2.4等腰三角形的判定定理讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）2026-2027学年浙教版八年级数学上册

2.4等腰三角形的判定定理（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）2026-2027八年级上学期浙教版新教材 目录 一、知识梳理与解读 【知识点一】等腰三角形判定定理（等角对等边） 【知识点二】等边三角形的判定定理 二、题型精析 【题型 1】利用等角对等边判定等腰三角形 【题型 2】根据等角对等边证明边相等 【题型 3】根据等角对等边求边长 【题型 4】格点找/画等腰三角形 【题型 5】等腰三角形性质与判定综合 【题型 6】等边三角形的判定 【题型7】等边三角形的性质与判定综合 三、同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题，每题3分，共30分） （二）填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分） （三）解答题（本大题共9小题，每题8分，共72分） 一、知识梳理与解读 【知识点一】等腰三角形判定定理（等角对等边） 定理内容：在同一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等． 简称：等角对等边． 【要点辨析】性质vs判定 1．性质（等边对等角）：边相等→推角相等，用于已知等腰，求角度、证角相等； 2．判定（等角对等边）：角相等→推边相等、证等腰，用于未知等腰，判定三角形形状． 【要点提示】定理仅适用于同一个三角形，跨三角形边角关系不能使用． 【知识点二】等边三角形的判定定理 判定方法1：三个内角都相等的三角形是等边三角形． 推导：三角形内角和180°，三角相等则每个内角均为60°，三边对应相等，为等边三角形． 判定方法2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 分类推导： ① 若60°为顶角：两底角=（180°−60°）÷2=60°，三角均为60°； ② 若60°为底角：另一底角为60°，顶角=180°−60°−60°=60°，三角均为60°． 【要点提示】仅有一个角为60°的普通三角形，不能判定为等边三角形，必须满足等腰前提． 2、 题型精析 【题型1】利用等角对等边判定等腰三角形 【例题1】（24-25八年级上·浙江温州·期中）下列命题的逆命题是假命题的是（     ） A．等腰三角形的两个底角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．对顶角相等 D．等边三角形的三个角都是 【变式1】（21-22八年级上·浙江杭州·期末）的三边分别是a，b，c，不能判定是等腰三角形的是（    ） A． B． C．， D． 【变式2】（22-23八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知AB=AC，∠B=∠C，则BD与CD相等吗？ 请说明理由． 【变式3】（22-23八年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知中，，以点B为圆心，长为半径的弧分别交于点D，E，连接． (1)写出图中所有的等腰三角形，并说明理由． (2)若，求的度数． 【题型 2】根据等角对等边证明边相等 【例题1】（18-19八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在三角形纸片中，，把三角形纸片沿直线折叠，点落在边上的点处，那么下列等式成立的是（    ）    A． B． C． D． 【变式1】（22-23八年级下·安徽宿州·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点G，F．若，则的值为 _______． 【变式2】（21-22八年级下·广东清远·期中）如图，在中，，，为中点，点在线段上，交于点，． (1)求度数； (2)求的周长． 【变式3】（20-21八年级下·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，分别是和的平分线，且．    (1)求的周长； (2)若，求的度数． 【题型 3】根据等角对等边求边长 【例题1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在等边中，是的平分线，点在的延长线上，连接．若，，则的长为_____． 【变式1】（18-19八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，的平分线相交于点O，过点O，且，分别交于点M、N．则的周长为_______． 【变式2】（2026·甘肃临夏·中考真题）如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于N，若，则线段的长为_____． 【题型 4】格点找/画等腰三角形 【例题1】（23-24八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为面积为1的等腰三角形，则点C的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】（23-24八年级上·浙江杭州·期末）在如图所示的方格图中，点，，，，，，，均在小方格的格点上，以其中三个点为顶点，构成的等腰三角形的个数是（　　） A．12个 B．16个 C．20个 D．24个 【变式2】（23-24八年级上·吉林松原·期中）如图，是格点三角形《顶点在网格线的交点上），每个小正方形的边长均为1．    (1)在图①中画与关于直线对称的； (2)在图②中画，使得，要求与有一个公共角C (3)在图③中以为边画一个等腰． 【变式3】（21-22八年级上·浙江杭州·期中）如图， 在下列网格中， 每个小正方形的边长均为一个单位， 小正方形的顶点称为网格的格点． （1） 图1为8×6网格， 点A，点B在格点上，在网格中画出以一个以AB为一边， 点C在格点上，面积为9的等腰ACB， 此时∠ABC= ． （2）图2为5×3网格，点A，点B在格点上，在网格中找出所有的点C，使得 ABC为等腰三角形，点C在格点上．(在找到的点上标上点C1，C2，C3… ) 【题型 5】等腰三角形性质与判定综合 【例题1】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，把三角形纸片分别沿，所在直线折叠，使得点都与点重合，若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）在中，，，点D在线段上，连结，点B关于直线的对称点为，射线与的延长线相交于点E，当时，线段的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【变式2】（24-25七年级下·上海·阶段检测）已知是等腰一腰上的高，且，则三内角度数为_______． 【变式3】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 【变式4】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图所示，、是的边边上的两点，且， (1)若，求的度数． (2)求证：是等腰三角形． 【题型 6】等边三角形的判定 【例题1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）下列叙述错误的是（    ）． A．有一个外角为的等腰三角形是等边三角形 B．面积相等的两个三角形不一定全等 C．三角形的一条角平分线把三角形的面积分成相等的两部分 D．等腰三角形两腰上的中线相等，两腰上的高相等，两底角的平分线相等 【变式1】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）下列说法正确的是（   ） A．对应角相等的两个三角形是全等三角形 B．一个角等于的三角形是等边三角形 C．等腰三角形两腰上的高相等 D．等腰三角形的角平分线、中线和高重合 【变式2】（24-25八年级上·浙江温州·期中）下列命题的逆命题是假命题的是（     ） A．等腰三角形的两个底角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．对顶角相等 D．等边三角形的三个角都是 【变式3】（22-23八年级上·浙江绍兴·期末）小明同学复习几种三角形的关系时发现，通过增加特殊的边或者角的条件能得到新的三角形，通过小明整理的思维导图，请帮他在括号内处填上一个适当的条件___________．（只需填上一个即可） 【变式4】（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，是的角平分线，，交于点F．已知． (1)求的度数． (2)若点F是的中点，请判断的形状，并说明理由． 【题型7】等边三角形的性质与判定综合 【例题1】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，点P是内部一点，点关于，的对称点分别是，，直线交，于点，，若的周长是15，且，则的长为（    ） A． B． C． D．5 【变式1】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知的大小为，P是内部的一个定点，且，点E、F分别是、上的动点，若周长的最小值等于6，则（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，在纸片中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，点，分别是，上的点，，点，分别是边，上的动点，在点，运动的过程中，的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，等腰，，，则________． 【变式5】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，点是上一点，过点作交于点，延长，交的延长线于点． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，，求的周长． 三、同步检测 一、单选题 1．（14-15八年级上·浙江宁波·期中）下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（    ） A．，， B． C．， D． 2．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在等边中，三个内角的角平分线相交于点，过点作的平行线分别交，于点，．若，则的周长为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·四川广安·期末）如图，已知为内一点，平分，，．若，，则的长为（    ） A．2 B．1.5 C．3 D．6 4．（18-19八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在三角形纸片中，，把三角形纸片沿直线折叠，点落在边上的点处，那么下列等式成立的是（    ）    A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·浙江·阶段检测）如图，在方格中，以为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，点是边的中点，点在边上（不与点，重合），连接．（    ）    A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（23-24八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，过点B作的角平分线的垂线，垂足为F， 交于点G，若，则线段的长为（    ）    A．1 B．2 C． D．3 8．（21-22八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，点F在BC上，，，，则对于以下结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）下列说法正确的是（   ） A．对应角相等的两个三角形是全等三角形 B．一个角等于的三角形是等边三角形 C．等腰三角形两腰上的高相等 D．等腰三角形的角平分线、中线和高重合 10．（21-22八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，则的度数是（    ） A．30° B．35° C．25° D．40° 二、填空题 11．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，平分，，交于点E．若，，则的长为________． 12．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在等边中，是的平分线，点在的延长线上，连接．若，，则的长为_____． 13．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D均为格点，连接，，，，则________． 14．（22-23八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，已知的面积为12，平分，且于点P，则的面积是____． 15．（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，已知射线，以为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，画射线，作，垂足为，则的度数是___________． 16．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知中，．如图，将进行折叠，使点A落在线段上（包括点和点C）设点的落点为，折痕为，当是等腰三角形时，________． 三、解答题 17．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，，，求证：． 18．（20-21八年级下·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，分别是和的平分线，且．    (1)求的周长； (2)若，求的度数． 19．（21-22八年级上·浙江杭州·期中）如图， 在下列网格中， 每个小正方形的边长均为一个单位， 小正方形的顶点称为网格的格点． （1） 图1为8×6网格， 点A，点B在格点上，在网格中画出以一个以AB为一边， 点C在格点上，面积为9的等腰ACB， 此时∠ABC= ． （2）图2为5×3网格，点A，点B在格点上，在网格中找出所有的点C，使得 ABC为等腰三角形，点C在格点上．(在找到的点上标上点C1，C2，C3… ) 20．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，平分，点E是边上一点，连接，交于点F，，延长至一点M，使，连接． (1)求证：． (2)若，求的长． 21．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，在等边三角形中，点D，E分别在边，上，且，过点E作，交的延长线于点F． (1)求的度数； (2)求证：是等腰三角形； (3)若，求的长． 22．（24-25八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，，，点D在边上，、关于所在的直线对称，的角平分线交边于点G，连接． (1)求的度数． (2)设，当为何值时，为等腰三角形？ 23．（22-23八年级上·浙江杭州·期末）如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使． (1)求证：． (2)设的面积为，的面积为，求的值． 24．（22-23八年级上·浙江杭州·阶段检测）在中，点，点分别是边，上的点，且，连接、交于点，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的度数． 25．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，在等腰中，，，是的高，是的角平分线，与交于点．当的大小变化时，的形状也随之改变．． (1)当时，求的度数； (2)设，，求变量与的关系式； (3)当是等腰三角形时，求的度数． 26．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知，等边，为直线上一点，点为直线上一点，且． (1)如图1，若为的中点，，求的长． (2)如图2，若点为上任意一点，过作交于点，探究线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当运动到延长线上，为中点，交于点，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4等腰三角形的判定定理（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）2026-2027八年级上学期浙教版新教材答案解析 二、题型精析 【题型 1】利用等角对等边判定等腰三角形 【例题1】（24-25八年级上·浙江温州·期中）下列命题的逆命题是假命题的是（     ） A．等腰三角形的两个底角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．对顶角相等 D．等边三角形的三个角都是 C 【分析】由平行线的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定，对顶角的定义，逐项判断即可． 【详解】解：A、有两个角相等的三角形是等腰三角形是真命题，故此选项不符合题意； B、两直线平行，内错角相等是真命题，故此选项不符合题意； C、相等的角是对顶角是假命题，故此选项符合题意； D、三个角都是60度的三角形是等边三角形是真命题，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定，对顶角，掌握以上知识点是解题的关键． 【变式1】（21-22八年级上·浙江杭州·期末）的三边分别是a，b，c，不能判定是等腰三角形的是（    ） A． B． C．， D． D 【分析】根据等腰三角形的判定，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：A、因为，，所以，所以是等腰三角形； B、因为 ，所以设，则有两边相等的是等腰三角形； C、因为 ，所以，则，所以是等腰三角形； D、因为，，则，那么， ，不能判定是等腰三角形． 故选：D. 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定，以及三角形内角和定理是解题的关键． 【变式2】（22-23八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知AB=AC，∠B=∠C，则BD与CD相等吗？ 请说明理由． 相等，理由见解析 【分析】连接，得，进一步得出，从而利用等角对等边可得结论． 【详解】解：相等，理由如下： 连接，如图， ∵ ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，证明出是解答本题的关键． 【变式3】（22-23八年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知中，，以点B为圆心，长为半径的弧分别交于点D，E，连接． (1)写出图中所有的等腰三角形，并说明理由． (2)若，求的度数． (1)，，是等腰三角形，理由见解析 (2)45° 【分析】（1）根据可证是等腰三角形；根据，可证是等腰三角形； （2）先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据等腰三角形的性质求出的度数，即可利用三角形外角的性质求出的度数． 【详解】（1）∵， ∴， ∴是等腰三角形； ∵， ∴是等腰三角形； ∴图中所有的等腰三角形有：，，； （2）解：∵， ∴∠，． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，等腰三角形的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟知等腰三角形的性质与判定条件是解题的关键． 【题型 2】根据等角对等边证明边相等 【例题1】（18-19八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在三角形纸片中，，把三角形纸片沿直线折叠，点落在边上的点处，那么下列等式成立的是（    ）    A． B． C． D． D 【分析】根据题意证得，，，由三角形外角的性质及等角对等边 ，据此即可求解． 【详解】∵是由沿直线折叠而成， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质、翻折变换（折叠问题），折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 【变式1】（22-23八年级下·安徽宿州·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点G，F．若，则的值为 _______． 6 【分析】本题考查了三角形的角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定；掌握等腰三角形的判定是解题的关键． 由角平分线与平行线易得，从而得到，同理可得，再根据即可得答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 故答案为：6． 【变式2】（21-22八年级下·广东清远·期中）如图，在中，，，为中点，点在线段上，交于点，． (1)求度数； (2)求的周长． (1) (2)11 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质. （1）根据等腰三角形的性质可得，再由为的中点，可得平分，即可求解； （2）根据，可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴是等腰三角形， ∴， 又∵为的中点， ∴平分， ∴， 故度数为． （2）解∶∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的周长， ∵，， ∴的周长． 【变式3】（20-21八年级下·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，分别是和的平分线，且．    (1)求的周长； (2)若，求的度数． (1) (2) 【分析】（1）证明，得出，将的周长转化为的长，即可求解； （2）根据三角形内角和定理可得，根据角平分线的定义可得，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：∵分别是∠和的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等角对等边，三角形内角和定理，角平分线的意义，平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键． 【题型 3】根据等角对等边求边长 【例题1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在等边中，是的平分线，点在的延长线上，连接．若，，则的长为_____． B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．据此求解即可． 【详解】解：如图：分情况讨论 当为是面积为1的等腰三角形，符合条件的C点有4个． 故选：B 【变式1】（18-19八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，的平分线相交于点O，过点O，且，分别交于点M、N．则的周长为_______． C 【分析】本题考查等腰三角形的判定，正方形的性质等知识，连接，，，，，，然后分五种情形判断可得结论． 【详解】解：连接，，，，，，如图， 类似于的等腰三角形共有4个，类似于的等腰三角形有4个，类似于的等腰三角形有4个，类似于的等腰三角形共有4个，类似于的等腰三角形有4个，共有20个． 故选：C． 【变式2】（2026·甘肃临夏·中考真题）如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于N，若，则线段的长为_____． (1) 解：如图①所示，即为所求． (2) 如图②所示，即为所求． (3) 如图③所示，即为所求． ∵， ∴△ABD是等腰三角形． 【分析】（1）作点C关于直线的对称点，再与点A、B首尾顺次连接即可； （2）根据全等三角形的判定，结合网格作图即可； （3）根据等腰三角形的特点，结合网格作图即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查作图-轴对称变换、全等三角形以及等腰三角形的性质，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和全等三角形的判定． 【题型 4】格点找/画等腰三角形 【例题1】（23-24八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为面积为1的等腰三角形，则点C的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．据此求解即可． 【详解】解：如图：分情况讨论 当为是面积为1的等腰三角形，符合条件的C点有4个． 故选：B 【变式1】（23-24八年级上·浙江杭州·期末）在如图所示的方格图中，点，，，，，，，均在小方格的格点上，以其中三个点为顶点，构成的等腰三角形的个数是（　　） A．12个 B．16个 C．20个 D．24个 C 【分析】本题考查等腰三角形的判定，正方形的性质等知识，连接，，，，，，然后分五种情形判断可得结论． 【详解】解：连接，，，，，，如图， 类似于的等腰三角形共有4个，类似于的等腰三角形有4个，类似于的等腰三角形有4个，类似于的等腰三角形共有4个，类似于的等腰三角形有4个，共有20个． 故选：C． 【变式2】（23-24八年级上·吉林松原·期中）如图，是格点三角形《顶点在网格线的交点上），每个小正方形的边长均为1．    (1)在图①中画与关于直线对称的； (2)在图②中画，使得，要求与有一个公共角C (3)在图③中以为边画一个等腰． (1) 解：如图①所示，即为所求． (2) 如图②所示，即为所求． (3) 如图③所示，即为所求． ∵， ∴△ABD是等腰三角形． 【分析】（1）作点C关于直线的对称点，再与点A、B首尾顺次连接即可； （2）根据全等三角形的判定，结合网格作图即可； （3）根据等腰三角形的特点，结合网格作图即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查作图-轴对称变换、全等三角形以及等腰三角形的性质，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和全等三角形的判定． 【变式3】（21-22八年级上·浙江杭州·期中）如图， 在下列网格中， 每个小正方形的边长均为一个单位， 小正方形的顶点称为网格的格点． （1） 图1为8×6网格， 点A，点B在格点上，在网格中画出以一个以AB为一边， 点C在格点上，面积为9的等腰ACB， 此时∠ABC= ． （2）图2为5×3网格，点A，点B在格点上，在网格中找出所有的点C，使得 ABC为等腰三角形，点C在格点上．(在找到的点上标上点C1，C2，C3… ) （1）如图1所示：此时ACB是等腰直角三角形，∠ABC=45° （2）如图所示： 【分析】（1）根据面积为9的等腰ACB，AB=6，即可作出等腰ACB，进而即可求解； （2）根据等腰三角形的定义，分AB为腰，AB为底，找出第三个顶点位置，即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质和判定，掌握分类讨论思想方法，熟悉网格的结构特征是解题的关键． 【题型 5】等腰三角形性质与判定综合 【例题1】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，把三角形纸片分别沿，所在直线折叠，使得点都与点重合，若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． C 【分析】在中，由三角形内角和定理得到，再由折叠性质得到，，结合等腰三角形性质得到，数形结合表示出，代值求解即可得到答案． 【详解】解：在中，，则， 把三角形纸片分别沿，所在直线折叠，使得点都与点重合，则，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查三角形中求角度，涉及三角形内角和定理、折叠性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟记三角形相关性质、折叠性质是解决问题的关键． 【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）在中，，，点D在线段上，连结，点B关于直线的对称点为，射线与的延长线相交于点E，当时，线段的长为（    ） A．2 B． C．4 D． C 【分析】本题考查了翻折的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质及等边三角形的判定与性质．连接，利用等腰三角形的性质得出，再由翻折的性质得出垂直平分，推导出是等边三角形，进而证明是等边三角形，再利用三角形内角和定理求得，进而求得的值． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， 又∵点B关于直线的对称点为点， ∴垂直平分，则，， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·上海·阶段检测）已知是等腰一腰上的高，且，则三内角度数为_______． 、、或、、或、、 【分析】主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，根据直角三角形两锐角互余求出，再分点A是顶角顶点，点A是底角或顶角顶点3种情况求解． 【详解】解：∵，是等腰腰上的高， ∴， ①如图1，点A是顶角顶点时，顶角为，是，两底角为； ②如图2，点A是底角顶点时，两底角是，顶角； ③如图3，点A是顶角顶点时，顶角，两底角是； 综上所述，等腰三内角度数为、、或、、或、、． 故答案为：、、或、、或、、． 【变式3】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知． (1)求证：； (2)当时，求的度数． (1) ∵， ∴． ∴． ∴． (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质和判定： （1）根据，，即可求得答案； （2）根据，可得，进而可求得． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴，． ∴． ∴． 【变式4】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图所示，、是的边边上的两点，且， (1)若，求的度数． (2)求证：是等腰三角形． (1) (2) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质． （1）根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和即可得到结论； （2）由等边对等角得到，则由三角形外角的性质可推出，则，据此得到，即是等腰三角形． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）略 【题型 6】等边三角形的判定 【例题1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）下列叙述错误的是（    ）． A．有一个外角为的等腰三角形是等边三角形 B．面积相等的两个三角形不一定全等 C．三角形的一条角平分线把三角形的面积分成相等的两部分 D．等腰三角形两腰上的中线相等，两腰上的高相等，两底角的平分线相等 C 【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法，等边三角形的判定方法，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，即可判断． 【详解】解：选项A：有一个外角为，则其相邻内角为．由于是等腰三角形，有两个角相等，若有一个角为，则所有角均为，因此是等边三角形，故A不符合题意； 选项B：面积相等的两个三角形可能底和高组合不同，但形状不同，因此不一定全等，故B不符合题意； 选项C：角平分线平分角，但不一定平分对边，因此分成的两个三角形底边不一定相等，且高相同，故面积不一定相等，故C符合题意； 选项D：等腰三角形两腰相等，由对称性可知两腰上的中线、高以及底角的平分线均相等，故D不符合题意． 故选：C． 【变式1】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）下列说法正确的是（   ） A．对应角相等的两个三角形是全等三角形 B．一个角等于的三角形是等边三角形 C．等腰三角形两腰上的高相等 D．等腰三角形的角平分线、中线和高重合 C 【分析】本题考查全等三角形的判定，等边三角形的判定，等腰三角形的性质．根据相关性质和判定定理逐项判断，即可得出答案． 【详解】解：对应角相等且对应边相等的两个三角形是全等三角形，故A选项说法错误，不合题意； 有两个角等于的三角形是等边三角形，故B选项说法错误，不合题意； 等腰三角形两腰相等，因此两腰上的高也相等，故C选项说法正确，符合题意； 等腰三角形顶角的角平分线与底边的中线和高重合，故D选项说法错误，不合题意； 故选C． 【变式2】（24-25八年级上·浙江温州·期中）下列命题的逆命题是假命题的是（     ） A．等腰三角形的两个底角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．对顶角相等 D．等边三角形的三个角都是 C 【分析】由平行线的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定，对顶角的定义，逐项判断即可． 【详解】解：A、有两个角相等的三角形是等腰三角形是真命题，故此选项不符合题意； B、两直线平行，内错角相等是真命题，故此选项不符合题意； C、相等的角是对顶角是假命题，故此选项符合题意； D、三个角都是60度的三角形是等边三角形是真命题，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定，对顶角，掌握以上知识点是解题的关键． 【变式3】（22-23八年级上·浙江绍兴·期末）小明同学复习几种三角形的关系时发现，通过增加特殊的边或者角的条件能得到新的三角形，通过小明整理的思维导图，请帮他在括号内处填上一个适当的条件___________．（只需填上一个即可） （答案不唯一） 【分析】本题考查等边三角形的判定，根据是等腰三角形，且，结合三边相等的三角形是等边三角形、有一个角是等腰三角形是等边三角形添加条件判定即可得到答案，熟记等边三角形的判定是解决问题的关键． 【详解】解：是等腰三角形，且， 当时，是等边三角形； 当时，是等边三角形； 当时，是等边三角形； 当时，是等边三角形； 当时，是等边三角形； 故答案为：或或或或． 【变式4】（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，是的角平分线，，交于点F．已知． (1)求的度数． (2)若点F是的中点，请判断的形状，并说明理由． (1) (2) 解：是等边三角形，理由： 由（1）得：， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形角平分线的定义，等边三角形的判定； （1）根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得到，即可得到答案； （2）由（1）得：，从而得到，再由点F是的中点，可得，然后根据，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为； （2）略 【题型7】等边三角形的性质与判定综合 【例题1】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，点P是内部一点，点关于，的对称点分别是，，直线交，于点，，若的周长是15，且，则的长为（    ） A． B． C． D．5 D 【分析】本题考查轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握基础知识，并能数形结合是关键．由轴对称的性质知：，，，，证明是等边三角形，求解即可． 【详解】解：连接， 由轴对称的性质知：，，，， ，即， ，， 是等边三角形， 的周长是15， 的长为， 故选：D． 【变式1】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知的大小为，P是内部的一个定点，且，点E、F分别是、上的动点，若周长的最小值等于6，则（    ）    A． B． C． D． A 【分析】此题主要考查了最短路径问题和等边三角形的性质与判定，本题找到点E和F的位置是解题的关键．要使的周长最小，通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决． 设点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，当点E、F在上时，的周长为，此时周长最小，根据可求出的度数． 【详解】解：如图，作点P关于的对称点C，关于的对称点D，连接，交于E，于F．此时，的周长最小． 连接，，，．      ∵点P与点C关于对称， ∴垂直平分， ，，， 同理，可得，，． ，， ． 又的周长为：， ， 是等边三角形， ， ． 故选：A． 【变式2】（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，在纸片中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． D 【分析】本题考查折叠变换的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 连接，过点作于E，于F，可得是等边三角形，得出，运用可证得，得出，再运用三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于E，于F， 则， 由折叠可知，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 即． 故选：D． 【变式3】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，点，分别是，上的点，，点，分别是边，上的动点，在点，运动的过程中，的最小值是（    ） A． B． C． D． B 【分析】本题考查轴对称最短路线问题，等边三角形的判定与性质，两点之间线段最短．作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，，，由对称的性质，得，，，，，，推出的最小值是的长，再证明是等边三角形，即可解决问题． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，，， 则，，，，，， ， 的最小值是的长； ，， ，， 是等边三角形， ， 的最小值是， 故选：B． 【变式4】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，等腰，，，则________． /15度 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．证明为等边三角形，可得，可得的度数，再由等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵等腰，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【变式5】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，点是上一点，过点作交于点，延长，交的延长线于点． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，，求的周长． (1) 是等腰三角形，理由如下： ， ， ， ，， ， ， ， ， 即是等腰三角形； (2) 【分析】本题考查等腰三角形的判定和求三角形的周长，等边三角形的判定和性质，解题关键是利用等腰三角形两腰相等的特点进行边长转换． （1）通过角度转化，证明来证明等腰三角形； （2）根据和是等腰三角形的特点，可推导出，然后再中，可求得的长，从而得出的周长． 【详解】（1）略 （2）解：， ． ， 是等边三角形． 是等腰三角形， ， 在中，， ， ， 的周长为； 3、 同步检测 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B D C C B B C A 1．B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定．由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理，即可求得答案． 【详解】解：A、∵，，， ∴， ∴是等腰三角形；故选项A不符合题意； B、∵ ∴， ∴不是等腰三角形，故选项B符合题意； C、∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故选项C不符合题意； D、∵， ∵， ∴， ∴是等腰三角形，故选项D不符合题意． 故选：B． 2．C 【分析】根据角平分线的定义得，，再根据平行线的性质得，，则，，根据等腰三角形的判定得，，再根据三角形的定义得的周长为：，结合等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，的平分线相交于点P， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的周长为， ∵等边中，， ∴， ∴的周长为． 3．B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造出等腰三角形是解题关键． 延长交于点，证明，得，，然后利用等腰三角形的判定可求出，进而得到． 【详解】解：延长交于点， ∵平分，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 4．D 【分析】根据题意证得，，，由三角形外角的性质及等角对等边 ，据此即可求解． 【详解】∵是由沿直线折叠而成， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质、翻折变换（折叠问题），折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 5．C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判断，解题时需要通过尺规作图，找出第三个顶点的位置．掌握等腰三角形的判定，分情况讨论是解决问题的关键．根据等腰三角形的定义，分别以A、B为圆心，长为半径画圆，两个圆与格点的交点，即可得出第三个顶点的位置． 【详解】解：如图所示，分别以A、B为圆心，长为半径画弧，则圆弧经过的格点、、、、、、即为第三个顶点的位置，故以为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出个． 故选：C． 6．C 【分析】本题考查了三角形的中位线，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的中位线定理，等腰三角形的性质是解答本题的关键． 过点作，过点作于点，得到是的中位线，得到，进而得到，根据等腰三角形的性质，得到，再根据三角形角和边的关系得到答案． 【详解】解：根据题意， 如图，过点作，过点作于点，   点是边的中点， 是的中位线， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 若，则； 若，则； 若，则； 若，则， 故选：． 7．B 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握等腰三角形“三线合一”是解题的关键． 延长交于点E，通过证明，得出，根据平行线的性质得出，则，进而得出，再根据，推出，得出，即可求解． 【详解】解：延长交于点E， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B．    8．B 【分析】由全等三角形的性质可得AC=AF，EF=BC，由等腰三角形的性质可得∠AFC=∠ACF，即可求解． 【详解】∵△ABC≌△AEF， ∴AC=AF，EF=BC，故选项A，C不符合题意， ∵AC=AF ∴∠AFC=∠ACF，故选项D不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 9．C 【分析】本题考查全等三角形的判定，等边三角形的判定，等腰三角形的性质．根据相关性质和判定定理逐项判断，即可得出答案． 【详解】解：对应角相等且对应边相等的两个三角形是全等三角形，故A选项说法错误，不合题意； 有两个角等于的三角形是等边三角形，故B选项说法错误，不合题意； 等腰三角形两腰相等，因此两腰上的高也相等，故C选项说法正确，符合题意； 等腰三角形顶角的角平分线与底边的中线和高重合，故D选项说法错误，不合题意； 故选C． 10．A 【分析】根据题意易证是等边三角形，即得出．再由推出，最后由三角形外角性质即可得出，即得出的大小． 【详解】∵在中，，， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 11．4 【分析】本题考查了等角对等边，平行线的性质以及三角形的角平分线等知识．根据平行线的性质、三角形的角平分线和等腰三角形的判定，求出，即可求出答案． 【详解】解： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为4． 12．4 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角性质，等角对等边． 设，由等边三角形的性质可得，，，再根据三角形外角性质可得，得到，进而列式计算即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形，设， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：4． 13． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．根据平行线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，然后求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 14．6 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的面积．延长交于点E，先证明，得，再根据中线的性质即可得出结果． 【详解】解：延长交于点E，    ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：6． 15．/30度 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，根据作图可得，则是等边三角形，根据等边三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ， 是等边三角形， ， ， ， 故答案为：． 16．或90或45 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定与翻折变换，找出特殊点与，分别重合时的两点是解决问题的关键． 根据等腰三角形的判定可以得出，存在不同的边之间相等，有，，，然后利用三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：将进行折叠，使点落在线段上（包括点和点，设点的落点为，折痕为，当是等腰三角形时， 点可能的位置共有：①当点与点点）重合时， ∵， ∴， 由折叠的性质可知：，，， ∴， ，此时是等腰三角形，且； ②当点与点点）重合时，点与点重合， ，，， ，，是等腰三角形， ∴； ③如图当时，是等腰三角形． ∵． ∴， ∴； 故答案为：或90或45． 17． 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 【分析】连接，根据等边对等角可得，求出，根据等角对等边可得结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等边对等角及等角对等边是解题的关键． 18．(1) (2) 【分析】（1）证明，得出，将的周长转化为的长，即可求解； （2）根据三角形内角和定理可得，根据角平分线的定义可得，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：∵分别是∠和的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等角对等边，三角形内角和定理，角平分线的意义，平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键． 19． （1）如图1所示：此时ACB是等腰直角三角形，∠ABC=45° （2）如图所示： 【分析】（1）根据面积为9的等腰ACB，AB=6，即可作出等腰ACB，进而即可求解； （2）根据等腰三角形的定义，分AB为腰，AB为底，找出第三个顶点位置，即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质和判定，掌握分类讨论思想方法，熟悉网格的结构特征是解题的关键． 20．(1) 证明：∵在中，，平分， ∴， 在和中， ， ∴； (2)18 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． （1）先根据等腰三角形的性质到，再根据全等三角形的判定可证明结论； （2）先根据等腰三角形的性质和对顶角相等得到，再根据全等三角形的性质得到，，证明，推导出，进而利用等角对等边得到，即可求解． 【详解】（1）略． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 21．(1) (2) 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． (3) 【分析】略本题考查等边三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和，等腰三角形的判定与性质，比较基础，难度不大． （1）根据是等边三角形和平行线的性质，可证，再根据三角形内角和为，即可求得． （2）根据题意易证，从而可得到，故此可证为等腰三角形． （3）根据等边三角形的性质可得，再根据，可得，然后由进行求解即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）略 （3）解：由（1）可知， ∴， 又∵， ∴， ∴． 22．(1)； (2)或 【分析】（1）先求出，再利用轴对称性质得，即，再证明，继而得到； （2）为等腰三角形时分三种情况讨论，①当时，②当时，③当时，分别求出即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵、关于所在的直线对称， ∴， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴； （2）解：∵使得为等腰三角形，分三种情况讨论： 令与交点为， ， ①当时， ∴， ∵， ∴在中：， ∴； ②当时， ∴， ∵， ∴， ∴在中：， ∴； ③当时， ∴， ∴， ∴在中：， ∴； 综上所述：当或时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查角平分线定义，轴对称性质，全等三角形判定及性质，等腰三角形性质，外角和定理，内角和定理等． 23．(1) 证明：∵是等边三角形，是中线， ∴，平分． ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． (2) 【分析】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的定义和性质： （1）根据等边三角形中三线合一可得，根据三角形外角的性质和等腰三角形中等边对等角可得，推出，即可证明． （2）和的高相等，面积比等于底边长度之比，结合（1）中证明过程，可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点D作， 则，， 由（1）知， ∴． 24．(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质得到，根据角的和差得到，于是得到结论； （2）根据三角形的内角和得到，推出是等边三角形，求得，根据三角形外角的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：，，， ， ， ， ， 即， 是等腰三角形； （2）解：，， ， ， ， 由（1）知， 是等边三角形， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是熟练掌握三角形的判定定理． 25．(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据等边对等角求出等腰的底角度数，再根据角平分线的定义得到的度数，再根据高的定义得到，从而可得； （2）按照（1）中计算过程，即可得到与的关系，即可得到结果； （3）分①若，②若，③若，三种情况，利用，以及；解出即可得的度数． 【详解】（1）解：，， ， ， ， 平分， ， ； （2），，， ， 由（1）可得：，， ， 即与的关系式为； （3）设，， ①若， 则， 而，， 则有：， 由（2）知， ， 解得：， ； ②若， 则， 由①得：， ， ， ， 解得：， ； ③若， 则，， 由①得：， ， ， ， 解得：，不符合题意， 综上：当 是等腰三角形时，的度数为或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余的性质，高与角平分线的定义等知识，解题的关键关键是找到角之间的等量关系，利用方程思想以及分类讨论的思想解决问题． 26．(1) (2)，理由如下： ， ， ， ，， ， ， 为等边三角形， ， ， ，即， ， ，即， 在中， ， ， ， ； (3) 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，进而根据等边对等角结合三角形外角的性质可得，最后根据等角对等边即可求解； （2）先根据等边对等角结合平行线的性质证明为等边三角形，再结合等边三角形性质推出，然后根据全等三角形性质可证，等量代换即可得证； （3）过作交延长线于点，先证明为等边三角形，再结合等边三角形的性质推出，得出，进而得到的长，证明，得到，即可得解． 【详解】（1）解：为等边三角形， ，， 为的中点， ，， ， ， ， ， ， ； （2）略 （3）解：如图，过作交延长线于点， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为中点， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $