精品解析：江苏连云港市东海县白塔高级中学2026-2027学年高一上学期第一次学情检测数学试题

2026―2027学年第一次学情检测 高一数学试题 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则集合的真子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 命题“ 的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 4. 若是实数，则“ 是“的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值，最大值为 B. 有最大值，最大值为 C. 有最小值，最小值为 D. 有最小值，最小值为 8. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知正实数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小值为 C. 的最小值为2 D. 的最大值为 11. 已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12. 若集合，，且，则______． 13. 已知，则的最小值为______. 14. 不等式的解集为，则的取值范围是___________． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）求； （2）求． 16. 设命题:二次函数有两个零点，，使 . （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若与均为假命题，求实数的取值范围. 17. 已知全集，集合或，，. （1）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 18. 为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米. （1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值； （2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求草坪的长、宽各为多少时，整个绿化面积最小，并求出最小值. 19. 已知二次函数，其中. （1）当时，求不等式的解集； （2）若任意时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026―2027学年第一次学情检测 高一数学试题 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则集合的真子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】集合中的元素个数是2，真子集个数是个. 【详解】集合的真子集个数为：. 2. 命题“ 的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题进行求解． 【详解】由全称量词命题的否定为存在量词命题得， 命题“ 的否定是：． 3. 不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【详解】由，得，解得或， 则不等式的解集为或. 4. 若是实数，则“ 是“的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】因为是的真子集， 所以是的必要不充分条件. 5. 集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得解. 【详解】解：图中阴影部分所表示的集合为. 故选：B 6. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用不等式的性质推出结果即可． 【详解】，可得，可得， 并且，可得， .， 可得：. 故选：. 【点睛】本题考查基本不等式以及不等式的性质的应用，考查学生计算能力，属于基础题． 7. 已知，，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值，最大值为 B. 有最大值，最大值为 C. 有最小值，最小值为 D. 有最小值，最小值为 【答案】C 【解析】 【分析】利用已知条件变形得到、，用基本不等式可得. 【详解】已知，因此、，符合基本不等式的使用条件. 对函数变形可得： , 根据基本不等式，对正数有，令，， 代入得： , 当且仅当即时等号成立. 因此，即有最小值. 8. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断二次项系数符号，再由一元二次方程根与系数的关系得到之间的比例关系；将都用含的式子表示，求解新的一元二次不等式得到解集. 【详解】已知一元二次不等式解集为， 不等式大于等于0，解集在两根之间，所以； 方程两根为， 由，得 不等式可化为. 因为，所以，即. 解得或. 故不等式解集为或. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【详解】因为，所以，则，故A，B正确； 因为，所以，故C错误； 若，则不成立，故D错误. 10. 已知正实数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小值为 C. 的最小值为2 D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A：由基本不等式，， 当且仅当时取等号，故最大值为，故A正确； 对于B： 当且仅当，即时取等号， 结合可得当，时，取最小值，最小值为，故B错误； 对于C：，， 所以，当取等号， 最小值为，故C正确； 对于D： 即，当且仅当， 即时取等号，最大值为，故D正确. 11. 已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解集可得判断A、D，再将题设转化为，结合二次函数的性质，应用数形结合的方法判断B、C. 【详解】由题设，不等式，即的解为， ∴，则， ∴，，则A正确，D正确； 原不等式可化为， 令， 由题意可知函数的零点分别为且图象开口向下， 与直线两交点的横坐标分别为，且， 作出函数的大致图象如图所示，    ∴由图知：，，故B错误，C正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12. 若集合，，且，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】利用两个集合相等结合集合元素的互异性求解即可. 【详解】因为集合，所以解得或， 当时不满足集合元素互异性的要求舍去， 当时，， 故答案为：0 13. 已知，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出的范围，根据基本不等式即可求出的最小值. 【详解】，， ， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 14. 不等式的解集为，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次函数的图象与性质，分和，两种情况讨论，即可求解. 【详解】由题意，不等式的解集为， 当时，不等式可化为，此时不等式的解集为，符合题意； 当时，要使得不等式的解集为，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围是. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）求； （2）求． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据并集合的运算可得； （2）由补集的运算可得. 【小问1详解】 由已知，， 得； 【小问2详解】 由，， 得或. 16. 设命题:二次函数有两个零点，，使 . （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若与均为假命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）或; （2）. 【解析】 【分析】（1）将“二次函数有两个零点” 等价转化为 “对应一元二次方程有两个不等实根”，利用判别式建立不等式求解；（2）问先分别求出命题、为假时的取值范围，再通过取交集得到同时满足两个条件的的范围. 【小问1详解】 若命题为真，则二次函数对应的一元二次方程有两个不相等的实数根， 由判别式，解得或， 因此实数的取值范围为或； 【小问2详解】 若为假命题，则方程无两个不等实根，即，解得； 若为假命题，则方程无实数根， 其判别式， 化简得，即，解得， 因为、同时为假，所以， 因此实数的取值范围为. 17. 已知全集，集合或，，. （1）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出的补集，根据必要条件转化为集合包含关系；再利用区间包含列不等式组，求出范围； （2）根据，分空集、非空集两类讨论，最后合并两种情况得到的取值范围. 【小问1详解】 已知集合或，因此. 由“是的必要条件”，可得：若则必有，即. 集合， 则满足， 解得. 【小问2详解】 当，即，解得， 当,此时，要让中没有小于或大于的元素， 需满足：,解得，结合，得， 综上可得. 18. 为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米. （1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值； （2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求草坪的长、宽各为多少时，整个绿化面积最小，并求出最小值. 【答案】（1）16米； （2）长为，宽为米时整个绿化面积最小；最小值为平方米. 【解析】 【分析】（1）设草坪的宽为x米，长为y米，依题意列出不等关系，求解即可； （2）由题可表示出整个绿化面积，然后利用均值不等式，即得最小值. 【小问1详解】 设草坪的宽为x米，长为y米， 由面积均为400平方米，得， 因为矩形草坪的长比宽至少大9米， 所以，所以， 解得， 又，所以， 所以宽的最大值为16米； 【小问2详解】 记整个的绿化面积为S平方米，由题意可得 （平方米） 当且仅当米时，等号成立，此时米， 所以当草坪为长为米，宽为米的矩形时，整个绿化面积的最小，最小值为平方米. 19. 已知二次函数，其中. （1）当时，求不等式的解集； （2）若任意时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式. 【答案】（1） （2）. （3）当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或. 【解析】 【分析】将代入二次函数解析式，转化为一元二次不等式，因式分解后求解不等式； 将恒成立问题分离参数，转化为求二次函数在给定区间上的最大值，进而确定参数的取值范围； 对不等式移项整理，因式分解得到两根，依据两根大小关系分类讨论，求解含参数的一元二次不等式. 【小问1详解】 当时，， 不等式，即， 因式分解得， 解得， 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 由题意得，对任意恒成立， 变形得在时恒成立， 设，， 二次函数开口向下，对称轴为直线， 当时，， 要使恒成立，只需， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 ，即， 整理： ， ， ， 方程的两根为，，对应的二次函数开口向上， ①当时，不等式解集为或， ②当时，不等式为，解集为， ③当时，不等式解集为或， 综上： 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $