5.4 一次函数的图象与性质 第1课时 教学设计 2026--2027学年浙教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦一次函数的图象与性质核心知识，通过甲、乙赛跑的函数图象导入，复习函数概念与坐标系知识，搭建从常量数学到变量数学的过渡支架，为后续二次函数等学习奠定基础。 此资料以自主探究（如描点画y=2x图象）和问题链推理（如验证点与表达式关系、推导对称函数表达式）为特色，培养几何直观、推理意识与模型意识。例如活动一让学生动手操作掌握两点法，例题解决三点共线问题，助力学生建立数形结合思想，教师可直接使用实例与练习，提升教学效率。

第五章 一次函数 5.4 一次函数的图象与性质 第1课时   一、教材分析 本节课是浙教版八年级上册第五章“一次函数”的核心内容，承接前序“常量与变量”“函数的概念”等知识，是学生从常量数学过渡到变量数学的关键节点.一次函数作为初中阶段三大基本函数的基础，不仅为后续二次函数、反比例函数的学习奠定知识框架，其蕴含的变化与对应思想、数形结合思想，还能帮助学生建立数学建模意识，提升解决实际问题的能力. 教材首先通过甲、乙两人赛跑中路程与时间的函数图象，引导学生认识函数图象能直观反映两个变量之间的对应关系，从而引出对一次函数图象的深入探究.以一次函数y=2x与y=2x+1为例，通过列表、描点、连线等步骤画出函数图象，让学生观察图象上点的特征，进而得出一次函数 y= kx+ b(k，b都为常数，且k≠ 0)的图象是一条直线这一重要结论.接着通过例题，详细讲解了如何画出一次函数的图象，并求出图象与坐标轴的交点坐标，以及如何根据函数图象的对称关系求函数表达式，帮助学生进一步理解和掌握一次函数图象的性质和应用.   二、学情分析 学生在之前已经学习了一次函数的定义、表达式等基础知识，对函数的概念有了一定的认识.同时，在平面直角坐标系的学习中，也掌握了坐标的相关知识，具备了一定的绘图和观察分析能力.然而，一次函数的图象与性质较为抽象，学生可能在理解图象的形状、位置与函数表达式中参数的关系，以及利用图象解决实际问题等方面存在困难.因此，在教学过程中，应注重通过直观的演示、具体的实例和学生的自主探究，帮助学生建立形象思维，加深对知识的理解和掌握.  三、教学目标 1.能够理解一次函数的图象是一条直线，图象上的点与表达式的关系，掌握一次函数图象的画法. 2.能准确求出一次函数图象与坐标轴的交点坐标，能根据函数图象的对称关系求出相应的一次函数表达式. 3.通过观察、分析一次函数的图象，培养学生的观察能力和归纳总结能力. 4.体会到数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣.   四、教学重难点 重点：能够理解一次函数的图象是一条直线，图象上的点与表达式的关系，掌握一次函数图象的画法. 难点：能准确求出一次函数图象与坐标轴的交点坐标，能根据函数图象的对称关系求出相应的一次函数表达式.   五、教学过程 · 复习回顾 根据甲、乙两人赛跑中路程s与时间t的函数图象，你能获取哪些信息？ 根据图象回答下列问题： (1)这是一次几百米的赛跑？ 解： (1)这是一次100米的赛跑. (2)甲、乙两人中谁先到达终点？ 解： (2)甲、乙两人中，甲先到达终点. (3)甲、乙两人所用时间各是多少？ 解： (3)甲、乙两人所用时间各分别是12s和12.5s. 追问：从以上问题的解决中发现函数的图象可以直观地解决一些问题.那么如何才能画出函数的图象呢？ 师生活动：教师展示甲、乙赛跑图象，引导学生观察并提问从图象能获取的信息，学生思考回答问题. 设计意图：通过具体赛跑图象，让学生直观感受函数图象的作用，学会从图象获取信息，加深对函数图象的理解，为讲解新课做铺垫. · 探究新知 活动一：探究一次函数图象的特征和画法 师生活动：教师引导学生观察函数实例，提出画出y=2x图象的任务.学生选择自变量与函数对应值、写出点坐标、画坐标系描点连线.之后教师提问图象特点及点是否在图象上，学生观察回答. 问题1：画出一次函数 y=2x 的图象： 1.选择5对自变量与函数的对应值，完成下表 答： 2.分别以表中 x 的值作点的横坐标，对应的 y 值作纵坐标，得到一组点，写出用坐标表示的这一组点. 3.建立直角坐标系，并在直角坐标系中画出这一组点. 4.连线：把这些点依次连接起来. 以上画函数图象的方法叫做描点法. 画函数图象的步骤： (1)列表； (2)描点； (3)连线. 问题2：1.观察图象，有特殊点吗？经过哪几个象限？ 答：图象是一条经过原点和第一、三象限的直线. 2.点（3，6）在图象上吗？点（10，20)呢?…… 答：坐标满足一次函数y=2x的各点都在直线上. 设计意图：通过自主操作与观察，让学生掌握描点法画函数图象，理解函数图象特征，加深对一次函数的认知. 问题3：画出一次函数y=2x+1的图象 师生活动：教师提出画 y=2x+1图象任务，学生按列表、描点、连线步骤操作.随后教师提问图象上点与表达式关系，学生通过取点验证回答. (1) 列表: (2) 描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点. (3) 连线：把这些点依次连接起来. 图象是一条第一、二、三象限的直线. 问题4：（1）满足表达式y=2x，y=2x+1的x，y所对应的点（x，y）都在所作的函数图象上吗？ 答：满足表达式的x，y所对应的点（x，y）都在所作的函数图象上. （2）在所作的两个图象上各取几个点，分别找出它们的横坐标和纵坐标，并验证它们是否满足各自的表达式. 答：图象上所有的点都满足表达式. 总结：由此可见，一次函数y＝kx＋b(k，b都为常数，且k≠0)可以用直角坐标系中的一条直线来表示，这条直线叫作一次函数y＝kx＋b的图象. 图象上的点与表达式的关系： (1) 函数图象上的任意点(x，y)中的x，y都满足函数表达式； (2) 满足函数表达式的任意一对x，y的值所对应的点(x，y)一定在函数的图象上. 设计意图：让学生通过实践掌握画一次函数图象方法，理解函数图象上点与表达式相互对应的关系，强化对一次函数图象本质的认识. 问题5：是不是画一次函数的图象都要用以上的描点法呢？有没有更简单、更快速的画法呢？ 师生活动：教师提出问题，探讨画一次函数图象是否有更简便方法，引导学生思考.学生根据知识，通过求与坐标轴交点，用两点法画出函数图象，得出交点坐标. 答：因为一次函数的图象是一条直线，根据两点确定一条直线，只要画出图象上的两个点就可以画出函数的图象. 问题6：在同一坐标系中作出下列函数的图象，并求它们与坐标轴的交点坐标：y=3x，y=-3x+2. 解：对于函数y=3x， 取x=0，得y=0，得到点（0，0）； 取x=１，得y=3，得到点（1，3） 过点（0，0），（1，3）画直线，就得到了函数y=3x的图象，其图象与坐标轴的交点是原点（0，0）. 同理，对于函数y=-3x+2， 取x=0，得y=2，得到点（0，2）； 取x=1，得y=－1，得到点（1，－1） 过点(0，2)，(1，－1)画直线，就得到了函数y=-3x+2的图象，如图. 从图象可以看出，它与x轴的交点是(，0)，与y轴交点是(0，2). 两点法 总结：①一次函数y＝kx＋b（k，b都为常数，k≠0）， 当x=0时，y=b，函数图象与y轴的交点是（0，b）. 当y=0时，x= ，函数图象与x轴的交点是（ ，0）. ②正比例函数y=kx（k≠0）的图象必定经过原点（0，0） 设计意图：让学生掌握两点法画一次函数图象，理解一次函数与坐标轴交点的求法，体会数学的简便性，加深对一次函数图象性质的理解. 活动二：探究一次函数图象关于坐标轴的对称 师生活动：教师提出问题7，引导学生分析关于y轴对称的一次函数关系，学生思考并求解函数表达式.接着教师提出问题8，组织学生探讨函数图象关于y轴和x轴对称时表达式间的联系，学生通过代入点坐标推导得出结论. 问题7：已知一个函数的图象与函数y=5x-3的图象关于y轴对称，求这个函数的表达式. 分析：因为函数y=5x-3的图象是直线，所以它关于y轴对称的图象也是直线，即所求的函数也是一次函数. 只需求出函数图象上两个点的坐标，就能确定这个函数的表达式. 解：因为与函数y=5x-3的图象关于y轴对称的图象也是直线，所以这个函数是一次函数，设表达式为y＝kx＋b(k≠0). 如图，点A(0，-3)，B(1，2)是函数y=5x-3的图象上的两点，点A，B关于y轴的对称点是A(0，-3)，B′(-1，2)，因此点A，B′在函数y＝kx＋b的图象上. 将A，B′的坐标代入函数表达式， 得到，解得 所以所求的函数表达式为y=-5x-3. 问题8：想一想，如果函数y＝k1x＋b1与y＝k2x＋b2的图象关于y轴对称，函数的表达式有什么联系?如果两个函数的图象关于x轴对称呢? 答：①若 (x，y) 在y＝k1x＋b1上，其关于y轴对称的点(-x，y)一定在y＝k2x＋b2上. 把(-x，y)代入第二个函数，得y= k2(-x)+ b2，即y= -k2x+ b2，因此，对于任意 x，都有k1x＋b1＝-k2x＋b2 比较等式两边的系数，可得：k1＝-k2，b1＝b2. ②若 (x，y) 在y＝k1x＋b1上，其关于x轴对称的点(x，-y)一定在y＝k2x＋b2上. 把(x，-y)代入第二个函数，得-y= k2x+ b2，即y= -k2x- b2，因此，对于任意 x，都有k1x＋b1＝-k2x＋b2 比较等式两边的系数，可得：k1＝-k2，b1＝-b2. 设计意图：加深学生对函数图象对称性的理解，培养逻辑推理和探究能力，强化对一次函数性质的认识. · 应用新知 【经典例题】 师生活动：教师详细讲解例题，引导学生分析三点是否共线的条件，鼓励学生自主推导函数式并代入数值求解.学生积极思考，尝试推导，得出函数关系式并验证.教师对学生的推导进行点评，指出优点与不足，最后进行总结. 例1 已知直角坐标系中三点A(1，1)，B(-1，3)，C(3，-1).这三点在同一直线上吗？请说明理由. 解：设直线AB所对的一次函数为y=kx+b， 当x=1时，y=1； 当x=-1时，y=3代入 得： 解得：k=-1，b=2 所以函数解析式为 y=-x+2. 当x=3时，y =-x+2=-3+2=-1. 所以C在直线AB上，即A，B，C三点在同一直线上. 设计意图：通过例题讲解与自主推导，加深学生对函数知识的理解，培养其分析问题和解决问题的能力. · 课堂练习 教材练习 1.在同一直角坐标系中画出下列函数的图象，并说出图象之间的位置关系，写出它们与坐标轴的交点坐标. (1)y=x； (2)y=x+2；(1)y=x+2； 解：如图所示： 由图象可知：y=x与y=x+2平行， y=x+2与y=x+2关于y轴对称. y=x与x轴坐标交点为(0，0)， 与y轴坐标交点为(0，0)； y=x+2与x轴坐标交点为(-4，0)，与y轴坐标交点为(0，2)； y=x+2与x轴坐标交点为(4，0)，与y轴坐标交点为(0，2). 2.甲、乙两人在一次跑步中，路程s(m)与时间t(s)的关系如图所示.这次跑步甲、乙各跑了多少米?谁先到达终点?分别求出他们跑步的路程s关于时间t的函数表达式. 解：从图象中可以看出，甲跑了200m， 乙跑了200-20=180(m)，且甲先到达终点. 结合图象设甲的函数表达式为s=kt(k≠0)， 把(27，200)代入s=kt，可得200=27k，解得k=， 所以甲的函数表达式为s=t(0 ≤t≤ 27). 设乙跑步的路程s关于时间t的函数表达式为s=mt+n把(0，20)，(32，200)代入表达式得 ，解得. 所以乙的函数表达式为s=t+20(0 ≤t≤ 32). 师生活动：教师布置课堂练习，引导学生画出函数图象并分析位置关系与交点坐标，对跑步问题，教师启发学生结合图象求解函数表达式.学生动手画图、观察分析，积极讨论，尝试求解函数表达式. 设计意图：通过练习巩固一次函数图象知识，培养学生观察、分析和解决问题的能力，强化数形结合思想. 课堂练习 3.函数y=2x+3的图象是（ ） A.过点（0，3），（0，- 1.5）的直线 B.过点（0，-1.5），（1，5）的直线 C.过点（-1.5，0），（-1，1）的直线 D.过点（0，3），（1.5，0）的直线 分析：根据一次函数的表达式y=2x+3，分别验证每个选项中的点是否在该函数图象上，即点的坐标是否满足函数表达式. 答：C 4.已知函数y=-2x+12，求该函数图象与y轴的交点是（ ， ），与x轴的交点是（ ， ）. 分析：将x=0代入函数y=-2x+12，可得y=12，所以与y轴的交点坐标是(0，12). 将y=0代入函数y=-2x+12，得到0=-2x+12，解得x=6，所以与x轴的交点坐标是(6，0). 故答案为：(0，12)；(6，0). 答：(0，12)；(6，0). 5.已知一次函数的图象与坐标轴交与点（0，1），（1，0），求这个一次函数的解析式是 . 分析：设该一次函数的解析式为y= kx+ b(k、b为常数，k≠ 0).将点(0，1)代入y= kx+ b可得b=1. 再将点(1，0)和b=1代入y= kx+ b可得：k=-1. 所以，这个一次函数的解析式为y= -x+1. 答：y= -x+1. 6.直线y=kx-4与两坐标轴所围成的三角形面积是4，求该直线的解析式． 解：令x=0，则y=-4；令y=0，则x=， 所以直线y=kx-4与两坐标轴的交点分别是（0，-4），（，0）， 所以S=×|-4|×||=4，即k=±2， 所以直线的解析式为y=±2x-4． 师生活动：教师展示课堂练习题目，引导学生分析问题，如通过代入点坐标验证函数图象、求函数与坐标轴交点等.学生独立思考并解答，教师巡视指导，及时纠正错误，最后进行讲解和总结. 设计意图：通过练习巩固一次函数的相关知识，提高学生分析问题和解决问题的能力，强化对函数图象和性质的理解与应用. · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 1.本节课你学到了什么？ 2.一次函数图象的特征是什么？ 3.画一次函数的方法有哪些，步骤是什么？ 设计意图：帮助学生梳理本节课的知识结构，加深学生对所学知识的理解和记忆，让学生明确本节课的重点和难点，为后续学习做好准备． 学科网（北京）股份有限公司 $