精品解析：贵州贵阳市南湖实验中学2026-2027学年高二上学期10月检测数学试题

贵阳市南湖实验中学2026-2027第一学期9月月考 高二数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷第1页至第2页，第II卷第3页至第4页．考试结束后，请将试卷和答题卡一并收回．满分150分，考试时长：120分钟 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题给出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试卷上作答无效． 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是（ ） A. B. C. ） D. 2. 已知空间向量与共线，则（ ） A. -1 B. C. D. 1 3. 设向量，，则　(　) A. B. C. D. 4. 若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ）. A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 如图，在四面体中，分别是的中点，则下列结论中一定正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面 D. 平面 6. 如图，点分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，平面的法向量为，设二面角的大小为，则（ ） A. B. C. D. 7. 设正四面体的棱长为2，是的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 8. 已知，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分，共18分） 9. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. D. 向量在向量上的投影向量为 10. 如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ） A. B. 在底面上的投影是线段的中点 C. 与平面所成角大于 D. 与所成角的余弦值为 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知，，，若，则的值为______. 13. 已知为空间中四点，任意三点不共线，对于平面外一点，，若四点共面，则的值为____________ 14. 如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为______． 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤） 15. 如图，在长方体中，，点与分别是棱与的中点．设，，． （1）用向量、、表示、； （2）判断与是否垂直． 16. 如图，四边形为正方形，平面，，点，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥P-DBE的体积． 17. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别为线段，的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离． 18. 如图，在三棱锥中，，底面，平面平面. （1）求证：平面； （2）点是的中点，求直线与平面所成角的正切值. 19. 如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． （1）证明：； （2）点F满足，求二面角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳市南湖实验中学2026-2027第一学期9月月考 高二数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷第1页至第2页，第II卷第3页至第4页．考试结束后，请将试卷和答题卡一并收回．满分150分，考试时长：120分钟 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题给出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试卷上作答无效． 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是（ ） A. B. C. ） D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据在空间直角坐标系中，两点关于平面对称，纵坐标互为相反数即得. 【详解】在空间直角坐标系中，两点关于平面对称，纵坐标互为相反数， 所以点关于平面对称的点的坐标是. 故选：B. 2. 已知空间向量与共线，则（ ） A. -1 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量共线的条件即可得出答案. 【详解】因为空间向量与共线， 所以，解得，所以. 故选：C 3. 设向量，，则　(　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量夹角余弦公式求解即可. 【详解】因为向量，， 所以 ， 故选：D. 4. 若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ）. A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】要判断一组向量能否构成空间的一个基底，即判断这组向量是否不共面，逐一分析各选项，找出不共面的向量组即可． 【详解】对于A，因为， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故A错误； 对于B，因为， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故B错误； 对于C，假设，，共面，则存在实数，使得， 由于为空间的一个基底，所以可得实数的解为， 但与矛盾，假设不成立，即不共面，能构成空间的一个基底，故C正确； 对于D，因为， 所以共面，不能构成空间的一个基底． 故选：C． 5. 如图，在四面体中，分别是的中点，则下列结论中一定正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面 D. 平面 【答案】C 【解析】 【分析】对于AB选项，若平面、平面成立，则必有、成立，根据题目条件判断这两垂直条件是否成立即可；对于C，由即可得到；对于D，取AC中点H，连接GH，可知面GHF，再和平面EFG比对即可判断． 【详解】对于A，若平面，则，又因为G、F为中点，所以，所以，但由于四面体各侧面形状不定，不一定成立，故A错误； 对于B，若平面，则，所以，但由于四面体各侧面形状不定，不一定成立，故B错误； 对于C，由题意，面EFG，面EFG，所以平面EFG，故C正确； 对于D，取AC中点H，连接GH，则，而面GHF，面GHF，所以面GHF，但显然面GHF与面EFG不是同一平面，且面面，所以平面EFG不成立，故D错误。 故选：C． 6. 如图，点分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，平面的法向量为，设二面角的大小为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可知点分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，， 所以为平面的一个法向量， 因为平面的法向量为， 设二面角的大小为，为锐角， 则． 7. 设正四面体的棱长为2，是的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先表示出，然后利用数量积公式计算. 【详解】 . 故选：B 8. 已知，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用点到直线距离的向量法，即可求解. 【详解】因为，，，则，， 所以点到直线的距离为：. 故选：D 二、多选题（每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分，共18分） 9. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据向量的夹角公式计算即可；对于BC，利用向量垂直及平行的坐标表示验证即可；对于D，根据向量在向量上的投影向量为计算即可. 【详解】对于A，因为，， 所以， 又，所以，所以A错误； 对于B，因为，所以， 故，所以B正确； 对于C，由向量，，，可知，故，所以C正确； 对于D，根据投影向量的定义可知，向量在向量上的投影向量为 ，所以D错误，． 故选：BC. 10. 如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线构造所考虑的线线角后可判断AD的正误. 【详解】设正方体的棱长为， 对于A，如图（1）所示，连接，则， 故（或其补角）为异面直线所成的角， 在直角三角形，，，故， 故不成立，故A错误. 对于B，如图（2）所示，取的中点为，连接，，则，， 由正方体可得平面，而平面， 故，而，故平面， 又平面，，而， 所以平面，而平面，故，故B正确. 对于C，如图（3），连接，则，由B的判断可得， 故，故C正确. 对于D，如图（4），取的中点，的中点，连接， 则， 因为，故，故， 所以或其补角为异面直线所成的角， 因为正方体的棱长为2，故，， ，，故不是直角， 故不垂直，故D错误. 故选：BC. 11. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ） A. B. 在底面上的投影是线段的中点 C. 与平面所成角大于 D. 与所成角的余弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】分别计算和判断A；设中点为，连接，若在底面上的投影是线段的中点应得，计算验证判断B；计算，根据勾股定理判断，则与平面所成角为，再计算判断C；计算以及，再利用向量的夹角公式判断D. 【详解】对于A，由题意， 所以 ， 又因为， 所以，A说法正确； 对于B，设中点为，连接， 则， 若在底面上的投影是线段的中点，则底面， 又底面，则应该有， 因为 ， 故此时与底面不垂直，B说法错误； 对于C，因为，， 所以， ， 在中，，，， 所以，所以， 所以与平面所成角为， 又因为，即， 所以与平面所成角大于，C说法正确； 对于D，因为 ， 所以，D说法正确； 故选：ACD 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知，，，若，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再根据可得，利用空间向量垂直的坐标运算列式可求的值. 【详解】因为，，所以， 由得，又， 所以，解得. 故答案为： 13. 已知为空间中四点，任意三点不共线，对于平面外一点，，若四点共面，则的值为____________ 【答案】4 【解析】 【详解】因为四点共面，且， 所以由共面定理可得，，即. 14. 如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由面面垂直的性质定理结合题意可证得，，两两垂直，以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，分别表示出，，再由异面直线所成角的向量公式代入即可得出答案. 【详解】取的中点，连接，，因为，所以． 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面．又，所以， 可得，，两两垂直，所以以为坐标原点， ，，的方向分别为，，轴的正方向， 建立空间直角坐标系，不妨设，则，，，，所以， ， 所以， 又异面直线所成角的取值范围为， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 故答案为：. 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤） 15. 如图，在长方体中，，点与分别是棱与的中点．设，，． （1）用向量、、表示、； （2）判断与是否垂直． 【答案】（1），； （2）垂直 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的线性运算计算即可； （2）利用空间向量的数量积计算即可； 【小问1详解】 由题意可得：， ； 【小问2详解】 由题设，而， 所以， 即与垂直. 16. 如图，四边形为正方形，平面，，点，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥P-DBE的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）取点是的中点，连接，，易得为平行四边形，根据线面平行的判定即可证平面； （2）应用棱锥的体积公式有，求体积即可. 【详解】（1）证明：取点是的中点，连接，，则，且， ∵且， ∴且， ∴四边形为平行四边形， ∴，面， ∴面． （2）由，而， ∴. 17. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别为线段，的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）证明，得到就是异面直线与所成的角，再在中求解即可； （2）设点D到平面的距离为d，用等体积法求解即可. 【小问1详解】 如图所示，连接，， 因为平面，平面，所以， 因为分别为线段的中点，所以， 所以就是异面直线与所成的角. 在中，， 故异面直线与所成的角的余弦值为； 【小问2详解】 在正方体中，因为分别为线段的中点， 所以，，且平面. 因为， 故三棱锥的体积. 在中，， 因为，所以为直角三角形， 则. 设点D到平面的距离为d， 则三棱锥的体积，解得， 故点D到平面的距离为. 18. 如图，在三棱锥中，，底面，平面平面. （1）求证：平面； （2）点是的中点，求直线与平面所成角的正切值. 【答案】（1）过作于，因为平面平面，平面平面， 又平面，所以平面，又平面，所以， 因为底面，又平面，所以， 又平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）过作于，利用面面垂直的性质可得平面，从而可得，根据条件，利用线面垂直的性质得，再由线面垂直的判定定理，即可证明； （2）根据（1）可得为直线与平面所成的角，结合条件，利用几何关系，求出，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面，所以为直线与平面所成的角， 设，因为，则为的中点，又是的中点， 所以，又易知， 在中，. 19. 如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． （1）证明：； （2）点F满足，求二面角的正弦值． 【答案】（1） 连接，因为E为BC中点，，所以①， 因为，，所以与均为等边三角形， ，从而②，由①②，，平面， 所以，平面，而平面，所以． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意易证平面，从而证得； （2）由题可证平面，所以以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，再求出平面的一个法向量，根据二面角的向量公式以及同角三角函数关系即可解出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 不妨设，，． ，，又，平面平面． 以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 设， 设平面与平面的一个法向量分别为， 二面角平面角为,而， 因为，所以，即有， ，取，所以； ，取，所以， 所以，，从而． 所以二面角的正弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $