精品解析：江苏省南通中学2026～2027学年上学期第一次阶段练习高二数学试题

江苏省南通中学2026~2027学年上学期第一次阶段练习 高二数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．本试卷共4页，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设直线，的斜率和倾斜角分别为，和，，则“是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】 对直线的倾斜角分锐角和钝角进行讨论，再结合正切函数的性质，即可得答案； 【详解】解：∵直线，的斜率和倾斜角分别为，和，， 当倾斜角均为锐角时，和均为钝角时，若“”，则“”， 若“”，则“”， 当倾斜角一个为锐角一个为钝角时，若“”，则“与”的大小不能确定， 若“”，则“与”的大小也不能确定， 故则“”是“”的既不充分也不必要条件． 故选：D． 【点睛】直线的斜率，将斜率视为倾斜角的函数，再利用正切函数的性质进行求解. 2. 已知直线与直线间的距离为1，则实数m的值为（ ） A. 14 B. -14 C. 6 D. -14或6 【答案】D 【解析】 【详解】由题，直线，则两直线距离为或6. 3. 直线倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由的斜率为，其范围是， 设倾斜角为，则，解得， 因为倾斜角的范围是，所以. 4. 河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面，拱圈内水面宽．一条船在水面以上部分高，船顶部宽，可以通行无阻．近日水位暴涨了，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞．船身应该降低（ ）（精确到，参考数据：） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以正常水位时河道中央为原点，水面向右为轴、竖直向上为轴，建立平面直角坐标系，根据题意可以得到拱与水面交点为，拱顶坐标，设圆心为，圆的半径为，列出关于的方程组，解出，从而得到圆的方程，根据船顶部宽为，即船顶边缘在处，将其代入圆的方程可得该位置拱的高度（相对于正常水面）水位暴涨后，新水面在位置，求出此时处的拱下净空，船原来高出正常水面，当前净空仅约，从而求出船身需要降低. 【详解】以正常水位时河道中央为原点，水面向右为轴、竖直向上为轴， 建立平面直角坐标系， 正常水位下水面宽，即拱与水面交点为，拱顶坐标， 设圆心为，圆的半径为， 则有， 解得， ， 则圆的方程为， 船顶部宽为，即船顶边缘在处， 将代入圆的方程可得该位置拱的高度（相对于正常水面）： 即， 水位暴涨后，新水面在位置， 此时处的拱下净空为， 船原来高出正常水面，当前净空仅约， 因此船身需要降低. 5. 椭圆的左、右焦点分别为，，为上顶点，若的面积为，则的周长为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】设椭圆的半焦距为，由条件利用表示的面积，由条件列方程求，再由关系求，根据椭圆定义求，由此可求的周长. 【详解】设椭圆的半短轴长为，半焦距为， 则，的面积 由题知， 所以，， 由椭圆的定义知，又， 所以的周长为. 故选：C. 6. 已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最小值为（　　） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】将问题转化为以为直径的圆与圆有公共点的问题来列不等式，解不等式求得的取值范围，由此求得的最小值. 【详解】解：以为直径的圆的方程为，圆心为原点，半径为.圆的圆心为，半径为. 要使圆上存在点，使得，则圆与圆有公共点， 所以，即， 所以， 又，所以，所以的最小值为. 故选：C 7. 已知直线与曲线交于，两点，平面上的动点满足，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件可知直线恒过定点即为曲线的对称中心，再由向量性质可得动点在以为圆心，半径的圆内含边界，从而可知的最大值为原点到点的距离与半径的和. 【详解】由可知，直线过定点，设定点为，则为， 由可知，曲线由反比例函数平移得到，则曲线对称中心为，即为点， 所以点为，两点中点，则由向量中点公式可得， 又，所以，即，所以动点在以为圆心，半径的圆内含边界， 因为，所以. 8. 满足的实数对共有（ ） A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 【答案】B 【解析】 【分析】先将已知等式转化为点与点到直线：的距离均为1，以为圆心作半径的圆，以为圆心作半径的圆，判断两圆的位置关系，作出切线，从而可得解. 【详解】由题知，，即点与点到直线：的距离均为1. 以为圆心作半径的圆，以为圆心作半径的圆， 则，即两圆外切，共有三条公切线（如图）， 因为，的中点为， 所以有一条切线的斜率为，且过点，其方程为，即，经过原点， 另外两条不过原点. 又因为：不过原点（过原点的切线不符合）， 所以有2组这样的实数对（另外两条切线符合），使得点与点到直线：的距离均为1. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的． 9. 已知直线：与圆：，点，则下列说法正确的是（ ） A. 若点在圆上，则直线与圆相切 B. 若点在圆内，则直线与圆相离 C. 若点在圆外，则直线与圆相离 D. 若点在直线上，则直线与圆相切 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式和点的位置判断即可得出答案. 【详解】由题可得圆的半径为，圆心坐标为， 对于A，若点在圆上，则， 根据点到直线距离公式可得，故直线与圆相切，故A正确； 对于B，若点在圆内，则， 根据点到直线距离公式可得，故直线与圆相离，故B正确； 对于C，若点在圆外，则， 根据点到直线距离公式可得，故直线与圆相交，故C错误； 对于D，若点在直线上，则，即， 根据点到直线距离公式可得，故直线与圆相切，故D正确； 10. 下列四个命题中正确的有（ ） A. 过点，且在轴和轴上的截距的绝对值相等的直线方程为， B. 直线：恒过定点 C. 直线不过第四象限，则或 D. 若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 【答案】CD 【解析】 【详解】对于A，若过原点，则直线为； 若不过原点，设直线方程为，则，得或， 则直线方程为或，故A错误； 对于B，直线方程可化为， 由，得，则直线恒过点，故B错误； 对于C，由得或，故C正确； 对于D，设直线方程为， 则平移过后的解析式为， 则，得，故D正确. 11. 已知曲线，曲线，则（ ） A. 的周长为 B. 当时，与有且只有2个公共点 C. 当与有且只有6个公共点时，则的取值集合为 D. 当与有8个公共点时，的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过讨论的正负去掉绝对值，画出曲线与曲线的图象，由面积公式可求A，根据直线与圆的位置关系判断选项B，C，D即可. 【详解】当时曲线为，是以为圆心，1为半径的圆； 当时曲线为，是以为圆心，1为半径的圆； 当时曲线为，是以为圆心，1为半径的圆； 当时曲线为，是以为圆心，1为半径的圆； 故可画出曲线的图象： 易得曲线的周长为：，故A正确； 由题知曲线与曲线均关于轴对称，我们考虑当时， 曲线，恒过定点 对于B：当时，，曲线在第四象限的图像是以为圆心， 1为半径的圆，此时圆心到直线的距离为， 故曲线与曲线相切，有一个公共点，根据对称性可知当时， 与有且只有2个公共点，故B正确； 对于C：若要保证与有且只有6个公共点， 根据图像可知曲线应与第四象限的圆相交并且与第一象限的圆相切， 或者曲线过点. 当曲线应与第四象限的圆相交并且与第一象限的圆相切时， 此时第一象限的图象是以为圆心，1为半径的圆， 此时圆心到直线的距离为，解得； 当曲线过点，此时易得，故当与有且只有6个公共点时， 则的取值集合为，故C错误； 对于D：若要保证与有且只有8个公共点， 根据图像可知曲线应与第一象限的圆相交且不过点， 此时圆心到直线的距离为，解得， 因为曲线不过点，故，故的取值范围为且， 即，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题中条件，得到所求椭圆焦点在轴上，设出它的标准方程，由题中条件，列出方程组求解，即可得出结果. 【详解】方法一：(定义法）椭圆的焦点为，，即． 由椭圆的定义知， ， 解得． 由可得，所以所求椭圆的标准方程为 故答案为：. 方法二 ：（待定系数法） 因为所求椭圆与椭圆的焦点相同， 所以其焦点在轴上，且． 设它的标准方程为． 因为，且，故． 又点在所求椭圆上，所以， 则． 由①②得，，所以所求椭圆的标准方程为． 故答案为：. 13. 已知两条直线和都过点，则过两点，的直线的方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】将点代入直线方程，可得点，都在直线上，由两点确定一条直线即可得出直线方程. 【详解】由题知直线和都过点，则和， 所以点，都在直线上，又两点确定一条直线，所以直线方程为. 14. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点A、B及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）．在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得，则点M的轨迹是以为直径的圆，除去F点，得到的轨迹方程为， 由阿氏圆性质找到点，将转化为，问题转化为求解到两定点距离之和最小即可. 【详解】 当时，，此时交点为， 当时，由直线，斜率为k； 由直线，斜率为，， 又，所以直线恒过点， ，所以直线恒过， 若M为，的交点，则， 所以点M的轨迹是以为直径的圆，除去F点，E点, 综合以上两种情况，点M的轨迹是以为直径的圆，除去F点， 则圆心为的中点，圆的半径为， 故M的轨迹方程为，即， 又,易知在该圆内，又由题意可知圆C上一点 满足，取，则，满足.下面证明任意一点都满足，即， 因为， 又,所以, 所以， 又，， 如图,当且仅当三点共线,且M位于N,D之间时,等号成立,即的最小值为. 故答案为： 【点睛】思路点睛：利用阿氏圆的定义取点D，构造，转化线段和结合三角形三边关系计算即可. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：. （1） 当l1//l2时，求实数a的值； （2） 当l1⊥l2时，求实数a的值. 【答案】（1）-1；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行的位置关系建立关系式求解参数即可； （2）根据两直线垂直的位置关系建立关系式求解参数即可. 【详解】解：由题意得： （1）(方法1)当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1不平行于l2； 当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2； 当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1：，l2： 时， 解得a＝-1 综上可知，当a＝-1时，l1//l2 (方法2)∵l1//l2 ∴⇔解得a＝－1 故当a＝－1时，l1//l2. （2）(方法1)当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不成立； 当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2，故a＝0不成立； 当a≠1且a≠0时，l1：，l2：由，得 (方法2)∵l1⊥l2，∴a＋2(a－1)＝0，解得 16. （1）已知曲线方程，，若方程表示焦距为的椭圆，求的值． （2）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，求该动圆圆心的轨迹方程． 【答案】（1）或； （2） 【解析】 【分析】（1）两个分母与都含参数，谁大谁小不确定，故需分类讨论；同时 “表示椭圆”还要求两个分母均为正，这是隐含条件，由焦距为得，故只需按与 的大小分两类，利用建立方程求； （2）动点是动圆的圆心，等量关系来自两个相切条件：外切时圆心距等于两半径之和，内切时圆心距等于两半径之差，设动圆半径为，则两个条件可写成与 ；两式相加即可消去，得到，其中、为定点，且 ，结合椭圆的定义得解. 【详解】（1）由题意得且，解得. ① 当，即时，焦点在轴上， ，，. 又焦距，得，即，解得，符合. ② 当，即时，焦点在轴上， ，，. 由得，解得，符合. 当时，方程为，表示圆，不合题意. 综上，或. （2）圆：，配方得 ， 所以圆心 ，半径 ， 圆：，配方得， 所以圆心，半径， 设动圆圆心为，半径为， 动圆与圆外切，则， 动圆与圆内切，则， 两式相加，得， 又， 所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆， 设椭圆方程为为， 则由得，半焦距为，所以， 故动圆圆心的轨迹方程为. 17. 已知以点为圆心的圆与直线相切． （1）求圆的方程 （2）过点的直线与圆相交于，两点，当时，求直线的方程； （3）已知实数x，y满足圆的方程，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或； （3） 【解析】 【分析】（1）利用点到直线的距离计算半径即可； （2）讨论斜率是否存在，再设直线方程，根据弦长公式即可求出； （3）令，根据直线与圆的位置关系求出. 【小问1详解】 圆心到直线的距离为，即半径为， 故圆的方程为； 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，， 直线与圆的交点为，此时，符合题意； 若直线斜率存在，设，则圆心到直线的距离为， 因为，所以圆心到直线的距离为，则，得， 此时， 故直线的方程为或； 【小问3详解】 令，则， 因为直线与圆有交点， 所以，得， 故的取值范围为 18. 在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为． （1）若边上的高所在的直线方程为，求直线的方程； （2）若的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由求得，由点斜式求得直线的方程； （2）设点，得线段的中点的坐标，将其代入直线的方程，将点代入直线的方程，分别可得的方程，求解得坐标，求出点关于直线对称点，由三点共线求出，进而可得直线的方程． 【小问1详解】 ∵直线的方程为，其斜率为， ∵，∴，又， ∴由点斜式得直线的方程为，即. 【小问2详解】 设点，则线段的中点为， 将其代入所在直线方程中，得， 将点代入所在的直线方程中，得， 解得，即， 设点关于直线对称点为， 则，得，即， 因三点共线，则， 所以直线所在的直线方程为，即． 19. 已知圆，点，点为圆上的动点，线段的中点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）设，过点作与轴不重合的直线交曲线于两点. （i）过点作与直线垂直的直线交曲线于两点，求四边形面积的最大值； （ii）设曲线与轴交于两点，直线与直线相交于点，试讨论点是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）（i）7；（ii）是在定直线上，直线方程： 【解析】 【分析】（1）根据点在圆上，得到，再根据为中点，得到，然后代入，整理即可得到曲线的方程； （2）（i）设直线方程，得到弦长和，然后将面积表示出来，最后分和两种情况讨论面积的最大值； （ii）联立直线和曲线的方程，根据韦达定理得到，然后通过联立直线和直线的方程得到的坐标，再结合即可得到点在定直线上. 【小问1详解】 设，因为点在圆上，所以 ①. 因为为中点，所以，整理得。 代入①式中得，整理得 所以曲线的方程为 【小问2详解】 （i）因为直线不与轴重合，所以设直线的方程为，即. 则直线为 设曲线的圆心到直线和直线的距离分别为. 则，所以. 所以 当时，. 当时，，当且仅当时等号成立. 综上所述，四边形面积的最大值为7. （ii）设，联立，得. 则，. 因为曲线与轴交于两点，所以. 则直线的方程为， 直线的方程为， 联立两直线方程得. 直线与直线的交点在定直线上 【点睛】本题考查求动点的轨迹方程，四边形的面积的最值和利用证明动直线的交点在定直线上。求动点的轨迹的方法有：：①定义法：根据已知的曲线的定义判断； ②直接法：当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”的步骤求轨迹方程即可；③代入法：有两个动点，，其中点的轨迹方程已知，同时两动点的坐标存在关系，设点的坐标为，，然后建立两坐标的关系式，代入的轨迹方程中即可；④参数法：动点的横纵坐标没有直接关系，但是都和某个参数存在某种关系，可以通过消参的思路得到横纵坐标之间的关系，即可得到轨迹方程。本题属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南通中学2026~2027学年上学期第一次阶段练习 高二数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．本试卷共4页，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设直线，的斜率和倾斜角分别为，和，，则“是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知直线与直线间的距离为1，则实数m的值为（ ） A. 14 B. -14 C. 6 D. -14或6 3. 直线倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 4. 河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面，拱圈内水面宽．一条船在水面以上部分高，船顶部宽，可以通行无阻．近日水位暴涨了，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞．船身应该降低（ ）（精确到，参考数据：） A. B. C. D. 5. 椭圆的左、右焦点分别为，，为上顶点，若的面积为，则的周长为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 6. 已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最小值为（　　） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 7. 已知直线与曲线交于，两点，平面上的动点满足，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 满足的实数对共有（ ） A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的． 9. 已知直线：与圆：，点，则下列说法正确的是（ ） A. 若点在圆上，则直线与圆相切 B. 若点在圆内，则直线与圆相离 C. 若点在圆外，则直线与圆相离 D. 若点在直线上，则直线与圆相切 10. 下列四个命题中正确的有（ ） A. 过点，且在轴和轴上的截距的绝对值相等的直线方程为， B. 直线：恒过定点 C. 直线不过第四象限，则或 D. 若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 11. 已知曲线，曲线，则（ ） A. 的周长为 B. 当时，与有且只有2个公共点 C. 当与有且只有6个公共点时，则的取值集合为 D. 当与有8个公共点时，的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为________． 13. 已知两条直线和都过点，则过两点，的直线的方程为________． 14. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点A、B及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）．在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为_______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：. （1） 当l1//l2时，求实数a的值； （2） 当l1⊥l2时，求实数a的值. 16. （1）已知曲线方程，，若方程表示焦距为的椭圆，求的值． （2）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，求该动圆圆心的轨迹方程． 17. 已知以点为圆心的圆与直线相切． （1）求圆的方程 （2）过点的直线与圆相交于，两点，当时，求直线的方程； （3）已知实数x，y满足圆的方程，求的取值范围． 18. 在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为． （1）若边上的高所在的直线方程为，求直线的方程； （2）若的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程． 19. 已知圆，点，点为圆上的动点，线段的中点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）设，过点作与轴不重合的直线交曲线于两点. （i）过点作与直线垂直的直线交曲线于两点，求四边形面积的最大值； （ii）设曲线与轴交于两点，直线与直线相交于点，试讨论点是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $