福建省福州市仓山区福州高级中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

福州高级中学2026-2027学年高三10月适应性考试 数学学科试卷 命卷教师：汤钧 审卷教师：欧敏秀 试卷总分：150分 完卷时间：120分钟 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共有8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. i是虚数单位，则的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，则（ ） A. B. 6 C. D. 8 4. 在平面直角坐标系中，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知随机变量，，若，，则（ ） A. 0.6 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1 6. 已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和4，若该圆台内部存在一个与上下底面和侧面都相切的球，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线：（，）的左右焦点分别为，，过的直线与的左支交于，两点，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象可由曲线向左平移个单位长度得到 C. 的图象关于直线对称 D. 在上的值域为 10. 狄利克雷（Dirichlet）是非常重视概念的数学家，提倡以概念代替直觉，他举出了著名的例子：函数，对于该函数，下列说法正确的是（ ） A. 的值域是 B. 是偶函数 C. 不是增函数 D. ， 11. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯?”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，问塔的顶层有几盏灯.现将该塔各层的灯数按从上到下的顺序依次记为数列，则下列说法正确的是（ ） A. B. 设，则数列的前7项和 C. 从数列中任意取出不同的三项，这三项可能构成等差数列 D. 从该塔中随机抽取两层，使得这两层灯数之积大于1000的取法有10种 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在二项式的展开式中，常数项为___________． 13. 过点作圆的切线，则的方程为________. 14. 已知圆柱的体积为，，是底面圆的圆周上两点，且，点满足，则点到平面距离的最大值为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某校高三年级为了解学生是否喜欢数学课与性别的关系，在高三年级中随机抽取了100名学生进行调查．所有被调查学生需从“喜欢”和“不喜欢”中选择一项，调查数据如下表所示． 喜欢 不喜欢 合计 男生 20 30 50 女生 36 14 50 合计 56 44 100 （1）依据小概率值的独立性检验，分析学生是否喜欢数学课与性别是否有关； （2）从上述接受调查的男生中，按照是否喜欢数学课进行分层随机抽样抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，设抽取的2人中喜欢数学课的人数为随机变量，求的分布列及数学期望． 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 16. 已知的内角、、所对的边、、成等差数列，且. （1）求角的大小； （2）若，求的周长. 17. 设抛物线：的焦点为，为坐标原点，过点的直线交于，两点． （1）证明：点在以为直径的圆上； （2）若，求的面积． 18. 如图，在三棱锥中，平面，，为的中点. （1）求证：平面平面； （2）若，，，且与平面所成角为30°. （ⅰ）当时，求三棱锥的体积； （ⅱ）当取最大值时，求二面角的余弦值. 19. 对于函数，和，，设，若，，且，都有成立，则称是的“从属函数”． （1）若，是的“从属函数”，且是偶函数，求证：也是偶函数； （2）设，，，求证：是的“从属函数”； （3）设是的“从属函数”，且在区间上存在两个零点，，求证：． 福州高级中学2026-2027学年高三10月适应性考试 数学学科试卷 命卷教师：汤钧 审卷教师：欧敏秀 试卷总分：150分 完卷时间：120分钟 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共有8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】AB 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】或 【14题答案】 【答案】## 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）学生是否喜欢数学课与性别有关 （2）的分布列为： 0 1 2 的数学期望为． 【16题答案】 【答案】（1） （2）15 【17题答案】 【答案】（1）证明：设直线的方程为，， 联立，即，则，，， 因为，则，又， 所以，所以，即， 所以点在以为直径的圆上； （2） 【18题答案】 【答案】（1）已知平面，且平面，因此， 又，，平面， 所以平面，又因为平面，所以平面平面. （2）（ⅰ）（ⅱ） 【19题答案】 【答案】（1）因为是偶函数，对于任意，都有， 因为是的“从属函数”，对于任意且，都有， 令，（其中），代入上式得， 因为，所以，而，故必有， 即对任意非零成立，当时，等式显然成立， 所以也是偶函数. （2）对于任意且， ，， 因为，所以，同理， 因此，所以， 故，即成立， 所以是的“从属函数”。 （3）因为是的“从属函数”， 对于任意且，都有， 已知是的两个零点，即，， 所以，故，即， 化简得，即， 令（且），则， 不妨设，令，则，且， 所以，即，解得， 要证明，需证，即， 因为，所以，得，即， 令，求导， 设，则， 所以在上单调递增，且， 当时，，则，在上单调递减，而， 所以时，恒成立，即成立，故， 所以，得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $