第2章第5讲等腰三角形（2.1～2.4）专题讲义2026-2027学年浙教版八年级数学上册

八年级上册 · 数学（浙教版） 第5讲 等腰三角形(2.1~2.4) (一)图形的轴对称 例题精析 例1 下列交通标志中，属于轴对称图形的是（　） ▸思路点拨 找一条直线把图形对折，若两部分折叠后重合，则为轴对称图形。 ▸过程详解 A ▸总结升华 轴对称图形的关键是寻找对称轴，对称轴可使图形两部分折叠后重合。 变式训练 1. 在以下节水、节能、回收、绿色食品四个标志中，是轴对称图形的是（　） 例2 （将军饮马问题）如图，在中，，，是的两条中线，是线段上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（　） ▸思路点拨 连结，易证点，关于对称，的长，即为最小值。 ▸过程详解 解：如图，连结。因为，是的两条中线，所以。因为，所以，所以，所以。因为，所以当点，，共线时，的值最小，最小值为的长度。故选D。 ▸总结升华 两定一动问题，往往利用轴对称作出一个定点关于直线的轴对称点，连结这个点和另一定点，利用两点之间线段最短或者点到直线垂线段最短求解。 变式训练 2. (1)如图，在方格纸中，画出关于直线对称的图形。(2)在对称轴上画出一点，使得最短。 例3 （周长最短问题）如图，已知，为内部一点，，为射线，上的动点，当的周长最小时，则______。 ▸思路点拨 作两次对称：作点关于的对称点，点关于的对称点，的周长，则当点，，，共线时，周长最短，再根据对称性质，即可求出的度数。 ▸过程详解 解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连结，，，，，连结与交于点，与交于点，连结，，则，，，，所以，所以，，同理，所以，，因为的周长，所以当点，，，共线时，周长最短，，所以，故答案为。 ▸总结升华 对称轴垂直平分连结两个对称点的线段，将三条线段的和转化成两点之间的距离。成轴对称的两个图形是全等图形。 变式训练 3. 如图，点在内，，分别是点关于，的对称点，分别交，于点，。(1)若的周长是10cm，求的长。(2)若，试求的度数。 (二)等腰三角形的性质 例题精析 例4 （与边有关的问题）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（　） ▸思路点拨 分腰长为3、腰长为5，利用等腰三角形的性质以及三角形的三边关系确定出三角形的三边长，据此不难求出周长。 ▸过程详解 解：当3是腰长时，因为，所以3，3，5能组成三角形，此时等腰三角形的周长为(cm)，当5是腰长时，因为，5，5，3能够组成三角形，此时等腰三角形的周长为(cm)，则三角形的周长为11cm或13cm。故选D。 ▸总结升华 等腰三角形有两条边相等，由于腰和底不确定需要分类讨论，同时又要判断是否满足三角形的三边关系。 变式训练 4. 已知一个等腰三角形的两边长度之比为，且周长是18cm，那么第三边的长度为（　） A．2cm B．3cm C．3cm或8cm D．8cm 例5 （与角有关的问题）等腰三角形的两个内角的度数比是，则这个等腰三角形的顶角的度数是（　） ▸思路点拨 等腰三角形顶角和底角不清时，需要分类讨论，再利用三角形内角和求解角度问题。 ▸过程详解 解：在中，设，，分情况讨论：当为底角时，，解得，顶角；当为底角时，，解得，顶角。故这个等腰三角形的顶角度数为或。故选B。 ▸总结升华 等腰三角形中若没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，并注意求得的底角应是锐角，否则舍去。 变式训练 5. 若等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，则顶角的度数是______。 例6 如图，在中，，点在上，，，则的度数为（　） ▸思路点拨 是等腰三角形，可以应用等边对等角得，然后利用三角形外角性质求解。 ▸过程详解 解：，，因为，所以，所以，设，所以，即。因为，所以，故选B。 ▸总结升华 等腰三角形的性质：在一个三角形中，等边对等角。把边相等转化为角相等，利用方程思想，结合三角形外角性质及内角和定理建立方程求解。 变式训练 6. 如图，在中，，点在上，且，则等于（　） A． B． C． D． 例7 （等腰三角形三线合一）已知：如图，，，，在同一直线上，，。求证：。 ▸思路点拨 本题可以作高线，在和中都可以用等腰三角形三线合一的性质解决。 ▸过程详解 方法一(等腰三角形三线合一)：证明：如图，作于点，因为，所以，又因为，所以，所以，即。方法二(三角形全等)：证明：因为，所以，因为，所以，所以，所以(AAS)，所以。 ▸总结升华 等腰三角形是轴对称性图形，对称轴两侧部分的三角形全等，因此利用等腰三角形三线合一的性质可以替代全等的证明，后续看到等腰三角形问题首先想到作出其对称轴。 变式训练 7. 如图，在中，，是边上的中线，于点。求证：。 (三)等腰三角形的判定 例题精析 例8 如图，在中，点在上，点在上，，，与相交于点。试判断的形状，并说明理由。 ▸思路点拨 要判断的形状，可通过判断角的关系得出结论，因此要证，可先证明得到，进而，结论即可成立。 ▸过程详解 解：是等腰三角形。理由如下：在和中，因为，，，所以(AAS)，所以，所以。因为，所以，所以，所以是等腰三角形。 ▸总结升华 当证明两条线段相等时，通常有两种途径：当两线段在同一个三角形中时，可考虑“等角对等边”这一途径；当两线段在两个三角形中时，可通过证明两个三角形全等来解决。 变式训练 8. 在中，是高，，是角平分线，交于点，，。(1)求的度数。(2)求证：。 例9 如图，线段的一个端点在直线上，以为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线上，这样的等腰三角形能画多少个？用直尺与圆规画出相应的等腰三角形。 ▸思路点拨 根据等腰三角形腰的情况分类讨论：①若时，以点为圆心，的长为半径作弧，交直线于和两点；②若时，作的中垂线，交直线于点；③若时，以点为圆心，的长为半径作弧，交直线于点，即可分别得出结论。 ▸过程详解 解：①若时，以点为圆心，的长为半径作弧，交直线于和两点，如图，此时和即为所求等腰三角形；②若时，作的中垂线，交直线于点，如图，此时即为所求等腰三角形；③若时，以点为圆心，的长为半径作弧，交直线于点，如图，此时即为所求等腰三角形；综上，这样的等腰三角形能画4个，，，，就是所求的三角形。 ▸总结升华 此题考查的是作等腰三角形，掌握等腰三角形的定义、垂直平分线的性质和分类讨论的数学思想是解决此题的关键。 变式训练 9. 如图，在小长方形组成的网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，，两点在网格的格点上，若点也在网格的格点上，且是等腰三角形，则满足条件的点的个数是（　） A．2 B．3 C．4 D．5 (四)等边三角形的性质与判定 例题精析 例10 在中，，为线段上一个动点(不与点，重合)，以为一边向的左侧作，使，，过点作的平行线，交直线于点，连结。如图，若，判断的形状并说明理由。 ▸思路点拨 证明，得到，根据，得到，即可得出结论。 ▸过程详解 解：为等边三角形，理由如下：因为，，，所以和为等边三角形，所以，，又因为，，所以(SAS)，所以，因为，所以，因为在中，，所以为等边三角形。 ▸总结升华 本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质证明是解题的关键。 变式训练 10. 在中，，，是边上的高，为直线上的点，且。(1)如图1，当点在边上时，求证：为等边三角形。(2)如图2，当点在的延长线上时，求证：为等腰三角形。 例11 是等边三角形，是边上动点，()，把沿对折，得到。(1)如图1，若，则______°。(2)如图2，点在延长线上，且。①连结，试探究，，之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由；②连结，若，，三点共线，，，求的长。 ▸思路点拨 (1)根据等边三角形的性质得出，根据折叠的性质得出，进而得出，即可求解；(2)①在上取一点，使，连结，通过证明(SAS)，得出，，则，推出是等边三角形，即可得出结论；②通过证明(SAS)，得出，求出，则，最后根据，即可求解。 ▸过程详解 解：(1)因为是等边三角形，所以，因为，所以，所以，因为，所以，故答案为30。(2)①，理由如下：如图1，在上取一点，使，连结，因为是等边三角形，所以，，因为，所以(SAS)，所以，，所以，因为，所以是等边三角形，所以，所以，即；②如图2，因为点，，在同一直线上，即，由折叠知，，，所以，所以，因为，所以(SAS)，所以，由①知，，因为，，所以，所以，所以。 ▸总结升华 本题考查了等边三角形的判定和性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质是解题关键。 变式训练 11. 如图1，已知和都是等边三角形，且，，三点共线，与交于点。(1)证明：。(2)直接写出的度数。(3)如图2，连结，探究，，之间满足的数量关系，并证明。 链接好题 1. 如图，中，，于点，平分，于点，与相交于点，是边的中点，连结与相交于点，下列结论：①；②；③是等腰三角形；④。正确的是（　） A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④ 参考答案 变式训练 1 D 变式训练 2 (1)如图1。(2)连结，与直线的交点即为点，如图2，此时最短。 变式训练 3 (1)因为，分别是点关于，的对称点，所以，，又因为的周长为10cm，即cm，所以cm，即cm。(2)如图，连结，，，因为垂直平分，所以，所以，同理，因为，所以。 变式训练 4 D 变式训练 5 或 变式训练 6 D 变式训练 7 因为，是边上的中线，所以，。因为，所以，所以，，所以，所以。 变式训练 8 (1)因为，，所以。因为，分别是和的平分线，所以，，所以，所以的度数为。(2)证明：因为，所以，所以。因为，所以。 变式训练 9 C 变式训练 10 (1)证明：因为，，所以为等边三角形，所以，因为是边上的高，所以，因为，所以，所以是等边三角形。(2)证明：同(1)可知，所以，因为为等边三角形，所以，所以，所以，即为等腰三角形。 变式训练 11 (1)证明：因为和都是等边三角形，所以，，，所以，即，在和中，因为，，，所以(SAS)，所以。(2)因为，所以，所以。(3)，证明：如图，在上截取，连结，由(1)得，所以，即，在和中，因为，，，所以(SAS)，所以，，所以，所以，所以是等边三角形，所以，所以。 链接好题 1 A 【解析】①因为平分，，所以，因为，在Rt中，，故结论①正确；②因为，，所以是等腰直角三角形，，，在Rt中，，所以，在和中，因为，，，所以(AAS)，所以，在Rt中，，所以，所以，因为，所以，所以；故结论②正确；因为是等腰直角三角形，是边的中点，所以，，在中，，所以，所以，所以是等腰三角形，故结论③正确；④过点作于点，如图，因为平分，，所以，在Rt中，，所以，又因为，，所以，因为，所以，所以，所以，故结论④不正确，综上所述，正确的结论是①②③。故选A。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $