第11讲 直角三角形及全等证明 优等生讲义（知识梳理+典例+针对练习）2026--2027学年浙教版八年级数学上册

第11讲 直角三角形及全等证明 优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年浙教版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 巩固直角三角形的性质：两锐角互余、斜边中线等于斜边一半 · 掌握直角三角形全等的特殊判定方法HL · 能综合运用SSS/SAS/ASA/AAS/HL证明直角三角形全等 · 理解并运用直角三角形斜边上的中线模型 · 能解决直角三角形与角平分线、垂直平分线综合证明题 📚 知识梳理 ☆ 1.直角三角形的性质 直角三角形两锐角互余 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 30°角所对直角边等于斜边的一半 勾股定理：两直角边平方和等于斜边平方 概念辨析例题：Rt△ABC中，∠BAC＝90°，M为BC中点，BC＝20，则AM的长为（　　）A．8　B．10　C．12　D．15 解析：直角三角形斜边中线等于斜边一半，AM＝BC＝10。 ☆ 2.直角三角形斜边上的中线 斜边中点与直角顶点连线等于斜边一半 出现直角+中点，立刻连中线 中线把直角三角形分成两个等腰三角形 常用于证明线段相等、求角度 概念辨析例题：△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC中点，EF＝8，BC＝20，求△EFM的周长 解析：Rt△BFC中M是BC中点，FM＝BC＝10；同理EM＝BC＝10。周长＝EF+FM+EM＝8+10+10＝28。 ☆ 3.直角三角形全等判定（HL） 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） HL只适用于直角三角形，一般三角形不能用 直角三角形全等仍可用SSS/SAS/ASA/AAS HL是证明两直角三角形全等的常用方法 概念辨析例题：下列条件不能判定两个直角三角形全等的是（　　）A．两直角边对应相等　B．斜边和一锐角对应相等　C．斜边和一条直角边对应相等　D．两个锐角对应相等 解析：A是SAS，B是AAS，C是HL；D三个角相等只能判定相似，不能判定全等。 ☆ 4.全等证明综合 证明思路：要证线段相等→证三角形全等 找对应边对应角的方法：公共边、公共角、对顶角、同角的余角相等 辅助线：延长、截取、作高、连中线 直角三角形中注意互余关系导角 概念辨析例题：四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC中点，BD＝6，当EF⊥BD时，EF＝（　　）A．2　B．3　C．4　D．5 解析：Rt△ABC和Rt△ADC中，E是AC中点，所以BE＝DE＝AC，△BED等腰。F是BD中点，EF⊥BD，BF＝FD＝3，EF在等腰三角形底边上。 📋 知识总结表 核心概念 性质/判定 注意事项 两锐角互余 ∠A+∠B=90° 直角三角形 斜边中线 =斜边 出现中点必连 30°对边 =斜边 先找30°角 HL判定 斜边+一直角边 仅直角三角形 全等判定 SSS/SAS/ASA/AAS/HL 找对应边角 等腰+直角 斜边中线分两等腰 常用模型 ⚠️ 核心考点 【考点1】直角三角形的性质（第1-9题） · 两锐角互余导角 · 斜边中线=一半 · 30°对边=一半 · 勾股定理求边 1．（2025秋•怀化校级期末）在下列条件中：①∠A＝∠B﹣∠C，②∠A﹣∠B＝90°，③∠A：∠B：∠C＝2：3：5，④∠A∠B∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025秋•钱塘区期末）在△ABC中，∠C＝90°，点P在边AB上（不与点A，B重合），下列说法正确的是（　　） A．若CP⊥AB，则PA＝PB B．若PA＝PB，则CP⊥AB C．若∠B＝∠BCP，则PA＝PB D．若∠PCA＝∠PCB，则CP⊥AB 3．（2025秋•碑林区校级期末）如图，在△ABC中，BD⊥AC交CA的延长线于点D，AE⊥BC，交BC于点E．则图中的直角三角形共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2025秋•广信区期末）在直角△ABC中，其中一个锐角等于20°，另一个锐角等于________ ． 5．（2025秋•思明区校级期末）如图，在△ABC中，D为AB延长线上一点，DE⊥AC于E．若AC＝BC，∠C＝40°，则∠D＝________ ． 6．（2024春•吉安县校级月考）如图，在△ABC中，∠A＝54°，∠B＝90°，D是AC边上的定点，E是CB上的动点，沿DE折叠△CDE，点C落在点F处．当EF与△ABC的一边平行时，∠DEB的度数是 __________________ ． 7．（2026春•桥西区期末）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在△ABC中，如果∠A＝80°，∠B＝40°，那么∠A与∠B互为“友爱角”，△ABC为“友爱三角形”． （1）如图1，△ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B互为“友爱角”（∠A＞∠B），∠ACB＝90°． ①∠A＝ _______ °，∠B＝ _______ °； ②若CD是△ABC的高，则△BCD是“友爱三角形”吗？为什么？ （2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝70°，∠A＝66°，D是边AB上一点（不与点A，B重合），连接CD，若△ACD是“友爱三角形”，直接写出∠ACD的度数． 8．（2025秋•绵阳期末）如图，在△ABC中，∠ACD＝∠B，∠BCD＝∠A． （1）求证：△ACB为直角三角形； （2）若∠ACB的平分线CE交AB于点E，CD⊥AB于点D，∠B＝60°，求∠DCE的度数． 【考点2】直角三角形斜边上的中线（第10-21题） · 直角+中点连中线 · 中线分两等腰 · 中点+垂直证等腰 · 求周长/线段 9．（2024春•东西湖区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠BAD＝35°，E是斜边BC的中点，则∠DAE的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 10．（2026春•昆明期末）如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A、D、B对应的刻度分别为1、4、7（单位：cm），则CD的长度为（　　） A．6 B．4.5 C．3.5 D．3 11．（2025秋•临淄区期末）如图，梯子AB斜靠在墙面上，点P是梯子AB的中点，梯子滑动时，点B沿BC滑向墙角C点，点A水平远离墙角C点，P点和C点的距离（　　） A．始终不变 B．不断变小 C．不断变大 D．先变小后变大 12．（2026•西安校级模拟）如图，在△ABC中，D是AC的中点，CE⊥AB，BD与CE交于点O，且BE＝CD．下列说法错误的是（　　） A．BD的垂直平分线一定与AB相交于点E B．∠BDC＝3∠ABD C．当E为AB中点时，△ABC是等边三角形 D．当E为AB中点时，S△BOC＝3S△COD 13．（2026•乐山）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝6，AB＝8，点D为斜边AC的中点，则BD＝_____ ． 14．（2026•江夏区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M为BC的中点，CD⊥AB于点D，连接AM，CD相交于点N，若∠AMC＝∠DMB，BD＝2，则MN的长为 ____________________ ． 15．（2026春•房山区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．点D是斜边AC的中点，DE⊥BC，垂足为E，若DE＝3，，则AE的值是________________ ． 16．（2026春•青羊区校级月考）如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，点E、F分别为AC、BD的中点，连接BE、DE，AC＝26，BD＝24．则EF的长为_____ ． 17．（2026春•仓山区期中）如图，以线段AB为斜边向两侧作Rt△ABC和Rt△ABD，∠ACB＝∠ADB＝90°，E是线段AB的中点，连接CE，DE．若∠CED＝100°，则∠CBD的度数为_________ ． 18．（2025秋•江阴市校级月考）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，CE是AB边上的中线，DC＝BE，DF⊥CE，F为垂足．求证：F是CE中点． 19．（2025秋•鄞州区期中）如图，已知AC⊥BC，AD⊥DB，E为AB的中点． （1）如图1，求证：△ECD是等腰三角形． （2）如图2，CD与AB交于点F，若AC＝BC，若CE＝4，BF＝1，求CD的长． 20．（2025秋•江都区月考）如图，在锐角三角形ABC中，CD、BE分别是边AB，AC上的高，M、N分别是线段BC，DE的中点． （1）求证：MN⊥DE； （2）连接DM，ME，若∠A＝50°，求∠DME． 【考点3】直角三角形的全等判定（第22-32题） · HL证两Rt△全等 · SSS/SAS/ASA/AAS通用 · 公共边公共角找条件 · 辅助线构造全等 21．（2026春•文登区期末）下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是（　　） A．两条直角边分别相等 B．斜边和一个锐角分别相等 C．两个锐角分别相等 D．斜边和一条直角边分别相等 22．（2025秋•蓬莱区期末）如图，已知△ABC，且AB＝AC，AE＝AF，AD⊥BC于点D，且E、F在BC上，则图中共有多少对全等的直角三角形（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 23．（2026春•阜新期中）如图，点E，F在线段AC上，AE＝CF，AD⊥DF于点D，CB⊥BE于点B，要根据“HL”证明Rt△ADF≌Rt△CBE，则还需添加的一个条件是（　　） A．AD＝CB B．∠A＝∠C C．BE∥DF D．AD∥BC 24．（2026春•同步）如图，点A，C，E在同一条直线上，已知∠A＝∠DEC＝90°，AB＝CE，BC＝DC，则Rt△CED≌___________ ，判定的依据是_______ ，此时∠BCD的度数为________ ． 25．（2024秋•吐鲁番市期末）如图，点E，C在BF上，BE＝CF，∠A＝∠D＝90°，若要根据“HL”判定Rt△ABC≌Rt△DFE，则需添加的一个条件可以是 _________________ （写出一个即可）． 26．（2026春•同步）如图，在△ABC与△ADC中，∠B＝∠D＝90°，要使Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），还需要添加一个条件：________________ ． 27．（2025春•渭城区期末）如图，在△ABE与△CBD中，AE⊥BD于点E，CD⊥BD于点D，AB＝BC，BE＝CD．证明：Rt△ABE≌Rt△BCD． 【考点4】创新及压轴题（第33-35题） · 多结论判断 · 分类讨论动点 · 综合全等+中线 · 建立方程 28．（2025秋•祁阳市校级期末）如图，等边△ABC的边长为6cm，点P在边AB上以每秒1cm的速度从A向B运动，到点B停止；点Q在射线BC上以每秒3cm的速度从B向C运动，随着点P的停止而停止；设运动时间为t秒． （1）用含t的式子表示线段长度：BP＝ __________ cm，BQ＝ _______ cm； （2）求t为何值时，△BPQ为直角三角形； （3）若运动过程中，线段PQ与边AC交于点M，请问是否存在点M为线段PQ中点的情况？若存在，请求出此时的t值和MC的长度；若不存在，请说明理由． 29．（2026•西宁校级一模）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F． （1）求证：AF＝BD； （2）判断四边形ADCF的形状，并说明理由． 30．（2026春•惠阳区期末）已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，连接CD，F是CD的中点，过点C作CE∥AB交AF的延长线于点E，连接BE． （1）求证：CE＝AD； （2）判断四边形CDBE的形状，并说明理由． 📝 随堂检测 【练习 1】（2026春•天长市期末）如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF＝8，BC＝20，△EFM的周长是（　　） A．26 B．28 C．30 D．32 【练习 2】（2025秋•绥江县期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC为直角，DE是AC的垂直平分线，∠B＝60°，则∠DAC的度数是（　　） A．20° B．30° C．35° D．40° 【练习 3】（2025秋•鄞州区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，延长BC至点D，连结AD，使得2AD＝BC． （1）若∠ABC＝20°，则∠CAD的度数为________ ； （2）若AB＝7，，则AC的值为________________ ． 【练习 4】（2025秋•南京期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC＝10，BD＝6，E是对角线AC的中点，F是对角线BD上的动点，当EF⊥BD时，EF＝_____ ． 【练习 5】（2026春•鲤城区校级期中）如图，△ABC中，∠B＝90°，点D在射线BC上运动，DE⊥AD交射线AC于点E． （1）如图1，若∠BAC＝60°，当AD平分∠BAC时，求∠EDC的度数； （2）如图2，当点D在线段BC上时， ①判断∠EDC与∠BAD的数量关系并说明理由； ②作EF⊥BC于点F，∠BAD、∠DEF的角平分线相交于点G，随着点D的运动，∠G的度数会变化吗？如果不变，求出∠G的度数；如果变化，说明理由； （3）如图3，当点D在BC的延长线上时，作EF⊥BD于点F，∠BAD的角平分线和∠DEF的角平分线的反向延长线相交于点G，∠G的度数会变化吗？如果不变，求出∠G的度数；如果变化，说明理由． 💯 课后巩固 复习建议 · 直角三角形两锐角互余，斜边中线等于斜边一半 · 出现直角+斜边中点，立刻连中线构造等腰三角形 · HL是直角三角形独有的全等判定：斜边+一直角边 · 证明线段相等先想证三角形全等，注意找公共边公共角 · 两个直角三角形共斜边时，斜边中点到四个顶点距离相等 【作业 1】（2026•嵊州市二模）学习了直角三角形中的性质定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”后，小越进行了思考：在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AB上一点（不与点A，B重合），连结CD，得到以下三个结论： ①若BD＝CD，则D为斜边AB的中点． ②若，则D为斜边AB的中点． ③若△ACD和△BCD均为等腰三角形，则D为斜边AB的中点． 其中一定正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【作业 2】（2025春•太原月考）下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（　　） A．斜边和一条直角边分别相等 B．一个锐角和斜边分别相等 C．两条直角边分别相等 D．两个锐角分别相等 【作业 3】（2026•长沙模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是△ABC的高线，BD是△ABC的中线，连接ED．若BC＝6，AE＝4．则DE为（　　） A．4 B．2.5 C．3 D． 【作业 4】（2025秋•和平区校级月考）将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1＝50°，则∠2的度数是________ ． 【作业 5】（2025秋•江阴市期中）如图，在△ABC中，∠BAC为钝角，AF，CE都是这个三角形的高，P为AC的中点，若∠B＝43°，则∠EPF的度数为________ ． 【作业 6】（2025秋•驻马店期末）如图，F是△ABC的边BC延长线上的一点，DF⊥AB，∠A＝30°，∠F＝40°，求∠ACF的度数． 【作业 7】（2025秋•响水县期中）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，E，F分别是对角线BD，AC的中点． （1）求证：EF⊥AC； （2）若∠ADC＝45°，请判断EF与AC的数量关系，并说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 直角三角形及全等证明 优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年浙教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 巩固直角三角形的性质：两锐角互余、斜边中线等于斜边一半 · 掌握直角三角形全等的特殊判定方法HL · 能综合运用SSS/SAS/ASA/AAS/HL证明直角三角形全等 · 理解并运用直角三角形斜边上的中线模型 · 能解决直角三角形与角平分线、垂直平分线综合证明题 📚 知识梳理 ☆ 1.直角三角形的性质 直角三角形两锐角互余 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 30°角所对直角边等于斜边的一半 勾股定理：两直角边平方和等于斜边平方 概念辨析例题：Rt△ABC中，∠BAC＝90°，M为BC中点，BC＝20，则AM的长为（　　）A．8　B．10　C．12　D．15 解析：直角三角形斜边中线等于斜边一半，AM＝BC＝10。 ☆ 2.直角三角形斜边上的中线 斜边中点与直角顶点连线等于斜边一半 出现直角+中点，立刻连中线 中线把直角三角形分成两个等腰三角形 常用于证明线段相等、求角度 概念辨析例题：△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC中点，EF＝8，BC＝20，求△EFM的周长 解析：Rt△BFC中M是BC中点，FM＝BC＝10；同理EM＝BC＝10。周长＝EF+FM+EM＝8+10+10＝28。 ☆ 3.直角三角形全等判定（HL） 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） HL只适用于直角三角形，一般三角形不能用 直角三角形全等仍可用SSS/SAS/ASA/AAS HL是证明两直角三角形全等的常用方法 概念辨析例题：下列条件不能判定两个直角三角形全等的是（　　）A．两直角边对应相等　B．斜边和一锐角对应相等　C．斜边和一条直角边对应相等　D．两个锐角对应相等 解析：A是SAS，B是AAS，C是HL；D三个角相等只能判定相似，不能判定全等。 ☆ 4.全等证明综合 证明思路：要证线段相等→证三角形全等 找对应边对应角的方法：公共边、公共角、对顶角、同角的余角相等 辅助线：延长、截取、作高、连中线 直角三角形中注意互余关系导角 概念辨析例题：四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC中点，BD＝6，当EF⊥BD时，EF＝（　　）A．2　B．3　C．4　D．5 解析：Rt△ABC和Rt△ADC中，E是AC中点，所以BE＝DE＝AC，△BED等腰。F是BD中点，EF⊥BD，BF＝FD＝3，EF在等腰三角形底边上。 📋 知识总结表 核心概念 性质/判定 注意事项 两锐角互余 ∠A+∠B=90° 直角三角形 斜边中线 =斜边 出现中点必连 30°对边 =斜边 先找30°角 HL判定 斜边+一直角边 仅直角三角形 全等判定 SSS/SAS/ASA/AAS/HL 找对应边角 等腰+直角 斜边中线分两等腰 常用模型 ⚠️ 核心考点 【考点1】直角三角形的性质（第1-9题） · 两锐角互余导角 · 斜边中线=一半 · 30°对边=一半 · 勾股定理求边 1．（2025秋•怀化校级期末）在下列条件中：①∠A＝∠B﹣∠C，②∠A﹣∠B＝90°，③∠A：∠B：∠C＝2：3：5，④∠A∠B∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据直角三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案． 【解答】解：①由∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B﹣∠C得到：2∠B＝180°，则∠B＝90°，则△ABC是直角三角形，故符合题意； ②∠A﹣∠B＝90°得到：∠A＞90°，则△ABC不是直角三角形，故不符合题意； ③由∠A：∠B：∠C＝2：3：5，∠C，则△ABC是直角三角形，故符合题意；④由∠A+∠B+∠C＝180°，，得到：∠C＝90°，则△ABC是直角三角形，故符合题意； 综上所述，是直角三角形的是①③④，共3个． 故选：C． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质和三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键． 2．（2025秋•钱塘区期末）在△ABC中，∠C＝90°，点P在边AB上（不与点A，B重合），下列说法正确的是（　　） A．若CP⊥AB，则PA＝PB B．若PA＝PB，则CP⊥AB C．若∠B＝∠BCP，则PA＝PB D．若∠PCA＝∠PCB，则CP⊥AB 【分析】根据直角三角形的性质得出斜边的中线等于斜边的一半解答即可． 【解答】解：∵∠C＝90°，点P在边AB上（不与点A，B重合）， A、若CP⊥AB，不一定能得出PA＝PB，说法错误，故不符合题意； B、若PA＝PB，不一定能得出CP⊥AB，说法错误，故不符合题意； C、若∠B＝∠BCP，得出CP＝PB，得出∠A＝∠ACP，得出CP＝PA，可得PA＝PB，说法正确，故符合题意； D、若∠PCA＝∠PCB，不一定能得出CP⊥AB，说法错误，故不符合题意； 故选：C． 【点评】此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质得出斜边的中线等于斜边的一半解答． 3．（2025秋•碑林区校级期末）如图，在△ABC中，BD⊥AC交CA的延长线于点D，AE⊥BC，交BC于点E．则图中的直角三角形共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据垂直的定义找到三角形中的直角，再根据直角三角形的定义即可找到图中直角三角形． 【解答】解：∵BD⊥AC， ∴∠D＝90°， ∴△ABD，△BCD是直角三角形， ∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝∠AEC＝90°， ∴△ABE，△ACE是直角三角形， ∴图中共有4个直角三角形， 故选：D． 【点评】本题考查了直角三角形的识别，解题关键是找到三角形中的直角． 4．（2025秋•广信区期末）在直角△ABC中，其中一个锐角等于20°，另一个锐角等于　70°　 ． 【分析】直角三角形中两个锐角互余，即它们的和等于90°． 【解答】解：∵一个直角三角形的一个锐角是20°， ∴它的另一个锐角的大小为90°﹣20°＝70°． 故答案为：70°． 【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，两个锐角互余． 5．（2025秋•思明区校级期末）如图，在△ABC中，D为AB延长线上一点，DE⊥AC于E．若AC＝BC，∠C＝40°，则∠D＝　20°　 ． 【分析】先根据AC＝BC及∠C＝40°，求出∠A的度数，再结合DE⊥AC求出∠D即可． 【解答】解：∵AC＝BC， ∴∠A＝∠ABC． 又∵∠C＝40°， ∴∠A． ∵DE⊥AC， ∴∠AED＝90°， ∴∠D＝90°﹣∠A＝20°． 故答案为：20°． 【点评】本题主要考查了直角三角形的性质、三角形的外角性质及等腰三角形的性质，熟知等腰三角形及直角三角形的性质是解题的关键． 6．（2024春•吉安县校级月考）如图，在△ABC中，∠A＝54°，∠B＝90°，D是AC边上的定点，E是CB上的动点，沿DE折叠△CDE，点C落在点F处．当EF与△ABC的一边平行时，∠DEB的度数是 　108°或135°或45°　 ． 【分析】先求出∠C，再根据折叠的性质得∠CED＝∠FED，∠CDE＝∠FDE，∠F＝∠C＝36°，然后根据当EF与△ABC的一边平行，分下两种情况进行讨论：①当EF∥AC时；②当EF∥AB时，又有两种情况：（ⅰ）点F在BC上方时；（ⅱ）当点F在BC下方时，分情况进行求解即可． 【解答】解：∵∠A＝54°，∠B＝90°， ∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝36°． 由折叠的性质得∠CED＝∠FED，∠CDE＝∠FDE，∠F＝∠C＝36°， ∴∠CEF＝2∠CED，∠CDF＝2∠CDE． 当EF与△ABC的一边平行，有以下两种情况： ①当EF∥AC时（如图），∠FEB＝∠C＝36°， ∴∠CEF＝180°﹣∠FEB＝144°， ∴2∠CED＝144°， ∴∠CED＝72°， ∴∠DEB＝180°﹣∠CED＝180°﹣72°＝108°； ②当EF∥AB时，又有两种情况： （i）点F在BC上方时（如图）． ∵∠B＝90°，EF∥AB， ∴∠CEF＝∠B＝90°， ∴2∠CED＝90°， ∴∠CED＝45°， ∴∠DEB＝180°﹣∠CED＝180°﹣45°＝135°； （ⅱ）当点F在BC下方时（如图）． 设∠DEB＝α， ∵∠B＝90°，EF∥AB， ∴∠FEB＝∠CEF＝90°， ∴∠FED＝∠DEB+∠FEB＝α+90°， ∴∠CED＝∠FED＝α+90°． ∵∠CED+∠DEB＝180°， ∴α+90°+α＝180°， 解得a＝45°， ∴∠DEB＝45°． 综上所述，符合题意的∠DEB的度数是108°或135°或45°， 故答案为：108°或135°或45°． 【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，平行线的性质，关键是相关性质的熟练掌握． 7．（2026春•桥西区期末）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在△ABC中，如果∠A＝80°，∠B＝40°，那么∠A与∠B互为“友爱角”，△ABC为“友爱三角形”． （1）如图1，△ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B互为“友爱角”（∠A＞∠B），∠ACB＝90°． ①∠A＝ 　60　 °，∠B＝ 　30　 °； ②若CD是△ABC的高，则△BCD是“友爱三角形”吗？为什么？ （2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝70°，∠A＝66°，D是边AB上一点（不与点A，B重合），连接CD，若△ACD是“友爱三角形”，直接写出∠ACD的度数． 【分析】（1）①在Rt△ABC中得∠A+∠B＝90°，再根据△ABC是“友爱三角形”得∠A＝2∠B，据此可得∠A＝60°，∠B＝30°； ②由CD是△ABC的高得∠CDB＝90°，在Rt△BCD中，由∠B+∠BCD＝90°得∠BCD＝60°，由此得∠BCD＝2∠B，据此得△BCD是“友爱三角形”； （2）先求出∠B＝44°，设∠ACD＝α，则∠BCD＝70°﹣α，0°＜α＜70°，由三角形外角性质得∠ADC＝114°﹣α，当△ACD是“友爱三角形”时，有以下六种情况：①当∠A＝2∠ACD时，则66°＝2α，解得α＝33°，符合题意；②∠ACD＝2∠A时，则α＝2×66°＝132°，不符合题意；③当∠A＝2∠ADC时，则66°＝2（114°﹣α），解得α＝81°，不符合题意；④当∠ADC＝2∠A时，则114°﹣α＝2×66°，解得α＝﹣18°，不符合题意；⑤当∠ACD＝2∠ADC时，则α＝2（114°﹣α），解得α＝76°不符合题意；⑥当∠ADC＝2∠ACD时，则114°﹣α＝2α，解得α＝38°，符合题意；综上所述即可得出答案． 【解答】解：（1）①∵在△ABC中，∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵△ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B互为“友爱角”（∠A＞∠B）， ∴∠A＝2∠B， ∴2∠B+∠B＝90°， ∴∠B＝30°，∠A＝2∠B＝60°， 故答案为：60；30； ②△BCD是“友爱三角形”，理由如下： ∵CD是△ABC的高， ∴CD⊥AB， ∴∠CDB＝90°， 在Rt△BCD中，∠CDB＝90°， ∴∠B+∠BCD＝90°， 由①可知：∠B＝30°， ∴∠BCD＝90°﹣∠B＝60°， ∴∠BCD＝2∠B， ∴△BCD是“友爱三角形”； （2）在△ABC中，∠ACB＝70°，∠A＝66°， ∴∠B＝180°﹣（∠ACB+∠A）＝180°﹣（70°+66°）＝44°， 设∠ACD＝α，则∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝70°﹣α， ∵D是边AB上一点（不与点A，B重合）， ∴0°＜α＜70°， ∵∠ADC是△BCD的外角， ∴∠ADC＝∠B+∠BCD＝44°+70°﹣α＝114°﹣α， 在△ACD中，∠A＝66°，∠ACD＝α，∠ADC＝114°﹣α， ∴当△ACD是“友爱三角形”时，有以下六种情况： ①当∠A＝2∠ACD时，则66°＝2α， 解得：α＝33°，符合题意； ②∠ACD＝2∠A时，则α＝2×66°＝132°，不符合题意，舍去； ③当∠A＝2∠ADC时，则66°＝2（114°﹣α）， 解得：α＝81°，不符合题意，舍去； ④当∠ADC＝2∠A时，则114°﹣α＝2×66°， 解得：α＝﹣18°，不符合题意，舍去； ⑤当∠ACD＝2∠ADC时，则α＝2（114°﹣α）， 解得：α＝76°不符合题意，舍去； ⑥当∠ADC＝2∠ACD时，则114°﹣α＝2α， 解得：α＝38°，符合题意； 综上所述：若△ACD是“友爱三角形”，∠ACD的度数为33°或38°． 【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，理解直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握三角形的内角和定理，三角形的外角性质，是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点． 8．（2025秋•绵阳期末）如图，在△ABC中，∠ACD＝∠B，∠BCD＝∠A． （1）求证：△ACB为直角三角形； （2）若∠ACB的平分线CE交AB于点E，CD⊥AB于点D，∠B＝60°，求∠DCE的度数． 【分析】（1）由三角形内角和定理得到∠ACD+∠BCD＝90°，因∠ACB＝90°，即可证明△ACB为直角三角形； （2）求出∠BCD＝90°﹣∠B＝30°，由角平分线的定义求出∠ECB∠ACB＝45°，即可求出∠DCE的度数． 【解答】（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠BCD＝∠A， ∴∠ACD+∠BCD＝∠B+∠A， ∵∠A+∠B+∠ACD+∠BCD＝180°， ∴2（∠ACD+∠BCD）＝180°， ∴∠ACD+∠BCD＝90°， ∴∠ACB＝90°， ∴△ACB为直角三角形； （2）解：∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝90°， ∵∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°， ∵CE平分∠ACB， ∴∠ECB∠ACB＝45°， ∴∠DCE＝∠ECB﹣∠BCD＝45°﹣30°＝15°． 【点评】本题考查直角三角形的性质，关键是掌握有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． 【考点2】直角三角形斜边上的中线（第10-21题） · 直角+中点连中线 · 中线分两等腰 · 中点+垂直证等腰 · 求周长/线段 9．（2024春•东西湖区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠BAD＝35°，E是斜边BC的中点，则∠DAE的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【分析】根据垂直定义可得∠ADB＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得：∠B＝55°，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得AE＝BE，从而可得∠B＝∠BAE＝55°，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∵∠BAD＝35°， ∴∠B＝90°﹣∠BAD＝55°， ∵∠BAC＝90°，E是斜边BC的中点， ∴AE＝BEBC， ∴∠B＝∠BAE＝55°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝20°， 故选：B． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形内角和定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 10．（2026春•昆明期末）如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A、D、B对应的刻度分别为1、4、7（单位：cm），则CD的长度为（　　） A．6 B．4.5 C．3.5 D．3 【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质解答即可． 【解答】解：由题意可知：AB＝6cm，AD＝DB， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线， ∴CDAB＝3（cm）， 故选：D． 【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 11．（2025秋•临淄区期末）如图，梯子AB斜靠在墙面上，点P是梯子AB的中点，梯子滑动时，点B沿BC滑向墙角C点，点A水平远离墙角C点，P点和C点的距离（　　） A．始终不变 B．不断变小 C．不断变大 D．先变小后变大 【分析】根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可解决问题． 【解答】解：由题知， ∵BC⊥AC，且点P为AB的中点， ∴CP为Rt△ABC斜边上的中线， ∴CP． ∵梯子的长度不变， ∴P点和C点的距离始终不变． 故选：A． 【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线，熟知“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是解题的关键． 12．（2026•西安校级模拟）如图，在△ABC中，D是AC的中点，CE⊥AB，BD与CE交于点O，且BE＝CD．下列说法错误的是（　　） A．BD的垂直平分线一定与AB相交于点E B．∠BDC＝3∠ABD C．当E为AB中点时，△ABC是等边三角形 D．当E为AB中点时，S△BOC＝3S△COD 【分析】连接DE，由CE⊥AB，D是AC的中点，根据直角三角形斜边上的中线性质可得，证得BE＝DE，从而得到∴点E在线段BD的垂直平分线上，即可判断A选项；设∠ABD＝α，根据BE＝DE，得到∠EDB＝∠ABD＝α，从而得到∠AED＝∠EDB+∠ABD＝2α，根据DE＝AD，得到∠A＝∠AED＝2α，从而得到∠BDC＝∠A+∠ABD＝3α，即可判断B选项；当E为AB中点时，则，结合CE⊥AB，得到CE是线段AB的垂直平分线，从而得到AC＝BC，根据，，BE＝CD，证得AB＝AC，即可判断C选项；当E为AB中点时，△ABC是等边三角形，易证OB＝OC，BD⊥AC，得到BD＝3OD，从而证得，即可判断D选项． 【解答】解：如图所示，连接DE， ∵CE⊥AB，D是AC的中点， ∴DE为Rt△AEC斜边上的中线， ∴， ∵BE＝CD， ∴BE＝DE， ∴点E在线段BD的垂直平分线上，即BD的垂直平分线一定与AB相交于点E，故选项A正确，不符合题意； 设∠ABD＝α， ∵BE＝DE， ∴∠EDB＝∠ABD＝α， ∴∠AED＝∠EDB+∠ABD＝2α， ∵DE＝AD， ∴∠A＝∠AED＝2α， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝3α，即∠BDC＝3∠ABD，故选项B正确，不符合题意； 当E为AB中点时，则， ∵CE⊥AB， ∴CE是线段AB的垂直平分线， ∴AC＝BC， ∵，，BE＝CD， ∴AB＝AC， ∴AC＝BC＝AB， ∴△ABC是等边三角形，故选项C正确，不符合题意； 当E为AB中点时，△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°，CE平分∠ACB， ∴∠OBC＝∠OCB＝30°，∠OCD＝30°， ∴OB＝OC， 又∵点D为AC的中点， ∴BD⊥AC， ∴， ∴BD＝3OD， ∵，， ∴， ∴，即S△BOC＝2S△COD，故选项D不正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，理解相关性质定理是解决问题的关键． 13．（2026•乐山）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝6，AB＝8，点D为斜边AC的中点，则BD＝　5　 ． 【分析】由勾股定理得，，由∠ABC＝90°，D是AC的中点，可得． 【解答】解：由勾股定理得，， ∵∠ABC＝90°， D是AC的中点， ∴． 【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．熟练掌握勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 14．（2026•江夏区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M为BC的中点，CD⊥AB于点D，连接AM，CD相交于点N，若∠AMC＝∠DMB，BD＝2，则MN的长为 　　 ． 【分析】延长BC到E，使CE＝CM，连接AE，过点C作CF∥AE，交AM于点F，设CM＝BM＝a，则BC＝2a，BE＝3a，再根据MD是Rt△BDC的斜边BC上的中线得DM＝CM＝BM＝a，证明DM∥AE得△BDM和△BAE相似，由相似三角形性质得AB＝6，证明△CBD和△ABC相似，由相似三角形性质得a，由此得DM＝CM＝BM＝a，BC＝2a，进而由勾股定理得AC，AM，证明点F是AM的中点得CF是Rt△ACM的斜边AM上的中线，则CF＝FM＝FAAM，再证明△CFN和△DMN相似，利用相似三角形性质得MN． 【解答】解：延长BC到E，使CE＝CM，连接AE，过点C作CF∥AE，交AM于点F，如图所示： ∵点M为BC的中点， ∴设CM＝BM＝a，则BC＝2a，其中a＞0， ∴CE＝CM＝a， ∴BE＝BC+CE＝3a， ∵CD⊥AB于点D， ∴∠CDB＝90°， ∴△BDC是直角三角形， ∵点M为BC的中点， ∵MD是Rt△BDC的斜边BC上的中线， ∴DM＝CM＝BM＝a， ∵∠ACB＝90°， ∴AC⊥ME， ∴AC是线段EM的垂直平分线， ∴AM＝AE， ∴∠AMC＝∠E， ∵∠AMC＝∠DMB， ∴∠E＝∠DMB， ∴DM∥AE， ∴△BDM∽△BAE， ∴， ∵BD＝2， ∴， ∴AB＝6， 在△CBD和△ABC中， ∠CDB＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B， ∴△CBD∽△ABC， ∴， ∴， 整理得：a2＝3， ∴a，a（不合题意，舍去）， ∴DM＝CM＝BM＝a，BC＝2a， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC， 在△ACM中，∠ACB＝90°， ∴△ACM是直角三角形， 在Rt△ACM中，AM， ∵CE＝CM，CF∥AE， ∴CF是△MAE的中位线， ∴点F是AM的中点， ∴CF是Rt△ACM的斜边AM上的中线， ∴CF＝FM＝FAAM， ∵CF∥AE，DM∥AE， ∴CF∥DM， ∴△CFN∽△DMN， ∴， ∴设FN＝3k，MN＝2k， ∴FM＝FN+MN＝5k， ∴k， ∴MN＝2k． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线，理解直角三角形斜边上的中线的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造相似三角形是解决问题的难点． 15．（2026春•房山区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．点D是斜边AC的中点，DE⊥BC，垂足为E，若DE＝3，，则AE的值是　6　 ． 【分析】根据平行线的判定得出DE∥AB，进而利用三角形中位线得出DE是△ABC的中位线，进而利用勾股定理解答即可． 【解答】解：∵DE⊥BC， ∴∠DEC＝90°＝∠ACB， ∴DE∥AB， ∵点D是斜边AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴BE＝EC， ∵∠ACB＝90°，点D是斜边AC的中点， ∴BDAC＝3， ∴BE， ∴BC＝2BE＝12， ∴AB， ∴AE， 故答案为：6． 【点评】此题考查直角三角形的性质，关键是利用勾股定理解答． 16．（2026春•青羊区校级月考）如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，点E、F分别为AC、BD的中点，连接BE、DE，AC＝26，BD＝24．则EF的长为　5　 ． 【分析】由直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半可得，进而由等腰三角形的性质可得EF⊥BD，，再利用勾股定理解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【解答】解：如图， ∵∠ABC＝90°，点E是AC的中点，AC＝26， ∴， 同理可得， ∴BE＝DE， ∵点F是BD中点， ∴EF⊥BD，， ∴． 故答案为：5． 【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线，正确进行计算解题关键． 17．（2026春•仓山区期中）如图，以线段AB为斜边向两侧作Rt△ABC和Rt△ABD，∠ACB＝∠ADB＝90°，E是线段AB的中点，连接CE，DE．若∠CED＝100°，则∠CBD的度数为　130°　 ． 【分析】根据斜边上的中线等于斜边的一半得到CE＝BE＝DE，等边对等角，结合三角形的内角和定理以及角的和差关系进行求解即可． 【解答】解：以线段AB为斜边向两侧作Rt△ABC和Rt△ABD，∠ACB＝∠ADB＝90°， ∵E是线段AB的中点， ∴， ∴， ∵∠CED＝∠CEB+∠DEB＝100°， ∴． 故答案为：130°． 【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线，正确进行计算是解题关键． 18．（2025秋•江阴市校级月考）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，CE是AB边上的中线，DC＝BE，DF⊥CE，F为垂足．求证：F是CE中点． 【分析】连接DE，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到DE＝BE，得到DC＝DE，再根据等腰三角形的三线合一证明． 【解答】证明：如图，连接DE， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， 在Rt△ADB中，DE为AB边上中线， ∴DEAB＝BE， ∵DC＝BE， ∴DC＝DE， ∵DF⊥CE， ∴F是CE的中点． 【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 19．（2025秋•鄞州区期中）如图，已知AC⊥BC，AD⊥DB，E为AB的中点． （1）如图1，求证：△ECD是等腰三角形． （2）如图2，CD与AB交于点F，若AC＝BC，若CE＝4，BF＝1，求CD的长． 【分析】（1）根据△ABC和△ABD是直角三角形，点E是AB的中点DECE＝1/2AB，DE＝1/2AB，由此可得出结论； （2）过点E作EG⊥CD于G，由（1）的结论得CG＝DG，证明△ABC是等腰直角三角形，得CE＝AE＝BE＝4，AE⊥AB，则BF＝1，EF＝3，CE＝5，再由三角形面积公式求出EG＝2.4，进而得CG＝3.2，由此可得CD的长． 【解答】（1）证明：∵AC⊥BC，AD⊥DB， ∴△ABC和△ABD是直角三角形， ∵点E是AB的中点， ∴CEAB，DEAB， ∴CE＝DE， ∴△CDE是△ECD是等腰三角形； （2）解：过点E作EG⊥CD于G，如图所示： ∵CE＝DE， ∴CG＝DG， ∵AC⊥BC，AC＝BC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∵E为AB的中点， ∴CE＝AE＝BE＝4，CE⊥AB， ∵BF＝1， ∴EF＝BE﹣BF＝3， 由勾股定理得：CF5， 由三角形的面积公式得：S△CEFCF•EGCE•EF， ∴EG2.4， 在Rt△CEG中，由勾股定理得：CG3.2， ∴CG＝DG＝3.2， ∴CD＝CG+DG＝6.4． 【点评】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键． 20．（2025秋•江都区月考）如图，在锐角三角形ABC中，CD、BE分别是边AB，AC上的高，M、N分别是线段BC，DE的中点． （1）求证：MN⊥DE； （2）连接DM，ME，若∠A＝50°，求∠DME． 【分析】（1）连接DM、ME，由CD、BE分别是边AB，AC上的高，得∠BDC＝∠BEC＝90°，因为M是线段BC的中点，所以DM＝MEBC，而N是线段DE的中点，可根据等腰三角形的“三线合一”证明MN⊥DE． （2）因为DM＝BM＝ME＝MCBC，所以∠MDB＝∠ABC，∠MEC＝∠ACB，则∠BMD＝180°﹣2∠ABC，∠CME＝180°﹣2∠ACB，由∠A＝50°，求得∠ABC+∠ACB＝130°，则∠DME＝180°﹣∠BMD﹣∠CME＝2（∠ABC+∠ACB）﹣180°＝80°． 【解答】（1）证明：连接DM、ME， ∵在锐角三角形ABC中，CD、BE分别是边AB，AC上的高， ∴CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E， ∴∠BDC＝∠BEC＝90°， ∵M是线段BC的中点， ∴DMBC，MEBC， ∴DM＝ME， ∵N是线段DE的中点， ∴MN⊥DE． （2）解：∵∠BDC＝∠BEC＝90°，M是线段BC的中点， ∴DM＝BMBC，ME＝MCBC， ∴∠MDB＝∠ABC，∠MEC＝∠ACB， ∴∠BMD＝180°﹣∠MDB﹣∠ABC＝180°﹣2∠ABC，∠CME＝180°﹣∠MEC﹣∠ACB＝180°﹣2∠ACB， ∵∠A＝50°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°， ∴∠DME＝180°﹣∠BMD﹣∠CME＝180°﹣（180°﹣2∠ABC）﹣（180°﹣2∠ACB）＝2（∠ABC+∠ACB）﹣180°＝80°， ∴∠DME的度数是80°． 【点评】此题重点考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的“三线合一”、三角形内角和定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 【考点3】直角三角形的全等判定（第22-32题） · HL证两Rt△全等 · SSS/SAS/ASA/AAS通用 · 公共边公共角找条件 · 辅助线构造全等 21．（2026春•文登区期末）下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是（　　） A．两条直角边分别相等 B．斜边和一个锐角分别相等 C．两个锐角分别相等 D．斜边和一条直角边分别相等 【分析】根据全等三角形的判定定理SAS，AAS，HL，ASA逐项分析即可求解． 【解答】解：A、两条直角边分别相等的两个直角三角形，根据SAS可证明这两个直角三角形是全等三角形，故A选项不符合题意； B、斜边和一个锐角分别相等的两个直角三角形，根据AAS可证明这两个直角三角形是全等三角形，故B选项不符合题意； C、两个锐角分别相等的两个直角三角形，不能得出这两个直角三角形是全等三角形，故C选项符合题意； D、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形，根据HL可证明这两个直角三角形是全等三角形，故D选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，关键是根据全等三角形的判定定理解答． 22．（2025秋•蓬莱区期末）如图，已知△ABC，且AB＝AC，AE＝AF，AD⊥BC于点D，且E、F在BC上，则图中共有多少对全等的直角三角形（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】如图，运用等腰三角形的性质证明BD＝CD，DE＝DF；证明△ABD≌△ACD，△AED≌△AFD，△ABF≌△ACE，△ABE≌△ACF，即可解决问题． 【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝DC， Rt△ABD与Rt△ACD中 ∴△ABD≌△ACD， 同理△AED≌△AFD， 故选：B． 【点评】该题主要考查了全等三角形的判定问题、等腰三角形的性质及其应用问题；灵活运用全等三角形的判定问题、等腰三角形的性质是解题的关键． 23．（2026春•阜新期中）如图，点E，F在线段AC上，AE＝CF，AD⊥DF于点D，CB⊥BE于点B，要根据“HL”证明Rt△ADF≌Rt△CBE，则还需添加的一个条件是（　　） A．AD＝CB B．∠A＝∠C C．BE∥DF D．AD∥BC 【分析】已知AD⊥DF，CB⊥BE，得出∠D＝∠B＝90°，由AE＝CF，得出AF＝CE，再添加一组直角边对应相等即可证明Rt△ADF≌Rt△CBE，据此即可求解． 【解答】解：∵AD⊥DF，CB⊥BE， ∴∠D＝∠B＝90°， ∵AE＝CF， ∴AE+EF＝CE+EF， 即AF＝CE， 添加AD＝BC， 在Rt△ADF和Rt△CBE中， ， ∴Rt△ADF≌Rt△CBE（HL）， 故选：A． 【点评】本题考查了直角三角形全等的判定，全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 24．（2026春•同步）如图，点A，C，E在同一条直线上，已知∠A＝∠DEC＝90°，AB＝CE，BC＝DC，则Rt△CED≌　Rt△BAC ，判定的依据是HL ，此时∠BCD的度数为　90°　 ． 【分析】根据HL判断两个直角三角形全等即可． 【解答】解：∵∠A＝∠DEC＝90°，AB＝CE，BC＝DC， ∴Rt△CED≌Rt△BAC（HL）， ∴∠ABC＝∠ECD， 又∵∠ABC+∠BCA＝90°， ∴∠ECD+∠BCA＝90°， ∴∠BCD＝180°﹣（∠ECD+∠BCA）＝90°． 故答案为：Rt△BAC，HL，90°． 【点评】此题主要考查HL判断两个直角三角形全等，解题关键是熟知全等三角形的判定方法． 25．（2024秋•吐鲁番市期末）如图，点E，C在BF上，BE＝CF，∠A＝∠D＝90°，若要根据“HL”判定Rt△ABC≌Rt△DFE，则需添加的一个条件可以是 DE＝AC（答案不唯一）　 （写出一个即可）． 【分析】根据直角三角形的判定方法解答即可． 【解答】解：添加DE＝AC，∵BE＝CF， ∴BE+EC＝CF+EC， 即EF＝CB， 在Rt△ABC与Rt△DFE中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DFE（HL）． 故答案为：DE＝AC（答案不唯一）． 【点评】此题考查直角三角形的判定，关键是根据HL证明Rt△ABC≌Rt△DFE解答． 26．（2026春•同步）如图，在△ABC与△ADC中，∠B＝∠D＝90°，要使Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），还需要添加一个条件：BC＝DC或AB＝AD ． 【分析】根据HL证明时，AC＝AC为公共边，只需添加BC＝CD或AB＝AD，解答即可． 【解答】解：根据题意，根据HL证明时，AC＝AC为公共边，只需添加BC＝DC或AB＝AD， 理由如下： 在Rt△ABC与Rt△ADC中， ， 或， ∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）． 故答案为：BC＝DC或AB＝AD． 【点评】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握判定条件是解题的关键． 27．（2025春•渭城区期末）如图，在△ABE与△CBD中，AE⊥BD于点E，CD⊥BD于点D，AB＝BC，BE＝CD．证明：Rt△ABE≌Rt△BCD． 【分析】根据题意利用HL判定Rt△ABE≌Rt△BCD即可得到本题答案． 【解答】证明：∵AE⊥BD，CD⊥BD， ∴∠AEB＝∠BDC＝90°， 在Rt△ABE和Rt△BCD中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△BCD（HL）． 【点评】本题考查全等三角形判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 【考点4】创新及压轴题（第33-35题） · 多结论判断 · 分类讨论动点 · 综合全等+中线 · 建立方程 28．（2025秋•祁阳市校级期末）如图，等边△ABC的边长为6cm，点P在边AB上以每秒1cm的速度从A向B运动，到点B停止；点Q在射线BC上以每秒3cm的速度从B向C运动，随着点P的停止而停止；设运动时间为t秒． （1）用含t的式子表示线段长度：BP＝ 　（6﹣t）　 cm，BQ＝ 　3t cm； （2）求t为何值时，△BPQ为直角三角形； （3）若运动过程中，线段PQ与边AC交于点M，请问是否存在点M为线段PQ中点的情况？若存在，请求出此时的t值和MC的长度；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）依题意得：AP＝tcm，BQ＝3tcm，进而得BP＝AB﹣AP＝（6﹣t）cm，据此即可得出答案； （2）根据∠B＝60°得有以下两种情况：①当∠BQP＝90°时，则∠BPQ＝30°，进而得BQBP，即3t（6﹣t），由此解得t；②当∠BPQ＝90°时，则∠BQP＝30°，进而得BPBQ，即6﹣t3t，由此解得t，综上所述即可得出答案； （3）过点P作PN∥BC交AC于点N，证明△APN是等边三角形得PN＝AP＝AN＝tcm，再证明△PNM和△QCM全等得PN＝CQ＝tcm，MN＝MC，进而得BQ＝（6+t）cm，据此得3t＝6+t，由此解得t＝3，此时AN＝3cm，则CN＝AC﹣AN＝3cm，继而得MC＝1.5cm． 【解答】解：（1）依题意得：AP＝tcm，BQ＝3tcm， ∵△ABC是等边三角形，且边长为6cm， ∴BP＝AB﹣AP＝（6﹣t）cm，∠A＝∠B＝60°， 故答案为：（6﹣t）；3t； （2）在△BPQ中，∠B＝60°， ∴当△BPQ为直角三角形时，有以下两种情况： ①当∠BQP＝90°时，如图1①所示： ∴∠BPQ＝90°﹣∠B＝30°， ∴BQBP， ∴3t（6﹣t）， 解得：t； ②当∠BPQ＝90°时，如图1②所示： ∴∠BQP＝90°﹣∠B＝30°， ∴BPBQ， ∴6﹣t3t， 解得：t， 综上所述：当t为秒或秒时，△BPQ为直角三角形； （3）存在． 过点P作PN∥BC交AC于点N，如图2所示： ∴∠APN＝∠B＝60°，∠PNM＝∠QCM， 在△APN中，∠A＝∠APN＝60°， ∴△APN是等边三角形， ∴PN＝AP＝AN＝tcm， ∵点M为线段PQ中点， ∴PM＝QM， 在△PNM和△QCM中， ， ∴△PNM≌△QCM（AAS）， ∴PN＝CQ＝tcm，MN＝MC， ∴BQ＝BC+CQ＝（6+t）cm， ∴3t＝6+t， 解得：t＝3， ∴当t＝3秒时，点M为线段PQ中点， 此时AN＝3cm， ∴CN＝AC﹣AN＝6﹣3＝3（cm）， ∵MN＝MC， ∴MN＝2MC＝3， ∴MC＝1.5（cm）． 【点评】此题主要考查了含有30°角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，理解含有30°角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，分类讨论是易错点． 29．（2026•西宁校级一模）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F． （1）求证：AF＝BD； （2）判断四边形ADCF的形状，并说明理由． 【分析】（1）由平行线的性质可得∠AFE＝∠DBE，再证明△AEF≌△DEB（AAS），即可得证； （2）由（1）可得AF＝BD，由直角三角形的性质可得AD＝BD＝CD，最后再由菱形的判定定理证明即可． 【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F． ∴∠AFE＝∠DBE， ∵AE＝DE， 在△AEF和△DEB中， ， ∴△AEF≌△DEB（AAS）， ∴AF＝BD； （2）解：四边形ADCF是菱形，理由如下： 由（1）可得AF＝BD， ∵∠BAC＝90°，D是BC的中点， ∴AD＝BD＝CD， ∴AF＝CD， ∵AF∥BC，即AF∥CD， ∴四边形ADCF为平行四边形， ∵AD＝CD， ∴四边形ADCF是菱形． 【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线，正确进行计算是解题关键． 30．（2026春•惠阳区期末）已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，连接CD，F是CD的中点，过点C作CE∥AB交AF的延长线于点E，连接BE． （1）求证：CE＝AD； （2）判断四边形CDBE的形状，并说明理由． 【分析】（1）根据平行线的性质得出∠ECF＝∠ADF，根据中点的定义得出DF＝CF，即可证明△ECF≌△ADF（ASA），根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）根据直角三角形斜边上的中线的性质得出CD＝AD＝BD，即可得出CE＝BD，进而证明四边形CDBE是平行四边形，根据CD＝BD即可证明四边形CDBE是菱形． 【解答】（1）证明：∵CE∥AB， ∴∠ECF＝∠ADF， ∵F是CD的中点， ∴DF＝CF， 在△ECF和△ADF中，， ∴△ECF≌△ADF（ASA）， ∴CE＝AD； （2）解：四边形CDBE是菱形， ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点， ∴CD＝AD＝BD， 由（1）可知，CE＝AD， ∴CE＝BD， ∵CE∥AB， ∴四边形CDBE是平行四边形， ∵CD＝BD， ∴四边形CDBE是菱形． 【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线，正确记忆相关知识点是解题关键． 📝 随堂检测 【练习 1】（2026春•天长市期末）如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF＝8，BC＝20，△EFM的周长是（　　） A．26 B．28 C．30 D．32 【分析】根据CF⊥AB于点F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出FM和ME的长，即可求解． 【解答】解：∵CF⊥AB，M为BC的中点，BC＝20， ∴， 同理可得：， ∵EF＝8， ∴△EFM的周长＝FM+ME+EF＝10+10+8＝28． 故选：B． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，解题的关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求线段的长． 【练习 2】（2025秋•绥江县期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC为直角，DE是AC的垂直平分线，∠B＝60°，则∠DAC的度数是（　　） A．20° B．30° C．35° D．40° 【分析】先求出∠C的度数，再由线段垂直平分线的性质得到AD＝CD，最后根据等边对等角即可得到答案． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC为直角，∠B＝60°， ∴∠C＝30°， ∵DE是AC的垂直平分线， ∴AD＝CD， ∴∠DAC＝∠C， ∴∠DAC＝30°， 故选：B． 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟记以上知识点是解题的关键． 【练习 3】（2025秋•鄞州区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，延长BC至点D，连结AD，使得2AD＝BC． （1）若∠ABC＝20°，则∠CAD的度数为　30°　 ； （2）若AB＝7，，则AC的值为　　 ． 【分析】（1）依据题意，取BC的中点E，连接AE，由∠BAC＝90°，则AE＝BE＝CEBC，∠BCA＝90°﹣∠B＝70°，故∠B＝∠BAE＝20°，从而∠CEA＝∠B+∠BAE＝40°，又BC＝2AD＝2AE，可得∠D＝∠CEA＝40°，故∠CAD＝∠ACE﹣∠D＝70°﹣40°＝30°，即可得解； （2）依据题意，取BC的中点E，连接AE，作AH⊥BC于H，结合（1）AE＝AD，从而EH＝DHDE，又BE＝CE＝ADBC，故BD+AD＝BH+DH+AD＝BH+EH+CE＝2BH，从而BH，结合∠BAC＝90°，AH⊥BC，故AB2＝BH•BC，进而可得BC＝8，最后由AC，即可得解． 【解答】解：（1）由题意，取BC的中点E，连接AE． 又∵∠BAC＝90°， ∴AE＝BE＝CEBC，∠BCA＝90°﹣∠B＝70°． ∴∠B＝∠BAE＝20°． ∴∠CEA＝∠B+∠BAE＝40°． ∵BC＝2AD＝2AE， ∴∠D＝∠CEA＝40°． ∴∠CAD＝∠ACE﹣∠D＝70°﹣40°＝30°． 故答案为：30°； （2）取BC的中点E，连接AE，作AH⊥BC于H． 由题意，结合（1）∵AE＝AD， ∴EH＝DHDE． 又∵BE＝CE＝ADBC， ∴BD+AD＝BH+DH+AD＝BH+EH+CE＝2BH． ∴BH． ∵∠BAC＝90°，AH⊥BC， Rt△ACH与Rt△AHB中 （BC Rt△ABC中，AC2＝BC2﹣AB2＝BC2﹣72 ∴BC＝8． ∴AC． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线、三角形内角和定理，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 【练习 4】（2025秋•南京期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC＝10，BD＝6，E是对角线AC的中点，F是对角线BD上的动点，当EF⊥BD时，EF＝　4　 ． 【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质得到BEAC＝5，DEAC＝5，得到BE＝DE，根据等腰三角形的性质求出BF，再根据勾股定理计算得到答案． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是AC的中点， 则BEAC＝5， 同理可得：DEAC＝5， ∴BE＝DE， 当EF⊥BD时，BF＝DFBD＝3， 由勾股定理得：EF4， 故答案为：4． 【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，熟记在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 【练习 5】（2026春•鲤城区校级期中）如图，△ABC中，∠B＝90°，点D在射线BC上运动，DE⊥AD交射线AC于点E． （1）如图1，若∠BAC＝60°，当AD平分∠BAC时，求∠EDC的度数； （2）如图2，当点D在线段BC上时， ①判断∠EDC与∠BAD的数量关系并说明理由； ②作EF⊥BC于点F，∠BAD、∠DEF的角平分线相交于点G，随着点D的运动，∠G的度数会变化吗？如果不变，求出∠G的度数；如果变化，说明理由； （3）如图3，当点D在BC的延长线上时，作EF⊥BD于点F，∠BAD的角平分线和∠DEF的角平分线的反向延长线相交于点G，∠G的度数会变化吗？如果不变，求出∠G的度数；如果变化，说明理由． 【分析】（1）根据角平分线定义得∠BAD＝30°，进而得∠ADB60°，再根据DE⊥AD得∠ADB+∠EDC＝90°，由此即可得出∠EDC的度数； （2）①当点D在线段BC上时，根据∠B＝90°得∠BAD+∠ADB＝90°，根据DE⊥AD得∠ADB+∠EDC＝90°，由此可得出∠EDC与∠BAD的数量关系； ②设AG，EG分别∠BC于点M，N，设∠BAG＝∠DAG＝α，∠BAD＝2α，进而得∠GMN＝∠AMB＝90°﹣α，由①可知∠EDC＝∠BAD＝2α，则∠DEF＝90°﹣2α，再根据EG平分∠DEF得∠FEG＝45°﹣α，继而得∠GNM＝∠ENF＝45°+α，然后根据三角形内角和定理即可得出∠G＝45°，由此即可得出答案； （3）设AG交BC于点M，GE的延长线交CD于点N，先证明∠EDC＝∠BAD，设∠BAG＝∠DAG＝α，则∠EDC＝∠BAD＝2α，∠GMN＝90°﹣α，∠DEF＝90°﹣2α，根据EG平分∠DEF得∠FEN＝45°﹣α，∠GNM＝45°+α，然后根据三角形内角和定理即可得出∠G＝45°，由此即可得出答案． 【解答】解：（1）∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC， ∴∠BAD∠BAC＝30°， ∵∠B＝90°， ∴在Rt△ABD中，∠ADB＝90°﹣∠BAD＝60°， ∵DE⊥AD， ∴∠ADB+∠EDC＝90°， ∴∠EDC＝90°﹣∠BAD＝30°； （2）①∠EDC与∠BAD的数量关系是：∠EDC＝∠BAD，理由如下： 当点D在线段BC上时， ∵∠B＝90°， ∴∠BAD+∠ADB＝90°， ∵DE⊥AD， ∴∠ADB+∠EDC＝90°， ∴∠EDC＝∠BAD； ②随着点D的运动，∠G的度数不发生变化，始终是45°，理由如下： 设AG，EG分别∠BC于点M，N，如图2所示： ∵AG平分∠BAD， ∴设∠BAG＝∠DAG＝α， ∴∠BAD＝2α， ∵∠B＝90°， ∴∠GMN＝∠AMB＝90°﹣∠BAG＝90°﹣α， 由①可知：∠EDC＝∠BAD＝2α， ∵EF⊥BC， 在Rt△DEF中，∠DEF＝90°﹣∠EDC＝90°﹣2α， ∵EG平分∠DEF， ∴∠FEG∠DEF（90°﹣2α）＝45°﹣α， ∵EF⊥BC， ∴∠GNM＝∠ENF＝90°﹣∠FEG＝90°﹣（45°﹣α）＝45°+α， ∴∠G＝180°﹣（∠GMN+∠GNM）＝180°﹣（90°﹣α+45°+α）＝45°； （3）当点D在BC的延长线上时，∠G的度数不发生变化，始终是45°，理由如下： 设AG交BC于点M，GE的延长线交CD于点N，如图3所示： ∵∠B＝90°，DE⊥AD， ∴∠BAD+∠ADC＝90°，∠ADC+∠EDC＝90°， ∴∠EDC＝∠BAD， ∵AG平分∠BAD， ∴设∠BAG＝∠DAG＝α， ∴∠EDC＝∠BAD＝2α，∠GMN＝∠AMB＝90°﹣∠BAG＝90°﹣α， ∴∠DEF＝90°﹣∠EDC＝90°﹣2α， ∵EG平分∠DEF， ∴∠FEN∠DEF（90°﹣2α）＝45°﹣α， ∵EF⊥BC， ∴∠GNM＝90°﹣∠FEG＝90°﹣（45°﹣α）＝45°+α， ∴∠G＝180°﹣（∠GMN+∠GNM）＝180°﹣（90°﹣α+45°+α）＝45°． 【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图，理解直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握三角形的内角和定理，角平分线的定义是解决问题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 直角三角形两锐角互余，斜边中线等于斜边一半 · 出现直角+斜边中点，立刻连中线构造等腰三角形 · HL是直角三角形独有的全等判定：斜边+一直角边 · 证明线段相等先想证三角形全等，注意找公共边公共角 · 两个直角三角形共斜边时，斜边中点到四个顶点距离相等 【作业 1】（2026•嵊州市二模）学习了直角三角形中的性质定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”后，小越进行了思考：在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AB上一点（不与点A，B重合），连结CD，得到以下三个结论： ①若BD＝CD，则D为斜边AB的中点． ②若，则D为斜边AB的中点． ③若△ACD和△BCD均为等腰三角形，则D为斜边AB的中点． 其中一定正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质及等腰三角形的性质逐项分析判断即可． 【解答】解：根据直角三角形斜边上的中线性质及等腰三角形的性质逐项分析判断如下： ①BD＝CD， ∴∠B＝∠BCD， 又∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∴∠ACD+∠BCD＝90°， ∴∠A＝∠ACD， ∴AD＝CD， ∴AD＝BD，D是AB中点．符合题意； ②以AB为直径作圆，C在圆周上（直径所对圆周角90°），在圆弧上找点C，在弦AB上除中点外仍存在点D满足CDAB，即存在CDAB）但D不是AB中点的情况．不符合题意； ③若△ACD、△BCD都是等腰三角形，则D是AB中点正确， △BCD等腰：三种情况：BD＝CD、BC＝BD、CB＝CD； △ACD等腰：三种情况：AD＝CD、AC＝AD、CA＝CD；BD＝CD且AD＝CD：AD＝BD，D中点； 其余等腰组合会出现内角矛盾（∠C＝90约束），只有AD＝CD＝BD成立，D必为AB中点．符合题意； 结论①③一定正确． 故选：C． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，三角形中位线和梯形中位线等知识是解题的关键． 【作业 2】（2025春•太原月考）下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（　　） A．斜边和一条直角边分别相等 B．一个锐角和斜边分别相等 C．两条直角边分别相等 D．两个锐角分别相等 【分析】根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【解答】解：A、利用HL，可以判定两个直角三角形全等，故此选项正确，不符合题意； B、利用AAS，可以判定两个直角三角形全等，故此选项正确，不符合题意； C、利用SAS，可以判定两个直角三角形全等，故此选项正确，不符合题意； D、利用AAA，不能得到两个直角三角形全等，故此选项错误，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查直角三角形全等的判定，关键是全等三角形判定定理的熟练掌握． 【作业 3】（2026•长沙模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是△ABC的高线，BD是△ABC的中线，连接ED．若BC＝6，AE＝4．则DE为（　　） A．4 B．2.5 C．3 D． 【分析】根据等腰三角形的三线合一得到BE＝ECBC＝3，根据勾股定理求出AC，根据直角三角形斜边上的中线定理解答即可． 【解答】解：∵AB＝AC，BC＝6，AE是△ABC的高线， ∴BE＝ECBC＝3，AE⊥BC， ∴AC5， ∵BD是△ABC的中线， ∴点D为AC的中点， ∴DEAC＝2.5． 故选：B． 【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质、勾股定理，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 【作业 4】（2025秋•和平区校级月考）将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1＝50°，则∠2的度数是　40°　 ． 【分析】利用对顶角相等和直角三角形两个锐角互余计算即可． 【解答】解：如图： 由题意知：∠A＝90°，∠1＝50°， ∴∠ABC＝∠1＝50°， ∴∠ACB＝∠A﹣∠ABC ＝90°﹣50° ＝40°． ∵∠2＝∠ACB＝40°． ∴∠2＝40°． 故答案为：40°． 【点评】此题考查了直角三角形的性质，利用直角三角形的两个锐角互余是关键． 【作业 5】（2025秋•江阴市期中）如图，在△ABC中，∠BAC为钝角，AF，CE都是这个三角形的高，P为AC的中点，若∠B＝43°，则∠EPF的度数为　94°　 ． 【分析】先根据垂直定义可得∠AFC＝∠AEC＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得：∠BCE＝47°，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得FP＝CP，EP＝PC，从而可得∠PFC＝∠PCF，∠PEC＝∠PCE，最后利用三角形的外角性质可得∠EPF＝2∠BCE，即可解答． 【解答】解：∵AF⊥BC，CE⊥AB， ∴∠AFC＝∠AEC＝90°， ∵∠B＝43°， ∴∠BCE＝90°﹣∠B＝47°， ∵P为AC的中点， ∴FP＝CPAC，EP＝PCAC， ∴∠PFC＝∠PCF，∠PEC＝∠PCE， ∵∠APF是△CFP的一个外角，∠APE是△ECP的一个外角， ∴∠APF＝∠PFC+∠PCF＝2∠PCF，∠APE＝∠PEC+∠PCE＝2∠PCE， ∴∠EPF＝∠APF+∠APE＝2∠PCF+2∠PCE＝2（∠PCF+∠PCE）＝2∠BCE＝94°， 故答案为：94°． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形的外角性质，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 【作业 6】（2025秋•驻马店期末）如图，F是△ABC的边BC延长线上的一点，DF⊥AB，∠A＝30°，∠F＝40°，求∠ACF的度数． 【分析】在直角三角形DFB中，根据三角形内角和定理，求得∠B的度数；再在△ABC中，根据内角与外角的性质求∠ACF的度数即可． 【解答】解：在△DFB中， ∵DF⊥AB， ∴∠FDB＝90°， ∵∠F＝40°，∠FDB+∠F+∠B＝180°， ∴∠B＝50°． 在△ABC中， ∵∠A＝30°，∠B＝50°， ∴∠ACF＝30°+50°＝80°． 【点评】此题考查了多直角三角形的性质，根据三角形的内角和定理以及三角形的外角等于不相邻的两个内角的和解答是关键． 【作业 7】（2025秋•响水县期中）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，E，F分别是对角线BD，AC的中点． （1）求证：EF⊥AC； （2）若∠ADC＝45°，请判断EF与AC的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）连接AE，EC，由直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半可得，，即得AE＝CE，再根据等腰三角形的性质即可得以证明； （2）连接AE，EC，由可得，即得∠ECD＝∠CDE，同理可得∠EAD＝∠ADE，即得到∠AEC＝∠AEB+∠BEC＝2（∠ADE+∠CDE）＝90°，再根据直角三角形的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：如图，连接AE，EC， ∵∠BCD＝90°，点E是BD的中点， ∴（直角三角形斜边中线的性质）， 同理可得，， ∴AE＝CE， 又∵点F是AC的中点， ∴EF⊥AC（等腰三角形三线合一的性质）； （2）解：，理由如下： 如图，连接AE，EC， ∵∠BCD＝90°，点E是BD的中点， ∴， ∴∠ECD＝∠CDE， 同理可得，， ∴∠EAD＝∠ADE， ∵∠ADC＝45°， ∴∠AEC＝∠AEB+∠BEC ＝2∠ADE+2∠CDE ＝2（∠ADE+∠CDE） ＝2∠ADC ＝90°， ∵点F是AC的中点， ∴． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $