2.7.2　探索勾股定理（2） 教学设计 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

温州市初中数学课时教学备课（2025年版） 课题： 2.7.2　探索勾股定理（2） 课型：新授课 设计时间： 2026 年 10 月 10 日 学习核心内容 通过边长之间的关系判断一个三角形是不是直角三角形,熟悉几组勾股数,并会辨析哪些问题应用哪个结论. 学习目标 评价设计（指向学习目标） 1.探索并掌握勾股定理的逆定理. 2.经历一般规律的探索过程,发展学生的抽象思维能力和归纳能力. 3.通过应用直角三角形的判别方法解决实际问题,培养学生应用数学的意识. 1.利用三角形三边的长度判定直角三角形. 2.勾股数的识别及数感的培养. 3.体验生活中数学的应用价值,感受数学与人类生活的密切联系,激发学生学数学、用数学的兴趣. 学习过程设计 环节一：引入新课 1、 复习旧知，情境导入 回答问题: 1.直角三角形的三边长有什么关系? 2.如果一个三角形中有两边长的平方和等于第三边长的平方,那么这个三角形是不是直角三角形? 设计意图：通过复习和设置疑问引入新课,激发学生的探究兴趣. 二、新知讲解 【探究】 勾股定理的逆定理 下面的每组数分别是一个三角形的三边长a,b,c:①5,12,13;②7,24,25;③8,15,17.回答下列问题: 1.这三组数都满足a2+b2=c2吗? 2.分别以每组数为三边长画出三角形,用量角器量一量,它们都是直角三角形吗? 学生分为4人活动小组,每个小组可以任选其中的一组数进行交流. 归纳:勾股定理是通过“形”的状态来反映“数”的关系,而勾股定理的逆定理是通过“数”的关系来反映“形”的状态. 定理 勾股定理 勾股定理的逆定理 内容 直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方 如果三角形中两边长的平方和等于第三边长的平方,那么这个三角形是直角三角形 已知 一个三角形是直角三角形 三角形中两边长的平方和等于第三边长的平方 结论 两条直角边长的平方和等于斜边长的平方 这个三角形是直角三角形 用途 是直角三角形的一个性质 是判定直角三角形的一种方法 【知识拓展】 环节三：典例精析 例1　根据下列条件,分别判断以a,b,c为边的三角形是不是直角三角形. (1)a=7,b=24,c=25; (2)a=,b=1,c=. 解:(1)因为72+242=252, 所以以7,24,25为边的三角形是直角三角形. (2)因为2+2=≠12,也就是较小两边的平方和不等于较大边的平方,可知a,b,c中任何两边的平方和都不等于第三边的平方, 所以以,1,为边的三角形不是直角三角形. 例2　已知△ABC的三条边长分别为a,b,c,且a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(m>n,m,n是正整数).△ABC是直角三角形吗?证明你的判断. 解:△ABC是直角三角形.证明如下: 已知a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(m>n,m,n是正整数), 因为a2+b2=(m2-n2)2+(2mn)2=m4-2m2n2+n4+4m2n2=m4+ 2m2n2+n4=(m2+n2)2=c2, 所以△ABC是直角三角形(勾股定理的逆定理). 利用边的关系判定直角三角形的步骤: (1)找:找出三角形三边中的最长边; (2)算:计算其他两边的平方和与最长边的平方; (3)判:若两者相等,则这个三角形是直角三角形,否则不是. 注意:在推导过程中不能说“在直角三角形中”“直角边”“斜边”,因为还没有确定此三角形是直角三角形. 环节四：课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是(　　) A.6，8，11 B.15，9，17 C.1.5，2，2.5 D.2，4， 2. 如图，在△ABC中，AC=12，BC=16，AB=20，CD是AB边上的中线，则CD的长是(　　) A.4 B.6 C.8 D.10 选做题： 3.如图，在△DEF中，DE=17，EF=30，EF边上的中线DG为8，则△DGF的形状是　　三角形。  【综合拓展类作业】 4.已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，判断下列三角形是否为直角三角形，若是，则判断哪一个角是直角。 (1)a=5，b=7，c=9。 (2)a=2，b=，c=。 5.方格纸中小正方形的顶点叫格点。A和B是格点，位置如图所示。 (1)在图1中确定格点C，使△ABC为直角三角形，画出一个这样的△ABC。 (2)在图2中确定格点D，使△ABD为等腰三角形，画出一个这样的△ABD。 (3)在图2中，满足题(2)条件的格点D有几个？ 环节五：课堂总结 1.通过本节课的学习,你认为一个三角形的三边长在数量上满足怎样的关系时,这个三角形才是直角三角形? 2.请你总结一下,判断一个三角形是不是直角三角形都有哪些方法. 3.通过本节课,你学到了什么?你感受最深的是什么? 作业内容： 【知识技能类作业】 必做题：  1.《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式：a=(m2－n2)，b=mn，c=(m2＋n2)，其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数。下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是(　　) A.3，4，5 B.5，12，13 C.6，8，10 D.7，24，25 选做题： 2.清代数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”。法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献。由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41……根据上述规律，写出第5组勾股数为　　。  【综合拓展类作业】 3.已知：如图，在四边形ABCD中，AB=BC=1，CD=，AD=1，且∠B=90°。试求： (1)∠BAD的度数。 (2)四边形ABCD的面积(结果保留根号)。 4.一艘轮船以16海里/时的速度离开港口O(如图)，向北偏东40°方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度向北偏西的某个方向航行。已知它们离开港口1.5 h后相距30海里(即AB=30海里)，问另一艘轮船航行的方向是北偏西多少度？ 参考答案： 课堂练习： 1.C 2.D 3.直角 4.解：(1)∵a=5，b=7，c=9， ∴a2＋b2=74，c2=81， ∴a2＋b2≠c2， ∴△ABC不是直角三角形。 (2)∵a=2，b=，c=， ∴a2＋b2=7=c2， ∴△ABC是直角三角形，∠C是直角。 5.解：(1)画出△ABC如答图1所示(答案不唯一)。 　 第7题答图 (2)画出△ABD如答图2所示(答案不唯一)。 (3)如答图2，有4个。 作业内容： 1.C 2. 11，60，61 3.解：(1)如答图，连结AC。 第10题答图 ∵AB=BC=1，∠B=90°， ∴AC=。 又∵AD=1，DC=， ∴()2=12＋()2， 即CD2=AD2＋AC2， ∴∠DAC=90°。 ∵AB=BC=1， ∴∠BAC=∠BCA=45°， ∴∠BAD=90°＋45°=135°。 (2)由(1)可知△ABC和△ADC是直角三角形， ∴S四边形ABCD=S△ABC＋S△ADC =×1×1＋×1× =。 4.解：由题意，得OA=16×1.5=24(海里)，OB=12×1.5=18(海里)，AB=30海里， ∴OA2＋OB2=AB2， ∴△OAB是直角三角形，∠AOB=90°。 又∵∠AOD=40°， ∴∠BOD=∠AOB－∠AOD=50°。 答：另一艘轮船航行的方向是北偏西50°。 作业类别 1. 选用 改编 自编 2. 书面练习类 口头训练类 活动实践类 板书设计：课题 概念 例题 应用 教学反思：注重引导学生积极参与实验活动,从中体验任何一个数学结论的发现总是要经历观察、归纳、猜想和验证的过程,同时遵循“特殊→一般→特殊”的发展规律.通过练习,加强对勾股定理及直角三角形判定方法的认识及应用. 学科网（北京）股份有限公司 $