5.3 一元一次方程和它的解 分节讲练测-2026-2027学年浙教版七年级数学上册

5.3 一元一次方程和它的解 分节讲练测 浙教版《数学》七年级上册（2024年新版）· 第5章 一元一次方程 · 第3课时（满分100分） 第一部分 知识梳理 一、一元一次方程的概念 先看几个方程：一件衣服按八折销售的售价为 120 元（设原价 x 元，可列方程 ）；王老师和小明相差 18 岁，6 年后王老师的年龄正好是小明的 2 倍（设小明今年 y 岁，可列方程 ）。 方程 、、 都只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式，这样的方程叫作一元一次方程（linear equation in one unknown）。 判断一元一次方程，紧扣三个特征：① 只含有一个未知数（一元）；② 未知数的次数都是 1（一次）；③ 两边都是整式（分母中不含未知数）。 二、一元一次方程的解与解方程 能使一元一次方程两边相等的未知数的值叫作一元一次方程的解，也叫作方程的根。求方程的解的过程称为解方程。 等式的性质是方程变形的依据。利用等式的性质将一元一次方程一步一步变形，最后变形成 （a 为已知数）的形式，就求出了方程的解。对一元一次方程，解的检验过程可以省略不写。 三、由方程的解求字母、由表格反推方程的解 “某数是方程的解”意味着把它代入后两边相等，由此可求出方程中的字母参数；反过来，若已知含字母的代数式在若干个 x 处的取值（表格），也可以把方程的求解转化为“查表找相等”。 第二部分 典例精讲 例1　判断一元一次方程（教材做一做第 1 题）： 下列方程中，哪些是一元一次方程？（1）；（2）；（3）；（4）。 【分析】紧扣三个特征：一个未知数、次数为 1、两边都是整式。 【解答】（1）（4）是一元一次方程。（2）中未知数的最高次数是 2；（3）中含有三个未知数，都不是一元一次方程。 【点拨】“一元”看未知数个数，“一次”看未知数的最高次数，“整式”看分母中是否含未知数。 例2　利用等式的性质解方程（教材例题）： 利用等式的性质，解下列一元一次方程：（1）；（2）。 【解答】（1）依据等式的性质 1，方程的两边都减去 4x，得 ；合并同类项，得 。检验：把 x = 50 代入方程，左边 = 5 × 50 = 250，右边 = 50 + 4 × 50 = 250，因为左边 = 右边，所以 x = 50 是方程的解。 （2）方程的两边都加上 4x，得 ；合并同类项，得 ；两边都减去 8，得 ；两边都除以 2，得 。 【点拨】每一步只做一种变形，并说明依据；对一元一次方程，解的检验过程可以省略不写，但初学时按教材格式写出检验更能暴露错误。 例3　由方程的解求字母（杭州滨江区期末）： 已知 −2 是关于 x 的方程 的解，求 a 的值。 【分析】把 x = −2 代入方程，等式成立，由此得到关于 a 的一元一次方程。 【解答】把 x = −2 代入，得 ，即 ，所以 ，解得 。 【点拨】“解”是连接方程与参数的桥梁：代入 → 解关于参数的方程。 例4　根据数量关系列方程并判断（教材课内练习第 1 题）： 有长为 20 米的篱笆，利用它和房屋的一面墙围成如图 1 形状的长方形园子，使得长比宽长 2 米。设园子的宽为 t 米，请列出一个含有未知数 t 的方程，并判断所列方程是不是一元一次方程。 【分析】靠墙的一边不需要篱笆，篱笆总长 = 两条宽 + 一条长，如图 1，长为 (t + 2) 米。 【解答】可列方程 。该方程只含一个未知数 t，且 t 的次数是 1，两边都是整式，是一元一次方程。 【点拨】列方程时先画示意图找相等关系；判断“是不是一元一次方程”仍紧扣三个特征。 图1 靠墙用篱笆围长方形园子（宽 t 米，长 (t+2) 米） 例5　一元一次方程的定义综合（杭州上城区期末）： 已知关于 x 的一元一次方程 。（1）求 m 的值；（2）若 x = a（a ≠ 0）是这个方程的解，求 的值。 【分析】（1）由“一元一次方程”知 x 的指数 |m| − 1 = 1，且一次项系数 m + 2 ≠ 0；（2）把 x = a 代入得关于 a、n 的等式，再凑出 2a − n。 【解答】（1）由一元一次方程的定义，得 ，即 ，所以 m = 2 或 m = −2；又 m + 2 ≠ 0，即 m ≠ −2，故 。 （2）此时方程为 。把 x = a 代入，得 ，即 。所以 。 【点拨】由定义求参数时，指数与系数两个条件缺一不可；求代数式的值常用“整体代入”。 例6　由表格反推方程的解（杭州滨江区期末）： m 为已知数，代数式 mx 和 4x − 3 的值随 x 的不同取值而变化，下表是当 x 取不同值时代数式对应的值。关于 x 的方程 的解为多少？ 　　x　　　　0　　　1　　　2 　　mx　　　0　　　1　　　2 　4x−3　−3　　　1　　　5 【分析】把 x − 2 看成一个整体 t，方程即 mt − 3 = 4t。由表知当 x = 1 时 mx 与 4x − 3 的值都是 1，说明 m = 1 且“当 t = 1 时两边相等”。 【解答】由表：x = 1 时 mx = 1，得 。方程 即 ，解得 ，所以 。 【点拨】表格问题的实质是“用函数的眼光看方程”：使两个代数式取值相等的 x 就是方程的解。 例7　解方程并写出检验（教材课内练习第 2 题）： 利用等式的性质求下列一元一次方程的解，并写出检验过程：（1）；（2）。 【解答】（1）两边都加上 x，得 ；两边都除以 11，得 。检验：把 x = 1 代入，左边 = 11 − 1 = 10，右边 = 10 × 1 = 10，左边 = 右边，是方程的解。 （2）两边都减去 2x，得 ；两边都加 3，得 ；两边都除以 2，得 。检验：把 x = −3 代入，左边 = 4 × (−3) − 3 = −15，右边 = 2 × (−3) − 9 = −15，左边 = 右边，是方程的解。 【点拨】检验就是“代入—分别计算左边右边—比较”，书写时左边、右边都要算出来。 第三部分 分层训练 说明：本部分按基础、提升、拓展三个层次编排，共 13 题，满分 100 分。题目主要选自近三年杭州市各区期末、期中考试真题（题后标注题源，已去除年份；标注“教材”的为教材原题）。答案与提示见第四部分。 A组 基础过关（每小题 5 分，共 30 分） 1.（5分）下列方程中，属于一元一次方程的是 A. 　　B. 　　C. 　　D. （杭州观城教育集团期中） 2.（5分）已知 x = 2 是关于 x 的一元一次方程 的解，则 的值为 　　　　　　。（杭州萧山区、余杭区、临平区期末） 3.（5分）若 是关于 x 的一元一次方程，则 m 的值为 　　　　　　。（杭州大关中学教育集团期中） 4.（5分）利用等式的性质解方程：。（杭州滨江区期末） 5.（5分）利用等式的性质解方程：。（杭州上城区期末） 6.（5分）利用等式的性质解方程，并写出检验过程：。（教材作业题） B组 能力提升（每小题 10 分，共 50 分） 7.（10分）利用等式的性质解下列方程：（1）；（2）。（教材作业题） 8.（10分）解方程：。（杭州文澜中学期末） 9.（10分）规定新运算“@”：对于任意实数 m、n，都有 ，例如 。若 的运算结果与 的运算结果相同，求 x 的值。（杭州锦绣育才教育集团期末） 10.（10分）已知 m、n 为常数，整式 mx − 2n 的值随 x 的不同取值而变化，下表是当 x 取不同值时整式 mx − 2n 对应的值，则关于 x 的方程 的解为多少？（杭州钱塘区期末） 　　x　　　−2　　−1　　0　　1　　2　　3 　mx−2n　　3　　　2　　1　　0　　−1　　−2 11.（10分）一个两位数，十位数字为 2。如果把十位数字与个位数字交换位置后，得到的新数比原数大 63。设原两位数个位上的数为 x，请列出一个含有未知数 x 的方程，并求出这个两位数。（教材作业题） C组 拓展探究（每小题 10 分，共 20 分） 12.（10分）定义：若关于 x 的一元一次方程 （m、n 为已知数）的解为 ，则称该方程为“和合”方程。例如：一元一次方程 2x = −12 的解为 x = −6，而 −6 = −12 + 3 × 2，则方程 2x = −12 为“和合”方程。（杭州滨江区期末） （1）判断一元一次方程 3x = 6 是不是“和合”方程，并说明理由； （2）若关于 x 的一元一次方程 4x = n 是“和合”方程，求 n 的值。 13.（10分）已知关于 x 的方程 的解为 x = 3，求关于 y 的方程 的解。（杭州观城教育集团期中） 第四部分 参考答案 （本答案与试题分离，供批阅与自查使用） 【典例精讲·例1—例7】 例1（1）（4）是一元一次方程；（2）是二次、（3）含三个未知数，都不是。 例2（1）x = 50；（2）。 例3a = −1。 例4，是一元一次方程。 例5（1）m = 2；（2）2021。 例6x = 1。 例7（1）x = 1；（2）x = −3（检验过程见正文）。 A组 基础过关 1．D。A 中未知数的最高次数是 2；B 中含两个未知数；C 中分母含未知数，不是整式方程。 2．2030。把 x = 2 代入得 ，即 ，所以 。 3．1。由一元一次方程的定义，得 且 ，所以 m = 1（m = 3 不符合题意，舍去）。 4．两边都加上 x，得 ；两边都减去 2，得 ；两边都除以 4，得 。 5．两边都加上 4x（性质 1），得 ；两边都减去 4，得 ；两边都除以 3，得 。 6．两边都加 3x（性质 1），得 ；两边都加 5，得 ；两边都除以 3，得 。检验：左边 = 10 − 3 × 5 = −5 = 右边，是方程的解。 B组 能力提升 7．（1）两边都减去 ，得 ；两边都加 4，得 ；两边都乘 4，得 。 （2）两边都减去 0.7x，得 ；两边都除以 0.1，得 。 8．两边都减去 3x，得 ；两边都加 5，得 ；两边都除以 4，得 。 9．由定义，，。由题意得 ，解得 。 10．由 得 ，查表知 mx − 2n = 2 对应 x = −1，所以方程的解为 x = −1。 11．原数为 ，新数为 ，由题意得 ，解得 ，这个两位数是 29。 C组 拓展探究 12．（1）不是。3x = 6 的解为 x = 2，而 n + 3m = 6 + 3 × 3 = 15 ≠ 2，所以 3x = 6 不是“和合”方程。 （2）4x = n 的解为 ，由定义得 ，解得 。 13．把 y − 5 看成一个整体 t，则第二个方程即 ，它与已知方程 的结构完全相同，所以 t = 3，即 y − 5 = 3，解得 。 / 学科网（北京）股份有限公司 $