2.8　直角三角形全等的判定 教学设计 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

温州市初中数学课时教学备课（2025年版） 课题：2.8　直角三角形全等的判定 课型：新授课 设计时间： 2026 年 10 月 10 日 学习核心内容 操作探究活动的设计不仅让学生直观地感受了“斜边、直角边”可以确定一个直角三角形的大小和形状,而且也让学生较好地感悟到了“斜边、直角边”可以判定两个直角三角形全等.规范使用“HL”判定定理证明直角三角形全等的书写格式. 学习目标 评价设计（指向学习目标） 1.探索两个直角三角形全等的条件. 2.掌握两个直角三角形全等的判定定理(HL). 3.探索并证明定理:角的内部,到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 1.规范使用“HL”判定定理证明直角三角形全等的书写格式. 2.培养几何推理意识,激发学生的求知欲,感悟几何思维的内涵. 学习过程设计 环节一：引入新课 1、 复习旧知，情境导入 问题1:判定两个三角形全等的方法有哪几种? 问题2:如图2-8-14,已知∠CAB=∠DBA,要使△ACB≌△BDA,还需要添加什么条件?请说明理由. 问题3:若添加条件AD=BC,能否证明△ACB≌△BDA? 图2-8-14 在上面的“回顾”中,如果∠CAB=∠DBA=90°,那么再添加条件AD=BC,能否证明△ACB≌△BDA? 设计意图：回顾所学判定三角形全等的方法,使学生系统地把握前面所学的知识,并为后续问题的探究做铺垫. 二、新知讲解 【探究1】 做一做(小组合作完成) 1.如图2-8-15,已知线段a,c(a<c),直角α. 求作:Rt△ABC,使∠C=∠α,BC=a,AB=c. 图2-8-15 2.小组完成后,让学生比较作出的三角形是否全等. 3.由此你是否能发现判定直角三角形全等的一种“特有”方法?请尝试用规范的数学语言概括你的发现,并证明它的正确性. 【探究2】 证明定理 证明命题:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.(课件展示) 1.分析该命题的条件和结论: 这个命题的条件是　　　　　　　　,结论是　　　　　　　　.  2.先画出图形,再依据图形用符号语言写出“已知”“求证”. 已知:如图2-8-16,在△ABC和△A'B'C'中,∠C=∠C'=Rt∠,AB=A'B',AC=A'C'.求证:Rt△ABC≌Rt△A'B'C'. 图2-8-16 证法一:可以通过勾股定理来证明. 在△ABC中,因为∠C=90°, 所以BC2=AB2-AC2(勾股定理). 同理,B'C'2=A'B'2-A'C'2. 因为AB=A'B',AC=A'C',所以BC=B'C'. 又因为AC=A'C',AB=A'B',所以△ABC≌△A'B'C'(SSS). 师:你还有其他的证明方法吗? 生:利用拼接的方法,把两个三角形组成一个等腰三角形,利用“三线合一”来证. 证法二:如图2-8-17,延长BC至点D,使CD=B'C',连结AD. 图2-8-17 在△ADC和△A'B'C'中, 由AC=A'C'(已知),∠ACD=Rt∠=∠C', 得△ADC≌△A'B'C'(SAS), 故有AD=A'B'(全等三角形的对应边相等). 因为A'B'=AB(已知),所以AD=AB. 又因为AC⊥BD,AC是等腰三角形ABD的高线, 所以BC=DC(等腰三角形三线合一). 而AC=AC(公共边), 可得△ADC≌△ABC(SSS),所以△ABC≌△A'B'C'. 得出定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”). 符号表示: 如图2-8-16,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°, 因为AB=A'B',AC=A'C'(已知), 所以Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(HL). 【知识拓展】 环节三：典例精析 例　已知:如图2-8-18,P是∠AOB内一点,PD⊥OA,PE⊥OB,D,E分别是垂足,且PD=PE. 求证:点P在∠AOB的平分线上. 图2-8-18 分析:要证明点P在∠AOB的平分线上,可以转化为证明射线OP平分∠AOB. 证明:如图2-8-19,作射线OP. 图2-8-19 由PD⊥OA,PE⊥OB(已知),可得∠PDO=∠PEO=Rt∠. 又因为OP=OP(公共边),PD=PE(已知), 所以Rt△PDO≌Rt△PEO(HL),所以∠1=∠2, 即点P在∠AOB的平分线上(角平分线的定义). 由此,我们可得到角平分线性质定理的逆定理: 角的内部,到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 教师提问:角平分线的性质定理是什么? 学生回答:角平分线上的点到角两边的距离相等. 环节四：课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列条件中，不能使两个直角三角形全等的是(　　) A.一条直角边及其对角对应相等 B.斜边和一条直角边对应相等 C.斜边和一锐角对应相等 D.两个锐角对应相等 2.如图，AC⊥BC，BD⊥AD，要根据“HL”证明Rt△ABC与Rt△BAD全等，则还需要添加的条件可以是(　　) A.∠CAB=∠DBA B.AB=BD C.BC=AD D.∠ABC=∠BAD 选做题： 3.如图，已知AB=DC，BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E，F。给出下列条件，①∠B=∠C；②AB∥CD；③BE=CF；④AF=DE。可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF的是　　(填序号)。  【综合拓展类作业】 4.如图，已知线段a和b，a＞b，求作直角三角形ABC，使直角三角形的斜边AB=a，直角边AC=b(用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)。 7.(8分)如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2。求证：Rt△ADE≌Rt△BEC。 环节五：课堂总结 这节课你有什么收获?与你的同伴进行交流,通过今天的学习和对前面三角形全等条件的探求,可知判定直角三角形全等有五种方法. 作业内容： 【知识技能类作业】 必做题：  1.如图，在Rt△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交AB于点F，交AC于点E。分别以点E，F为圆心，大于EF长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点G，作射线AG，交BC于点D。若AC=3，BC=4，则CD的长为(　　) A. B.1 C. D.2 选做题： 2.求证：有一条直角边及斜边上的高线对应相等的两个直角三角形全等(画出图形，写出已知、求证和证明过程)。 【综合拓展类作业】 3.(1)求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等(利用图1，写出已知、求证和证明过程)。 (2)如图2，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACD的平分线相交于点P，连结AP。若∠BAC=62°，求∠PAC的度数。 参考答案： 课堂练习： 1.D 2.C 3. ①②③④ 4.解：如答图所示， △ABC为所求作的直角三角形。 5.证明：∵∠1=∠2，∴DE=EC 在Rt△ADE和Rt△BEC中， ∵ ∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL)。 作业内容： 1.C 2.解：已知：如答图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠ACB=∠A'C'B'=90°，CD⊥AB于点D，C'D'⊥A'B'于点D'，BC=B'C'，CD=C'D'。 求证：△ABC≌△A'B'C'。 证明：∵CD⊥AB于点D，C'D'⊥A'B'于点D'， ∴∠CDB=∠C'D'B'=90°。 在△CDB与△C'D'B'中， ∵ ∴△CDB≌△C'D'B'(HL)， ∴∠B=∠B'。 在△ABC和△A'B'C'中， ∵ ∴△ABC≌△A'B'C'(ASA)。 3.解：(1)已知：如答图1，作∠BAC的平分线，与∠BCA的平分线相交于点F，连结BF。过点F作FG⊥AB于点G，FD⊥BC于点D，FE⊥AC于点E。 求证：∠ABC，∠BCA，∠CAB三个角的平分线相交于点F，且点F到三边的距离相等。 证明：∵∠GAF=∠EAF，FG⊥AB，FE⊥AC， ∴FG=FE。 同理可得FD=FE， ∴FG=FD=FE， ∴点F在∠ABC的平分线上，即BF平分∠ABC， ∴∠ABC，∠BCA，∠CAB三个角的平分线相交于点F，且点F到三边的距离相等。 (2)如答图2，过点P作PN⊥BD于点N，PF⊥BA，交BA的延长线于点F，PM⊥AC于点M。 ∵CP平分∠ACD， ∴PM=PN。 ∵BP平分∠ABC， ∴PF=PN， ∴PF=PM， ∴∠FAP=∠PAC， ∴∠FAC=2∠PAC。 又∵∠FAC＋∠BAC=180°， ∴2∠PAC＋∠BAC=180°。 又∵∠BAC=62°， ∴∠PAC=(180°－∠BAC)=×(180°－62°)=59°。 作业类别 1. 选用 改编 自编 2. 书面练习类 口头训练类 活动实践类 板书设计：课题 概念 例题 应用 教学反思：本节课教学主要是让学生在回顾全等三角形判定方法的基础上,进一步研究直角三角形全等的判定方法,让学生充分认识特殊与一般的关系,加深他们对定理的多层次的理解.在教学过程中,让学生充分体验到实验、观察、比较、猜想、归纳、验证的数学思维方法,一步步培养他们的逻辑推理能力. 学科网（北京）股份有限公司 $