精品解析：江苏省南通市海安市实验中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

2026－2027学年第一学期检测（一） 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知方程表示圆，则其圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 若经过，两点的直线的倾斜角为，则（     ） A. B. 2 C. D. 4 3. 已知圆，圆，则它们公切线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知直线，若，则等于（ ） A. 2 B. 3 C. 2或3 D. 6或 5. 直线经过点，且点到它的距离相等，则的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 光线从点出发，经直线反射，反射光线过点，则反射光线所在直线的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 曲线的长度为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，则（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线与平行 C. 直线与垂直 D. 点到的距离为2 10. 已知直线，圆，下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. ，使得直线与圆相离 C. 若，则被截得的弦长为 D. 若直线与圆相切，则 11. 设、分别为曲线和直线上的动点，若线段的长度存在最小值，则称曲线到直线的距离为.已知，下面正确的是（） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点关于点的对称点为，则线段的长度为________. 13. 圆与圆交点为，，则的面积为________. 14. 已知圆上的点，满足，若的面积为，则的值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知顶点、、. （1）求边的垂直平分线的方程； （2）若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 16. 在平面直角坐标系中，，，圆为的外接圆. （1）求圆的方程： （2）过点的直线被圆截得的弦长为4，求直线的方程. 17. 已知直线 （1）证明：无论m为何值，直线l与直线总相交； （2）求点到直线l距离的最大值； （3）若O为坐标原点，直线l与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，求面积的最小值． 18. 设，圆，点关于直线对称点在圆上. （1）求圆的方程； （2）若动点在圆上，求的取值范围； （3）设，直线过点，且与圆交于点，，求的取值范围. 19. 在直角坐标系中，、，动点满足. （1）求动点的轨迹方程； （2）过坐标原点的动直线与轨迹交于点、，点. ①若，求弦的长； ②对于任意直线，存在常数，满足，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年第一学期检测（一） 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知方程表示圆，则其圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的一般方程的特征，求解圆心坐标. 【详解】由圆的一般方程，其圆心坐标为. 可得圆方程，对应，， 代入公式计算可得：圆心横坐标为，纵坐标为， 因此圆心坐标为. 2. 若经过，两点的直线的倾斜角为，则（     ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线斜率公式先计算斜率，再由斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】因为经过，两点的直线的倾斜角为 所以，，即，解得. 3. 已知圆，圆，则它们公切线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】首先要将两圆的方程化为标准方程，然后求出两圆的圆心距，再与两圆半径之和、半径之差作比较，根据比较结果来确定两圆的位置关系，进而得出公切线的条数. 【详解】将，化为标准方程得到； 则圆心，半径； 将，化为标准方程得到； 则圆心，半径； 圆心距， 因为， 所以两圆内切，公切线有1 条. 故选：A. 4. 已知直线，若，则等于（ ） A. 2 B. 3 C. 2或3 D. 6或 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行得到方程，再验证并结合充要条件的判定即可得到答案. 【详解】若，则，解得或3， 当时，，两直线平行， 当时，，两直线重合， 则时，. 故选：A. 5. 直线经过点，且点到它的距离相等，则的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】借助点到直线的距离公式，分直线斜率存在于不存在进行讨论即可得. 【详解】若直线斜率不存在，则， 此时点到的距离为，点到的距离为，符合要求； 若直线斜率存在，设，即， 则有，化简得， 即，解得，即； 故的方程为或. 故选：D. 6. 已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意设，由求出的值，即得圆心与半径，进而得到圆的方程. 【详解】依题意，可设， 由可得， 解得，故得圆心，半径为， 则所求圆的方程为. 故选：A. 7. 光线从点出发，经直线反射，反射光线过点，则反射光线所在直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出点关于直线的对称点，然后结合点可得直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点为，则， 解得，即点，故所求直线的斜率为， 所以，所求直线的方程为，即. 8. 曲线的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的性质以及弧长公式即可结合对称性求解. 【详解】当时，曲线为，即， 表示圆心为半径，位于第一和第四象限内以及轴上的圆弧， 由于圆心为半径，所以圆与轴的交点为， 所以圆与轴相交的弦所对的圆心角为， 故圆弧所对的圆心角为，故弧长为， 由于曲线关于轴对称，因此所得曲线的长度也是， 因此曲线的长度为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，则（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线与平行 C. 直线与垂直 D. 点到的距离为2 【答案】BC 【解析】 【分析】根据直线平行与垂直的判断即可求解BC，根据点到直线的距离公式即可求解D，将直线化成斜截式即可判断A. 【详解】直线变形为， 故直线的斜率为，倾斜角为，A错误， 由于且，故直线与平行，B正确， 由于，故直线与垂直，C正确， 到的距离为,D错误. 10. 已知直线，圆，下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. ，使得直线与圆相离 C. 若，则被截得的弦长为 D. 若直线与圆相切，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出直线所过定点判断A；由定点与圆的位置关系判断B；利用弦长公式计算判断C；求出过定点的半径所在直线斜率判断D. 【详解】对于A，直线，即过定点，A正确； 圆，即的圆心，半径， 对于B，，定点在圆上，对，直线与圆有公共点，不相离，B错误； 对于C，当时，直线，圆心到直线的距离为1，被截得的弦长，C正确； 对于D，当直线与圆相切时，，则直线的斜率为，解得，D正确. 11. 设、分别为曲线和直线上的动点，若线段的长度存在最小值，则称曲线到直线的距离为.已知，下面正确的是（） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项利用平行线间距离公式；B选项先求圆心到直线距离，再减去半径；C选项用参数方程求最大值，再代入点到直线距离公式；D选项换元后利用基本不等式求的最小值，最后代入距离公式. 【详解】直线，点到的距离为 曲线到直线的距离，就是上所有点到距离的最小值， A选项：，即，所以，A选项正确； B选项：，令， 则， 所以，因此，不是，B选项错误； C选项：，即上半圆， 令，，则， 当时，即点，取得最大值， 所以，距离，C选项正确； D项：，令，则， 于是， 所以， 由基本不等式，当即时取等号， 所以最小值为，距离，D选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点关于点的对称点为，则线段的长度为________. 【答案】 【解析】 【详解】依题意，点是的中点，所以. 13. 圆与圆交点为，，则的面积为________. 【答案】 【解析】 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， ，则圆与圆相交，且， 因此是正三角形，其面积为. 14. 已知圆上的点，满足，若的面积为，则的值为________. 【答案】 【解析】 【详解】圆的方程可化为，故圆心为，半径，其中． 由及的面积不为零，知，为直线与圆的两个不同交点，圆心到该直线的距离为． 由，得，再由半径、半弦长与弦心距的关系，得，所以，解得． 此时，直线与圆相交，且的面积为，符合题意． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知顶点、、. （1）求边的垂直平分线的方程； （2）若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据，，即可得的中点及斜率，进而根据点斜式可得其垂直平分线方程； （2）当直线过坐标原点时可直接求得直线方程；当直线不过坐标原点时，可根据直线的截距式进行求解. 【小问1详解】 由、可知中点为，且， 设边的垂直平分线的斜率为， 所以垂直平分线斜率满足，即， 所以边的垂直平分线的方程为，即； 【小问2详解】 当直线过坐标原点时，其斜率，此时直线方程为，符合题意； 当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为， 由过点，则，解得， 所以直线方程为， 综上所述，直线的方程为或. 16. 在平面直角坐标系中，，，圆为的外接圆. （1）求圆的方程： （2）过点的直线被圆截得的弦长为4，求直线的方程. 【答案】（1）圆的方程为. （2）直线的方程为或. 【解析】 【分析】（1）设出圆的一般方程，利用待定系数法求解. （2）利用弦长公式求出圆心到直线距离，再按直线斜率是否存在分类，借助点到直线距离公式求解. 【小问1详解】 设圆的方程为， 依题意，，解得， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，圆的圆心，半径， 由直线被圆截得的弦长为4，得圆心到直线的距离， 而直线过点，点到轴距离为1，则直线的方程可以为； 当直线斜率存在时，设其方程为，则，解得，直线的方程为， 所以直线的方程为或. 17. 已知直线 （1）证明：无论m为何值，直线l与直线总相交； （2）求点到直线l距离的最大值； （3）若O为坐标原点，直线l与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，求面积的最小值． 【答案】（1）证明：对于，化简得， 令，得到， 对于点，直线与直线都是必过点， 所以，无论为何值，直线与直线总相交. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）化简直线，得到的必过点，得证； （2）根据直线过点可得点到直线距离的最大值为即可； （3）设，由（1）得，列出三角形面积公式，利用基本不等式即可求得三角形面积最小值. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）可得直线过点， 故点到直线l距离的最大值为， 当直线取到. 【小问3详解】 设，由（1）得， ，整理得， 因为，则，得，（当且仅当时，即时，等号成立）， ，面积的最小值为. 18. 设，圆，点关于直线对称点在圆上. （1）求圆的方程； （2）若动点在圆上，求的取值范围； （3）设，直线过点，且与圆交于点，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出点关于直线对称点坐标，将对称点坐标代入圆方程中即可求解. （2）利用斜率的几何意义，将所求式子范围转化为两点的斜率的范围，利用直线与圆有交点，则圆心到直线的距离，即可列出关于斜率的不等式，即可求解. （3）根据直线斜率是否存在分成两种情况讨论，若直线斜率不存在，可得直线的方程，与圆的方程联立，可解出点与点坐标，即可求的值，若直线斜率存在，设出点与点坐标，设出直线的方程，与圆的方程联立，整理成一元二次方程，列出韦达定理，将转化为有关的式子，即可求其范围. 【小问1详解】 设点关于直线对称点为， 则直线与直线垂直， 斜率，即，即， 线段的中点在直线上， 即，即， 联立方程组，解得， 即点代入圆中， ，解得， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 设，， 的几何意义是圆上的点与定点连线的斜率， 设过点的直线方程：， 即， 圆心，半径， 直线与圆有交点，则圆心到直线的距离， ， 两边平方得：，解得， 所以， 的范围是. 【小问3详解】 ， 当直线斜率不存在时，直线方程为，代入圆的方程， 得，解得， 得，， ，，此时. 当直线斜率存在时，设直线的方程， 联立方程组， 得：， 展开整理得：， 设，， 则，， ，， ， ，， 所以 ， 因为， 所以点在圆内，过点得直线一定和圆相交于两点，则， 所以， 所以， 即， 综上所述的取值范围. 19. 在直角坐标系中，、，动点满足. （1）求动点的轨迹方程； （2）过坐标原点的动直线与轨迹交于点、，点. ①若，求弦的长； ②对于任意直线，存在常数，满足，求的值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，结合两点间距离公式，化简整理即可求出圆的方程； （2）①解法一：设直线的方程，联立圆的方程，表示出韦达定理，利用弦长公式即可求出弦长； 解法二：求出圆与轴的交点坐标，根据相交弦定理可求出的值，再根据即可得出答案； ②根据已知条件，结合两点间距离公式即可建立等量关系求出的值. 【小问1详解】 由可得，则， 化简整理得，即圆的方程为； 【小问2详解】 ①解法一：在圆的方程中令，可得或， 所以圆交轴于点、，此时，故直线不与轴重合， 设直线的方程为，设点、， 联立方程组得，化简整理得， 则， 由韦达定理可得，， 因为，所以， 又，，则， 所以，解得， 又，所以，解得，则， 所以，， 由弦长公式； 解法二：在圆的方程中令，可得或， 所以圆交轴于点、，则，， 由相交弦定理可得，解得， 所以. ②由，则，即， 又点在圆上，则， 所以，代入上式可得， 化简整理得， 又知对任意动直线均满足，所以，消去可得， 整理得，解得或， 当时，点与原点重合，舍去，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $