2.6 直角三角形讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）2026-2027学年浙教版数学八年级上册

 2.6 直角三角形讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）2026-2027八年级上学期答案解析 2． 题型精析（基础夯实） 【题型 1】利用两锐角互余求角度 【例题1】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，中，，，若，则的形状是（　　） A．底边与腰不相等的等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．以上结论都不对 【答案】C 【分析】此题考查的是等边三角形的判定及直角三角形两锐角互余，掌握等边三角形的判定方法是解决此题的关键． 先由，，运用三角形的内角和定理可得．再由，运用等腰三角形的性质可得，再运用角之间的关系可得的度数，进而可得是等边三角形． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 故选：C． 【变式1】（23-24八年级上·浙江宁波·开学考试）如图，在中，，按以下步骤作图： ①以点为圆心，小于的长为半径作圆弧，分别交，于点，； ②分别以点，为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点； ③作射线，交边于点．若，则的大小为____________． 【答案】 【分析】根据作图可得平分，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解． 【详解】解：由作图得平分， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）一副直角三角板，按如图所示的方式摆放，，在边上，点在边上，，相交于点，，，则的度数为_____ ． 【答案】/15度 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键． 先求出，再根据三角形的外角性质即可得． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，已知，为的角平分线，E为中点，连接，若，那么_______． 【答案】/65度 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，直角三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．由已知条件可证，所以，因为E为中点，由等腰三角形三线合一可知，根据直角三角形两锐角互余即可求得． 【详解】解：∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵E为中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型 2】斜边中线定理线段求值证明（基础） 【例题1】（2026·浙江台州·二模）数学课上，老师要求将一个含角的直角三角形，用尺规作图将其分割成两个等腰三角形．甲，乙两人的作法分别如下图所示，则（    ） A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．两人都错 D．两人都对 【答案】D 【分析】根据两人作图结合等角对等边及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半判断即可． 【详解】解：甲：如图甲， 由作图可知， ∵， ∴， ∴是等腰三角形； ∵，， ∴， ∴是等腰三角形； 可知甲作图正确； 乙：如图乙， 由作图可知为中点， ∵， ∴， 即、是等腰三角形， 可知乙作图正确． 【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知直角三角形的斜边上的中线长为10，它的面积可以是（    ） A．96 B．104 C．112 D．120 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，关键是掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半． 由直角三角形斜边中线的性质得到直角三角形斜边的长是20，得到直角三角形的面积，即可得到答案． 【详解】解：∵直角三角形的斜边上的中线长为10， ∴直角三角形斜边的长是， ∵直角三角形斜边上高的长≤斜边上中线的长， ∴直角三角形的面积， ∴它的面积可以是96． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·浙江台州·期末）下列命题中是真命题的是（   ） A．直角三角形的两个锐角互补 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．有两个角相等的三角形是等边三角形 D．三个角分别相等的两个三角形全等 【答案】B 【分析】本题考查了命题，判断真假命题，直角三角形的性质，等边三角形的判定，掌握相关真命题和定理是解题的关键．根据直角三角形性质、等边三角形判定、全等三角形判定的相关知识点，逐一分析各选项命题的真假 【详解】解：直角三角形的两个锐角和为，互补指两角和为，故A选项是假命题 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是直角三角形的基本性质，故B选项是真命题 有两个角相等的三角形是等腰三角形，不一定是等边三角形，故C选项是假命题 三个角分别相等的两个三角形是相似三角形，全等三角形需满足边的对应条件（如等），故D选项是假命题， 故选：B． 【变式3】（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，是斜边上的中线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，理解“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”是解题关键． 根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可得，从而在等腰中利用三角形内角和求出． 【详解】解：是直角三角形，是斜边上的中线， ， ， ． 故选：． 【变式4】（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，已知、相交于点C，，，F、G、H分别是、、的中点， (1)求证：； (2)若，______． 【答案】(1) 证明：连接，如图， ∵F、G分别是、的中点，，， ， ， ∵H是的中点， ． (2)46 【分析】（1）连接，根据三线合一可得，根据直角三角形斜边中线的性质即可得证； （2）设，根据等腰三角形的性质分别求出，，，再根据即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：设， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， 同理：， ， ， ， 又， ， ． 【变式5】（25-26八年级上·浙江湖州·期末）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵是边上的高线， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴点是边的中点， ∴是斜边上的中线， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线定理，等腰三角形的性质与判定及三角形的高线与中线，三角形外角的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线定理，等腰三角形的性质与判定及三角形的高线与中线是解题的关键； （1）由是边上的中线，得到是斜边上的中线，从而得到，又有，即可证明； （2）根据是边上的高线，，可求得，由是斜边上的中线，得到，再根据，得到，最后根据，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵是边上的高线， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）知，是斜边上的中线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴的度数为． 【题型 3】直角三角形的判定 【例题1】如图，在中，高交于点，若的面积为，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形证判定及性质，直角三角形的判定，三角形面积公式等，熟练掌握全等三角形证判定及性质是解题的关键．以为边，点为顶点作，延长与交于点，先通过角度等量代换证明，再依据全等三角形证明，进而利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，以为边，点为顶点作，延长与交于点， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴ ∵，， ∴（）， ∴． ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1】已知：如图，中，于D，，． (1)求的度数． (2)请探究线段与线段的数量和位置关系． 【答案】(1) (2)数量关系：；位置关系： 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）证明，得到，再由邻补角互补求解； （2）根据全等三角形的对应边相等、对应角相等，结合直角三角形锐角互余即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：数量关系：；位置关系： 延长交于点， ∵ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 【变式2】已知：如图，在中，于点，为上一点，且，．猜想与的关系，并说明理由． 【答案】 解：，，理由如下： ∵ ∴ 又∵在和中， ∴（） ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了三角形全等判定及性质，直角三角形的两锐角互余，垂直定义．通过证明，可得，进而得，进而得，从而即可得解． 【详解】略 【变式3】如图1，在中，于点O，，过点A作于点H，交于点P． (1)求线段的长度； (2)连接，求的度数； (3)如图2，若点D为的中点，点M为线段延长线上一动点，连接，过点D作交线段延长线于N点，则的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 【答案】(1) (2) (3)不变， 【分析】（1）证△，即可得出； （2）过O分别作于M点，作于N点，证，得出．得出平分，即可得出结论； （3）连接，由等腰直角三角形的性质得出，，则，证出．证，得，进而得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴； （2）解：过O分别作于M点，作于N点，如图1所示： 在四边形中，， ∴． 在与中， ， ∴ ∴． ∵， ∴平分， ∴； （3）解：的值不发生改变，等于．理由如下： 连接，如图2所示： ∵，D为的中点， ∴ ∴， ∴． ∵， 即， ∴． 在和中， ， ∴△ ∴， ∴ 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形面积等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键． 三．题型精析（综合提升） 【题型 4】斜边中线定理线段求值证明 【例题1】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，平分，与交于点，于点，于点，与交于点，给出下列结论：①；②若，则．其中下列判断正确的是（   ） A．①错，②对 B．①，②都对 C．①对，②错 D．①，②都错 【答案】B 【分析】根据，得出，又因为平分，则，再结合三角形外角性质，得出；取的中点G，连接，设，再利用x、y表示，列方程即可得到x的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴ ∵， ∴， 故结论①是正确的； 取的中点G，连接， 设， 可得， ∵， ∴ ∴， ∵，点G是的中点， ， ∴， ∵是斜边上的中线， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， 即， 故结论②是正确的； 故选：B 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形三线合一，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，三角形外角性质等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知，，为的中点，，则的度数是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，可得，，，由三角形外角的性质，可得，，可得，根据三角形的内角和定理，即可得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为的中点， ∴，， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理． 【变式2】（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，为中线，为上一点，且，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的斜边中线定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识．根据直角三角形的斜边中线定理可得，推出，由，可得，设，则，结合，可得，最后根据平角的定义列方程即可求解． 【详解】解：在中，为中线， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， 解得：， ， 故选：C． 【变式3】（24-25八年级上·浙江·期中）如图，已知和，，点是的中点，连接，，，设．则当______时，为等边三角形．（用含的代数式表示）    【答案】/ 【分析】本题考查了斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的内角和性质，等边三角形的性质，先由斜边上的中线等于斜边的一半，得出，再结合等边三角形的性质，则，，运用三角形的内角和性质列式计算化简，即可作答． 【详解】解：如图所示：      ∵，点是的中点， ∴分别是的中线， ∴， 即， ∴， ∵为等边三角形， ∴， 即，， ∵，且， ∴， 则， 即， 则， 故答案为：． 【变式4】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，是线段的垂直平分线．已知，则______．    【答案】/度 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，连接，由，则，故有，再根据垂直平分线的性质得，再根据等腰三角形的性质和外角性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，    ∵， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式5】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，和分别位于异侧，，点是的中点，连接，，． (1)求证：为等腰三角形 (2)若，，求的度数： (3)若锐角，求的度数（用的代数式表示）． 【答案】(1) 证明：∵在和中，，点是的中点， ∴，， ∴， ∴为等腰三角形； (2) (3) 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、三角形外角定理等知识，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键． （1）由直角三角形斜边中线可得，，继而等量代换即可证明； （2）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，再根据等腰三角形的性质可得，，从而可得，，由此即可得； （3）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，再根据等腰三角形的性质可得，，然后根据三角形的外角性质可得，，由此即可得． 【详解】（1）略 （2）解：∵在和中，，点是的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． （3）解：∵在和中，，点是的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴ ． 【变式6】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，于点F，于点E，M为的中点． (1)若，，求的周长． (2)设， ①若，求的度数． ②设，求x与y之间的数量关系． 【答案】(1)16 (2)①② 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形的性质和等腰三角形的性质； （1）根据斜边的中线等于斜边的一半可得，即可得解； （2）①根据斜边的中线性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，再由三角形的内角和即可得解； ②由①可知：，即可得解． 【详解】（1）解：，M为的中点， ， ∴的周长； （2）解：①，M为的中点， ， ， ，， ， ， ， ②由①知：， ， ∴． 【题型 5】直角三角形性质综合证明 【例题1】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，，，是边上的中线，过点C作的垂线交于点E，交于点F，连接．若记为α，为β，则的度数为（   ） A．120° B．135° C．150° D．165° 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，直角三角形两锐角互余，等腰三角形的性质，平行线的判定以及性质等知识．过点B作交的延长线于点G，证明，可得．又点D是的中点，即得，从而可得，得，即可得． 【详解】解：过点B作交的延长线于点G，如图： ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵点D是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图1，这是一种太阳能热水器，它是一种环保、经济的家庭热水供应设备，备受大众喜爱．该太阳能热水器安装后，我们可以将其看作（如图2）．为了使其更加牢固，安装工人增加了，两根支架．若支架与地面呈，支架，，，，则的长为（    ）． A．1m B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断是等腰三角形，再由两个三角形全等的判定定理得到，进而由全等性质得到，再由等腰三角形性质得到即可得到答案． 【详解】解：在中，，则, ， ，解得， ， 则， ， ， ， 在和中， ， ， 在等腰中，，，则由等腰三角形性质可得， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形中求线段长，涉及直角三角形两锐角互余、等腰三角形的判定与性质、两个三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质、全等的判定与性质是解决问题的关键． 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，，，是边上的中线，过点C作的垂线交于点E，交于点F，连结，则与和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，直角三角形两锐角互余，平行线的判定以及性质等知识，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 设为，为，过点B作交的延长线于点G，证明，可得．又点D是的中点，即得，从而可得，得，即可得． 【详解】解：设为，为， 过点B作交的延长线于点G，如图： ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵点D是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故选：C． 【变式3】（22-23八年级上·浙江杭州·期末）如图，已知，，平分交于点E，点P为线段上一点，与度数之比为k、若为直角三角形，且，则k的值为（    ） A．1 B． C．或1 D．1或 【答案】B 【分析】本题综合考查了平行线的性质、角平分线的定义、直角三角形的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是由判断出的取值范围，得到为直角．设，则，根据题意求得，根据，结合等腰三角形等角对等边及三角形外角的性质易知，推出，求出x的值，即可得出结果． 【详解】解析：设，则． ∵平分． ∴． ∵． ∴， ∵， 结合等腰三角形等角对等边及三角形外角的性质易知．即， ∴． ∵为直角三角形， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 故选：B． 【变式3】（20-21八年级下·辽宁锦州·期中）命题“有两个角互余的三角形是直角三角形”的逆命题是______． 【答案】直角三角形两个锐角互余 【分析】命题“有两个角互余的三角形是直角三角形”的题设为三角形中有两个锐角互余，结论为这个三角形为直角三角形，然后交换题设与结论即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：“有两个角互余的三角形是直角三角形”的逆命题“直角三角形的两个锐角互余”． 故答案为：直角三角形的两个锐角互余． 【点睛】本题考查了命题与定理，主要考查了逆命题，解决本题的关键是理解原命题与逆命题之间的关系和正确分析出题设与结论． 【变式4】（24-25八年级上·浙江杭州·阶段检测）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．比如：三个内角分别为，，的三角形是“智慧三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点． (1)________． (2)若，求证：为“智慧三角形”． (3)当为“智慧三角形”时，请求出的度数． 【答案】(1) (2) 证明：∵，， ， ， 为“智慧三角形”； (3)或或或 【分析】（）根据直角三角形两锐角互余即可求解； （）求出的度数，得到，据此即可求证； （）由可得，再分、、、、和六种情况解答即可求解； 本题考查了三角形内角和定理和外角性质，角的和差，直角三角形两锐角互余，理解题意并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）解：∵， ， ∵为“智慧三角形”， ①、当时，， ； ②、当时，， ∵， ∴此种情况不存在； ③、当时， 则， ， ； ④、当时，， ， ； ⑤、当时，， ； ⑥、当时， 则， ， ∴此种情况不存在； 综上，当为“智慧三角形”时，的度数为或或或． 【变式5】（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，在中，，，D为延长线上一点，点E在边上，且，连结，，． (1)求证：． (2)判断直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：在和中， ， ∴， ∴． (2) 解：，理由如下： 延长交于点F，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用证明，即可得证； （2）延长交于点F，由全等三角形的性质可得，再求出即可得解． 【详解】（1）略 （2）略 【变式6】（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图所示，在中，，于点，，连接． (1)若，求的度数； (2)若点F是的中点，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了等腰三角形的性质与直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用． （1）先求得的度数，进而求得，根据等腰三角形的性质得出，理由三角形内角和定理求得，根据同角的余角相等即可求得； （2）根据，且点F是的中点，得到，，证得后即可证得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 在Rt△FDC中， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2），理由如下： ∵，且点F是的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 四．同步检测 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江·期中）下列命题是假命题的是（   ） A．三角形任意两边之和大于第三边 B．等边三角形各个内角都等于 C．等腰三角形一边上的高线，中线互相重合 D．直角三角形两锐角互余 【答案】C 【分析】根据三角形三边的关系，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质逐项分析即可． 【详解】解：A．三角形任意两边之和大于第三边，正确，是真命题； B．等边三角形各个内角都等于，正确，是真命题； C．等腰三角形底边上的高线，中线互相重合，故原命题错误，是假命题； D．直角三角形两锐角互余，正确，是真命题； 故选C． 【点睛】本题考查了命题的真假，熟练掌握三角形三边的关系，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质是解答本题的关键． 2．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，点D是的中点．连接，若，则的长度是（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．5 【答案】C 【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，即，进而求得的长度． 【详解】解：∵，点D是的中点， ∴，即， ∵， ∴， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是熟知“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知等腰三角形一腰上的高线等于另一腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个顶角等于(    ) A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、含度角的直角三角形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的性质与判定以及三角形外角的性质，正确的分类讨论是解答本题的关键． 【详解】解：当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高在三角形内部，如图，为等腰三角形腰上的高，并且，取边中点E，连接， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴顶角， 当等腰三角形是钝角三角形时，腰上的高在三角形外部，如图， 为等腰三角形腰上的高，并且， 同理可得， ∴顶角， 故选：D． 4．（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）如图，在中，是斜边上的中线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在中，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再由等腰三角形的判定与性质，根据等边对等角确定，最后由三角形外角性质代值求解即可得到答案． 【详解】解：在中，是斜边上的中线， ， 则， 是的一个外角， ， 故选：A． 【点睛】本题考查三角形中求角度，涉及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的判定与性质、三角形外角性质等知识，熟记三角形相关性质是解决问题的关键． 5．（24-25八年级下·湖南娄底·阶段检测）在中，， 则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 根据直角三角形的性质得到，根据题意列出方程组，解方程组得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ 解得：， 故选：A． 6．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，为中线，为上一点，且，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的斜边中线定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识．根据直角三角形的斜边中线定理可得，推出，由，可得，设，则，结合，可得，最后根据平角的定义列方程即可求解． 【详解】解：在中，为中线， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， 解得：， ， 故选：C． 7．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）如图，一根竹竿，斜靠在竖直的墙上，点P是中点，表示竹竿及在竹竿滑动过程中的情况是（　　）    A．下滑时，的长度增大 B．上升时，的长度减小 C．只要滑动，端沿墙向下滑动过程中的某个位置，则的长的长度就变化 D．无论怎样滑动，的长度不变 【答案】D 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出答案即可． 【详解】解：∵，P为的中点， ∴， 即的长在竹竿滑动过程中始终保持不变， 故选：D． 【点睛】此题考查了直角三角形斜边上的中线，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 8．（21-22七年级下·海南海口·期末）如图，△ABC沿直线MN折叠，使点A与AB边上的点E重合，若∠B=54°，∠C=90°，则∠ENC等于（    ） A．54° B．62° C．72° D．76° 【答案】C 【分析】先根据直角三角形的两个锐角互余可得，再根据折叠的性质可得，然后根据三角形的外角性质即可得． 【详解】解：， ， 由折叠的性质得：， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余、折叠、三角形的外角性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 9．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，于点于点D，点F是的中点，连接设，则（　 　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键． 由垂直的定义得到，根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，，于是得到结论． 【详解】于点于点 ∵点F是的中点， ， 故选：D． 10．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，分别为线段，上一点，且，连接、交于点，延长交于点．以下四个结论正确的是（   ） ①； ②若，则； ③若平分，则； ④连接，若，则． A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】由“”可证，可得，可证，可得，则点是的中垂线上，由线段垂直平分线的性质可得，故①正确；由全等三角形的性质可得，由直角三角形的性质可得，故②正确；由角平分线的性质可证点是角平分线的交点，可得点到三角形三边距离相等，由面积法可求，故③正确；由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，由，可得，故④错误，即可求解． 【详解】解：在和中， ， ， ， ， ， ， ， 点在的中垂线上， ， 点在的中垂线上， 垂直平分， ，故①正确； 若，则， ， ， ， 又， ，故②正确； 若平分， ， ，， ， 点是角平分线的交点， 点到三角形三边的距离为的长， ，，， ， ， ， ，故③正确； 如图，连接， 若，则， ， ， ， 又， ， ，， ，， 又， ， ， ， ， ， ， ，故④错误， 故选：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的斜边中线定理，证明三角形全等三角形是解题的关键． 一、填空题 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在等腰中，，是的中点．若，则的长为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，是解题的关键．先根据等腰三角形的性质，求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求解即可． 【详解】解：∵在等腰中，， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴． 故答案为：． 2．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于点G，且．若，则的度数是________． 【答案】 【分析】连接，如图所示，证得是线段的垂直平分线，得到，则有，再根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得到，从而，结合三角形外角性质有，最后根据三角形内角和定理得到，解方程求出，从而得到的度数． 【详解】解：连接，如图所示： 于点，且， 是线段的垂直平分线， ， ， 在中，，是边上的中线， ， ， 是的一个外角， ， 设，则， 在中，，根据三角形内角和定理可得， 解得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形中求角度问题，涉及垂直平分线的判定与性质、直角三角形斜边上中线等于斜边的一半、外角性质及三角形内角和定理等知识，根据题意准确作出辅助线，并灵活运用相关几何判定与性质是解决问题的关键． 3．（19-20八年级上·浙江杭州·期末）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠CDA＝80°，则∠A＝______． 【答案】50° 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等腰三角形的性质可以求得∠A的度数，本题得以解决． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线， ∴CD＝＝AD ∴∠A＝∠ACD， ∵∠CDA＝80°，∠A+∠ACD+∠CDA=180°， ∴∠A＝∠ACD＝50°， 故答案为：50°． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 4．（19-20八年级上·湖北黄石·期中）如图，是的角平分线，，垂足为，若，，则的大小为________． 【答案】58 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形的内角和问题、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由得到，根据角平分线的定义得到，设，表示出和，再利用三角形内角和定理列出方程，解出的值，即可求出的大小． 【详解】解：， ， ， 是的角平分线， ， 设，则，， ， ， ， 解得：， ． 故答案为：58． 5．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，是直角三角形，且，，斜边的端点、分别在的两边，上滑动，，连接，则线段的最大值是______． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、三角形的三边关系等知识．取的中点，连接、．根据直角三角形的性质，求出，根据三角形的三边关系可知，推出当、、共线时，的值最大，得出答案即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接、， ∵，，， ∴， ∵， ∴当、、共线时，的值最大，此时． 故答案为：4． 6．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，点是的中点，与交于点，且，下列说法正确的是________（写序号）． ①的垂直平分线交于点；②；③当时，；④当为中点时，． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，理解直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质是解决问题的关键．连接，由直角三角形的性质即可判断；由，根据等腰三角形的性质即可判断；设，分别表示出即可判断；连接，并延长交于点，得出是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可判断． 【详解】解：连接， ∵，点是的中点， ∴， ∴点在的垂直平分线上， ∴的垂直平分线交于点，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， 故②正确； 当时，是等腰直角三角形， 设，则， ∴， ∴，故③正确； 连接，并延长交于，如图所示 当为中点时， ∴ ∵点为的中点， ∵ ∴ ∵,点为中点时， ∴是线段的垂直平分线， ∴ ∴, ∴是等边三角形， ∴当为中点时，是等边三角形， ∴，平分，平分， ∴， ∴， 在中，，在中，， ∴， ∴， ∴，， ∴，故④不正确， 综上，说法正确的是①②③． 一、解答题 1．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知． (1)用直尺和圆规，作出线段的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹） (2)如果线段的垂直平分线交于点D，连结，已知，求的度数． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】（1）分别以为圆心，大于的长为半径，画弧，两弧分别交于，连接，直线即为所求； （2）根据中垂线的性质，外角的性质和直角三角形两锐角互余进行计算即可． 【详解】（1）如图，直线即为所求； （2）解：∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查中垂线的作图以及中垂线的性质，外角的性质和直角三角形两锐角互余．熟练掌握中垂线的作图方法和中垂线的性质是解题的关键． 2．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于 G，． (1)求证：； (2)已知, 求面积． 【答案】(1)证明见详解； (2)5． 【分析】（1）根据直角三角形的性质得，由已知得，再根据等腰三角形的三线合一性质得证． （2）根据三角形的中线平分三角形的面积的性质，先求的面积，再求的面积，从而可得的面积，最后求出面积． 【详解】（1）证明：连接，如图所示， ， ， 是边上的中线， 点E是中点， ， ， ， ， ． （2）解：是边上的中线， ， ， ， ，， 是边上的中线， ， 是边上的中线， ， ， 又， ． 故面积为5． 【点睛】此题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质、利用三角线中线求面积等知识，熟练掌握这些性质与利用三角形中线求面积的方法是解答此题的关键． 3．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，于点，于点，为的中点，连接，． (1)求证：； (2)若，．求的周长． 【答案】(1) 证明：∵于点，于点， ∴与都为直角三角形， 又∵为的中点， ∴，， ∴． (2)9． 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出是解题关键． （1）利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题． （2）由（1）可得，再可推导出，再证明为等边三角形即可求解． 【详解】（1） 略 （2）由（1）可知， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长为． 4．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知在中，高线，相交于点H，点F是的中点，． (1)求证：； (2)若，则求的长度． 【答案】(1) 证明：∵分别是和边上的高， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ，，， ∴ ． (2)10． 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，以及斜边上的中线等于斜边的一半的性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）由分别是和边上的高，证明，再证明，由，证明，则可证明； （2）由，点F是的中点，，则，再由全等． 【详解】（1）略 （2）∵，点F是的中点，， ∴， ∵ ∴． 5．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）已知：如图，，M是的中点，连接、． (1)求证：． (2)若，求证：是等边三角形． 【答案】(1) ∵， ∴，是直角三角形，斜边均为， ∵M是的中点， ∴，， ∴； (2) 在（1）中已证明：，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵在（1）中已证明， ∴是等边三角形． 【分析】（1）运用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可证明； （2）利用三角形外角的定义与性质证明，再结合（1）的结论即可作答． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边中线等于斜边的一半，等边三角形的判定与性质等知识．掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半，是解答本题的关键． 6．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，为上的中线，，垂足为点E，点F为中点，连接． (1)求证：． (2)已知，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵为上的中线， ∴， ∴是直角三角形. ∵点F为中点， ∴. ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵点F为中点， ∴， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质和判定，线段垂直平分线的性质和判定， 对于（1），根据等腰三角形的性质得，再根据直角三角形的性质得，然后根据直角三角形的性质得，可得答案； 对于（2），先求出，即可得，接下来说明，进而得垂直平分再根据等腰三角形的性质得， 然后根据得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 由（ 1）知， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴垂直平分 ∴， ∴， ∴． 7．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，于点，于点． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，点为边上的中点，连接、、，试判断的形状，并说明理由； (3)在(2)的条件下，若，，求的周长． 【答案】(1) 证明：，， ， ， ， 在与中， ， ； (2) 是等腰三角形；理由如下： 点为边上的中点， 在与中，，， ， 是等腰三角形； (3) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的性质与判定； （1）直接根据证明两三角形全等即可得证； （2）根据直角三角形斜边上的中线即可得证； （3）根据三角形的外角性质得出，即可证明是等边三角形，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图2， ，， ，， ，即， ， ，，， 在中，， ， 即， ， 是等边三角形， ， 的周长是． 8．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）（1）如图1，点是的内部任意一点，．垂足分别是是的中点． ①若，则__________． ②求证：． （2）如图2，若是的外部任意一点，，垂足分别是、是的中点．问与有何数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①； ②， ， 在中，是的中点， ， ， ， 同理可知，， ； （2）解：． 理由如下：如图，， ， 在中，是的中点， ， ， ， 同理可知，， ． 【分析】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． （1）①根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得到； ②根据等腰三角形的性质得到，同理得到，结合图形计算，证明结论； （2）仿照（1）的证明方法解答即可． 【详解】解：（1）①是的中点，，， ， 故答案为：． ②略 （2）略 9．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图1，在中，于点O，，过点A作于点H，交于点P． (1)求线段的长度； (2)连接，求的度数； (3)如图2，若点D为的中点，点M为线段延长线上一动点，连接，过点D作交线段延长线于N点，则的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 【答案】(1) (2) (3)不变， 【分析】（1）证△，即可得出； （2）过O分别作于M点，作于N点，证，得出．得出平分，即可得出结论； （3）连接，由等腰直角三角形的性质得出，，则，证出．证，得，进而得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴； （2）解：过O分别作于M点，作于N点，如图1所示： 在四边形中，， ∴． 在与中， ， ∴ ∴． ∵， ∴平分， ∴； （3）解：的值不发生改变，等于．理由如下： 连接，如图2所示： ∵，D为的中点， ∴ ∴， ∴． ∵， 即， ∴． 在和中， ， ∴△ ∴， ∴ 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形面积等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键． 10．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）在中，，M是边的中点，于点H，平分．    (1)求证：平分； (2)过点M作的垂线交的延长线于点E， ①求证：； ②是什么三角形？证明你的猜想． 【答案】(1) 证明：在中，， 是边的中点， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 即， 平分； (2) ①证明：， ， ， ， ， ； ②是等腰直角三角形， 证明：， ， 是直角三角形， 垂直平分， ， 是等腰三角形， 是等腰直角三角形． 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，由等腰三角形到性质得到，由余角的性质得到，等量代换得到，根据角平分线得到结论； （2）①根据得到，由平行线的性质得到，再进行角度的转换即可得到结论； ②根据，于是得到，推出是直角三角形，由于垂直平分，得到得到结论． 【详解】（1）略 （2）①略 ②略 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，理解出题意思，利用（1）中的条件解接下来的题，是解题的关键． 11．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图1，等腰三角形和等腰三角形共顶点，，，连接、．利用所学知识解决下列问题： (1)若，求证：； (2)连接，当点在线段上时： ①如图2，若，则的度数为 ，线段与之间的数量关系是 ； ②如图3，若，为中边上的中线，请判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴； (2)①，；② 【分析】（1）利用证明即可得证； （2）①利用证明得出，，然后证明是等边三角形即可求解； ②利用证明得出，然后利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，； ②，理由如下： ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． ∵，为中边上的中线， ∴，即， 又，， ∴． 【点睛】本题是结合了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定等知识的综合问题，熟练掌握知识点，由简入难，层层推进是解答关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $  2.6 直角三角形讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）2026-2027八年级上学期 【浙教版新教材】 目录 一．知识梳理与解读 【知识点一】直角三角形的定义 【知识点二】直角三角形的性质定理 【知识点三】直角三角形的判定定理 二．题型精析（基础夯实） 【题型 1】利用两锐角互余求角度 【题型 2】斜边中线定理线段求值证明（基础） 【题型 3】直角三角形的判定 三．题型精析（综合提升） 【题型 4】斜边中线定理线段求值证明 【题型 5】直角三角形性质综合证明 四．同步检测 （一）选择题（共10题，每小题3分，合计30分） （二）填空题（共6题，每小题3分，合计18分） （三）解答题（共9题，合计72分） 一．知识梳理与解读 【知识点一】直角三角形的定义 有一个内角为90°（直角）的三角形叫做直角三角形． 表示方法：直角三角形可用符号Rt△表示，如直角三角形ABC记作Rt△ABC． 边角名称：如图1：直角所对的边称为斜边，其余两条边称为直角边． 【知识点二】直角三角形的性质定理 性质1：直角三角形两锐角互余 定理内容：直角三角形的两个锐角之和为90°，即两锐角互余． 几何语言：如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°． 【要点提示】 1．该性质由三角形内角和180°推导得出，是直角三角形角度计算的核心依据； 2．已知直角三角形一个锐角，可直接求另一个锐角，无需重复推导内角和； 3．常用于几何倒角、角度等量代换题型． 性质2：直角三角形斜边中线定理（核心重难点） 定理内容：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 几何语言：在Rt△ABC中，∠C=90°，D为斜边AB的中点，则． 【要点提示】 1．定理适用前提：必须是直角三角形、必须是斜边中点、必须是斜边上的中线，腰上的中线不满足此性质； 2．定理可直接实现直角三角形与等腰三角形的转化，推导得AD=BD=CD； 3．解题万能辅助线：直角三角形遇斜边中点，优先连接斜边中线，构造等线段、等角条件； 4．此定理为考试高频考点，可直接用于计算、证明，无需重复证明． 【知识点三】直角三角形的判定定理 判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形． 几何语言：在△ABC中，若∠A+∠B=90°，则∠C=90°，△ABC为直角三角形． 【要点提示】 1．该判定是“直角三角形两锐角互余”的逆命题，为真命题，可直接作为判定依据； 2．无需算出具体角度，只需证明两个内角和为90°，即可判定三角形为直角三角形； 3．结合角度比例、角度和差计算，是判定直角三角形的常用方法． 二．题型精析（基础夯实） 【题型 1】利用两锐角互余求角度 【例题1】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，中，，，若，则的形状是（　　） A．底边与腰不相等的等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．以上结论都不对 【变式1】（23-24八年级上·浙江宁波·开学考试）如图，在中，，按以下步骤作图： ①以点为圆心，小于的长为半径作圆弧，分别交，于点，； ②分别以点，为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点； ③作射线，交边于点．若，则的大小为____________． 【变式2】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）一副直角三角板，按如图所示的方式摆放，，在边上，点在边上，，相交于点，，，则的度数为_____ ． 【变式3】（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，已知，为的角平分线，E为中点，连接，若，那么_______． 【题型 2】斜边中线定理线段求值证明（基础） 【例题1】（2026·浙江台州·二模）数学课上，老师要求将一个含角的直角三角形，用尺规作图将其分割成两个等腰三角形．甲，乙两人的作法分别如下图所示，则（    ） A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．两人都错 D．两人都对 【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知直角三角形的斜边上的中线长为10，它的面积可以是（    ） A．96 B．104 C．112 D．120 【变式2】（25-26八年级上·浙江台州·期末）下列命题中是真命题的是（   ） A．直角三角形的两个锐角互补 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．有两个角相等的三角形是等边三角形 D．三个角分别相等的两个三角形全等 【变式3】（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，是斜边上的中线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，已知、相交于点C，，，F、G、H分别是、、的中点， (1)求证：； (2)若，______． 【变式5】（25-26八年级上·浙江湖州·期末）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【题型 3】直角三角形的判定 【例题1】如图，在中，高交于点，若的面积为，则的长为______． 【变式1】已知：如图，中，于D，，． (1)求的度数． (2)请探究线段与线段的数量和位置关系． 【变式2】已知：如图，在中，于点，为上一点，且，．猜想与的关系，并说明理由． 【变式3】如图1，在中，于点O，，过点A作于点H，交于点P． (1)求线段的长度； (2)连接，求的度数； (3)如图2，若点D为的中点，点M为线段延长线上一动点，连接，过点D作交线段延长线于N点，则的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 三．题型精析（综合提升） 【题型 4】斜边中线定理线段求值证明 【例题1】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，平分，与交于点，于点，于点，与交于点，给出下列结论：①；②若，则．其中下列判断正确的是（   ） A．①错，②对 B．①，②都对 C．①对，②错 D．①，②都错 【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知，，为的中点，，则的度数是（   ） A． B． C． D．不能确定 【变式2】（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，为中线，为上一点，且，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级上·浙江·期中）如图，已知和，，点是的中点，连接，，，设．则当______时，为等边三角形．（用含的代数式表示）    【变式4】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，是线段的垂直平分线．已知，则______．    【变式5】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，和分别位于异侧，，点是的中点，连接，，． (1)求证：为等腰三角形 (2)若，，求的度数： (3)若锐角，求的度数（用的代数式表示）． 【变式6】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，于点F，于点E，M为的中点． (1)若，，求的周长． (2)设， ①若，求的度数． ②设，求x与y之间的数量关系． 【题型 5】直角三角形性质综合证明 【例题1】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，，，是边上的中线，过点C作的垂线交于点E，交于点F，连接．若记为α，为β，则的度数为（   ） A．120° B．135° C．150° D．165° 【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图1，这是一种太阳能热水器，它是一种环保、经济的家庭热水供应设备，备受大众喜爱．该太阳能热水器安装后，我们可以将其看作（如图2）．为了使其更加牢固，安装工人增加了，两根支架．若支架与地面呈，支架，，，，则的长为（    ）． A．1m B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，，，是边上的中线，过点C作的垂线交于点E，交于点F，连结，则与和为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（22-23八年级上·浙江杭州·期末）如图，已知，，平分交于点E，点P为线段上一点，与度数之比为k、若为直角三角形，且，则k的值为（    ） A．1 B． C．或1 D．1或 【变式3】（20-21八年级下·辽宁锦州·期中）命题“有两个角互余的三角形是直角三角形”的逆命题是______． 【变式4】（24-25八年级上·浙江杭州·阶段检测）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．比如：三个内角分别为，，的三角形是“智慧三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点． (1)________． (2)若，求证：为“智慧三角形”． (3)当为“智慧三角形”时，请求出的度数． 【变式5】（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，在中，，，D为延长线上一点，点E在边上，且，连结，，． (1)求证：． (2)判断直线与的位置关系，并说明理由． 【变式6】（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图所示，在中，，于点，，连接． (1)若，求的度数； (2)若点F是的中点，判断与的数量关系，并说明理由． 四．同步检测 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江·期中）下列命题是假命题的是（   ） A．三角形任意两边之和大于第三边 B．等边三角形各个内角都等于 C．等腰三角形一边上的高线，中线互相重合 D．直角三角形两锐角互余 2．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，点D是的中点．连接，若，则的长度是（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．5 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知等腰三角形一腰上的高线等于另一腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个顶角等于(    ) A．或 B． C． D．或 4．（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）如图，在中，是斜边上的中线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·湖南娄底·阶段检测）在中，， 则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，为中线，为上一点，且，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）如图，一根竹竿，斜靠在竖直的墙上，点P是中点，表示竹竿及在竹竿滑动过程中的情况是（　　）    A．下滑时，的长度增大 B．上升时，的长度减小 C．只要滑动，端沿墙向下滑动过程中的某个位置，则的长的长度就变化 D．无论怎样滑动，的长度不变 8．（21-22七年级下·海南海口·期末）如图，△ABC沿直线MN折叠，使点A与AB边上的点E重合，若∠B=54°，∠C=90°，则∠ENC等于（    ） A．54° B．62° C．72° D．76° 9．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，于点于点D，点F是的中点，连接设，则（　 　） A． B． C． D． 10．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，分别为线段，上一点，且，连接、交于点，延长交于点．以下四个结论正确的是（   ） ①； ②若，则； ③若平分，则； ④连接，若，则． A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 一、填空题 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在等腰中，，是的中点．若，则的长为_________． 2．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于点G，且．若，则的度数是________． 3．（19-20八年级上·浙江杭州·期末）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠CDA＝80°，则∠A＝______． 4．（19-20八年级上·湖北黄石·期中）如图，是的角平分线，，垂足为，若，，则的大小为________． 5．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，是直角三角形，且，，斜边的端点、分别在的两边，上滑动，，连接，则线段的最大值是______． 6．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，点是的中点，与交于点，且，下列说法正确的是________（写序号）． ①的垂直平分线交于点；②；③当时，；④当为中点时，． 一、解答题 1．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知． (1)用直尺和圆规，作出线段的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹） (2)如果线段的垂直平分线交于点D，连结，已知，求的度数． 2．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于 G，． (1)求证：； (2)已知, 求面积． 3．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，于点，于点，为的中点，连接，． (1)求证：； (2)若，．求的周长． 4．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知在中，高线，相交于点H，点F是的中点，． (1)求证：； (2)若，则求的长度． 5．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）已知：如图，，M是的中点，连接、． (1)求证：． (2)若，求证：是等边三角形． 6．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，为上的中线，，垂足为点E，点F为中点，连接． (1)求证：． (2)已知，求的度数． 7．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，于点，于点． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，点为边上的中点，连接、、，试判断的形状，并说明理由； (3)在(2)的条件下，若，，求的周长． 8．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）（1）如图1，点是的内部任意一点，．垂足分别是是的中点． ①若，则__________． ②求证：． （2）如图2，若是的外部任意一点，，垂足分别是、是的中点．问与有何数量关系，并说明理由． 9．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图1，在中，于点O，，过点A作于点H，交于点P． (1)求线段的长度； (2)连接，求的度数； (3)如图2，若点D为的中点，点M为线段延长线上一动点，连接，过点D作交线段延长线于N点，则的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 10．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）在中，，M是边的中点，于点H，平分．    (1)求证：平分； (2)过点M作的垂线交的延长线于点E， ①求证：； ②是什么三角形？证明你的猜想． 11．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图1，等腰三角形和等腰三角形共顶点，，，连接、．利用所学知识解决下列问题： (1)若，求证：； (2)连接，当点在线段上时： ①如图2，若，则的度数为 ，线段与之间的数量关系是 ； ②如图3，若，为中边上的中线，请判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $