精品解析：福建南平市2026-2027学年高三上学期9月月考数学试题

高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据含有量词的命题否定可得. 【详解】含有量词的命题否定规则：①存在量词改成全称量词，全称量词改成存在量词；②否定命题的结论. 因此命题“，”的否定是“，”. 2. 已知函数的导函数为，且的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数的图象判断其在区间上的符号，进而确定原函数的单调性，最后利用单调性比较函数值的大小. 【详解】由的图象可知，当时，的图象位于  轴下方， 即在区间上恒成立， 所以函数在区间上单调递减， 因为， 所以，故D正确. 3. 已知是幂函数，则“”是“的图象经过点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】若，则，则的图象经过点成立。所以“”是“的图象经过点”的充分条件； 若幂函数的图象经过点，则也可以，所以“”不是“的图象经过点”的必要条件. 综上可得：“”是“的图象经过点”的充分不必要条件. 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，即得， 则得， 所以不等式的解集为． 5. 已知集合，，则的子集个数为（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 又圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相交. 所以中有2个元素，所以的子集个数为. 6. 深海发光生物单次发光释放的光能（单位：焦耳）与发光强度等级之间的关系为，则发光强度为级的发光生物单次发光释放的光能约是发光强度为级的发光生物单次发光释放的光能的（ ）（参考数据：） A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 【答案】B 【解析】 【分析】根据所给的函数关系可得，，再由对数的运算性质及对数式化为指数式可得. 【详解】设发光强度为级对应的光能为，发光强度为级对应的光能为， 由，得： 当时： ， 当时： 由对数减法运算性质，，即， 将对数式转化为指数形式得. 所以，因此发光强度级的生物释放的光能约是级的倍. 7. 设函数在上的导函数为，且，则当时，必有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，求导判断函数单调递减，利用比较函数值即可. 【详解】构造函数，则， 因为，所以，又，所以， 所以在上单调递减. 因为，所以，即. 由，得；由，得； 对于与的大小关系无法判断. 8. 的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的运算可得原式等于，利用基本不等式可求出的最大值，即可求得答案. 【详解】由可知， ， 由于，当且仅当时等号成立， 故， 结合，则，故，当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时取等号， 故的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，若，则的值可以是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】BC 【解析】 【分析】先解不等式，得出，再根据元素与集合的关系建立不等式组求解，选择符合范围的选项即可. 【详解】.因为， 所以，解得． 所以的值可以是. 10. 定义两个正数，的运算：，，则（ ） A. B. C. 的最小值为0 D. 当时，的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A：整理可得，结合基本不等式运算求解；对于B：整理可得，，即可判断；对于C：整理可得，，且，进而分析判断；对于D：整理可得，，代入结合基本不等式运算求解. 【详解】对于选项A：因为，且， 又因为，当时，等号成立， 所以，故A正确； 对于选项B：因为，， 所以，故B错误； 对于选项C：因为， 又因为，解得，且，则， 可得， 所以的最小值不是0，故C错误； 对于选项D：因为，则，可得， 又因为， 当时，即时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 11. 已知是定义在R上的偶函数，为奇函数，，且对任意，当时，恒成立，则（ ） A. 的图像关于点对称 B. C. 在上单调递增 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项，由为奇函数得到的图像关于点对称；对于B选项，根据奇偶性得到函数周期为16，进而得到；对于C选项，根据单调性定义可得在上单调递增，再根据周期性与奇偶性得到在上单调递减，进而得到在上单调递减；对于D选项，根据的周期为16得到. 【详解】A选项，由为奇函数，得， 得， 所以的图象关于点对称，A正确． B选项，由是偶函数，得， 结合， 得，即， 即，所以， 所以的周期为16，，B正确． C选项，由题意得在上单调递增， 因为为偶函数，所以在上单调递减． 又的周期为16，所以在上单调递减，C错误． D选项，由的图象关于点对称，所以 ，，， ，， . 由为偶函数可得，，， ，，， ，， 结合上述条件可得， 因为的周期为16，所以 ，D正确 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点处的切线方程为_____________． 【答案】 【解析】 【详解】由题可得，所以曲线在点处的切线方程为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 13. 已知定义域为的函数的图象如图所示，则函数的零点个数为________． 【答案】 【解析】 【分析】将函数的零点个数，转化为在上的图象与函数的图象的交点的个数.结合图象可得. 【详解】因为定义域为，所以的定义域为， 所以的定义域为. 函数的零点个数，即方程在上的实数根的个数， 即方程在上的实数根的个数， 即函数在上的图象与函数的图象的交点的个数. 如图，将定义域为的函数的图象关于原点对称即可得到的图象. 作函数在上的图象，可得该图象与函数的图象有3个交点， 所以函数的零点个数为. 14. 已知函数若，且，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】两段函数均为严格单调递增函数，若 且 ，则两点必然不在同一区间，分情况（1），（2），进行求解. 【详解】当 时，，一次函数单调递增，值域为 ,当 时，，对数函数单调递增，值域为, 两段函数均为严格单调递增函数，若 且 ，则两点必然不在同一区间，下面分类讨论， （1），由 ，得，整理得 ，由，可得， 由得 ， 令 ， ， 当 时，单调递减； 时 ，单调递增， 所以的最小值是，因为，所以，所以 ； （2），由 ，得，即 ，,因为，因此 ，即 ， 由得，, 令 ，求导得 , 当 时，单调递增； 时 ，单调递减， 所以的最大值是 ，因为，所以，所以 ， 综上,则的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的解析式； （2）将的图象向右平移个单位长度后得到奇函数的图象，求． 【答案】（1）； （2）12 【解析】 【分析】（1）方法一：整体法进行求解；方法二：换元法进行求解； （2）方法一：利用求出，进而求出，；方法二：利用求出，进而求出，. 【小问1详解】 方法一：因为， 所以． 方法二：令，则， 得， 所以 【小问2详解】 方法一：由题意得． 因为是奇函数，所以， 即，解得． 故，． 方法二：因为是奇函数，所以，得， 故，． 16. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，先求得集合和，结合集合交集的运算，即可求解； （2）根据补集的运算，求得，结合题意，列出不等式，即可求解. 【小问1详解】 解：由不等式，解得，即， 当时，集合，所以； 【小问2详解】 解：由（1）知：集合，可得或， 又由集合 当时，，所以， 若，则满足，解得， 所以实数的取值范围是． 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若的最小值为，求的最大值． 【答案】（1）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）1 【解析】 【分析】（1）求导，分和两种情况讨论，可求得的单调性； （2）利用（1）可得的最小值为，利用导数可求得的最大值． 【小问1详解】 由，得， 当时，，所以在上单调递增； 当时，令，则，解得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 由（1）可知当时，在上单调递增，所以在上无最小值； 当时，在处取得最小值，， 所以， 求导得， 当时，，所以单调递增， 当时，，所以单调递减， 所以. 18. 已知函数． （1）若，求在上的值域； （2）若对恒成立，求的取值范围； （3）讨论在上的零点个数． 【答案】（1） （2） （3）当或或时，在上的零点个数为1； 当且时，在上的零点个数为2． 【解析】 【分析】（1）当时，为增函数，即可求得值域； （2）经过化简后令，可得到，因，故，即可求得的取值范围； （3）当，则，则，对进行分类讨论，解出上的零点个数即可． 【小问1详解】 当时，易得是增函数， 所以，， 故在上的值域为． 【小问2详解】 ． 令，由，得，得， 由，得，得． 设函数，，要使恒成立，则， 得，即的取值范围为． 【小问3详解】 令，由，得， 设函数，则在上的零点个数等于在上的零点个数． 当时，，令，得，所以在上的零点个数为． 当时，令，得或． ①当，即时，在上的零点个数为． ②当，即时，在上的零点个数为． ③当且，即且时，在上的零点个数为． 综上，当或或时，在上的零点个数为； 当且时，在上的零点个数为． 19. 已知函数． （1）当时，证明：． （2）已知有三个极值点，记为，，． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】（1）证明：当时，，则． 令，得，在上单调递减，令，得，在上单调递增， 所以，即． （2）（ⅰ） （ⅱ）证明：不妨设． 由（ⅰ）知，当时，有三个极值点，且1为其中一个极值点，则， 且，，等式两边取对数并整理得，，． 设，则， 则，则在上单调递减，在上单调递增， 先证，即证，因为，且在上单调递增，所以只需证，即证． 令，， 则， 则在上单调递减，所以，则，则，则． 再证，即证，因为，且在上单调递减，所以只需证，即证． 令，，则，则在上单调递增，所以，则，则，所以． 故 【解析】 【分析】 (1) 消去参数后转化为纯指数函数不等式证明，通过求导研究函数单调性求出最大值，完成不等式放缩证明； (2)(i) 问对原函数求导因式分解后，把三个极值点问题转化为方程有两个不等于 1 的实根，借助数形结合得到参数的取值范围； (ii) 问确定一个极值点为 1，剩余两根做极值点偏移，分别证明两根和大于 2、积小于 1，判断两个因式符号，从而证出乘积小于 0. 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）由，得或， 因为有三个极值点，所以有三个异号零点， 所以关于的方程有两个不等于1的解． 易知不是方程的解，设，则． 令，得或，在，上单调递减，令，得，在上单调递增． 当时，，若，则，若，则． 当时，，若，则，若，则． 所以，即的取值范围是． （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知函数的导函数为，且的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是幂函数，则“”是“的图象经过点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 已知集合，，则的子集个数为（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 8 6. 深海发光生物单次发光释放的光能（单位：焦耳）与发光强度等级之间的关系为，则发光强度为级的发光生物单次发光释放的光能约是发光强度为级的发光生物单次发光释放的光能的（ ）（参考数据：） A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 7. 设函数在上的导函数为，且，则当时，必有（ ） A. B. C. D. 8. 的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，若，则的值可以是（ ） A. B. 1 C. D. 2 10. 定义两个正数，的运算：，，则（ ） A. B. C. 的最小值为0 D. 当时，的最小值为 11. 已知是定义在R上的偶函数，为奇函数，，且对任意，当时，恒成立，则（ ） A. 的图像关于点对称 B. C. 在上单调递增 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点处的切线方程为_____________． 13. 已知定义域为的函数的图象如图所示，则函数的零点个数为________． 14. 已知函数若，且，则的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的解析式； （2）将的图象向右平移个单位长度后得到奇函数的图象，求． 16. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围． 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若的最小值为，求的最大值． 18. 已知函数． （1）若，求在上的值域； （2）若对恒成立，求的取值范围； （3）讨论在上的零点个数． 19. 已知函数． （1）当时，证明：． （2）已知有三个极值点，记为，，． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $