专题08 探索勾股定理 培优讲 义 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

本讲义聚焦勾股定理这一核心知识点，构建从基础（定理内容、公式变形、赵爽弦图证明）到应用（边长计算、分类讨论、勾股数识别）再到拓展（无理数构造、折叠问题、构造直角三角形解题）的完整学习支架。 该资料通过12类题型归纳（如折叠问题、网格问题）和易错点提醒，培养学生几何直观与推理能力，例题中折叠问题用方程思想求解，无理数构造体现数学眼光，课中辅助教师系统教学，课后助力学生强化练习、弥补知识盲点。

专题08 探索勾股定理 同步培优讲义 ✺知识框架 1.勾股定理基础：定理内容→公式变形 →面积法证明（赵爽弦图） 2.基础应用：边长计算→分类讨论→勾股数识别 3.拓展应用：勾股定理与无理数 → 折叠问题计算 → 构造直角三角形解题 ✅勾股定理是直角三角形的核心数量关系定理，实现几何图形与代数计算的结合。基础题型以边长求解为主，拓展题型侧重无理数构造、折叠求值、辅助线构造解题，是本章重点与难点。 ✺学习目标 1.掌握勾股定理的内容与符号语言，理解赵爽弦图的面积证明过程。 2.熟练运用勾股定理及其变形，求解直角三角形边长，掌握分类讨论解题方法。 3.理解勾股定理与无理数的联系，能利用勾股定理构造无理数线段。 4.掌握勾股定理在折叠问题、图形构造问题中的应用，提升数形结合与方程解题能力。 5.理解勾股数的概念与性质，能识别常用勾股数并进行简单应用。 ✺题型归纳 题型1.用勾股定理解三角形 题型2.勾股树(数)问题 题型3.以直角三角形三边为边长的图形面积 题型4.勾股定理与网格问题 题型5.勾股定理与折叠问题 题型6.利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 题型7.利用勾股定理证明线段平方关系 题型8.勾股定理的证明方法 题型9.以弦图为背景的计算题 题型10.用勾股定理构造图形解决问题 题型11.勾股定理与无理数 题型12.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、勾股定理 文字表述：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 符号语言：在Rt △ABC中，∠C=90°，直角边为a、b，斜边为c，则。 公式变形： 使用前提：仅适用于直角三角形，斜边为三角形最长边。 知识点二、勾股定理的证明 证明（赵爽弦图，面积割补法）：将四个全等的直角三角形拼成大正方形，内部围成一个小正方形。用两种方法表示大正方形面积，根据面积相等列等式，化简得到a2+b2=。 核心思想：等面积转化。 知识点三、勾股数 定义：满足的三个正整数，叫做勾股数。 常用勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17。 基本性质：一组勾股数同时扩大相同的正整数倍，所得的一组新数仍为勾股数。 知识点四、勾股定理与无理数 整数边长的直角三角形，斜边常为无理数。可利用该性质构造长度为无理数的线段。 举例：两直角边为1、1，斜边长为；两直角边为1、2，斜边长为。 教材应用：在数轴上表示无理数、求含无理数的线段长度。 知识点五、勾股定理与折叠问题 核心依据：图形折叠前后对应边相等、对应角相等，折叠前后图形全等。 解题步骤： 1.根据折叠性质，转化、标注相等线段； 2.设未知线段长为x，用含x的代数式表示其他边； 3.在直角三角形中利用勾股定理列方程求解。 知识点六、构造直角三角形解题 对于无直角的不规则图形、斜线段长度计算，可通过作垂线构造直角三角形。 解题思路： 1. 过关键点作垂线，构造标准直角三角形； 2. 将所求线段转化为直角三角形的斜边； 3. 利用勾股定理分步计算求解。 【易错点提醒】 1.勾股定理只适用于直角三角形，不可用于锐角、钝角三角形。 2.无图求边长需分类讨论，区分直角边与斜边，防止漏解。 3.勾股数必须是正整数，小数、分数不属于勾股数。 4.折叠问题必须利用全等转化边长，优先采用方程思想解题。 5.利用直角三角形斜边，可以构造长度为无理数的线段 ✺题型精讲 题型1.用勾股定理解三角形 1．一直角三角形的斜边长比其中一直角边长3，另一直角边长为9，则斜边长为（    ） A．10 B．12 C．15 D．18 2．在中，，，则的长为__________． 3．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点移动到点，同时小船从点移动到点，且绳长始终保持不变．，，三点在一条直线上，． 回答下列问题： (1)_________（填“”“”或“”）； (2)若，，，求小男孩向右移动的距离 题型2.勾股树(数)问题 1．若3，4，a为勾股数，则a的值为（     ） A．7 B．5 C．6 D．2 2．如图，正方形的边，向外作，，，以，，，为边向外作正方形，面积分别为6，2，，11，则的值为_______． 3．写出3组不同的，每组中都含60的勾股数． (1)60，_____，_____； (2)60，_____，_____； (3)60，_____，_____． 题型3.以直角三角形三边为边长的图形面积 1．五个正方形和两个直角三角形按如图所示的方式排列，三个正方形内的数3、8和22表示它们的面积，问含有问号的那个正方形的面积是多少？（     ） A．12 B．14 C．15 D．17 2．如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，正方形A、D、E的面积依次是7、3、12，则正方形B的面积是______． 3．如图，已知的三边长分别为，，，分别以它的三边为直径向上作三个半圆．求图中着色部分的面积． 题型4.勾股定理与网格问题 1．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，点A，B均在格点上，则线段的长度为（     ） A．4 B．5 C．6 D．10 2．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点、、、均在格点（网格线的交点）上，在点、、中，到点的距离为的是点________． 3．在如图所示的小正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，，，都是格点．请仅用无刻度的直尺完成下列作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示． (1)在射线上找点，使且点恰好在格点上，作出点； (2)作出的平分线． 题型5.勾股定理与折叠问题 1．如图，沿折叠直角三角形纸片，使两个锐角顶点B和C重合，，，求的长．设，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，点D在上，将 沿直线翻折后，点的对称点恰好落在上，则线段的长为______． 3．如图，一张三角形纸片，，，．将纸片沿直线折叠，使点与重合，求的长． 题型6.利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 1．等腰三角形腰长为，底边长为，则底边上的高为（   ） A． B． C． D． 2．如图，中，，以AC、BC为直径作半圆S1和S2，且，则AB的长为___________． 3．如图，E、F是等腰的斜边BC上的两动点，且．    求证： (1)； (2)． 题型7.利用勾股定理证明线段平方关系 1．设为等腰直角斜边上或其延长线上一点，，那么（    ） A． B． C． D．不确定 2．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，，则___________． 3．在中，已知，，，若，如图1，由勾股定理可得结论：（；若（如图2）或（如图3）时，请你完成下列探究： (1)猜想：（i）若，则___________；（填“”“”或“”） （ii）若，则___________；（填“”“”或“”） (2)任选上述中的一个猜想证明其正确性． 题型8.勾股定理的证明方法 1．勾股定理是数学领域中绽放出的一朵思维之花，其证明方法多种多样．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出一个图形以证明勾股定理，人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（     ） A． B． C． D． 2．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，也是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，能证明勾股定理的有__________个． 3．小高同学在学习“勾股定理”时，向全班展示了他通过查阅相关资料学到的证明思路和证明过程，具体如下． 制作学具：两张直角三角形纸片和，其中，，，． 证明思路：将两张纸片按如图所示方式摆放并固定，使纸片的边落在纸片的边上，点与点重合，连接得到四边形，利用四边形的面积的两种不同表示方法证明． 请根据小高同学的思路写出证明过程． 题型9.以弦图为背景的计算题 1．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”．则“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和是（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．如图，是4个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积是81，小正方形的面积是25，若用表示直角三角形的两条直角边，请观察图案，求______． 3．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是多少？ 题型10.用勾股定理构造图形解决问题 1．如图是某城市万达广场前一个长方形花圃，有极少人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出一条“路”．这种不文明的行为导致草坪被破坏，但他们仅仅少走了（   ） A． B． C． D． 2．如图，有一只摆钟，将摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离，则钟摆的长度为________． 3．《九章算术》“勾股”章中有一道题，原文是“今有户高8尺，不知广，竿不知长短．横之不出四尺，邪之适出，问户广几何?”意思是“今有门高8尺，不知其宽；有一竹竿，不知其长短．横放，竹竿比门宽长出4尺；斜放，竹竿与门的对角线恰好相等．求门的宽度是多少尺? 题型11.勾股定理与无理数 1．如图，O为数轴原点，数轴上点A满足，过点A作直线l垂直于，在l上取点B使得，以原点O为圆心，长为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点C表示的数为（    ） A．4 B． C． D．5 2．如图，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，数轴上的点所表示的数为________． 3．勾股定理是重要的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的重要工具，也是数形结合的纽带． (1)应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点． 如图1，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线，在l上取点B，使，以原点O为圆心，OB为半径作弧，则点C表示的数为_______． (2)应用场景2：解决实际问题． 如图2，秋千静止时，，将它往前推至点C处时，水平距离，它的绳索始终拉直，求绳索的长． ✺课堂小练 一、单选题 1．如图，山坡的高，水平距离，若在山坡上每隔栽一棵茶树，则从上到下共可栽茶树（   ） A．17 B．18 C．20 D．21 2．如图，在中，为直角，以为边向外作面积为的正方形，以为边向外作面积为的正方形，则（     ） A． B． C． D． 3．如图，在直角三角形中，，，，折叠的一角，使点B与点A重合，展开后得折痕，则的长是（    ） A． B． C． D． 4．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 5．若一个直角三角形的一条直角边和斜边长分别为6，10，则第三边长为________． 6．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．正方形A，B，C，D的面积分别是3，6，2，4，则正方形G的面积是______． 7．如图，在每个小正方形的边长为的网格中，的顶点，，均落在格点上，以点为圆心长为半径的圆交于点，则点到的距离是__________． 8．下面四幅图中，能证明勾股定理的有________个． 三、解答题 9．正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，以下画图要求所画图形的顶点都在格点上． (1)在图①中画一条长度为的线段； (2)在图②中画一个面积为5的正方形． 10．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千绳索悬挂于点，静止时竖直下垂，点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（尺）．将它往前推进两步（于点，且尺），踏板升高到点位置，此时踏板离地五尺（尺），则秋千绳索（或）长多少尺． 11．如图，点E是长方形边上的一点，将边沿直线折叠，使点D落在边上的F点处，若，，求的长． 12．求下列各图形着色部分的面积： (1)如图①，着色部分是正方形； (2)如图②，着色部分是长方形； (3)如图③，着色部分是半圆（保留）． 13．小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成． (1)如图①是以的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为，，，请写出，，之间的数量关系：________； (2)如图②是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，斜边长为c，则．若，求值． 14．在中，，． (1)如图1，当点、为边上不同两点，且，求证：； (2)如图2，当点、在边上，，求证：； (3)点、在直线上，，其中，，直接写出长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 探索勾股定理 同步培优讲义 ✺知识框架 1.勾股定理基础：定理内容→公式变形→面积法证明（赵爽弦图） 2.基础应用：边长计算→分类讨论→勾股数识别 3.拓展应用：勾股定理与无理数→折叠问题计算→构造直角三角形解题 ✅勾股定理是直角三角形的核心数量关系定理，实现几何图形与代数计算的结合。基础题型以边长求解为主，拓展题型侧重无理数构造、折叠求值、辅助线构造解题，是本章重点与难点。 ✺学习目标 1.掌握勾股定理的内容与符号语言，理解赵爽弦图的面积证明过程。 2.熟练运用勾股定理及其变形，求解直角三角形边长，掌握分类讨论解题方法。 3.理解勾股定理与无理数的联系，能利用勾股定理构造无理数线段。 4.掌握勾股定理在折叠问题、图形构造问题中的应用，提升数形结合与方程解题能力。 5.理解勾股数的概念与性质，能识别常用勾股数并进行简单应用。 ✺题型归纳 题型1.用勾股定理解三角形 题型2.勾股树(数)问题 题型3.以直角三角形三边为边长的图形面积 题型4.勾股定理与网格问题 题型5.勾股定理与折叠问题 题型6.利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 题型7.利用勾股定理证明线段平方关系 题型8.勾股定理的证明方法 题型9.以弦图为背景的计算题 题型10.用勾股定理构造图形解决问题 题型11.勾股定理与无理数 题型12.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、勾股定理 文字表述：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 符号语言：在Rt △ABC中，∠C=90°，直角边为a、b，斜边为c，则。 公式变形： 使用前提：仅适用于直角三角形，斜边为三角形最长边。 知识点二、勾股定理的证明 证明（赵爽弦图，面积割补法）：将四个全等的直角三角形拼成大正方形，内部围成一个小正方形。用两种方法表示大正方形面积，根据面积相等列等式，化简得到a2+b2=。 核心思想：等面积转化。 知识点三、勾股数 定义：满足的三个正整数，叫做勾股数。 常用勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17。 基本性质：一组勾股数同时扩大相同的正整数倍，所得的一组新数仍为勾股数。 知识点四、勾股定理与无理数 整数边长的直角三角形，斜边常为无理数。可利用该性质构造长度为无理数的线段。 举例：两直角边为1、1，斜边长为；两直角边为1、2，斜边长为。 教材应用：在数轴上表示无理数、求含无理数的线段长度。 知识点五、勾股定理与折叠问题 核心依据：图形折叠前后对应边相等、对应角相等，折叠前后图形全等。 解题步骤： 1.根据折叠性质，转化、标注相等线段； 2.设未知线段长为x，用含x的代数式表示其他边； 3.在直角三角形中利用勾股定理列方程求解。 知识点六、构造直角三角形解题 对于无直角的不规则图形、斜线段长度计算，可通过作垂线构造直角三角形。 解题思路： 1. 过关键点作垂线，构造标准直角三角形； 2. 将所求线段转化为直角三角形的斜边； 3. 利用勾股定理分步计算求解。 【易错点提醒】 1.勾股定理只适用于直角三角形，不可用于锐角、钝角三角形。 2.无图求边长需分类讨论，区分直角边与斜边，防止漏解。 3.勾股数必须是正整数，小数、分数不属于勾股数。 4.折叠问题必须利用全等转化边长，优先采用方程思想解题。 5.利用直角三角形斜边，可以构造长度为无理数的线段 ✺题型精讲 题型1.用勾股定理解三角形 1．一直角三角形的斜边长比其中一直角边长3，另一直角边长为9，则斜边长为（    ） A．10 B．12 C．15 D．18 【答案】C 【详解】解：设斜边长为，则其中一直角边长为． 根据勾股定理可知， 解得：． 2．在中，，，则的长为__________． 【答案】或 【详解】解：当为斜边时，和为直角边， ∵ 在中，，， ∴ 由勾股定理得：； 当为斜边时，和为直角边， ∴ 由勾股定理得：； 当为斜边时，，斜边长度小于直角边，此种情况不存在，舍去； 综上，的长为或． 3．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点移动到点，同时小船从点移动到点，且绳长始终保持不变．，，三点在一条直线上，． 回答下列问题： (1)_________（填“”“”或“”）； (2)若，，，求小男孩向右移动的距离 【答案】(1) (2)小男孩向右移动的距离为. 【分析】（1）根据绳长始终保持不变即可解答； （2）首先理解题意，明确小男孩需向右移动的距离是哪条线段的长，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：由题意，绳长始终保持不变， 故； （2）解：∵，，，，三点在一条直线上， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理，得，， ∵， ∴， 由题意，小男孩向右移动的距离即为的长， 故小男孩向右移动的距离为. 题型2.勾股树(数)问题 1．若3，4，a为勾股数，则a的值为（     ） A．7 B．5 C．6 D．2 【答案】B 【分析】未明确最大边时，分为斜边、4为斜边两种情况，结合勾股数为正整数的条件求解． 【详解】解：分两种情况讨论： 当为斜边长时，，解得， ∵为正整数， ∴； 当为斜边长时，，解得， 此时不是正整数，不符合勾股数要求，舍去． 综上所述，a的值为5． 2．如图，正方形的边，向外作，，，以，，，为边向外作正方形，面积分别为6，2，，11，则的值为_______． 【答案】3 【详解】解：在中，由勾股定理得：， ∴ 同理可得：， ∴， ∴． 3．写出3组不同的，每组中都含60的勾股数． (1)60，_____，_____； (2)60，_____，_____； (3)60，_____，_____． 【答案】(1)80，100 (2)45，75 (3)36，48 【分析】本题考查勾股数的定义，掌握勾股数的定义是解题的关键． （1）将3，4，5这一组勾股数中的各个数都扩大20倍即可； （2）将3，4，5这一组勾股数中的各个数都扩大15倍即可； （3）将3，4，5这一组勾股数中的各个数都扩大12倍即可． 【详解】（1）解：将3，4，5这一组勾股数中的各个数都扩大20倍即可得：60，80，100； 故答案为：80，100； （2）将3，4，5这一组勾股数中的各个数都扩大15倍即可得：45，60，75； 故答案为：45，75； （3）将3，4，5这一组勾股数中的各个数都扩大12倍即可得：36，48，60； 故答案为：36，48． 题型3.以直角三角形三边为边长的图形面积 1．五个正方形和两个直角三角形按如图所示的方式排列，三个正方形内的数3、8和22表示它们的面积，问含有问号的那个正方形的面积是多少？（     ） A．12 B．14 C．15 D．17 【答案】D 【分析】如图，先根据正方形面积公式和勾股定理求出，则，然后根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意，得，，，，，， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴含有问号的那个正方形的面积是17． 2．如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，正方形A、D、E的面积依次是7、3、12，则正方形B的面积是______． 【答案】 【分析】根据勾股定理并结合图形可得，，代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形， ∴，， ∵正方形A、D、E的面积依次是7、3、12， ∴，， ∴， ∴． 3．如图，已知的三边长分别为，，，分别以它的三边为直径向上作三个半圆．求图中着色部分的面积． 【答案】 【分析】设以为直径的半圆的面积为，以为直径的半圆的面积为，以为直径的半圆的面积为，可得， 根据圆的面积公式以及直角三角形的面积公式，分别求得、、、的面积，即可解答． 【详解】解：如图，设以为直径的半圆的面积为，以为直径的半圆的面积为，以为直径的半圆的面积为， 的三边长分别为，，， ，，，， ； 题型4.勾股定理与网格问题 1．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，点A，B均在格点上，则线段的长度为（     ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【详解】解：由图，可得 ． 2．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点、、、均在格点（网格线的交点）上，在点、、中，到点的距离为的是点________． 【答案】 【分析】利用勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：，，， ∴在点、、中，到点的距离为的是点． 3．在如图所示的小正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，，，都是格点．请仅用无刻度的直尺完成下列作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示． (1)在射线上找点，使且点恰好在格点上，作出点； (2)作出的平分线． 【答案】(1)如图，点即为所求： (2)如图，的平分线． 【分析】（1）先由勾股定理求出，然后在射线上取即可； （2）连接，取的中点E，过点B、E作射线，根据等腰三角形三线合一的性质可知，是的平分线． 【详解】（1）解：由勾股定理得， ∴在射线上取，即可得到点； （2） 略 题型5.勾股定理与折叠问题 1．如图，沿折叠直角三角形纸片，使两个锐角顶点B和C重合，，，求的长．设，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用折叠的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠得， 设，则， ， ， ，在中，， ． 2．如图，在中，，，，点D在上，将 沿直线翻折后，点的对称点恰好落在上，则线段的长为______． 【答案】5 【分析】先根据勾股定理，求得，接着利用折叠可得，，，最后在中利用勾股定理求得答案． 【详解】解：， ∴， ∴由翻折得，，， ∴，，， ∴， v即， 解得． 3．如图，一张三角形纸片，，，．将纸片沿直线折叠，使点与重合，求的长． 【答案】的长为 【分析】由折叠可知，在中，运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由折叠可知， 设，则， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 解得， 即的长为． 题型6.利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 1．等腰三角形腰长为，底边长为，则底边上的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形底边高线和中线重合的性质，则，可以根据勾股定理计算底边的高． 【详解】解：如图，在中，，，    则为边上的中线，即为中点， ， 在直角中． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的正确运用，考查了等腰三角形底边高线、中线重合的性质，本题中根据勾股定理正确计算是解题的关键． 2．如图，中，，以AC、BC为直径作半圆S1和S2，且，则AB的长为___________． 【答案】4 【分析】由勾股定理得，解得，结合计算解答即可． 【详解】解：由勾股定理得， ∴ 故答案为：4． 【点睛】本题考查勾股定理、半圆面积的求法等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 3．如图，E、F是等腰的斜边BC上的两动点，且．    求证： (1)； (2)． 【答案】(1) 证明：∵是等腰直角三角形， ，， ∵，∴， ， 在和中， ∴， ∴； (2) 证明：由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵， ∴． 【分析】（1）根据条件证即可； （2）根据条件证，从而得到．由（1）得．进而在中，根据勾股定理即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题综合考查全等三角形的判定与性质，利用勾股定理证明线段的平方关系等知识点．根据已知条件进行几何推理是解题关键． 题型7.利用勾股定理证明线段平方关系 1．设为等腰直角斜边上或其延长线上一点，，那么（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用，解法并不复杂，难点在于将问题考虑全面． 此题分两种情况讨论：①当在线段上，②当在的延长线上，利用勾股定理来探讨找到符合要求的点． 【详解】 解：为线段上时， ①当为中点时，如图 则有， 即； ②当点不为中点时，如图 过点作的垂线，设， 则 同理， 两式相加得 即； 点在的延长线上时，如图， 过点作垂直于的延长线于点， 过点作垂直于的延长线于点， 为等腰直角三角形， 为等腰直角三角形， 在中， 在中， 两式相加得 即； 综上可知：． 故选：B． 2．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，，则___________． 【答案】 【分析】由题意可得，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：， ∴，，，， ∴ ． 3．在中，已知，，，若，如图1，由勾股定理可得结论：（；若（如图2）或（如图3）时，请你完成下列探究： (1)猜想：（i）若，则___________；（填“”“”或“”） （ii）若，则___________；（填“”“”或“”） (2)任选上述中的一个猜想证明其正确性． 【答案】(1)（i）>；（ii）< (2) 若，则>；证明如下： 如图，过点A作于点D，设，则， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴，即． ∵ ∴ 若，则．证明如下： 如图，过点A作的垂线交的延长线于点M，设，则， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴，即． ∵， ∴． 【分析】（1）根据题意写出猜想； （2）利用勾股定理分别证明猜想即可． 【详解】（1）解：猜想：（i）若，则>， （ii）若，则． （2）略． 题型8.勾股定理的证明方法 1．勾股定理是数学领域中绽放出的一朵思维之花，其证明方法多种多样．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出一个图形以证明勾股定理，人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：“赵爽弦图”是： 2．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，也是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，能证明勾股定理的有__________个． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理的证明，掌握通过面积法证明勾股定理是解题的关键． 通过面积法，将每幅图的图形面积用两种不同方式表示，建立面积等式，验证是否能推导出，以此判断每幅图能否证明勾股定理． 【详解】解：逐个分析四幅图： 图①：大正方形边长为，面积为；同时该面积也等于边长为的小正方形面积加个直角三角形的面积，即，展开化简得，能证明勾股定理，符合题意； 图②：大正方形面积可表示为，同时大正方形边长为，面积为，即，化简后得，能证明勾股定理，符合题意； 图③：边长为的正方形面积为，同时该面积等于边长为的小正方形面积加个直角三角形的面积，即，展开化简得，能证明勾股定理，符合题意； 图④：图形仅将大正方形拆分为矩形，未关联与斜边c的关系，无法推导，不能证明勾股定理，不符合题意； 故答案为：． 3．小高同学在学习“勾股定理”时，向全班展示了他通过查阅相关资料学到的证明思路和证明过程，具体如下． 制作学具：两张直角三角形纸片和，其中，，，． 证明思路：将两张纸片按如图所示方式摆放并固定，使纸片的边落在纸片的边上，点与点重合，连接得到四边形，利用四边形的面积的两种不同表示方法证明． 请根据小高同学的思路写出证明过程． 【答案】证明：如图，作，垂足为点， 设与的交点为， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形为长方形， ， ， . 【分析】作，垂足为点，设与的交点为，证明，推出，分割法求出四边形的面积，即可得证. 【详解】略 题型9.以弦图为背景的计算题 1．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”．则“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和是（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是即可． 【详解】解：设直角三角形的三条边分别是a，b，c．根据勾股定理，得，即． ∴“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积为； ∵，， 所以“生长”了2次后形成的图形中所有正方形的面积和是 ． 同理：“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和是4． 2．如图，是4个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积是81，小正方形的面积是25，若用表示直角三角形的两条直角边，请观察图案，求______． 【答案】28 【分析】根据“大正方形面积个全等直角三角形面积小正方形面积”结合直角三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：题中图形是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案， ∵大正方形面积为81，小正方形面积为25， ∴， ∴． 3．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是多少？ 【答案】76 【分析】设将延长至点，根据题意可得，，由勾股定理可得，即可得风车的外围周长． 【详解】解：设将延长至点， 根据题意可得，， ∴， ∴， ∴这个风车的外围周长是． 题型10.用勾股定理构造图形解决问题 1．如图是某城市万达广场前一个长方形花圃，有极少人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出一条“路”．这种不文明的行为导致草坪被破坏，但他们仅仅少走了（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出斜边的长度，再用两直角边的和减去斜边的长度即可得出少走的距离． 【详解】解：设直角三角形的两直角边分别为，，斜边为． 这是一个直角三角形， 由勾股定理得：． 原路程为， 少走的距离为． 2．如图，有一只摆钟，将摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离，则钟摆的长度为________． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，读懂题意，熟练运用勾股定理列方程求解是解决问题的关键． 设，根据题意及题中图形，得到相关边的长度，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 由题意可得，，， 设， 则， ， 在中，，，，，则由勾股定理可得， 即， ， 则钟摆的长度为， 故答案为：． 3．《九章算术》“勾股”章中有一道题，原文是“今有户高8尺，不知广，竿不知长短．横之不出四尺，邪之适出，问户广几何?”意思是“今有门高8尺，不知其宽；有一竹竿，不知其长短．横放，竹竿比门宽长出4尺；斜放，竹竿与门的对角线恰好相等．求门的宽度是多少尺? 【答案】门宽为尺 【分析】设尺，则尺，再利用勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：设尺，则尺， ∵在中，， ∴， 解得：， 答：门宽为尺． 题型11.勾股定理与无理数 1．如图，O为数轴原点，数轴上点A满足，过点A作直线l垂直于，在l上取点B使得，以原点O为圆心，长为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点C表示的数为（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上点的含义、勾股定理解直角三角形等知识点．根据数轴上的点及勾股定理求解即可． 【详解】解：在直角三角形中， ， ∴， ∴点C所表示的数为． 2．如图，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，数轴上的点所表示的数为________． 【答案】 【分析】利用勾股定理求出的长，再根据圆的半径相等得到，结合点在数轴上的位置即可求解． 【详解】解：由图和题意可知，，，， 在中，由勾股定理得： ， ∵以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点， ∴， ∵点在点的左侧， ∴点所表示的数为． 3．勾股定理是重要的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的重要工具，也是数形结合的纽带． (1)应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点． 如图1，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线，在l上取点B，使，以原点O为圆心，OB为半径作弧，则点C表示的数为_______． (2)应用场景2：解决实际问题． 如图2，秋千静止时，，将它往前推至点C处时，水平距离，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用（包括在数轴上表示无理数、解决实际几何问题），解题关键是利用勾股定理建立直角三角形的边长关系． （1）在中，用勾股定理算长，即为长，得点表示的数． （2）设绳索长为，用矩形性质得长度，在中用勾股定理列方程求解． 【详解】（1）在中，， 由勾股定理得 点表示的数是． 故答案为． （2）设绳索的长为， 由题意得 ， 四边形为矩形，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 绳索的长为． ✺课堂小练 一、单选题 1．如图，山坡的高，水平距离，若在山坡上每隔栽一棵茶树，则从上到下共可栽茶树（   ） A．17 B．18 C．20 D．21 【答案】D 【分析】首先利用勾股定理求得线段的长，然后除以株距即可求得结果． 【详解】解：山坡的高，水平距离， ， 每隔栽一棵茶树， 棵， ∴从上到下共21棵． 2．如图，在中，为直角，以为边向外作面积为的正方形，以为边向外作面积为的正方形，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理结合题目条件求解即可． 【详解】解：在中，为直角， ， ． 3．如图，在直角三角形中，，，，折叠的一角，使点B与点A重合，展开后得折痕，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据折叠的性质，设，则，再根据勾股定理，列出方程求解即可． 【详解】解：连接， 设，则， 由折叠知，， 在中，，， ，则， ， 则的长是． 4．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂美四边形的性质，勾股定理的运用即可求解，本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是“垂美”四边形，即， ∴在中，，在中，， ∴， 在中，，在中，， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题 5．若一个直角三角形的一条直角边和斜边长分别为6，10，则第三边长为________． 【答案】8 【分析】辩清一条直角边，一条斜边，用勾股定理直接求解； 【详解】解：由题可知，斜边是，一条直角边是，根据勾股定理，得； 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理，在直角三角形中，直角边是，斜边是，则；解题关键是熟记定理． 6．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．正方形A，B，C，D的面积分别是3，6，2，4，则正方形G的面积是______． 【答案】15 【分析】根据图形结构，利用勾股定理可知，正方形的面积等于正方形，面积之和与正方形，面积之和的总和，由此即可求解． 【详解】解：设正方形，下方相邻的正方形面积为，正方形，下方相邻的正方形面积为， 根据勾股定理，直角三角形两直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积， ，， 正方形的面积． 7．如图，在每个小正方形的边长为的网格中，的顶点，，均落在格点上，以点为圆心长为半径的圆交于点，则点到的距离是__________． 【答案】 【分析】设点到的距离是，根据勾股定理求出，然后利用等面积法求解即可． 【详解】设点到的距离是， 由网格得，，，， ， ， ， 解得， 即点到的距离是． 8．下面四幅图中，能证明勾股定理的有________个． 【答案】3 【分析】本题考查了面积法证明勾股定理等知识，解决问题的关键是表示同一个图形的面积用两种不同计算方法． 根据图形利用面积关系可得解． 【详解】解：对图①，大正方形的面积为：， 也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ，故图①能证明勾股定理； 对图②，梯形的面积为， 也可看作是个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：， ， 整理可得：，故图②能证明勾股定理； 对图③，大正方形的面积为：； 也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ， 整理可得：，故图③能证明勾股定理； 对图④，大正方形的面积为：； 也可看作是个矩形和个小正方形组成，则其面积为：, ，故图④不能证明勾股定理． 综上，图①②③可证明勾股定理，有个， 故答案为：． 三、解答题 9．正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，以下画图要求所画图形的顶点都在格点上． (1)在图①中画一条长度为的线段； (2)在图②中画一个面积为5的正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）找一个长3格宽2格的长方形的对角线长即为； （2）根据勾股定理得出边长为的正方形即可； 【详解】（1）解：如图，， （2）解：如图，正方形边长为，则面积为 10．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千绳索悬挂于点，静止时竖直下垂，点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（尺）．将它往前推进两步（于点，且尺），踏板升高到点位置，此时踏板离地五尺（尺），则秋千绳索（或）长多少尺． 【答案】 【分析】设，在中利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：设， 根据题意得：，，， ∴， ∵，， ∴， 在中，，，， ∵， ∴， 解得：， ∴秋千绳索（或）长尺． 11．如图，点E是长方形边上的一点，将边沿直线折叠，使点D落在边上的F点处，若，，求的长． 【答案】的长为 【分析】根据长方形以及折叠的性质可得，，，，设，则，，然后对和运用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是长方形，将边沿直线折叠， ，，，， 设，则． ， 在中，， ． 在中，由勾股定理得：，即：， 解得． 的长为． 12．求下列各图形着色部分的面积： (1)如图①，着色部分是正方形； (2)如图②，着色部分是长方形； (3)如图③，着色部分是半圆（保留）． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：正方形的边长为， 正方形的面积为； （2）解：长方形的长为， 长方形的面积为； （3）解：半圆的直径为， 半圆的面积为． 13．小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成． (1)如图①是以的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为，，，请写出，，之间的数量关系：________； (2)如图②是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，斜边长为c，则．若，求值． 【答案】(1) (2)120 (3) 【分析】（1）根据勾股定理和圆的面积公式计算即可得到答案； （2）设，，根据题意可得，，再由勾股定理可得，从而求出，进而求得飞镖的面积； （3）根据题意表示出，，，则根据题意可推出，可求得，从而得到答案． 【详解】（1）解：由题可得：，，， ∴， ∴； （2）解：设，，则， 由题可得：， ∵， ∴ ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解， ∴飞镖状图案的面积； （3）解：由题意得，，，， ∵， ∴ ， ， ∴， ∴。 14．在中，，． (1)如图1，当点、为边上不同两点，且，求证：； (2)如图2，当点、在边上，，求证：； (3)点、在直线上，，其中，，直接写出长． 【答案】(1) 证明：如图所示，过点C作于F， ∵，， ∴， ∴， ∴； (2) 证明：如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接， ∵， ∴， 由旋转得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． (3)或或 【分析】（1）如图所示，过点C作于F，利用三线合一定理得到，由此即可证明； （2）如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接，则，证明，得，再证明，则，即可证得； （3）点、在直线上，，共有三种情况，分别画图，同理（2）可得与其他线段的平方关系，再利用方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵，，， ∴，， 设， ①当点、都在边上，如图2， 则，， 由（2）可得：， ∴， 解得：， ②当点在边上，点在左侧时，如图3： ∴，， 将绕点C沿顺时针方向旋转得到，连接， 同理可得：， ∴，解得：， ②当点在边上，点在右侧时，如图4： ∴，， 将绕点C沿顺时针方向旋转得到，连接， 同理可得：， ∴，解得：， 综上所述：或或. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确利用旋转构造全等三角形是解题的关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $