第一章 勾股定理专项素养巩固训练卷 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

第一章 勾股定理专项素养巩固训练卷 勾股定理中的常见题型 题型一》勾股树问题 1.「2025甘肃中考」勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美.下图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，⋯⋯，则第5个图形中共有 个正方形. 2.「2026四川宜宾期末」如图所示的是一株美丽的“勾股树”，其中正方形A，B，C，D的面积分别为6，2，8，9，则最大正方形G的边长为 . 3.「2026湖南常德期末」“勾股树”因形状好似一棵树而得名.根据勾股树的形成过程假设如图所示的分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树、……，依次类推，如果原始正方形的面积为1，则第2026代勾股树中所有正方形的面积和为 。 题型二》赵爽弦图问题 4.「2026河南平顶山期末」我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图”直观地论证了勾股定理，后人通常把此图称为“赵爽弦图”，该图由四个全等的直角三角形拼接而成，如图，已知AB=2BC,，中间小正方形的面积为1，则大正方形的面积为 。 5.如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,两条直角边长分别为a，b，斜边长为c.如图2，现将与 Rt△ABC全等的四个直角三角形拼成一个正方形EFMN. (1)根据勾股定理的知识，请直接写出a，b，c之间的数量关系. (2)若正方形 EFMN的面积为64,Rt△ABC 的周长为18,求Rt△ABC 的面积. 题型三》翻折问题 6.如图，在直角三角形纸片ABC中，∠A=90°，折叠纸片使得点A 落在BC边上的点D处，折痕是BE(如图1)，将纸片复原，再次折叠纸片，使得点B落在边AC上的点E处，折痕是MN(如图2).若AB=6,AC=8,则CN的长为 . 7.如图,在长方形ABCD中,AB=CD=10,BC=AD=6. (1)如图1,将长方形ABCD沿EF翻折,使点A 与点 C重合，点D落在点 D'处，求BF的长. (2)如图2,将△ABD沿BD翻折,使点A 落在点A'处,若A'B交 CD 于点E,求△BDE的面积. (3)如图3,P 为AD边上的一点,将△ABP 沿BP 翻折得到△A'BP,A'B,A'P分别交CD边于点 E,F,且DF=A'F,求CE 的长. 题型四》最短路径问题 8.某校“灯谜节”的奖品是一个底面为等边三角形的直三棱柱灯笼(如图)，在灯笼的侧面上，从顶点A 到顶点A'缠绕一圈彩带.已知此灯笼的高为50cm，底面边长为40cm，则这圈彩带的长度至少为 ( ) A.50cm B. 120cm C.130cm D.150cm 第8题图 第9题图 9.「2026山东济南期中」如图，圆柱形玻璃杯的杯高为25 cm，底面周长为20cm，在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿3cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A 处所爬行的最短路程为 cm.(杯壁厚度不计) 10.某校园有一尊孔子雕像，其底座是一个长方体，如图,量得BC 的长为60 cm,CD 的长为30cm,DE 的长为50cm,一只蚂蚁从底部点B处沿长方体(雕塑底座)的表面爬到点 E 处，蚂蚁爬行的最短路程是多少? 题型五》其他实际问题 11.「2026广西贵港期末」古人赞美荷花“竹色溪下绿，荷花镜里香.”如图，平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面12cm(AB=12cm)，忽见它随风倾斜，花朵恰好浸入水面.仔细观察,发现荷花偏离原位置48 cm(BD=48 cm),则水的深度BC为 ( ) A.60cm B.72 cm C.90cm D.96cm 12.某工厂的大门如图所示，由长为2.3米，宽为2米的长方形和半径为1米的半圆形组成.货车司机小王开着一辆高为3.0米，宽为1.6米的装满货物的卡车，能否进入如图所示的工厂大门?请说明你的理由. 13. 如图，有一棵树CD，在其6m高的点 B 处有两只猴子，两只猴子都要到A处的池塘喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树12m的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线跃向池塘的A 处.如果两只猴子所经过的路程相等，试问这棵树有多高? 题型六》勾股定理及其逆定理的综合应用 14.「2026山东潍坊潍城期中」如图，校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端A，B之间的距离，他们的操作过程如下：①沿线段AB延长线的方向，在池塘边的空地上选点C，使BC=9m；②在AC的一侧选点D，使BD=12m,CD=15m;③测得AD=20m.请根据他们的操作过程，求出池塘两端A，B之间的距离. 15.全民健身手牵手，社区运动心连心.为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地(如图所示的四边形ABCD)进行改建，将四边形ABCD 全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板.经测量，四边形ABCD中,∠B=90°,AB=24米,BC=7米,CD=15米,AD=20米. (1)连接AC,求AC的长度. (2)已知运动型塑胶地板的价格为每平方米200元，若在四边形ABCD地面上全部铺设运动型塑胶地板，求购买运动型塑胶地板所需的费用. 1.答案 31 解析 由题图可知，第一个图形中有1个正方形，第2个图形中有 个正方形，第3个图形中有 个正方形，…… 所以第5个图形中有 个正方形. 2.答案 5 解析 ∵正方形A,B,C,D的面积分别为6,2,8,9, ∴正方形F的面积为6+2=8,正方形E的面积为8+9=17, ∴正方形G的面积为8+17=25, ∴正方形G的边长为5. 3.答案 2027 解析 如图，设第一代勾股树中间三角形的两条直角边长为a和b，斜边长为c，由勾股定理得 所以第一代勾股树中所有正方形的面积和 同理可得第二代勾股树中所有正方形的面积和 第三代勾股树中所有正方形的面积和= 依次类推，第n代勾股树中所有正方形的面积和 n+1，所以第2 026代勾股树中所有正方形的面积和为2026+1=2027. 4答案 13 解析 如图，因为小正方形的面积为1，所以BC=1，因为AB=2BC,所以AB=2,所以AC=3,所以BE=AC=3,在Rt△ABE中,由勾股定理可得 即大正方形的面积为13. 5.解析(1)由勾股定理得 (2)因为正方形EFMN的面积为64，所以 因为 所以c=8,因为 Rt△ABC的周长为18,所以a+b+c=18,所以a+b=10,所以 Rt△ABC 的面积 6.答案254 解析∵AB=6,AC=8,∠A=90°, ∴ BC=10.由折叠的性质可知AB=BD=6,AE=DE,∠BDE=∠A=90°,∠ABE=∠CBE,∴∠CDE=90°,CD=BC-BD=4,. 即 ∴AE=3,由折叠的性质可知 BM=ME,BN=EN,∴∠NBE=∠NEB,∴∠ABE=∠NEB, ∴EN∥AB,∴∠CEN=∠A=90°, 7.解析 (1)根据折叠的性质得AF=CF. ∵四边形ABCD是长方形,∴∠B=90°. 设BF=x,则AF=CF=AB-BF=10-x, 在Rt△BFC中, 解得 (2)∵四边形ABCD是长方形, ∴∠A=∠C=90°. 根据折叠的性质得∠A=∠A'=90°,AD=A'D,∴∠A'=∠C,∵BC=AD,∴A'D=BC, 又∵∠A'ED=∠CEB,∴△A'ED≌△CEB(AAS),∴ ED=EB.设CE=y,则.ED=EB=DC-CE=10-y. 在Rt△BCE中， 解得 (3)∵四边形ABCD是长方形,∴∠A=∠D=90°. 由折叠的性质得∠A'=∠A=90°,AP=A'P,AB=A'B=10,∴∠D=∠A'=90°.又∵DF=A'F,∠DFP=∠A'FE, ∴△DFP≌△A'FE(ASA),∴DP=A'E,PF=EF, ∴DE=DF+FE=A'F+FP=PA'.设PA=m, 则DP=A'E=AD-PA=6-m,DE=PA'=m, ∴EC=10-m,BE=10-(6-m)=4+m. 在Rt△ECB中, 解得 8. C将三棱柱的侧面展开，如图，连接AA'， 则 ∴这圈彩带的长度至少为130 cm.故选 C. 9.答案 26 解析 如图，将杯子侧面展开(展开一半)，作B 关于CE的对称点B',过B'作B'D⊥AE,交AE 的延长线于点 D,连接B'A交CE于F，连接BF，则B'A 的长即为蚂蚁所爬行的最短路程.在Rt△B'DA中, 24(cm),由勾股定理,得 26²，所以B'A=26cm，即蚂蚁从外壁B处到内壁A 处所爬行的最短路程为26 cm. 10.解析 如图1，由勾股定理得 10 600, 如图2，由勾股定理得 如图3，由勾股定理得 ∵10 000<10 600<13 000, ∴蚂蚁爬行的最短路程是100 cm. 11. C 设水的深度BC为 xcm,则荷花的高度为(x+12) cm,在Rt△BCD中 解得x=90,∴水的深度 BC为90 cm.故选 C. 12.解析 不能进入.理由:∵AB=1米,∠ACB=90°,∴当AC=1. =0.8米时，BC²=AB²-AC²=1²-0.8²=0.36=0.6²,∴BC=0.6米,∴BB'=BC+CB'=0.6+2.3=2.9米<3.0米,∴不能进入. 13.解析 由题意得.AC=12m,BC-6m,AC+BC-BD+AD,所以BD+AD=12+6=18(m),设BD-a m,则AD-(18-x)m,CD=(6+x)m,在 Rt△ACD中,由勾股定理得 即 解得x=3，所以CD=3+6-9(m). 答：这棵树有9 m高. 14.解析 在△BCD中,∵ ∴ △BCD 为直角三角形,且∠CBD = 90°,∴∠ABD=180°-∠CBD=90°.在 Rt△ABD中,由勾股定理,可得 ∴AB=16m,∴池塘两端A,B之间的距离为16m. 15.解析 (1)在 Rt△ABC中,由勾股定理得 ∴AC=25米. ∴△ACD 为直角三角形,∠D=90°, 平方米)， ∴ 购买运动型塑胶地板所需的费用为 234×200=46 800(元). 学科网（北京）股份有限公司 $