精品解析：江苏南京市第二十九中学2025-2026学年高一上学期1月月考数学试题

高一数学月考 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知全集，，则（ ）. A. B. C. D. 2. 命题，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若，是方程的两个实根，则ab的值等于（ ） A. 2 B. C. 100 D. 4. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 1 B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 若，都是正数，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 7. 函数零点存在的区间为 A. B. C. D. 8. 已知函数若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 若有10个样本数据，由生成一组新的数据，则这组新数据与原数据中一定不相等的量有（ ） A. 极差 B. 众数 C. 中位数 D. 标准差 10. 将函数的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 是的一个对称中心 C. 的单调递增区间为 D. 在上恰有3个零点 11. 已知，则下列等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知，求______. 13. 函数的零点在区间内，则自然数________ 14. 如图，A，B 是单位圆O 上的点，且B 在第二象限，C 是圆O 与x 轴的正半轴的交点，A 点的坐标为，，则________. 四、解答题 15. 已知角的终边经过点，且. （1）求的值； （2）求的值. 16. 已知， （1）设，求解:的值域; （2）的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围. 17. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集为，求，的值； （2）当时，若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围. 18. 用分层随机抽样从某校高二年级800名学生的数学成绩（满分为100分，成绩都是整数）中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个．再将40个男生成绩样本数据分为6组：，绘制得到如图所示的频率分布直方图． （1）估计男生成绩样本数据的第80百分位数； （2）若成绩不低于80分的为“优秀”成绩，用样本的频率分布估计总体，估计高一年级男生中成绩优秀人数； （3）已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，求总样本的平均数和方差． 19. 已知函数与关于直线对称. （1）若，求函数的值域； （2）若方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围； （3）若函数，方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学月考 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知全集，，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的交并补运算即可求解. 【详解】由，， ，则. 故选：C 2. 命题，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定. 【详解】命题，的否定是：，， 故选：A 3. 若，是方程的两个实根，则ab的值等于（ ） A. 2 B. C. 100 D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意，由韦达定理得，解等式即可. 【详解】因为是方程的两个实根 所以 即 所以 故选：C 4. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象求出函数解析式，再代入计算可得. 【详解】由图可知，即，又，所以， 又关于对称，且， 因为且，所以，解得，所以， 所以，解得，所以， 所以. 故选：A 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，则原不等式可转化为，利用单调性求解即可. 【详解】由，得， 设，因为单调递增，单调递减， 所以单调递增，且， 所以，即， 故选：D 6. 若，都是正数，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过条件，将变形成和为定值的形式，利用基本不等式，即可求出最小值. 【详解】因为，又，都是正数，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立． 故选：C． 7. 函数零点存在的区间为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】函数在上单调递增，，的零点所在区间为，故选C. 8. 已知函数若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，作出函数的图象，分析可知关于的方程在内有两个不等的实根，令，利用二次函数的零点分布可得出关于的不等式组，解之即可. 【详解】令，作出函数的图象如下图所示： 因为关于的方程有个不同的实数根， 则关于的方程在内有两个不等的实根， 设，则函数在内有两个不等的零点， 所以，，解得. 故选：A. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 若有10个样本数据，由生成一组新的数据，则这组新数据与原数据中一定不相等的量有（ ） A. 极差 B. 众数 C. 中位数 D. 标准差 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，由极差、众数、中位数和标准差的定义依次分析选项，综合可得答案 【详解】对于A，假设原来数据中，最小，而最大，其极差为， 新数据中，最小的为，最大的为，其极差为，两者相等，A错误； 对于B，设原来数据的众数为m，则新数据的众数为，两者一定不相等，B正确； 对于C，设原来数据的中位数为n，则新数据的中位数为，两者一定不相等，C正确； 对于D，设原来数据的方差为，则新数据的方差为，则两组数据的方差相等，故其标准差也相等，D错误. 故选：BC. 10. 将函数的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 是的一个对称中心 C. 的单调递增区间为 D. 在上恰有3个零点 【答案】AC 【解析】 【分析】先求出，再逐项计算后可得正确的选项. 【详解】对于A，由题设可得，故其最小正周期为， 故A正确. 对于B，，故不是的一个对称中心， 故B错误. 对于C，令，解得， 故的单调递增区间为， 故C正确. 对于D， 由可得， 而时，，故即或， 故D错误. 故选：AC 11. 已知，则下列等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据对数的运算性质及已知可得且，结合指对数关系判断各项正误. 【详解】依题意，，即，则且，故C正确； 对于A，，错误； 对于B，，正确； 对于D，，正确． 故选：BCD 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知，求______. 【答案】##-0.5 【解析】 【分析】先利用诱导公式化简函数解析式，再结合特殊角的三角函数值即可求值得解. 【详解】由， 则 故答案为： 13. 函数的零点在区间内，则自然数________ 【答案】2 【解析】 【分析】根据单调性和零点存在性定理判断零点所在区间即可求得. 【详解】因为定义域为， 又与均在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为，所以， 所以， 所以，所以在上存在唯一零点，所以. 故答案为：2 14. 如图，A，B 是单位圆O 上的点，且B 在第二象限，C 是圆O 与x 轴的正半轴的交点，A 点的坐标为，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角函数的定义结合诱导公式计算即可. 【详解】因为A 点的坐标为， 所以， 又因为， 所以 故. 故答案为： 四、解答题 15. 已知角的终边经过点，且. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由任意角的定义即可求解； （2）由诱导公式及弦化切即可求解； 【小问1详解】 由，可知：， 由任意角余弦定义可得：， 解得：， 所以； 【小问2详解】 . 16. 已知， （1）设，求解:的值域; （2）的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围. 【答案】（1）; （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的性质结合换元法求出单调性，再求解值域即可. （2）利用三角函数的性质求解参数即可. 【小问1详解】 因为，所以， 因为，所以令， 由正弦函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 所以，故， 【小问2详解】 由题意得，所以，可得， 当时，，，即，， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 所以， 即，故. 17. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集为，求，的值； （2）当时，若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围. 【答案】（1），的值分别为，，或，. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解集得出一元二次方程的根，从而求得值； （2）由判别式可得． 【小问1详解】 由题意可知，，1是方程的两根， 所以，， 解得，或，. 故，的值分别为，，或，. 【小问2详解】 当时，， 若在上恒成立，即的图象与轴至多有一个交点， 则， 即，解得， 故的取值范围是. 18. 用分层随机抽样从某校高二年级800名学生的数学成绩（满分为100分，成绩都是整数）中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个．再将40个男生成绩样本数据分为6组：，绘制得到如图所示的频率分布直方图． （1）估计男生成绩样本数据的第80百分位数； （2）若成绩不低于80分的为“优秀”成绩，用样本的频率分布估计总体，估计高一年级男生中成绩优秀人数； （3）已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，求总样本的平均数和方差． 【答案】（1）84 （2）96人； （3）平均数和方差分别为72.5和148． 【解析】 【分析】（1）求出第80百分位数一定位内，利用百分位数的公式计算出答案； （2）求出成绩不低于80分的频率，估计处高二年级男生中成绩优秀人数； （3）求出总样本的平均数，利用整体方差和局部方差的相关公式求出答案. 【小问1详解】 在内的成绩占比为， 在内的成绩占比为， 因此第80百分位数一定位内． 因为，所以估计第80百分位数约是84． 【小问2详解】 成绩不低于80分的频率为， 所以高二年级男生中成绩优秀人数估计为：， 所以估计高二年级男生中成绩优秀人数为96人； 【小问3详解】 设男生成绩样本平均数为，方差为， 女生成绩样本平均数，方差为，总样本的平均数为，方差为， ． ． 所以总样本的平均数和方差分别为72.5和148． 19. 已知函数与关于直线对称. （1）若，求函数的值域； （2）若方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围； （3）若函数，方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）根据函数的对称关系求出，进而求得的值域； （2）构造函数并确定函数的值域规律，将问题转化为，即可求出实数的取值范围； （3）画出的图象，利用换元法，设，数形结合，利用二次方程根的分布，类讨论即可得解. 【小问1详解】 因为函数与关于直线对称， 所以，则， 又，当且仅当时等式成立， 所以函数的值域为. 【小问2详解】 方程有两个不同的实数解，即有两个不同的实数解， 令函数 则当时，单调递增，且； 当时，单调递减，且； 所以要使方程有两个不同的实数解，则，即， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 因为，所以，所以， 又在上单调递增，且， 所以的图象如图所示， 因为有三个不同的实数解， 设，由的图象可得， 当或时，对于一个确定的值，对应一个的值； 当时，对于一个确定的值，对应两个不同的的值， 则有两个根，且一个在上，一个根为0； 或有两个根，且一个在上，一个在上， ①当有两个根，且一个在上，一个根为0时， 因为一个根为0，所以，即， 此时，则另一根为，舍去； ②当有两个根，且一个在上，一个在上时， 令， （i）当一个根在上，一个在上， 则，即，解得， （ii）当一个根在上，一个根为2，则，解得， 此时的另一根为，满足题意， 综上，实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $