2.7.1　探索勾股定理（1） 教案 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

温州市初中数学课时教学备课（2025年版） 课题： 2.7.1　探索勾股定理（1） 课型：新授课 设计时间： 2026 年 10 月 10 日 学习核心内容 　用面积法进行勾股定理的推导.进一步加深学生对勾股定理的理解和应用,也让学生知道如何将所学知识应用到具体的实际问题. 学习目标 评价设计（指向学习目标） 1.体验勾股定理的探索过程. 2.掌握勾股定理. 3.会用勾股定理解决简单的几何问题. 在探索勾股定理的过程中,体验获得成功的快乐;通过介绍勾股定理在中国古代的研究,激发学生对祖国悠久文化历史的热爱,激励学生发奋学习. 学习过程设计 环节一：引入新课 1、 复习旧知，情境导入 相传2500多年前,毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时,发现朋友家用地砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系(显示图片). 图2-7-6 问题1:请同学们一起来观察图中的图案,正方形地砖被对角线分割成什么三角形? 学生活动:观察、听取老师讲述的故事,从中发现图案中每个正方形地砖被分割成四个等腰直角三角形. 问题2:以等腰直角三角形的三边为边向外作正方形,如图2-7-7,观察这三个正方形,你发现了什么? 图2-7-7 学生活动:与同伴合作探讨,可以发现:SA=SB,SC=SA+SB,即以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和,等于以斜边为边长的大正方形的面积. 问题3:若等腰直角三角形的直角边长为m,斜边长为n,则它的三边有什么关系? 生:两直角边长的平方和等于斜边长的平方. 从图中我们发现,等腰直角三角形的三边之间可能具有一种特殊的关系:斜边长的平方等于两直角边长的平方和;等腰直角三角形是特殊的直角三角形,一般的直角三角形是否也有同样的特点? 设计意图：鼓励学生勇于面对数学活动中的困难,尝试从不同角度寻求解决问题的有效方法,并通过对方法的反思,获得解决问题的经验. 二、新知讲解 【探究】 量一量手里的直角三角形纸片的三边长,完成下面的填空: 测得a=　　　　,b=　　　　,c=　　　　,  计算a2=　　　　,b2=　　　　,c2=　　　　.  观察发现:如果a,b为直角三角形的两条直角边的长,c为斜边的长,那么a,b,c满足关系:a2+b2=c2. 猜想结论:直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方. 验证猜想:几何画板演示验证. 在本活动中,老师应重点关注: (1)给学生留出足够的时间思考和交流,鼓励学生大胆说出自己的看法. (2)测量容易产生误差,教师发给学生的三角形纸片的三边长应有一定的特殊性. (3)学生能否主动参与探究活动,在讨论中发表自己的见解,倾听他人的意见,对不同的观点进行质疑,从中获益. 探索证明: 请同学们前后四人合作,运用准备好的4个全等的直角三角形拼成一个大的正方形(中间可以有空白),你能拼出几种不同的情形? 学生在独立思考的基础上以小组为单位,动手拼接. 教师深入小组参与活动,关注学生能否进行合理拼接,倾听学生的交流,对不同层次学生给予帮助,指导学生完成拼图活动.教师尽量不干扰学生独立思考与交流.对分工合作不合理的小组给出恰当引导性建议. 学生在教师协助下将拼接的结果展示在黑板上(如图2-7-8): 图2-7-8 问题1:对于拼出的这两个图形,我们研究图形哪方面的性质? 学生:研究与面积有关的性质. 师:具体如何研究呢? 生:以图②为例,大正方形的面积有两种表示方法,我们将其写成等式,即S大正方形=(a+b)2=4×ab+c2, 所以a2+2ab+b2=2ab+c2,所以a2+b2=c2. 思路点拨:实际上,(1)图①中以直角三角形的斜边为边长的正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积. (2)图②中以直角三角形的斜边为边长的正方形的面积等于大正方形的面积减去4个直角三角形的面积. 问题2:请将推导出的结果,分别用文字语言和符号语言进行描述. 生1:文字语言为直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方. 生2:符号语言为在Rt△ABC中,∠C=90°,如果a,b为直角三角形的两条直角边的长,c为斜边的长,那么a2+b2=c2. 这个结论就是勾股定理. 勾股定理:直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方. 在本次活动中,老师应重点关注:(1)学生对拼图活动是否感兴趣. (2)学生能否合理地分析拼图,对不同层次的学生有针对性地给予分析、帮助. (3)学生能否用自己的语言发表自己的观点,总结得到的结论. 【知识拓展】 环节三：典例精析 例1　已知在△ABC中,∠C=Rt∠,BC=a,AC=b,AB=c. (1)若a=1,b=2,求c; (2)若a=15,c=17,求b. 例2　图2-7-9是一个长方形零件的示意图.根据所给尺寸(单位:mm),求两孔中心A,B之间的距离. 图2-7-9 在本次活动中,老师应重点关注: (1)例1让学生独立完成,教师强调解题过程的表达力求规范. (2)例2中辅助线的构造,教师应注意引导. (3)在例1(2)中强调平方差公式的应用可以使计算简便. 环节四：课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 2.下列图形中，不能用来证明勾股定理的是(　　) A. B. C. D. 选做题： 3.图1中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中AB=AB'，AB⊥B'C于点C，BC=0.5尺，B'C=2尺。设AC的长度为x尺，所列方程为　　。  【综合拓展类作业】 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高线，且AB=13，BC=12。求： (1)AC的长。 (2)CD的长。 环节五：课堂总结 学生活动:1.你这节课的主要收获是什么? 2.在探索勾股定理的过程中,我们运用了哪些方法? 作业内容： 【知识技能类作业】 必做题：  1.如图，长方形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上。以原点O为圆心，对角线OB长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数为(　　) A. D.2.5 选做题： 2.如图，在一个高为5 m，长为13 m的楼梯表面铺设地毯，则地毯的长度至少为　　m。  3.一无人超市门口的墙AB上装有一个传感器P，离地面高度PB=4.7 m，当人从门外走到离该传感器4 m及4 m以内时，便自动发出语音“欢迎光临”。身高1.7 m的小明走到D处时，恰好响起“欢迎光临”，则BD的长为　 m。  【综合拓展类作业】 4.如图，将等腰直角三角尺按如图所示的方式放置，直角顶点C在直线m上，分别过点A，B作AE⊥m于点E，BD⊥m于点D。 (1)求证：CE=BD。 (2)若设△AEC的三边长分别为a，b，c，利用此图证明勾股定理。 参考答案： 课堂练习： 1. A 2.A 3. x2＋22=(x＋0.5)2 4.解：(1)∵∠ACB=90°，AB=13，BC=12， ∴AC==5。 (2)∵S△ABC=AB·CD=BC·AC， ∴13·CD=12×5，∴CD=。 作业内容： 1.C 2. 17 3. 4.证明：(1)∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ACB=90°，AC=BC， ∴∠ACE＋∠BCD=90°。 ∵AE⊥EC， ∴∠CAE＋∠ACE=90°， ∴∠BCD=∠CAE。 ∵BD⊥CD， ∴∠CDB=90°=∠AEC， ∴△AEC≌△CDB(AAS)， ∴CE=BD。 (2)∵△AEC≌△CDB，△AEC的三边长分别为a，b，c， ∴BD=CE=a，CD=AE=b，CB=AC=c， ∴S梯形ABDE=(AE＋BD)·ED =(a＋b)(a＋b)。 又∵S梯形ABDE=S△AEC＋S△ABC＋S△BCD=ab＋c2＋ab， ∴(a＋b)(a＋b)=ab＋c2＋ab， 整理，得a2＋b2=c2。 作业类别 1. 选用 改编 自编 2. 书面练习类 口头训练类 活动实践类 板书设计：课题 概念 例题 应用 教学反思：探索勾股定理的过程分两步进行:第一步先动手测量直角三角形纸片的三边长,计算三边长的平方,从数的方面感受勾股定理,第二步利用拼图,从形的方面发现直角三角形三边之间的关系,层层深入.每一步都引导学生合作探究,培养了学生的合作精神和动手能力.讨论时要求学生在小组内进行交流,再请学生做小老师到讲台上讲解,以培养学生的语言表达能力,教师对学生的讲解进行点评,并给予鼓励,增强了学生学好数学的信心,让学生体验成功的快乐. 学科网（北京）股份有限公司 $