的两个动点，且正方形的周长是周长的倍．连接、分别与对角线交于点、，给出如下几个结论：①若，，则；②；③若，，则；④若，，则，其中正确结论的序号为（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题（共32分，每小题4分，共8题） 11. 若，则______． 12. 中国纸扇历史悠久，其设计中多处暗合黄金分割，能使扇子展开时线条更加流畅、美观．如图，已知，点为线段的黄金分割点，则______（结果保留根号）． 13. 对于实数，，先定义一种新运算“”如下：，若，则实数的值为______． 14. 已知，则的值为_____． 15. 2022年女足亚洲杯在2022年1月20日至2月6日举行，由小组赛和淘汰赛组成．按比赛规则小组赛赛制为单循环赛制（即每个小组的两个球队之间进行一场比赛），在小组赛阶段，中国队凭借着小组赛比赛前几个场次的赢球，成为最先获得八强资格的球队，并在2022年2月6日的亚洲杯决赛中以3∶2战胜韩国女足，获得亚洲杯冠军．已知中国女足队所在的A组共安排了6场比赛，则中国女足所在的A组共有______支球队． 16. 如图，在矩形中，，，若将矩形折叠，使B点与D点重合，则折痕的长为______． 17. 如图，在中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点Q从点B开始沿边以的速度向点C运动，如果P、Q两点同时出发，经过______s，与相似． 18. 新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为_____． 三、解答题（共88分） 19. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 先化简，再求值：从0，1，2，3中选一个适当的数x，代入求值． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求m的值． 22. 如图，在中，点D、E分别在边上，的延长线相交于点F，且 如 （1）求证： （2）当时，求的长 23. 暑期档电影《牛来》和《奥德赛》深受大家喜爱.已知某电影院，2张《牛来》和3张《奥德赛》电影票一共165元，1张《奥德赛》电影票比1张《牛来》电影票贵5元． （1）求《牛来》和《奥德赛》电影票的单价． （2）该电影院按（1）中价格售票，平均每日可以售卖《牛来》电影票50张．据调查发现票价每降价1元销售量会增加5张，但是销售单价不得低于20元．若《牛来》的日销售额想达到1820元，单价应降低多少元? 24. 如图，在矩形中，，相交于点，是的中点，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若矩形的面积为，求的面积． 25. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② （2）已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． （3）已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 26. 【问题提出】 （1）如图1，在中，可知______；（填“＞”“＜”或“＝”） 【问题探究】 （2）如图2，校园劳动实践园里有一块菱形的草莓种植区，其中，E是对角线上的一个浇水点，现在要在的延长线上设一个肥料投放点F，使得，连接，求证：； 【问题解决】 （3）如图3，正方形的香草种植区，其边长，点E在边上，点F在对角线上，且，要沿铺设两条滴灌带．为了节省管材，要使滴灌带总长度最短，求的最小值是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三年级数学 一、单选题（共30分，每小题3分，共10题） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：A、化简得，整理为，不是一元二次方程； B、分母含未知数，是分式方程，不是一元二次方程； C、是一元二次方程； D、含两个未知数，不是一元二次方程． 2. 新定义：若四边形一组对边平行且有一组邻边相等，称为“准菱形”．已知平行四边形为准菱形，则该四边形一定是（　　） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】结合平行四边形的性质和菱形的判定定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平行四边形为准菱形（四边形一组对边平行且有一组邻边相等）， ∴或或或， ∴平行四边形一定是菱形． 3. 近年来，某市大力推进绿色低碳发展，持续优化产业结构，工业能耗稳步下降．2023年规模以上工业综合能源消费量为304.42万吨标准煤，2025年为75.39万吨标准煤．设这两年规模以上工业综合能源消费量的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】年平均下降率为，2023年初始消费量为万吨，经过2年下降后2025年消费量为万吨，第一年下降后的消费量为，第二年在第一年基础上继续下降，最终消费量为 ，即可列出一元二次方程． 【详解】解：设这两年规模以上工业综合能源消费量的年平均下降率为， 根据题意可列方程：． 4. 下列各组线段中，、、、成比例的一组是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】B 【解析】 【分析】利用比例的基本性质，通过验证与是否相等判断四条线段是否成比例． 【详解】解：A、， ，， ， 该组线段不成比例； B、， ，， ， 该组线段成比例； C、， ，， ， 该组线段不成比例； D、， ，， ， 该组线段不成比例． 5. 对于线段和，若，则下列式子一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例性质逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴设，（）， A选项：，，，错误； B选项：，不一定为1，错误； C选项：，错误； D选项：，正确，符合题意． 6. 设计师正在规划一个菱形状的花坛．为了测量花坛的边长，他在对角线交点和一边的中点之间拉了一根测距绳，测得 的长度为米．利用几何知识，你能算出这个菱形花坛的总周长是多少米吗？（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质以及“在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半”求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，是四边形的对角线， ∴， ∵点是线段的中点， ∴ ， ∵， ∴， ∴菱形的周长为． 7. 如图，小星在完成人工智能设计的计算机任务时，发现屏幕上出现了长为，宽为的矩形，且点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，于是过定点沿直线向矩形射去，如果某时刻射出的直线恰好将矩形分成面积相等的两部分，则该直线与矩形边的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的性质，过矩形对称中心的直线将矩形面积平分，先求出矩形的中心坐标，再结合点的坐标求出直线解析式，最后求该直线与边的交点坐标即可． 【详解】解：矩形的长为，宽为，且点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上， 点，点，点，点， 直线将矩形分成面积相等的两部分， 该直线必经过矩形的对称中心（即对角线的中点）， 设矩形中心为点，则点的坐标为，即， 设过点和点的直线解析式为， ，解得， 直线解析式为， 点，点， 线段在直线上， 令，则，解得， 该直线与矩形边的交点坐标为． 8. 如图，某单位准备在院内一块长、宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．要使种植花草的面积为，则小道进出口的宽度为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，通过计算花园总面积与种植花草面积的差值来确定小道所占面积 ，进而通过设置未知数，并根据图形分析建立方程求解． 【详解】解：设小道进出口的宽度为， 根据题意得，， 即， 解得：或（舍） ∴小道进出口的宽度为． 9. 宽与长的比是的矩形叫作黄金矩形，帕特农神庙正面轮廓视觉上非常接近黄金矩形，嵌套多层近似黄金矩形，如图，矩形截掉正方形后，剩余的矩形仍是黄金矩形，是，求的长度，设的长度是，根据题意，下列的方程中正确的是（ ） ①；②；③；④． A. ① B. ①③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【详解】解：设的长度是， 矩形是黄金矩形，是， ，即，故①正确； ，即，故④正确； 四边形是正方形， ， ， 矩形是黄金矩形， ，即，故②正确； ， ，故③正确； 故选：D． 10. 如图，正方形中，点，分别是边，上的两个动点，且正方形的周长是周长的倍．连接、分别与对角线交于点、，给出如下几个结论：①若，，则；②；③若，，则；④若，，则，其中正确结论的序号为（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】对于①，由题干条件容易得出，相加即可；对于②，延长至点，使得，利用“半角”模型与正方形的性质容易证明与，则，，由三角形外角的性质可得；对于③，作于点，连接，，容易证明与，则，，同理，，因此是直角三角形，使用勾股定理计算出即可；对于④，由③可得，，，则，推出，通过导角可得，解直角三角形可计算出． 【详解】解：对于①，正方形的周长是周长的倍， ，即， ， ，， ，故①正确； 对于②，如图，延长至点，使得， 由①可得， ， 四边形是正方形， ，，， ， 在和中， ， ， ，，， 在和中， ， ， ，，， ， ， ， 又，， ， ，故②正确； 对于③，如图，作于点，连接，， 由②可得，，， ， ， 在和中，， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， 同理，， ，， ， 在中，，故③正确； 对于④，由③可得，，， ， 在中，， ， ，，且， ， ，即， ， ， ，即， ，故④错误； 综上，正确的结论为①②③， 故选：C． 二、填空题（共32分，每小题4分，共8题） 11. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据比例的性质求解即可； 【详解】解：由可设，，是非零整数， 则． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了比例的性质应用，准确理解计算是解题的关键． 12. 中国纸扇历史悠久，其设计中多处暗合黄金分割，能使扇子展开时线条更加流畅、美观．如图，已知，点为线段的黄金分割点，则______（结果保留根号）． 【答案】## 【解析】 【分析】根据黄金分割点的定义，较长线段与全长的比值为，结合图形判断出为较长线段，代入的长度进行计算即可． 【详解】解：点为线段的黄金分割点，且由图可知 为较长线段 ． 13. 对于实数，，先定义一种新运算“”如下：，若，则实数的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据新定义，分类计算即可． 本题考查了新定义运算，正确理解运算是解题的关键． 【详解】当时， 变形得， 整理，得， 解得（舍去）． 当时， 变形得， 解得（舍去）． 故答案为：3． 14. 已知，则的值为_____． 【答案】1或 【解析】 【分析】①当时，则，进而得到，据此可得答案；②当时，则，进而得到． 【详解】解：①当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，则． ∴； 综上所述，值为1或． 15. 2022年女足亚洲杯在2022年1月20日至2月6日举行，由小组赛和淘汰赛组成．按比赛规则小组赛赛制为单循环赛制（即每个小组的两个球队之间进行一场比赛），在小组赛阶段，中国队凭借着小组赛比赛前几个场次的赢球，成为最先获得八强资格的球队，并在2022年2月6日的亚洲杯决赛中以3∶2战胜韩国女足，获得亚洲杯冠军．已知中国女足队所在的A组共安排了6场比赛，则中国女足所在的A组共有______支球队． 【答案】4 【解析】 【分析】设中国女足所在的A组共有x支球队，则每支球队需要比赛的场数为场，根据×球队数×每支球队需要比赛的场数=6，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设中国女足所在的A组共有x支球队，根据题意得： ， 解得：，（舍去） 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系，列出方程，是解题的关键． 16. 如图，在矩形中，，，若将矩形折叠，使B点与D点重合，则折痕的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先由折叠的性质知，，可得是等腰三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质可得，，再在中，利用勾股定理算出的长，再在中利用勾股定理计算出的长，进而得到的长，再次利用勾股定理计算出的长，然后证明，继而得到，从而得到的长． 【详解】解：连接，交于点G， 由折叠的性质知，，， 则是等腰三角形， ∵， ∴，， 在中，， ∴， 设，则， 在中：， 则， 解得：， 则， 在中：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 17. 如图，在中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点Q从点B开始沿边以的速度向点C运动，如果P、Q两点同时出发，经过______s，与相似． 【答案】4或 【解析】 【分析】首先在运动过程中，与的公共角始终保持相等， 但另外两组角的对应关系不确定，因此需分情况讨论．然后就每种情况利用相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：设运动时间为t,由题意可知，，， ①当时， 则，即， 解得． ∴经过，． ②当时， 则，即， 解得． ∴经过，． 综上，经过或，与相似． 18. 新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】根据“倍根方程”的定义，设方程的两个根为和（），将方程表示为 ，展开后与原方程比较系数，得到关于的方程，解出的值，再代入关系式求，最后计算代数式的值． 【详解】解：∵方程 是“倍根方程”， ∴设两根为和 （）， 则方程可写为，即， 与原方程比较系数得： ①， ，即②， 将②代入①得：， 两边除以（）：， 即，解得或． ， 当时，由 ②得，此时， ∴． 当 时，由② 得，此时， ∴． 综上，代数式的值为或． 三、解答题（共88分） 19. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， 或， 解得，； 【小问3详解】 解：， ， ， 或， 解得，； 【小问4详解】 解：， ， ， ， ， 解得． 20. 先化简，再求值：从0，1，2，3中选一个适当的数x，代入求值． 【答案】，选择代入，值为 【解析】 【分析】先根据分式运算法则、完全平方公式和平方差公式化简原式，再根据分式有意义的条件确定可代入的的值，代入计算得到结果． 【详解】解： ， 根据分式有意义的条件，得，，， ∴只能选取， 将代入得，原式． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求m的值． 【答案】（1） 即恒成立 无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）通过根的判别式的恒正性证明方程有两个不相等的实数根； （2）由根与系数关系得到的含的代数式，代入求解的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由根与系数的关系： ，， ， ， ， 解得． 22. 如图，在中，点D、E分别在边上，的延长线相交于点F，且 如 （1）求证： （2）当时，求的长 【答案】（1） 证明：∵，且， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； （2）6 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质知识，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定解答． （1）根据相似三角形的判定得出，得出，进而证明，再利用相似三角形的性质证明即可； （2）根据相似三角形的性质得出有关图形之比，进而解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ∴， 即， ∴， ∴． 23. 暑期档电影《牛来》和《奥德赛》深受大家喜爱.已知某电影院，2张《牛来》和3张《奥德赛》电影票一共165元，1张《奥德赛》电影票比1张《牛来》电影票贵5元． （1）求《牛来》和《奥德赛》电影票的单价． （2）该电影院按（1）中价格售票，平均每日可以售卖《牛来》电影票50张．据调查发现票价每降价1元销售量会增加5张，但是销售单价不得低于20元．若《牛来》的日销售额想达到1820元，单价应降低多少元? 【答案】（1）《牛来》和《奥德赛》电影票的单价分别为30元和35元； （2）单价应降低4元． 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程解答即可； （2）设《牛来》电影票单价应降低元，由销售单价不得低于20元确定，再由《牛来》的日销售额想达到1820元列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设《牛来》和《奥德赛》电影票的单价分别为元和元， 由题意得，解得， 答：《牛来》和《奥德赛》电影票的单价分别为30元和35元； 【小问2详解】 解：设《牛来》电影票单价应降低元，， 销售单价不得低于20元， ， 解得． ． 由题意得， 解得，（舍）， 答：单价应降低4元． 24. 如图，在矩形中，，相交于点，是的中点，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若矩形的面积为，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由矩形知，由知，故，又点是的中点，故点是的中点，从而是的中位线，又是的中点，故，故四边形是平行四边形，又，故四边形是菱形； （2）由矩形的面积为得，故，由得，故，从而，． 【小问1详解】 证明：∵在矩形中，，相交于点， 是的中点，， ， ， ， ， 又∵点是的中点， ∴点是的中点， 是的中位线， ， 是的中点， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵矩形的面积为， ， ∵四边形是菱形， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 25. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② （2）已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． （3）已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 【答案】（1）① （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查新定义“差根方程”，一元二次方程的求解、完全平方公式和勾股定理的应用，熟练掌握相关知识，正确理解新的定义是解题的关键． （1）先求解两个方程，再根据“差根方程”定义判断即可； （2）先求解方程得到两个根，根据“差根方程”定义列方程求解即可； （3）利用勾股定理和“差根方程”的定义，结合完全平方公式求出两根之和与两根之积，再写出二次项系数为1的方程即可． 【小问1详解】 解：① 解得：或， ， 是“差根方程”； ② 解得：，， ， ②不是“差根方程”； 【小问2详解】 解：方程 因式分解得：， 解得：，， 方程是“差根方程”， ， ， 或， 解得：或； 【小问3详解】 解： 设、， 是直角三角形，斜边的长为， ， ， 、是“差根方程”的两个实数根， ， ， ， ， ， ， 、是三角形的边长，均为正数， ， 方程二次项系数为1， 所求差根方程为． 26. 【问题提出】 （1）如图1，在中，可知______；（填“＞”“＜”或“＝”） 【问题探究】 （2）如图2，校园劳动实践园里有一块菱形的草莓种植区，其中，E是对角线上的一个浇水点，现在要在的延长线上设一个肥料投放点F，使得，连接，求证：； 【问题解决】 （3）如图3，正方形的香草种植区，其边长，点E在边上，点F在对角线上，且，要沿铺设两条滴灌带．为了节省管材，要使滴灌带总长度最短，求的最小值是多少？ 【答案】（1） （2）证明：如图，作交于点， 在菱形中，，， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 即， ， ， 在和中， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的基本性质：“三角形任意两边之和大于第三边”，即可求解； （2）作交于点，先利用菱形性质以及平行线的性质推导出是等边三角形，再根据全等三角形的判定定理得到，即可得证； （3）过点作，且，连接，先根据全等三角形的判定定理推导出，得到，再根据两点之间线段最短，当点三点共线时，有最小值，过点作交的延长线于，于，利用勾股定理得到的长，即为所求． 【小问1详解】 根据三角形三边关系可知，在中，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，过点作，且，连接， ， ， ， ， ， ， ， 当点三点共线时，有最小值，其值为的长． 过点作交的延长线于，于， 在正方形中，， ， 在中，， ， ， 在正方形中，， ， 四边形是矩形， ， ， 在中，， 则 的最小值是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $