精品解析：江苏省南菁高级中学2026-2027学年高二上学期第一次诊断练习数学试卷

2026-2027学年第一学期高二第一次诊断练习数学试卷 命题人 张琳 审题人 过家福 满分150分 考试时间120分钟 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上） 1. 过点，且倾斜角为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】倾斜角为的直线斜率不存在，可解. 【详解】过点，且倾斜角为的直线垂直于轴， 其方程为. 故选：B 2. 已知是空间向量的一组基底，是空间向量的另一组基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标的定义即得. 【详解】∵向量在基底下的坐标为， ∴， 设向量在基底下的坐标是， 则， ∴， 解得，即. 故选：D. 3. 设是空间一定点，为空间内任一非零向量，满足条件的点构成的图形是（ ） A. 圆 B. 平面 C. 直线 D. 线段 【答案】B 【解析】 【分析】根据法向量的定义以及空间位置关系的向量表示可得. 【详解】因为是空间一定点，为空间内任一非零向量，满足条件, 所以点构成的图形是经过点，且以为法向量的平面. 故选：B 4. 设分别是中所对边的边长，则直线与的位置关系是 A. 平行 B. 重合 C. 垂直 D. 相交但不垂直 【答案】C 【解析】 【分析】先由直线方程求出两直线的斜率，再利用正弦定理化简斜率之积等于﹣1，故两直线垂直． 【详解】直线的斜率为，直线的斜率为， △ABC中，由正弦定理得＝2R，R为三角形的外接圆半径， ∴斜率之积等于，故两直线垂直， 故选：C． 【点睛】本题考查两直线垂直的条件，直线的斜率的求法，正弦定理的应用，属于基础题． 5. 在平行六面体中，点为棱的中点，点为棱上靠近的三等分点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】选一组基底，利用空间向量基本定理即可求解. 【详解】由题意有，所以 ， 所以，所以， 故选：B. 6. 在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出和直线的方向向量即可由点到直线向量法距离公式直接计算求解. 【详解】由题意，平面，， 因此以为原点，分别以、、方向为轴建立空间直角坐标系： 则，，，，， 直线​的方向向量， ， 点到直线的距离. 7. 如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别取的中点，连接，根据已知条件可证得为异面直线与所成角或补角，然后在中即可求得. 【详解】分别取的中点，连接，因为等边三角形，则， 又因平面平面，平面平面，则平面， 因平面，则， 因，则，故，， 则， 因为分别为的中点， 所以，则为异面直线与所成角或补角， 在中，， 故异面直线与所成角的余弦值为. 8. 已知直线过点，且与坐标轴分别相交于点A､B，若的面积为24，其中O为坐标原点，则这样的直线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意直线的斜率存在，且不过原点，进而设方程为，，再根据题意得，解方程即可得答案. 【详解】解：由题知直线的斜率存在，且不过原点， 所以设直线方程为，， 所以直线与轴交点坐标为，直线与轴交点坐标为 所以面积为，即， 所以或, 解方程，即，解得， 解方程，即，解得 所以这样的直线有3条. 故选：C 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.请把答案填涂在答题卡相应位置上） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若三点共线，则m的值为0 B. 已知两点，过点的直线与线段有公共点，则的斜率k的取值范围为 C. 已知点，点B在坐标轴上，经过两点直线的方向向量为，则可以是点B的坐标 D. 若两直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，利用斜率相等求解即可；B选项，结合图像求出临界情况分析即可；C选项根据方向向量与平行来判断即可；D选项，根据倾斜角与斜率的关系举反例即可. 【详解】对于A选项，由可得，由三点共线得，得，A选项正确； 对于B选项，由、，， 则，， 由图可知，要使过点的直线与线段MN有公共点， 则或，即的斜率k的取值范围为，故B错误； 对于C选项，若，则，故与平行，故C选项正确； 对于D选项，若，但是，故D选项错误； 故选：AC. 10. 给出下列命题，其中是真命题的是（ ） A. 若是直线的方向向量，是直线的方向向量，则与垂直 B. 若是直线的方向向量，是平面的法向量，则 C. 若分别为平面的法向量，则 D. 若分别为平面的法向量，则平面交线的方向向量可以是 【答案】AD 【解析】 【分析】ABC项，利用数量积的坐标运算，判断向量是否垂直，进而判断线线、线面、面面关系；D项，由，可知向量与两平面的法向量都垂直即可判断. 【详解】A项：因为， 可知，所以与垂直，故A正确； B项：因为， 可知，所以或，故B错误； C项：因为， 所以平面不相互垂直，故C错误； D项，设， 由，则； 由，则. 故平面交线的方向向量可以是，故D正确. 故选：AD. 11. 在棱长为的正方体中，点满足（），点在底面内，且，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 直线和平面所成角的余弦值为 D. 线段长度的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】通过建立空间直角坐标系，确定点的坐标规律与点的轨迹方程，再逐一验证各选项 【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，正方体棱长为， 则，，，，. 由得，即； 因为在上底面内，故设， 由得，化简得， 即的轨迹是上底面内以为圆心，半径的一段圆弧（如图所示）. 选项A：时，，，， 两向量不共线，故不平行于，A错误； 选项B：时，，，B正确； 选项C：直线与平面所成角为，其在平面内的射影为，，故，C错误； 选项D：的坐标均为，故长度为上底面中两点距离， 其中在线段上，在上底面内上（不含）， 圆心到线段的距离为，故， 当且仅当三点共线且时等号成立. 故最小值为，D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分.请把答案填写在答题卡相应位置上） 12. 已知空间向量，，不共面，且，，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题设有且，根据空间向量的基本定理列方程组求参数值，即可得结果. 【详解】由题设，且，又，， 所以，可得，则. 故答案为： 13. 如图，和所在平面垂直，且，，则平面和平面的夹角的余弦值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】作于点，利用条件证明平面，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标和平面法向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】因和所在平面垂直，且平面平面，作于点， 则平面，连接，则，因，则， 又因，则全等于，则，故可以分别为轴建立空间直角坐标系. 设，则， 则，， 设平面的法向量为，则，故可取， 因平面，则可取为平面的法向量， 设平面和平面的夹角为，则. 14. 已知过点的直线在轴和轴上的截距均为正整数，则满足条件的直线的条数为________． 【答案】 【解析】 【分析】设出直线截距式方程，代入点坐标后变形，将问题转化为求的正约数个数，约数个数即为满足条件的直线条数． 【详解】设直线的截距式方程为， 代入点得：，变形整理得， 可得， 已知，故，即是的正约数， 的正约数为：、、、、、、、、，共个，对应组不同的正整数， 故满足条件的直线共条． 四、解答题（本大题共6小题，共计77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为.求： （1）顶点，的坐标； （2）直线的方程（写成斜截式）； 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）计算直线的方程，联立直线与的方程，解出交点的坐标，设点的坐标，得到中点坐标，求解点的坐标； （2）计算直线的斜率，再计算直线的方程. 【小问1详解】 直线的斜率为，由与垂直，得的斜率为， 则直线的方程为：，即， 解得，所以， 设，则中点，代入直线的方程得：， 化简得，又因为点在直线上，所以 解得，所以. 【小问2详解】 由（1）知，，直线的斜率为， 则直线的方程为：，即. 16. 如图，在三棱柱中，侧面是正方形，平面，，点是线段的中点，点在线段上，满足平面． （1）求证：是线段的中点； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）因为平面，平面，所以， 因为侧面是正方形，所以， 所以以为坐标原点，分别以所以在的直线分别为轴，建立下图所示空间直角坐标系， 由，侧面为正方形，得，则 ， 是中点，故， 设，，则， 所以， 平面中，，， 设平面的法向量为，则 ，取，则， 已知平面，则， 即，解得，故是线段的中点． （2） 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出各点坐标，设参数表示点，利用线面平行则向量与平面法向量垂直求出参数，进而证明结论； （2）求出平面的法向量，代入点到平面距离公式求出点到平面的距离． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，平面中，， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 取平面内一点，，由点到平面的距离公式得： ． 17. 如图，在三棱柱中，过的截面交于，交于，过点的截面交于，交于，且． （1）求证：； （2）若，，直线与平面所成角的正弦值为，求． 【答案】（1） 三棱柱中，平面平面， 截面平面，截面平面， 由面面平行的性质定理得， 又，截面与平面分别交于， ， 由平行公理，平行于同一条直线的两条直线互相平行，故． （2） 【解析】 【分析】（1）根据三棱柱的几何性质，利用面面平行的性质定理，结合平行公理证明结论； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，结合已知条件求出相关点和向量坐标，设，求出相关点和向量坐标，进而求出平面的法向量，利用向量夹角余弦公式结合已知条件构造方程求出，进而求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 已知，， 以为坐标原点，为轴，为轴，垂直于平面为轴， 建立下图所示空间直角坐标系， 则，设，则， ， 由三棱柱的性质得， ， 设，，，则， ， ， 设平面的法向量为， 则， 令，则， ，设直线与平面所成角为， ， 化简整理得，解得， ，故． 18. 足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准足球场的底线宽码，球门宽码，球门位于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点，使得最大，这时候点就是最佳射门位置，当攻方球员甲位于边线上的点处（，）时，根据场上形势判断，有、两条进攻线路可供选择. （1）若选择线路，则甲带球多少码时，？ （2）若选择线路，则甲带球多少码时，到达最佳射门位置. 【答案】（1）甲带球或码时， （2）甲带球码时，到达最佳射门位置 【解析】 【分析】（1）先由题意表示出，，然后表示出，根据题意可得，进而求解即可； （2）建立平面直角坐标系，从而利用斜率公式表示出，，然后表示出，从而利用基本不等式求出的最大值，进而得到取得最大值时点的位置. 【小问1详解】 若选择线路，设，其中，， 则， 所以 ， 又，，所以，所以， 所以，解得或， 所以或， 所以甲带球或码时，. 【小问2详解】 若选择线路，以线段的中点为坐标原点，、的方向分别为轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系， 则， 则，直线的方程为， 设点，其中， 所以， 所以 令，则， 所以 ， 当且仅当，即，即时，等号成立， 所以， 当且仅当时，等号成立，此时， 由题意知，因为函数在上单调递增， 所以最大时，最大， 所以，若选择线路，则甲带球码时，到达最佳射门位置. 19. 如图，在三棱柱中，侧面底面，，，，是的中点，，. （1）证明：； （2）是的中点，是的中点，在内（包含边界），异面直线与所成的角的余弦值为，平面与平面夹角为，求的最大值. 【答案】（1）连接， 因为，， 所以为等边三角形，则也为等边三角形， 因为是的中点，所以， 又，所以， 因为侧面底面，侧面底面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 又因为，平面， 所以平面，又平面，所以， 因为，可得， 则，即，解得， 则，，所以，则. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，先证明，再根据面面垂直的性质得平面，再根据线面垂直的性质得，进而可得平面，再结合勾股定理证明即可； （2）连接，根据面面垂直的性质得平面，再以点为坐标原点建立空间直角坐标系，设，，且，根据与所成的角的余弦值为可得，，再利用面面角的向量公式表示出，进而换元，结合函数的单调性求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，由于为等边三角形，是的中点，则， 因为侧面底面，侧面底面，平面， 所以平面， 如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系， 则， 设，，且， 则，，， 因为异面直线与所成的角的余弦值为， 所以，则， 即，又， 则，解得，又，则. 设平面的法向量为， 则有， 令，则，所以， ， 设平面的法向量为， 则有， 令，则，所以， 所以 ， 将代入，得， 令，由，得，则， 当时，，此时函数在上单调递减， 则时，取得最大值； 当时，， 设，， 则， 所以函数在上单调递增， 则，则的最大值为. 由于，则的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高二第一次诊断练习数学试卷 命题人 张琳 审题人 过家福 满分150分 考试时间120分钟 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上） 1. 过点，且倾斜角为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知是空间向量的一组基底，是空间向量的另一组基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 设是空间一定点，为空间内任一非零向量，满足条件的点构成的图形是（ ） A. 圆 B. 平面 C. 直线 D. 线段 4. 设分别是中所对边的边长，则直线与的位置关系是 A. 平行 B. 重合 C. 垂直 D. 相交但不垂直 5. 在平行六面体中，点为棱的中点，点为棱上靠近的三等分点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线过点，且与坐标轴分别相交于点A､B，若的面积为24，其中O为坐标原点，则这样的直线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.请把答案填涂在答题卡相应位置上） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若三点共线，则m的值为0 B. 已知两点，过点的直线与线段有公共点，则的斜率k的取值范围为 C. 已知点，点B在坐标轴上，经过两点直线的方向向量为，则可以是点B的坐标 D. 若两直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则 10. 给出下列命题，其中是真命题的是（ ） A. 若是直线的方向向量，是直线的方向向量，则与垂直 B. 若是直线的方向向量，是平面的法向量，则 C. 若分别为平面的法向量，则 D. 若分别为平面的法向量，则平面交线的方向向量可以是 11. 在棱长为的正方体中，点满足（），点在底面内，且，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 直线和平面所成角的余弦值为 D. 线段长度的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分.请把答案填写在答题卡相应位置上） 12. 已知空间向量，，不共面，且，，若，则__________． 13. 如图，和所在平面垂直，且，，则平面和平面的夹角的余弦值为________. 14. 已知过点的直线在轴和轴上的截距均为正整数，则满足条件的直线的条数为________． 四、解答题（本大题共6小题，共计77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为.求： （1）顶点，的坐标； （2）直线的方程（写成斜截式）； 16. 如图，在三棱柱中，侧面是正方形，平面，，点是线段的中点，点在线段上，满足平面． （1）求证：是线段的中点； （2）求点到平面的距离． 17. 如图，在三棱柱中，过的截面交于，交于，过点的截面交于，交于，且． （1）求证：； （2）若，，直线与平面所成角的正弦值为，求． 18. 足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准足球场的底线宽码，球门宽码，球门位于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点，使得最大，这时候点就是最佳射门位置，当攻方球员甲位于边线上的点处（，）时，根据场上形势判断，有、两条进攻线路可供选择. （1）若选择线路，则甲带球多少码时，？ （2）若选择线路，则甲带球多少码时，到达最佳射门位置. 19. 如图，在三棱柱中，侧面底面，，，，是的中点，，. （1）证明：； （2）是的中点，是的中点，在内（包含边界），异面直线与所成的角的余弦值为，平面与平面夹角为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $