2.5逆命题和逆定理 教学设计 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

温州市初中数学课时教学备课（2025年版） 课题： 2.5　逆命题和逆定理 课型：新授课 设计时间： 2026 年 10 月 10 日 学习核心内容 感受原命题与逆命题之间的联系,会识别两个命题是不是互逆命题,会写出一个命题的逆命题.发展学生的思维灵活性. 学习目标 评价设计（指向学习目标） 1.经历逆命题概念的发生过程. 2.了解逆命题、逆定理的概念. 3.会识别两个命题是不是互逆命题,会写出一个命题的逆命题. 4.了解原命题成立,其逆命题不一定成立. 5.理解线段垂直平分线性质定理的逆定理的证明. 1.逆命题和逆定理的概念. 2.写逆命题以及证明逆命题为真的表述均有难度. 学习过程设计 环节一：引入新课 1、 复习旧知，情境导入 　我们前面学习了命题的概念,知道命题由条件与结论两部分组成,正确的命题称为真命题,不正确的命题称为假命题.我们今天继续来学习命题的有关内容. 教师活动: 什么是命题?它有什么特点? 命题的概念: 一般地,判断某一件事情的句子叫作命题. 命题的结构: 命题由条件和结论两部分组成,它的一般形式是“如果……那么……”. 命题有真有假: 正确的命题称为真命题,不正确的命题称为假命题. 设计意图：学生回忆命题的相关知识,为学习本节课做铺垫. 二、新知讲解 【探究1】 逆命题、互逆命题的概念 请仔细阅读下表中的四个命题,填写并思考:命题(1)和命题(2),命题(3)和命题(4),它们的条件和结论有什么关系? 命题 条件 结论 命题真假 (1)两直线平行,同位角相等 (2)同位角相等,两直线平行 (3)如果a=b,那么a2=b2 (4)如果a2=b2,那么a=b 　　命题(1)的条件是命题(2)的结论,命题(1)的结论是命题(2)的条件;命题(3)的条件是命题(4)的结论,命题(3)的结论是命题(4)的条件. 对于两个命题,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的条件,那么这两个命题互为逆命题.如果把其中一个命题叫作原命题,那么另一个命题叫作它的逆命题.例如,上表中,命题(1)与命题(2),命题(3)与命题(4),它们都是互逆命题. 　 每个命题都有它的逆命题,但真命题的逆命题是否一定是真命题呢? [答案:不一定] 小试牛刀: 1.说出下列命题的逆命题,并判定逆命题的真假. (1)长方形有两条对称轴; (2)正数大于零. 解:(1)逆命题为有两条对称轴的图形是长方形.这是假命题. (2)逆命题为零大于正数.这是假命题. 教师讲授:如果一个定理的逆命题能被证明是真命题,那么就称之为原定理的逆定理,这两个定理互为逆定理. 教师提问:你能说出两对互逆的定理吗? 解:答案不唯一,如“两直线平行,内错角相等”和“内错角相等,两直线平行”;“在同一个三角形中,等边对等角”和“在同一个三角形中,等角对等边”. 【知识拓展】 环节三：典例精析 例1　说出定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题,并证明这个逆命题是真命题. 解:这个定理的逆命题是:到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 已知:AB是一条线段,P是一点,且PA=PB. 求证:点P在线段AB的垂直平分线上. 证明:(1)当点P在线段AB上时,结论显然成立. 图2-5-4 (2)当点P不在线段AB上时,如图2-5-4,作PC⊥AB于点O. 由PA=PB,PO⊥AB,可得OA=OB, 故PC是AB的垂直平分线. 所以点P在线段AB的垂直平分线上. 可见,线段垂直平分线性质定理的逆命题是真命题,我们把它叫作线段垂直平分线性质定理的逆定理. 线段垂直平分线性质定理的逆定理:到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 例2　说出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题,判断这个逆命题的真假,并说明理由. 解:逆命题是:“如果两个三角形的面积相等,那么这两个三角形全等”. 图2-5-5 这个逆命题是假命题.举反例如下: 如图2-5-5,在△ABC中,AB≠AC,AD为BC边上的中线,则△ABD与△ACD的面积相等,但它们不全等.所以这个逆命题是假命题. 师生活动:老师给学生思考的时间,让学生说明△ABD与△ACD为什么不全等. 环节四：课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列命题的逆命题，属于真命题的是(　 ) A.若a=b，则|a|=|b| B.如果x=y，那么 C.如果|x|，|y|互为相反数，那么|x|－|y|=0 D.若a＞0，b＞0，则a＋b＞0 2.下列命题和其逆命题都成立的是(　　) ①全等三角形的对应边都相等； ②全等的两个三角形成轴对称； ③全等三角形的周长相等； ④能够完全重合的两个三角形全等。 A.①② B.①④ C.②④ D.③④ 3.下列a的取值中，可以用来证明命题“若a＞1，则a2＞1”的逆命题是假命题的反例是(　　) A.a=－2 B.a=－1 C.a=1 D.a=2 选做题： 4.写出命题“全等三角形的对应角都相等”的逆命题：　　。  【综合拓展类作业】 5.写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题。若是假命题，请举反例说明。 (1)垂直于同一条直线的两条直线平行。 (2)有一个角是60°的三角形为等边三角形。 (3)若x=y=0，则x＋y=0。 6.写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题。若是假命题，请举反例说明。 (1)垂直于同一条直线的两条直线平行。 (2)有一个角是60°的三角形为等边三角形。 (3)若x=y=0，则x＋y=0。 环节五：课堂总结 本节课我们学习了哪些内容? 本节课的主要学习内容是逆命题、逆定理的概念,以及线段垂直平分线性质定理的逆定理. 作业内容： 【知识技能类作业】 必做题：  1.给出下列说法： ①“两直线平行，同位角相等”与“同位角相等，两直线平行”互为逆定理； ②命题“如果两个角相等，那么它们都是直角”的逆命题为假命题； ③命题“如果－a=5，那么a=－5”的逆命题为“如果a=－5，那么－a=5”。 其中正确的是(　　) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 2.如图，点D在△ABC的边BC上，点P在射线AD上(不与点A，D重合)，连结PB，PC。下列命题中，不一定是真命题的是(　　) A.若AB=AC，AD⊥BC，则PB=PC B.若PB=PC，AD⊥BC，则AB=AC C.若AB=AC，∠1=∠2，则PB=PC D.若PB=PC，∠1=∠2，则AB=AC 选做题： 3.命题“等腰三角形两腰上的高线长相等”的逆命题是　　 。逆命题是　　 命题(填“真”或“假”)。  4.证明定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 已知：如图，在△ABC中，分别作AB边，BC边的垂直平分线，垂足分别为E，F，两线相交于点P。 求证：AB，BC，AC的垂直平分线相交于点P，并且点P到点A，B，C的距离相等。 证明：∵P是AB边垂直平分线上的一点， ∴　　=　　(　 　)。  同理可得，PB=　　。  ∴PA=　　，  ∴　　(与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的　　上)，  【综合拓展类作业】 5.[推理能力](1)已知命题：“P为等边三角形ABC内一点，若点P到三边的距离相等，则PA=PB=PC。”写出它的逆命题，判断其逆命题是否成立。若成立，请给出证明。 (2)进一步证明：等边三角形ABC内一点P到各边的距离之和为定值。 参考答案： 课堂练习： 1.B　2. B　 3.A 4.对应角都相等的两个三角形是全等三角形 5.解：(1)如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线；真命题。 (2)等边三角形有一个角是60°；真命题。 (3)若x＋y=0，则x=y=0；假命题。 反例：当x=－1，y=1时，x＋y=0，但x≠0，y≠0。 6.解：(1)如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线；真命题。 (2)等边三角形有一个角是60°；真命题。 (3)若x＋y=0，则x=y=0；假命题。 反例：当x=－1，y=1时，x＋y=0，但x≠0，y≠0。 作业内容： 1.B 2.D 3.两边上的高线长相等的三角形是等腰三角形 真 4.PA，PB，线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，PC，PC，点P在AC的垂直平分线上，垂直平分线 5.解：(1)逆命题：P为等边三角形ABC内一点，若PA=PB=PC，则点P到三边的距离相等。 该逆命题成立。证明如下： 如答图1，延长AP，BP，CP，分别交BC，AC，AB于点E，F，D。 ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC。 又∵PB=PC， ∴AE垂直平分BC。 同理，BF垂直平分AC，CD垂直平分AB， ∴S△ABC=BC·AE=AC·BF=AB·CD。 又∵AB=AC=BC， ∴AE=BF=CD。 又∵PA=PB=PC， ∴PE=PF=PD， ∴点P到三边的距离相等。 (2)如答图2。设PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为D，F，E，h为△ABC的一条高线长。 ∵AB=BC=AC，S△ABC=S△ABP＋S△PBC＋S△APC， ∴BC·h=AB·PD＋BC·PE＋AC·PF =(PD＋PE＋PF)·BC， ∴PD＋PE＋PF=h， ∴点P到各边的距离之和等于任意边上的高线长，为定值。 作业类别 1. 选用 改编 自编 2. 书面练习类 口头训练类 活动实践类 板书设计：课题 概念 例题 应用 教学反思：通过复习引入新课,激发学生的学习兴趣.提出问题,引导学生进入学习新知的情境中.在探索垂直平分线性质定理的逆定理的过程中,培养学生分析问题和解决问题的能力. 学科网（北京）股份有限公司 $