2.6.1 直角三角形（1） 教学设计 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

温州市初中数学课时教学备课（2025年版） 课题： 2.6.1 直角三角形（1） 课型：新授课 设计时间： 2026 年 10 月 10 日 学习核心内容 掌握直角三角形的两个锐角互余的性质定理及其应用.会运用直角三角形的性质定理解决有关图形的论证、计算等问题. 学习目标 评价设计（指向学习目标） 1.进一步认识直角三角形. 2.会用符号和字母表示直角三角形. 3.掌握直角三角形两个锐角互余的性质定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质定理. 猜想证明,培养学生独立思考的能力. 学习过程设计 环节一：引入新课 1、 复习旧知，情境导入 　同学们还记得我们是怎么研究等腰三角形的吗? 我们将三角形的边特殊化得到了等腰三角形,然后研究等腰三角形的边、角、对称性等性质,还学习了等腰三角形的判定及利用性质解决简单的问题. 那么如何研究直角三角形的性质呢? 设计意图：通过新旧知识的衔接,沟通知识之间的联系启发思考。 二、新知讲解 【探究1】 直角三角形的两个锐角互余 仿照探索三角形内角和定理的过程,设计一种方案探索直角三角形中两个锐角的关系. 教师点拨:可以从“测量角度——猜想结论——拼合验证——演绎证明——定理表述”等几个环节加以考虑.同学们先独立思考,然后把你的想法在小组内交流,每组形成一个方案,大家按照这个方案研究直角三角形的两个锐角的关系. 学生活动:在独立思考的基础上,互相交流,优化方案,分工合作完成探索,完成后进行班内展示. 参考步骤如下: (1)测量角度:用量角器分别测量直角三角形的两个锐角的度数,精确到度,看它们是否互余; (2)猜想结论:多次测量后,得到共同的结论“直角三角形的两个锐角互余”; (3)拼合验证:把直角三角形纸片的两个锐角剪下,拼合在一起,看能否组成直角; (4)演绎证明:写出已知、求证,并画图,利用三角形的内角和定理进行证明; 已知:如图2-6-11,在Rt△ABC中,∠C=90°.求证:∠A+∠B=90°. 图2-6-11 证明:因为∠A,∠B,∠C是△ABC的三个内角, 所以∠A+∠B+∠C=180°. 因为∠C=90°, 所以∠A+∠B+90°=180°, 所以∠A+∠B=180°-90°=90°. (5)定理表述:直角三角形的两个锐角互余. 【探究2】 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 已知:如图2-6-12,D是Rt△ABC斜边AB上的一点,BD=CD. 求证:AD=CD. 图2-6-12 证明:因为BD=CD,所以∠B=∠DCB. 因为∠ACB=90°,所以∠A+∠B=90°,∠DCB+∠ACD=90°, 所以∠A=∠ACD,所以AD=CD. 图2-6-13 思考:从本题中,你发现直角三角形斜边上的中线有什么性质? 猜想:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 符号语言:如图2-6-13,因为CD是Rt△ABC斜边上的中线,所以CD=AB. 【知识拓展】 环节三：典例精析 例1　如图2-6-14,一名滑雪运动员沿着倾斜角为30°的斜坡,从A滑行至B,已知AB=200 m.问:这名滑雪运动员的高度下降了多少米? 　 　图2-6-14　　　　　　　　图2-6-15 解:如图2-6-15,作Rt△ABC斜边上的中线CD, 则CD=AD=AB=×200=100(m)(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半). 因为∠B=30°, 所以∠A=90°-∠B=90°-30°=60°(直角三角形的两个锐角互余). 进而可得△ADC是等边三角形, 所以AC=AD=100(m). 答:这名滑雪运动员的高度下降了100 m. 从例1的结果,你能得到什么结论? 师生活动:老师引导学生考虑直角边与斜边的关系,给学生独立思考的时间,并小组讨论,给出求解过程,可以根据直角三角形斜边中线的性质定理和等边三角形的性质求解,鼓励学生,大胆猜想,老师总结. 归纳:直角三角形的性质定理:在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半. 符号语言:如图2-6-16,因为在Rt△ABC中,∠ACB=90°, ∠A=30°, 所以BC=AB. 图2-6-16 环节四：课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.一技术人员用刻度尺(单位：cm)测量某三角形部件的尺寸。如图，已知∠ACB=90°，点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7，则CD的长为(　　) A.3 cm B.3.5 cm C.4.5 cm D.6 cm 2.如图，一根木棍(AB)斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，当木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行时，AB的中点P到点O的距离(　　) A.变大 B.变小 C.先变小后变大 D.不变 选做题： 3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点。若∠C=55°，则∠ABD的度数为　　°。  4.若直角三角形斜边上的高线长与中线长分别为5和6，则它的面积为　　。  【综合拓展类作业】 5.求证：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°。求证：BC=AB。 (1)请用两种方法完成证明。 (2)这个命题的逆命题是　　命题(填“真”或“假”)。  环节五：课堂总结 本节课上,同学们学到了哪些知识?还学到了探索几何知识的哪些方法? 本节课的主要学习内容是直角三角形的两个锐角互余,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半. 学习方法,可以启发学生总结,比如: ①采用类比的方法探索新知; ②通过“测量角度——猜想结论——拼合验证——演绎证明——定理表述”等步骤研究新知; ③利用基本图形特征,应用新知. 作业内容： 【知识技能类作业】 必做题：  1.如图，在△ABC中，若AB=AC=4，∠BAC=150°，则S△ABC的值为(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 选做题： 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，DE⊥AC于点E。若∠A=30°，DE=4 cm，则AB=　　cm，CD=　　cm。  3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，线段DE的两个端点D，E分别在边AC，BC上滑动，且DE=4。若M，N分别是DE，AB的中点，则MN的最小值为　　。  【综合拓展类作业】 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，DE⊥AB于点D，交AC于点E。求证：∠AED=∠DCB。 5.([推理能力]如图，在△ABC中，D是边BC的中点，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是E，F，连结DE，DF。 (1)求证：DE=DF。 (2)若∠A=75°，BC=8，连结EF，求△DEF的面积。 参考答案： 课堂练习： 1.A 2.D 3. 35 4. 30 5.证明：(1)方法一：如答图1，延长BC至点D，使CD=BC，连结AD，则易知∠BCA=∠ACD=90°。 又∵BC=CD，∴AB=AD， ∴∠DAC=∠BAC=30°，∴∠BAD=60°， ∴△ABD为等边三角形， ∴AB=BD， ∴BC=CD=BD=AB。 图1 图2 第9题答图 方法二：如答图2，取AB的中点D，连结DC，则CD=AB=AD=DB， ∴∠DCA=∠A=30°， ∴∠BDC=∠DCA＋∠A=60°， ∴△DBC为等边三角形， ∴BC=DB=AB。 （2）真 作业内容： 1.C 2. 16，8 3. 3 4.证明：∵∠ACB=90°，CD是AB边上的中线， ∴CD=AD=DB，∠A＋∠B=90°， ∴∠B=∠DCB。 ∵DE⊥AB，∴∠A＋∠AED=90°， ∴∠B=∠AED， ∴∠AED=∠DCB。 5.解：(1)∵BE⊥AC，CF⊥AB，D是BC的中点， ∴DE=BC，DF=BC。 ∴DE=DF。 (2)如答图，过点E作EG⊥DF于点G。 ∵∠A=75°， ∴∠ABC＋∠ACB=105°。 易知BD=DF=BC， ∴∠DBF=∠BFD， ∴∠BDF=180°－2∠DBF。 同理∠EDC=180°－2∠BCA， ∴∠FDB＋∠EDC=180°－2∠ABC＋180°－2∠BCA=360°－2×105°=150°， ∴∠EDF=180°－150°=30°。 ∵BC=8，∴DE=4=DF。 又∵∠EGD=90°，∴EG=DE=2， ∴S△DEF=DF·EG=×4×2=4。 作业类别 1. 选用 改编 自编 2. 书面练习类 口头训练类 活动实践类 板书设计：课题 概念 例题 应用 教学反思：在选题上,力求精当,逐步深化,达到提纲挈领、举一反三的效果,提高了课堂教学的效率.在课堂的组织形式上,自主学习与小组合作按需设置,既锻炼了学生的独立思考能力,又培养了团结共享意识.通过具体例题的教学,让学生理解和巩固数学基础知识,把数学理论与实践相结合,掌握数学基础知识理论的用途和方法,从而达到提高学生分析问题、解决问题的能力的目标. 学科网（北京）股份有限公司 $