第一章 勾股定理 单元巩固练习 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 北师大版八年级上册《勾股定理》单元卷，以文化传承与实际应用为特色，通过梯度设计覆盖定理应用、几何直观及模型构建，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|勾股定理逆定理、赵爽弦图证明、格点三角形面积|结合《九章算术》折竹问题，考查抽象能力| |填空题|6/18|圆柱表面最短路径、数轴与勾股定理、阴影面积计算|设计蚂蚁爬行、楼梯地毯等情境，发展空间观念| |解答题|8/72|无人机飞行、港口航行安全、绿化地路径优化|综合运用勾股定理与方程思想，体现模型意识与应用能力|

第一章 《勾股定理》单元巩固练习 2026-2027学年北师大版数学八年级上册 一、选择题（每题3分，共30分） 1．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　） A．1，，2 B．1，2，3 C．4，6，8 D．6，8，10 2．东汉《九章算术》中，“折竹抵底”问题，意思是：一根竹子，原高10尺，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后剩余部分的竹子高度为（　　） A．4.2尺 B．4尺 C．5.2尺 D．5尺 3．如图，△ABC与△DEF都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），则△ABC与△DEF的面积比是（　　） A．1：2 B．2：5 C．： D．1：3 4．已知Rt△ABC，AC=3，BC=4，∠C=90°，则斜边上的高为（　　） A．6 B．12 C．5 D．2.4 5． 如图，在中，，，．若点是直线上的一个动点，则的最小值为（　　） A． B． C．5 D．6 6．如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为，若，则的长是（　　） A．6 B． C． D． 7．国际数学家大会是由国际数学联盟（IMU）主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，它是全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的奥林匹克盛会．下图所示是第24届国际数学家大会会标，该会标取自于我国数学家赵爽注解《周髀算经》中的弦图．与该弦图有着密切关系的数学文化是（　　） A．无理数的发现 B．圆周率的估算 C．勾股定理的证明 D．黄金分割比 8．如图①，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四张这样的直角三角形纸片，把它们按如图②所示的方式放入一个边长为3的正方形中（纸片不重叠，无缝隙），则图②中阴影部分的面积为（　　） A． B． C．4 D． 9．如图，正方形网格中，利用图形的轴对称设计了一个“蝴蝶”的平面图案，直线l 是它的对称轴，下列结论中：①∠AOD+∠BOC=180°；②∠BOF=∠COE；③∠BOC=∠AOB；④∠BOD=90°.正确结论的个数是 (　　) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10．如图，在▱ABCD中， AC⊥AB， BE平分∠ABC分别交AC， AD于点F， E，若CF=2AF=4，则 DE的长为(　　) A． B．3 C． D． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．如图所示，是一段楼梯，高是3米，斜边长是5米，如果在楼梯上铺地毯，那么地毯至少需要　 　米． 12．如右图，一只蚂蚁从点沿圆柱表面爬到点，圆柱高为，底面半径为那么，最短的路线长是　 　； 13．如图，数轴上点A，B分别对应1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是　 　。 14．如图，为内一点，，则图中阴影部分的面积为　 　． 15．如图，已知等腰，，平分，于点D，连结，则的面积为　 　． 16．如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，连接AC，交BE于点P，若正方形ABCD的面积为28，AE+BE=7，则△CFP与△AEP的面积差是　 　. 三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分，共72分） 17．如图，风等在点C处，在A，B两处各用一根引线固定着这个风筝，其中引线与水平地面垂直，引线的长度为10米，A，B两处的水平距离为8米（风筝本身的长宽忽略不计）． （1）求此时风筝离地面的高度； （2）现要使风筝沿竖直方向上升9米至M处，若A，B位置不变，引线的长度应加长多少米？ 18．一只蚂蚁沿图中所示的折线由点A处爬到了点D处，它一共爬行了多少厘米(图中小方格的边长代表1cm)? 19．如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时底端到墙角的距离为米． （1）此时，这架梯子的顶端距离地面有多高？ （2）如果梯子的底端向内移动米，则顶端沿墙向上移动多少米？ 20．如图，直角三角形三边上的半圆面积之间有什么关系? 21．如图，一架无人机旋停在空中点处，点与地面上点之间的距离米，点与地面上点点，处于同一水平面上的距离米，且米． （1）求的度数； （2）现这架无人机沿所在直线向下飞行至点处，若点恰好在边的垂直平分线上，连接，求这架无人机向下飞行的距离的长． 22．为了响应国家生态文明建设的号召，提升居民生活品质，营造更加宜居和谐的居住环境，幸福家园小区全面启动了绿化升级工程，以“生态、美观、实用”为原则，科学规划，精心布局，打造多功能的绿色空间．社区在住宅楼和临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 23．如图1，四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，． （1）求证：； （2）如图2，过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为，，求正方形的边长． 24．在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上，港口B与灯塔C的距离是30海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为10海里/小时． （1）货船从港口A航行到港口B需要多少时间； （2）为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为25海里，这艘货船在由港口A向港口B运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于1小时才符合航行安全标准．请问这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？ 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解：A.，不能构成直角三角形，不符合题意； B.，不能构成三角形，不符合题意； C. ，不能构成直角三角形，不符合题意； D.，能构成直角三角形，符合题意； 故选：D． 【分析】根据勾股定理逆定理逐项进行判断即可求出答案. 2．【答案】A 【解析】【解答】解：如图，由题意得：尺，尺，， 设尺，则尺， 在中，，即， 解得， 即折断后剩余部分的竹子高度为尺， 故选：A． 【分析】由题意得：尺，尺，，设尺，则尺，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案. 3．【答案】B 【解析】【解答】解： △ABC与△DEF的面积比是 故答案为：B. 【分析】根据勾股定理分别表示出AB2、AC2、BC2，进而由勾股定理的逆定理判断出∠BAC=90°，根据三角形的面积计算公式算出△ABC的面积，同理算出△DEF的面积，据此就不难求出两三角形面积的比值了. 4．【答案】D 【解析】【解答】解：由勾股定理先求出斜边AB=5，设斜边高为h，利用等面积法，列出等式，*AC*BC=*AB*h，带入后算出斜边上的高为2.4，D正确。 故答案为：D。 【分析】本题考查勾股定理的应用，先求出斜边长度，在根据等面积法，列出面积等式，算出斜边上的高。 5．【答案】B 【解析】【解答】 在中，，， ， 当CM时，CM的值最小， 由 故答案为：B. 【分析】先由勾股定理求得AB的值，再根据当CM时，CM的值最小，利用等积法即可求解. 6．【答案】D 【解析】【解答】解：四边形是矩形， ，，，， ， ，， ∴垂直平分， ， ， ， ， 故答案为：D． 【分析】根据矩形的性质求出，，，，再求出垂直平分，最后利用勾股定理计算求解即可. 7．【答案】C 【解析】【解答】解：“弦图”说明了直角三角形的三边之间的关系，它解决的数学问题是勾股定理的证明， 故答案为：C． 【分析】根据“弦图”说明了直角三角形的三边之间的关系可得答案． 8．【答案】A 【解析】【解答】解：由题意可知直角三角形纸片的斜边长为3， ∵一条直角边长为2， ∴另一条直角边长为， ∴图②中阴影部分的面积为4×， 故答案为：A． 【分析】本题根据题意，利用勾股定理求出直角三角形的另一条直角边长，而阴影部分的面积是4个相同的直角三角形构成，因此结合三角形面积公式计算即可。 9．【答案】B 【解析】【解答】解：如图 ∵直线l是该图案的对称轴， ∴∠AOB=∠DOC，∠BOF=∠COE，②正确； 假设正方形网格长度为1，则OA=OB=OC=OD=，AB=CD=，BC=2，在△OAB和△OBC中，OA=OB=OC，只能得出∠OAB=∠OBA，∠OBC=∠OCB，无法得出 ∠BOC=∠AOB，∴③错误； 连接BD，如图， ∵OB=OD=，BD=， 此时BD2=OB2+OD2，即∠BOD=90°，∴④正确； ∵ ∠AOD=∠AOB+∠BOD=∠AOB+90°，∠AOB+∠BOC=∠AOC=∠BOD=90°， ∴∠AOD+∠BOC=∠AOB+90°+∠BOC=180°，即①正确； 综上，①②④正确，正确结论的个数是3个。 故答案为：B。 【分析】本题根据对称性，可以首先判断出②正确，然后利用勾股定理求出AB、CD的长度，并结合图形判断③错误；利用勾股定理逆定理判断出④正确，最后结合④的结论以及对称性，变形计算即可判断出①正确，从而得出答案。 10．【答案】C 【解析】【解答】解：过F作BC于H， BE平分 的面积 的面积 H， 令AB=x，则BC=2x， 由勾股定理得到： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∵BE平分 故选： C. 【分析】过F作于H，根据角平分线的性质得到FH=FA，根据三角形的面积公式可得 令AB=x，在Rt△ABC中根据勾股定理求出 即可得到 然后根据平行线的性质和角平分线的定义推理得到 分局等角对等边得到 再根据线段的和差解答即可. 11．【答案】7 【解析】【解答】解：∵是直角三角形，米，米， ∴米， ∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为米． 故答案为：7． 【分析】本题主要考察勾股定理的应用和平移的性质，根据平移的性质可知，铺楼梯的地毯最短长度等于楼梯的水平宽度与垂直高度之和，解题时先在中利用勾股定理求出水平宽度的长度，再将与的长度相加即可得到结果。 12．【答案】10cm 【解析】【解答】解：圆柱侧面展开图，此时AB的长度即为最短路线长， 此时 ，BC=8， 由勾股定理得： ， 故答案为：10cm． 【分析】将圆柱的侧面展开，根据勾股定理，即可求得最短路线． 13．【答案】 【解析】【解答】 如图所示：连接OC， 由题意可得：OB=2，BC=1， 则AC= = ， 故点M对应的数是： . 【分析】 直接利用勾股定理得出OC的长，进而得出答案 14．【答案】 【解析】【解答】解：∵在中，AD=5，BD=4， ∴. ∵， ∴为直角三角形，∠BAC=90°. ∴. 故答案为：. 【分析】先计算出AB，并判断5，5，为一组勾股数是解题关键. 后利用三角形ABC的面积减去三角形ADB的面积即为阴影面积. 15．【答案】 【解析】【解答】解：如图，延长交于点， ∵，， ∴，， ∵平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【分析】延长交于点，结合勾股定理求出，，然后证明，得出，由三角形中线的性质得出，最后利用三角形面积公式即可求解． 16．【答案】 【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的面积为28， ∴， 在Rt△ABE中，由勾股定理得， ∵AE+BE=7， ∴， ∴AE·BE. ∴. 如图， ∵四边形EFGH是正方形， ∴EH//FG，EF//GH，∠FEH=∠FGH=90°，EH=FG=EF=GH， ∴∠PAE=∠QCG，∠AEP=∠CGQ=90°， ∵AH=CG， ∴AE=AH-EH，CG=CF-FG， ∴AE=CG， ∴△AEP△CGQ， ∴，EP=GQ， ∴， ∵EF=GH，PF=EF-EP，HQ=GH-GQ， ∴PF=HQ， ∴. ∴△CFP与△AEP的面积差是. 故填：. 【分析】观察图形，根据题意可证明△AEP△CGQ，则△CFP与△AEP的面积差等于的面积，也是正方形EFGH面积的一半；已知正方形ABCD的面积和AE+BE=7，根据勾股定理和完全平方和变形公式，求得AE·BE的值，从而求出正方形EFGH的面积. 17．【答案】（1）解：由题意得，在中，， ∴， ∴此时风筝离地面的高度的长为米； （2）解：在中，由勾股定理， ∴， ∴引线的长度应加长米． 【解析】【分析】（1）第一步可以在中，借助勾股定理计算得到对应边长； （2）第二步先在中，通过勾股定理算出的长度，就可以得到最终结果。 18．【答案】解：所以蚂蚁一共爬了5+13+10=28cm.故本题答案为28cm. 【解析】【分析】本题要运用3次勾股定理的运算，分别求AB，BC，CD，最后求和计算答案. 19．【答案】（1）解：由题意可得，在中，由勾股定理得， 即，所以， 即这架梯子的顶端到地面的距离为. （2）解：，， 在中，由勾股定理得， 即， ∴， ∴， 即梯子的顶端沿墙向上移动了． 【解析】【分析】（）根据题意可得是直角三角形，再利用勾股定理计算即可. （）先求出，再利用勾股定理求出，最后根据求解即可. （1）解：在中，由勾股定理得， 即，所以， 即这架梯子的顶端到地面的距离为； （2）解：，， 在中，由勾股定理得， 即， ∴， ∴， 即梯子的顶端沿墙向上移动了． 20．【答案】解：∵由勾股定理得： 同理 【解析】【分析】由勾股定理求出三边之间的关系，根据圆的面积公式求出三个半圆的面积，即可得出答案. 21．【答案】（1）解：，， ， ∴； ​​​​​​​ （2）解：设米，则米， ∵点恰好在边的垂直平分线上， ∴米， 在中，由勾股定理得， ， 解得 答：这架无人机向下飞行的距离为米． 【解析】【分析】 （1）利用勾股定理的逆定理即可证明求解； （2）设米，则米，根据线段垂直平分线的性质可得米，在中，结合勾股定理建立方程，解方程即可得到结果. （1）解：，， ， ∴； （2）解：设米，则米， ∵点恰好在边的垂直平分线上， ∴米， 在中，由勾股定理得， ， 解得 答：这架无人机向下飞行的距离为米． 22．【答案】（1）解：如图，连接， ，，， ， ， 答：居民从点到点将少走路程. （2）解：，，， ∴ 是直角三角形，， ，， ， 答：这片绿地的面积是． 【解析】【分析】（1）连接AC，先利用勾股定理求出AC的长，再利用线段的和差求出答案即可； （2）先利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形，，再利用三角形的面积公式及割补法求出四边形的面积即可. （1）解：如图，连接， ，，， ， ， 答：居民从点到点将少走路程； （2）解：，，， 是直角三角形，， ，， ， 答：这片绿地的面积是． 23．【答案】（1）证明：四边形为正方形， ，， 在和中， ， ， . （2）解：①如图，过点E作于，于， 正方形中，， 四边形是矩形， ， 点是正方形对角线上的点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形； ②正方形和正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在中，． ， ， 如图，连接， ， 是等腰直角三角形， ． 正方形的边长为． 【解析】【分析】（1）利用正方形的性质，结合全等三角形判定定理（ ），证明，从而得出 . （2）①通过作辅助线构造直角三角形，利用正方形性质和角的关系，证明，结合矩形邻边相等则为正方形的判定，得出结论. ②连接，通过证明，得出，再利用正方形的边长和勾股定理计算，进而得到正方形边长. （1）证明：四边形为正方形， ，， 在和中， ， ， ； （2）解：①如图，过点E作于，于， 正方形中，， 四边形是矩形， ， 点是正方形对角线上的点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形； ②正方形和正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在中，． ， ， 如图，连接， ， 是等腰直角三角形， ． 正方形的边长为． 24．【答案】（1）解：∵港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上 ∴， ∵港口A与灯塔C的距离是40海里，港口B与灯塔C的距离是30海里 （海里）， ∵货船的航行速度为10海里/小时 （小时）， 答：货船从A港口到B港口需要5小时； （2）解：这艘船在本次运输中符合航行安全标准，理由如下： 如图：过C作交于D， 在上取两点M，N使得海里 ∵， ∴（海里）， ∴（海里）， ∵， ∴是等腰三角形 ∵ ∴海里， ∴（小时） ∵， ∴这艘货船在本次运输中符合航行安全标准． 【解析】【分析】（1）先根据方向角定义及平角定义可求出∠BCA=90°，然后利用勾股定理算出AB的长，进而根据路程、速度、时间三者的关系可求出货船从港口A航行到港口B需要的时间； （2） 过C作CD⊥AB于D， 在AB上取两点M，N使得CM=CN=25海里，由等面积法，根据三角形面积公式算出CD的长，利用勾股定理算出DM=7海里，根据等腰三角形的三线合一得出MN=2MD=14海里，最后根据路程、速度、时间三者的关系可求出货船从点M行驶到点N所需要的时间即货船接收灯塔的安全信号时间 ，将该时间与1小时比较大小即可得出答案. （1）解：∵港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上 ∴， ∵港口A与灯塔C的距离是40海里，港口B与灯塔C的距离是30海里 （海里）， ∵货船的航行速度为10海里/小时 （小时）， 答：货船从A港口到B港口需要5小时； （2）答：这艘船在本次运输中符合航行安全标准，理由如下： 如图：过C作交于D， 在上取两点M，N使得海里 ∵， ∴（海里）， ∴（海里）， ∵， ∴是等腰三角形 ∵ ∴海里， ∴（小时） ∵， ∴这艘货船在本次运输中符合航行安全标准． 学科网（北京）股份有限公司 $